【文档说明】四川省宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高二下学期3月月考数学（理）试题 含解析.docx，共(21)页，1.691 MB，由管理员店铺上传

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叙州区二中2023年春期高二第一学月考试数学（理工类）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答

非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.第I卷选择题（60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果

质点A运动的位移S（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的函数关系为()2stt=，那么该质点在3t=秒时的瞬时速度为：（）（单位：米/秒）A.23B.23−C.29D.29−【答案】D【解析】【分析】根据瞬时变化率的定义求解即可.【详解】()()()2

23323333stssttttt−+−+===−+，所以()0022limlim339ttstt→→=−=−+.故选：D.2.某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2：3：5，为研究这三种产品的质量，

现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出100件进行测试，则应该抽取的A型号产品的件数为（）A.20B.30C.50D.80【答案】A【解析】【分析】根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可.【详解】某工厂生产的A，B，C三种不同型号产品的数量之比为2:3:5，则

A被抽的抽样比为212355=++，所以抽出100件产品中A型号产品的件数为1100205=，故选：A3.如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图：下列结论中错误的是（）A.从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加B.2050年

亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多C2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平D.1957年到2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢【答案】D【解析】【分析】利用折线图、条形图及扇形图的特点即可求解.【详解】对于A，从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增

加，故A正确；对于B，从扇形图中能够明显地看出2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故B正确；对于C，从条形图中能够明显地看出2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平，故C正确；对于D，由题

中三幅统计图并不能得出从1957年到2050年中哪个洲人口增长速度最慢，故D错误.故选：D.4.近期记者调查了热播的电视剧《狂飙》，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10,14]，15,19，[20,24]，[25,29]，[30,34]的爱看比例分别

为10%，18%，20%，30%，%t，现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10,14]，17代表[15,19]，根据前四个数据求得x关.于爱看比例y的线性回归方程为ˆ(4.68)%ykx=−，由此可推测t的值为（）A.33B.35C.37D.39【答案

】B【解析】【分析】求出前四组数据的样本中心点(),xy的坐标，代入回归直线方程求出k的值，再将32x=代入回归直线方程可得出t的值.【详解】因为比例和线性回归方程均带有%，故为了方便计算，以下数据省略%，前四组的平均数为1217222719.54x+++==，10182030

19.54y+++==，代入线性回归方程4.68ykx=−得19.519.54.68k=−，解得1.24k=，所以，线性回归方程为1.244.68yx=−，当32x=时，1.24324.6835y=−=，由此可推出t的值为35.故选：B

.5.曲线()lnxfxx=在点(1,(1))f处的切线方程为（）A.0xy+=B.0xy−=C.10xy+−=D.10xy−−=【答案】D【解析】【分析】先求函数在1x=处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜

率，并利用点斜式求切线方程.【详解】函数()lnxfxx=的定义域为()0+，，其导函数()21lnxfxx−=，所以()11f=，所以曲线()lnxfxx=在点(1,(1))f处的切线的斜率为1，又()10f=，故曲线()lnxfxx=在点(1,

(1))f处的切线方程为10xy−−=.故选：D.6.欧几里得大约生活在公元前330~前275年之间，著有《几何原本》《已知数》《圆锥曲线》《曲面轨迹》等著作.若从上述4部书籍中任意抽取2部，则抽到《几何原本》的概率为（）A.12B.13C.14D.56【答案】A【解析】【分析】运

用列举法解决古典概型.【详解】记4部书籍分别为a、b、c、d，则从从4部书籍中任意抽取2部的基本事件为ab、ac、ad、bc、bd、cd共有6个，抽到《几何原本》的基本事件为ab、ac、ad共有3个，所以抽到《

几何原本》的概率为：3162P==.故选：A.7.已知抛物线212xy=的焦点为F，过焦点F的直线(0)ykxmk=+与抛物线相交于A，B两点，若36AB=，则k=（）A.2B.2C.22D.12【答案】B【解析】【分析】由抛物线可得焦点()0,3F，

