【文档说明】四川省宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高二下学期4月月考文科数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.138 MB，由小赞的店铺上传

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叙州区二中2023年春期高二第二学月考试数学（文史类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2．考试结束后，将本试卷自己保管，答题卡交回.3.考试时间：120分钟第I卷选择题（60分）一、选择题：本题

共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，利用系统抽样的方法从编号为1～120的该商品中抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号84的商品，则下列编号没有被抽到的是（）A.114B.39C.25D.9【答案】C

【解析】【分析】根据系统抽样的间隔相等即可判断.【详解】可得系统抽样的间隔为120815=，且841559=+，所以每件被抽取的商品编号为159,0,1,2,,7nn+=，因为1141579=+，391529=+

，2515110=+，91509=+，所以编号25没有被抽到.故选：C.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是()1,3，则复数zz的虚部是（）A.35-B.45C.3i5−D.4i5【答案】A【解析】【分析】首先根据题意得到43i55zz=−−，再求其虚部即可.【详解】由

题知：13iz=+，()()()213i13i86i43i13i13i13i1055zz−−−−====−−+−+，所以zz的虚部为35-.故选：A3.已知命题0:(0,)px+，001xax+，若p为假命题，则a

的取值范围为（）A.(1,)+B.(2,)+C.(,1]−D.(,2]−【答案】D【解析】【分析】求得p，结合基本不等式求得a的取值范围.【详解】依题意可知()1:0,,pxxax++，为真命题，由于1122,1xxxxx+==时等号成立，所以2a.故选：D4.双

曲线22149xy−=的渐近线方程是（）A.23yx=B.49yx=C.94yx=D.32yx=【答案】D【解析】【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线22149xy−=得，224,9ab==，即2,

3ab==，所以双曲线22149xy−=的渐近线方程是32byxxa==，故选：D．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线22221xyab−=的渐近线方程是byxa=；双曲线22221yxab−=的渐近线方程是ayxb=．5.在()0,1内随机取两

个数，则这两个数的和小于54的概率为（）A.932B.925C.2332D.1625【答案】C【解析】【分析】在区间()0,1内随机取两个数,xy，满足0101xy，得到围成的正方形的面积，再画出不等式组0

10154xyxy+所表示的平面区域，利用几何概型概率公式即可求解.【详解】由题意，在区间()0,1内随机取两个数,xy，满足0101xy，则不等式组所围成的正方形的面积为1S=，由这两个数的和小于54，即54xy+，作出不等式组010154x

yxy+所表示的平面区域，如图所示，则阴影部分的面积为113323124432S=−=，所以这两个数的和小于54的概率为12332SPS==.故选：C.6.已知函数()313fxxx=−+在区间()26,aa−上有最小值，则a的取值范围为（）A.

(1,2−B.(1,5−C.(2,2−D.(1,1−【答案】A【解析】【分析】求出函数的导数，判断出函数极小值点，即最小值点，列出不等式，即可求得答案.【详解】由题意得，()21fxx=−+，当1x−或1x时，()0fx，当11x−时，()0fx¢>，故=

1x−是函数的极小值点，也是最小值点，故要使函数()313fxxx=−+在区间()26,aa−上有最小值，需满足261aa−−且(1)()ffa−，解得15a−且2(1)(2)0aa+−，解得12a−，故选：A7.曲线lnyxx=在xe=处的切线方程为（）A.yx=

B.2yxe=−C.yexe=−D.2eyexe=+−【答案】B【解析】【分析】求得()1lnfxx=+，得到()()2,fefee==，结合直线的点斜式，即可求解.【详解】由题意，函数()lnfxxx=，可得()1lnfxx=+，则()()1ln2,feefee=+==，所

以曲线lnyxx=在xe=处的切线方程为2()yexe−=−，即2yxe=−.故选：B.8.迷你KTV是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图

是某间迷你KTV的横截面示意图，其中32ABAE==，90ABE===，曲线段CD是圆心角为90的圆弧，设该迷你KTV横截面的面积为S，周长为L，则SL的最大值为（）．（本题中取π=3进行计算

）A.6B.12315−C.3D.9【答案】B【解析】【分析】根据面积和周长的计算,可得SL,根据基本不等式即可求解最大值.【详解】圆弧的半径为3(0)2rr，则32BCEDr==−，π322CDrlr==．所以周长162CDLABBClDEEAr=++++=−，面积222313

9[()]22244rrSrr=−+=−．所以22191(12)24(12)1351135113512[(12)]122(12)12315212212212212SrrrrrLrrrr−−−+−−===−−+−−=−−−−−„．当且仅当1351212rr−=−，1231

5r=−时等号成立．故选：B9.设函数()22xfxx+=−，则下列函数中为奇函数的是（）A.()22fx−−B.()21fx−+C.()21fx+−D.()21fx++【答案】D【解析】【分析】先求出函数(

)fx的对称中心，然后根据函数图像的变换求出过原点时函数的解析式即可．【详解】(2)44()122xfxxx−−+==−−−−，该函数是由4yx=−（该函数图像关于原点对称，即为奇函数）向右平移2个单位，然后再沿y轴向下平移1个单位得到的，故将()fx的图像向左平移2个单位

，然后再沿y轴向上平移1个单位得到关于原点对称的奇函数4yx=−的图像，可知()(2)1gxfx=++．故选：D．10.设A为圆2220xyx+−=上的动点，PA是圆的切线且||1PA=，则P点的轨迹方程是（）A.22(1)4xy−+=B.22(1)2xy−+=C.22yx=D.2