代入直线可得3m=，将直线与抛物线进行联立可得1212xxk+=，继而得到212126yyk+=+，然后用抛物线的定义即可求解【详解】由抛物线212xy=可得焦点()0,3F，将()0,3F代入(0)ykxmk=+可得3m=，将3ykx=+代入212xy=可得212360xkx−−=，设()

()1122,,,AxyBxy，所以1212xxk+=，所以()212126126yykxxk+=++=+，由抛物线的定义可得12636AByy=++=即2121236k+=，解得2k=故选：B8.若函数()2ln2fxxax=+−在区间(

)1,4内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（）A.1,32−−B.1,2−−C.1,32−−D.1,2−−【答案】A【解析】【分析】由()0fx=求得()fx的减区间，由此列不等式来求得a的取值范围.【详解】函数(

)2ln2fxxax=+−的定义域是()0,+，()21212axfxaxxx+=+=.当0a时，()0fx¢>，()fx在()0,+上单调递增，不符合题意.当a<0时，由2210ax+=解得12xa=−（负根舍去），所以()fx在区间()()10,,0,2fxfxa

−递增；在区间()()1,,0,2fxfxa−+递减，依题意，函数()2ln2fxxax=+−在区间()1,4内存在单调递减区间，所以142a−，解得132a−，所以a的取值范围是1,32−−.故选：A【点睛】利

用导数研究含参数的函数的单调性，再求导后，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏，分类标准的制定可考虑二次函数的性质来决定.研究恒成立问题和存在性问题的方法，要注意端点的取值.9.在三棱柱111ABCABC-中，ABC是等边三角形，12AAAB=，在

该三棱柱的外接球内随机取一点P，则点P在三棱柱111ABCABC-内的概率为（）A.2732B.2732πC.2764D.2764π【答案】D【解析】【分析】利用几何概型，设三棱柱的外接球体积为V，可知P在三棱柱111AB

CABC-内的概率111ABCABCVPV−=.【详解】设等边三角形ABC边长2a，124AAABa==，得三棱柱底面面积为()223234aa=，则111233443ABCABCVaaa−==.如图，因ABC是等边三角形，则三角形外心O，也为三角形重心，由重心性质可得：1333ODADa==

.则三角形外接圆半径22222333arOCODDCaa==+=+=如图，又设三棱柱的外接球圆心为1O，则1O为2OO中点，则外接球半径222224434233OOaRraa=+=+=.设外接球体积为V，则3334443256333327πππVRaa===

.由几何概型，则P在三棱柱111ABCABC-内的概率11133432764256327ππABCABCVaPVa−===.故选：D.为10.已知22321xxyy−+=(),Rxy，则22xy+的最小值为（）A.

106−B.106+C.2106+D.2106−【答案】D【解析】【分析】法一：因式分解后根据式子特征，设xyt−=，12xyt−=()0t，从而表达出112,xtyttt=−=−，结合基本不等式去除最小值；法二：采用

三角换元，结合三角函数恒等变换，利用三角函数有界性求出最小值.【详解】法一：∵()()223221xxyyxyxy−+=−−=，∴可设xyt−=，12xyt−=()0t，∴112,xtyttt=−=−，代入所求式子得，22222222

11222562562106xytttttttt+=−+−=+−−=−，当且仅当2225tt=，2105t=时等号成立.所以22xy+的最小值为2106−.法二：设222xyt+=，cos,sinxtyt==，代入已知等式得，22

222cos3sincos2sin1ttt−+=，∴222131cos2cos3sincos2sin1sin222t−=−+=−+()()313103103sin2cos2sin222222+−+=−+，其中10sin10=，310cos10=.∴

222106310t=−+，所以22xy+的最小值为2106−.故选：D11.已知1F，2F分别是双曲线()2222:10,0xyabab−=的左、右焦点，过1F的直线分别交双曲线左、右两支于A，B两点，点C在x轴上，23CBFA=，2BF平分1FBC，则双曲线

的离心率为（）A.7B.5C.3D.2【答案】A【解析】【分析】根据23CBFA=可知2//CBFA，再根据角平分线定理得到1,BFBC的关系，再根据双曲线定义分别把图中所有线段用,,abc表示出来，根据边的关系利用余弦定理即可解出离心率.【详解】因为23

CBFA=，所以12FAF∽1FBC△，设122FFc=，则24FCc=，设1AFt=，则13BFt=，2ABt=．因为2BF平分1FBC，由角平分线定理可知，11222142BFFFcBCFCc==

=，所以126BCBFt==，所以2123AFBCt==，由双曲线定义知212AFAFa−=，即22tta−=，2ta=，①又由122BFBFa−=得2322BFtat=−=，所以222BFABAFt===，即2ABF△是等边三角形，所以2260FBCABF

==．在12FBF中，由余弦定理知22212121212cos2BFBFFFFBFBFBF+−=，即22214942223ttctt+−=，化简得2274tc=，把①代入上式得7cea==，所以离心率为7．故选：A．12.若关于x的不等式1127mxx

有正整数解，则实数m的最小值为（）．A.9B.8C.7D.6【答案】A【解析】【分析】根据题意可将1127mxx转化为ln3ln3xxm，令()lnxfxx=，

利用导数，判断其单调性即可得到实数m的最小值．【详解】因为不等式有正整数解，所以0x，于是1127mxx转化为ln3ln3mxx，1x=显然不是不等式的解，当1x时，ln0x，所以ln3ln3mxx

可变形为ln3ln3xxm．令()lnxfxx=，则()21lnxfxx−=，所以当0ex时()0fx¢>，当ex时()0fx，∴函数()fx在()0,e上单调递增，在()e,+上单调递减，而2e3，所以当

*Nx时，()()maxln3max2,33fff==，故ln33ln33m，解得9m．故选：A．第II卷非选择题（90分）二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.已知2()cos2e=+xfxx，则导函数()fx

=______.【答案】22sin22exx−+【解析】【分析】根据求导法则计算得到答案.【详解】2()cos2e=+xfxx，则()22sin22exfxx=−+.故答案为：22sin22exx−+14.已知1F、2F分别是椭圆221169xy+=的左、右焦

点，过2F的直线交椭圆于A、B两点，若5AB=，则11AFBF+=______．【答案】11【解析】【分析】由椭圆定义，12122AFAFBFBFa+=+=，22AFBFAB+=，结合条件数值即可求11AF

BF+【详解】由椭圆定义，4,3ab==，1228AFAFa+==，1228BFBFa+==，故121216AFAFBFBF+++=，又225AFBFAB+==，故1111AFBF+=．故答案为：1115.若要做一个容积为324的方底（

底为正方形）无盖的水箱，则它的高为______时，材料最省.【答案】333##343【解析】【分析】设水箱的高为h，底面边长为x，可得18xh=，设制作的材料的总面积为S，求出S关于h的函数关系式，利用导数可求得当S取最小值时对应的h值，即可

得解.【详解】设水箱的高为h，底面边长为x，则2324xh=，可得18xh=，设制作的材料的总面积为S，则2324472Sxxhhh=+=+，其中0h，322236936324hShhh−=−=，令0S=，可

得233933h==.当3033h时，0S，此时函数32472Shh=+单调递减，当333h时，0S，此时函数32472Shh=+单调递增，所以，当333h=时，材料最省故答案为：333.16.

若关于x的不等式22lne10−++xxxax有解，则a的取值范围是__________.（其中e2.71828=）【答案】)1,+.【解析】【分析】根据题意，将式子变形为2e2ln1xxxax−−，结合e1,xxx+

R，即可得到结果.【详解】关于x的不等式22lne10−++xxxax有解，则2e2ln1xxxax−−有解，设()=e1,xhxxx−−R，则'()e1xhx=−，当0x时，'()0hx，当0x时，'()0hx；所以()hx在(,0)−上递减，在(

0,)+上递增，所以()(0)0hxh=，即e1xx+，又22lne2ln1e2ln12ln12ln11xxxxxxxxxxxx+−−−−++−−==，当2ln0xx+=时（2lnyx=与yx=−显然在(0,)+有交点，故此方程有解），等号成立，所以1a.故答案为:)1,+【点

睛】关键点点睛：本题解题关键是将2exx改写成2lnexx+，再利用常见不等式e1xx+放缩得到.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.在直角坐标系xOy中，曲线1C：222cos222sinxy=+=+（为参数

）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin8=.（1）求曲线1C的极坐标方程和曲线2C的直角坐标方程；（2）设射线l的极坐标方程为0,02=，射线l与曲线1C交于点A，与曲线2C交于点B（原点除外），64OAOB=，

求.【答案】（1）4cos4sin=+，8y=；（2）4=.【解析】【分析】（1）利用22sincos1+=消去参数可求1C的普通方程，再根据极坐标与直角坐标的互化可求1C的极坐标方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式可直接写出2C的直角坐标方程；（2）分别利用

的三角函数表示出,AB的极径即为,OAOB，然后根据64OAOB=结合三角函数可求的值.【详解】解：（1）由222cos222sinxy=+=+（为参数）得：曲线1C的普通方程为22(2)(2)8xy−+−=，化简得：

22440xyxy+−−=.因为cosx=，siny=，所以曲线1C的极坐标方程为：4cos4sin=+；曲线2C的直角坐标方程为8y=.（2）将射线l的极坐标方程0,02=代入曲线1C：所以4cos4sinOA=+，将射线

l的极坐标方程0,02=代入曲线2C：所以8sinOB=，所以8(4cos4sin)64sinOAOB=+=，所以cossin2sin+=，所以tan1=.又因为02，所以

4=.18.已知函数()22lnxxfxkx=+−在点（1，()1f）处的切线方程为0xym++=.（Ⅰ）求实数k和m的值；（Ⅱ）求()fx在[1，3]上最小值.【答案】（Ⅰ）5k=，3m=（Ⅱ）226ln−【解析】【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数的几何意义及已知切线方程即可求解；

（Ⅱ）结合导数与单调性关系可先判断函数的单调性，进而可求最小值．【详解】解：（Ⅰ）因为()22lnxxfxkx=+−的所以2()2fxxkx=+−，由题意可得，(1)41(1)11fkfkm=−=−=−=−−

，解得，5k=，3m=，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，()2n52lxxxfx+=−所以22252(21)(2)()25xxxxfxxxxx−+−−=+−==，因为[1x，3]，易得，当[1x，2]时，()0fx„，函数单调递减，当[2x，3]时，()0fx…

，函数单调递增，故当2x=时，函数取得极小值也就是最小值()222410226flnln=+−=−【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数求解函数的最值，属于基础题．19.随着城镇化的不断发展，老旧小区的改造及管理已经引起了某市政府的高度重视，为了了解本市甲、乙两个物业公司分别

管理的A、B两区住户对其服务的满意程度，现从他们所服务的A、B两区中各随机选择了40个住户，根据住户对其服务的满意度评分，得到A区住户满意度评分的频率分布直方图（如图1）和B区住户满意度评分的频率分布表B区住户满意度评分的频率分布表：满意度评分分组)50,60)60,7

0)70,80)80,9090,100频率0.100.150.250.300.20（1）在图2中作出B区住户满意度评分的频率分布直方图，并计算A区住户满意度评分的平均值（2）根据住户满意度评分，将满意度分为三个等级：满意度评分

低于70分，评定为不满意；满意度评分在)70,90之间，评定为满意；满意度评分不低于90分，评定为非常满意，试估计哪个区住户的满意度等级为不满意的概率较大？若要选择一个物业公司来管理老旧小区的物业，从满意度角度考虑，应该选择哪一个物业公司？说明理由.

【答案】（1）直方图见解析，67.5（分）（2）选择乙物业公司来为小区服务，理由见解析【解析】【分析】（1）先求出每组的频率除以组距的值（频率分布直方图中的高），作出频率分布直方图即可，在频率分布直方图中，每组组中值与该组频率之积的和即可平均值的近似值；（2）先求出“A区住户的

满意度等级为不满意”和“B区住户的满意度等级为不满意”的概率，从满意度角度来考虑，应该选择概率小的物业公司来为小区服务.【小问1详解】根据频率分布直方图中的高为每组的频率除以组距，作出的B区住户满意度评分的频

率分布直方图如图所示：根据A区住户满意度评分的频率分布直方图中的数据得，平均值为450.1550.2650.3750.2850.15950.0567.5+++++=（分）【小问2详解】记事件D表示：“A区住户的满意度等级为不满意”，事件E表示：“B区住户的满意度等级为不满意”，则()

()0.0100.0200.030100.6PD=++=，()0.100.150.25PE=+=，所以A区住户的满意度等级为不满意的概率较大，若要选择一个物业公可来管理老旧小区的物业，从满意度角度来考虑，应该选择乙物业公司来为小区服务，这样话住户满意度会

高一些.20.如图，在四棱锥PABCD−中，侧棱PD⊥矩形ABCD，且PDCD=，过棱PC的中点E，作EFPB⊥交PB于点F，连接.DEDFBDBE，，，（1）证明：PBDF⊥；（2）若1PD=，平面DEF与平面ABCD所成二面角的大小为3，求PDEFV−的值．【答案】（1）证明

见解析（2）248【解析】【分析】（1）先证BC⊥平面PCD，得BCDE⊥，再证DE⊥平面PBC，得DEPB⊥，然后证明PB⊥平面DEF，得证PBDF⊥；（2）以D为原点，射线，，DADCDP分别为xyz，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求

二面角得BC的长，然后利用棱锥体积公式计算．【小问1详解】证明：因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBC⊥，由底面ABCD为矩形，有BCCD⊥，而PDCDD=，,PDCD平面PCD，所以BC⊥平面PCD，又DE平面PCD，所

以BCDE⊥．又因为PDCD=，点E是PC的中点，所以DEPC⊥．而PCBCC=，,PCBC平面PBC，所以DE⊥平面PBC，PB平面PBC，所以DEPB⊥，又PBEF⊥，DEEFE=，,DEEF平面DEF，所以PB⊥平面DEF，而DF平面DEF，所以PBDF⊥得证．【小问2

详解】如图，以D为原点，射线，，DADCDP分别为xyz，，轴的正半轴，建立空间直角坐标系．因为1PDDC==，设BC=，（0），则()()()()00000110010DPBC，，，，，，，，，，，，()11PB=−，，，点E是PC的中

点，所以11022E，，，由PDABCD⊥平面，所以()001DP=，，是平面ABCD的一个法向量；由（1）知，PBDEF⊥平面，所以()11BP=−−，，是平面DEF的一个法向量．因为平面DEF与平面AB

CD所成二面角的大小为3，则211cos322BPDPBPDP===+，解得2=（负值舍去）．所以11224PBPFPB===，，111112124432248PDEFFPDEBPDEVVV−−−====．21.已知()

2e2xfxxxx=−−.（1）求()fx的极值点；（2）若不等式()3412fxmxxx+−存在正数解，求实数m的取值范围.【答案】（1）极大值点为1−，极小值点为ln2（2）2e74m−【解析】【分析】（1）利用导数分析

函数()fx的单调性，由此可得出函数()fx的极大值点与极小值点；（2）分析可知，存在0x，使得2e1112xmxxx−−−，利用导数求出函数()2e1112xgxxxx−=−−在()0,+上最小值，即可得出实数m的取值范围.【小问1详解】解：函数()2

e2xfxxxx=−−的定义域为R，()()()()1e221e2xxfxxxx=+−−=+−，令()0fx¢=可得=1x−或ln2x=，列表如下：x(),1−−1−()1,ln2−ln2()ln2,+()

fx¢+0−0+()fx增极大值减极小值增所以，函数()fx的极大值点为1−，极小值点为ln2.【小问2详解】解：由题意可知，存在0x，使得3421e22xmxxxxxx+−−−，即2e1112xmxxx−−−，令()2e1112xgx

xxx−=−−，其中0x，则()()()()2323e2e122e221122xxxxxxxgxxxx−−−−−−=−+=，令()22e22xhxxx=−−−，其中0x，则()2e22xhxx=−−，令()()pxhx=，其中0x，则()2e20xpx=−

，所以，函数()hx在()0,+上单调递增，则()()040hxh=，所以，函数()hx在()0,+上单调递增，则()()00hxh=，所以，当02x时，()0gx¢<，函数()gx单调递减，当2x时，()0gx¢>，函数()gx单调递增

，则()()2mine724gxg−==，所以，2e74m−.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：的（1）xD，()()minmfxmfx；（2）xD

，()()maxmfxmfx；（3）xD，()()maxmfxmfx；（4）xD，()()minmfxmfx.22.已知过点()1,e的椭圆E：()222210xyabab+=的焦

距为2，其中e为椭圆E的离心率．（1）求E的标准方程；（2）设O为坐标原点，直线l与E交于,AC两点，以OA，OC为邻边作平行四边形OABC，且点B恰好在E上，试问：平行四边形OABC的面积是否为定值？若是定值，求出此

定值；若不是，说明理由．【答案】（1）2212xy+=（2）是定值，定值为62【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,abc，即可得结果；（2）根据题意结合韦达定理求点2242,1212kmmCkk−++，代

入椭圆方程可得22412mk=+，结合弦长公式求面积即可，注意讨论直线的斜率是否存在.【小问1详解】设椭圆E的焦距为2c，则11,cceaa===，由题意可得222221111aabab+==+，解得222

1ab==，故E的标准方程为2212xy+=.【小问2详解】平行四边形OABC的面积为定值62，理由如下：由（1）可得：2,1ab==，则有：当直线l的斜率不存在时，设()()1111,,,AxyCxy−，若OABC为平行四边形，则点B为长轴顶点，不妨设()2,0B，可得122

112212xxy=+=，解得112232xy==，故平行四边形OABC的面积13622222S==；当直线l的斜率存在时，设()()()1122:0,,,,lykxmmAxyBxy=+，联立方程2212y

kxmxy=++=，消去y得()222124220kxkmxm+++−=，则()()()222222212122242216412228210,,1212kmmkmkmkmxxxxkk−=−+−=−++=−=++，可得()21212122242221212

kmmyykxmkxmkxxmmkk+=+++=++=−+=++，∵()()1122,,,CxyyAxOO==，若OABC为平行四边形，则()12122242,,1212kmmOBOAOCxxyykk=+=++=−++

uuuruuruuur，即点2242,1212kmmBkk−++在椭圆上，则222242121212kmmkk−++=+，整理可得22412mk=+，满足()22282124

0kmm=−+=，则212122241,122kmkmxxxxkmm−+=−=−=+，可得2222224161141222kmmkACkkmm−+=+−−=+，点O到直线:0lkxym−+=的距离21mdk=+，故平行四

边形OABC的面积22161622221mkSACdmk+===+；综上所述：平行四边形OABC的面积为定值62.【点睛】方法定睛：求解定值问题的三个步骤(1)由特例得出一个值，此值一般就是定值；(2)证明定值，有时可直接证明定值

，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com