2yx=−【答案】B【解析】【分析】圆2220xyx+−=可化为22(1)1xy−+=，由题意可得圆心(1,0)，半径是1，又因为PA是圆的切线且||1PA=，可得2PC=，从而得出P点的轨迹方程．【

详解】圆2220xyx+−=可化为22(1)1xy−+=，由题意可得圆心(1,0)到P点的距离为2，所以点P在以(1,0)为圆心，2为半径的圆上，所以点P的轨迹方程是22(1)2xy−+=．故选：B．【点睛】本题考查圆的切线性质，圆的标准方程及圆的定义，属于基础题．11

.如图，已知三棱锥−PABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，2ACBC==，2AB=，球心O到平面ABC的距离为3，则球O的体积为（）A323B.163C.16D.32【答案】A【解析】【分析】由已知可证得PAAB⊥，BCPC⊥，从而可得球心O是PB的中点，取AB的中点D

，连接OD，然后在RtODB△中可求得球的半径，进而可求得球的体积【详解】如图，因为2ACBC==，2AB=，所以222ACBCAB+=，所以ACBC⊥.因为PA⊥平面ABC，,ABBC平面ABC，所以PAAB⊥，PABC⊥.又ACPAA=，所以B

C⊥平面PAC，所以BCPC⊥，所以球心O是PB的中点.取AB的中点D，连接OD，则OD∥PA，.所以OD⊥平面ABC，所以3OD=.设球O的半径为R，在RtODB△中，()2222312ROBODDB==+=+=，所以球O的体积为3344

322333R==，故选：A.12.若关于x的不等式11()9xx有正整数解，则实数的最小值为A.6B.7C.8D.9【答案】A【解析】【分析】因为119xx，结合条件整理得ln2ln3xx，令()lnxfxx=，结合单调性即可求解．【

详解】因为119xx，所以9xx，同取对数得ln2ln3xx，因为*xN，所以0，即ln2ln3xx令()lnxfxx=，()21lnxfxx−=，所以()fx在（0，e）上单调递

增，在(),e+上单调递减，因为23e，只需考虑()2f和()3f的大小关系，因为()ln2ln8226f==，()ln3ln9336f==，所以()()23ff所以只需ln32ln33，即6，故最小值为6.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值问题，综

合性较强，考查计算化简的能力，属中档题．第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设实数x，y，满足约束条件1023010xyxyxy+−−+−−，则2zyx=−的最小值为___________．

【答案】6−【解析】【分析】作出可行域，再将直线变形为2yxz=+，结合图像判断出直线过点C时取最小值，代入计算.详解】由约束条件作出可行域如图所示，则2zyx=−变形得2yxz=+，由图可知，当直线2y

xz=+过点C时，z取最小值，计算得点C坐标为(5,4)，代入计算得min4256=−=−z.故答案为：6−.14.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为_____.【【答案】26【解析】【分析】根据程序的循环逻辑写出执行步骤，并

确定跳出循环时的输出结果.【详解】n=1，执行S=10033+−=2，n=2；n=2<4，执行S=21233+−=8，n=3；n=3<4，执行S=32833+−=26，n=4；n=4≥4，输出S=26故答案为：26.15.如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知3ABBC=，将直角ABE

沿BE边折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，则翻折后的几何体ABCDE−中AB与DE所成角的正切值为_____．【答案】2【解析】【分析】连接AC，根据平行关系可知ABC即为DE与AB所成角；根据线面垂直的性质和判定定理可证得BCAC⊥，从而可求得cosABC，

利用同角三角函数可求得结果.【详解】连接AC，如下图所示：.四边形BCDE为正方形//DEBC，BCCD⊥DE与AB所成角即为BC与AB所成角，即ABCA点在平面BCDE上的射影为D点AD⊥平面BCDE又BC平面B

CDEBCAD⊥,ADCD平面ADC，ADCDD=BC⊥平面ADCAC平面ADCBCAC⊥3cos3BCABCAB==tan2ABC=即DE与AB所成角的正切值为2本题正确结果；2【点睛】本题考查异面直线所成角的求解问题，涉及到立体几何中

的翻折变换问题，关键是能够通过平行关系将异面直线成角转变为相交直线所成角，从而根据垂直关系在直角三角形中来进行求解.16.抛物线1C：()220xpyp=与双曲线2C：223xy−=有一个公共焦点F，过2C上一

点()35,4P向1C作两条切线，切点分别为A、B，则AFBF=______．【答案】49【解析】【分析】将点P的坐标代入双曲线方程，可求得的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得,AB两点处的切线的斜率，求得切点

弦AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可【详解】解：由于点()35,4P在曲线2C上，所以453163=−=−，则双曲线的方程为2233xy−=−，即2213xy−=，则(0,2)F，所以抛物线方程为28xy=，准线方程为=2y−，设1122(,),(,)Ax

yBxy，则2211228,8xyxy==，由218yx=，得'14yx=，所以11(,)Axy处的切线方程为1111()4yyxxx−=−，即22111111844yxxxx−=−，即2111148yxxx=−，将点()35,4

P代入可得11354160xy−−=，同理可得22354160xy−−=，所以直线AB的方程为354160xy−−=，联立抛物线的方程28xy=，可得2229320yy−+=，所以121229,162yyyy+==，所以12

(2)(2)AFBFyy=++12122()4yyyy=+++1629449=++=.故答案为：49【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查切线方程的求法，考查抛物线的定义的应用，解题的关

键是由导数的几何意义求出切线方程11354160xy−−=，22354160xy−−=，从而可得切点弦AB的方程为354160xy−−=，考查计算能力，属于较难题三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答17.已知函数()1(R)fxxaxa=−+−．（Ⅰ）当2a=时，求不等式()2fx的解集；（Ⅱ）若不等式()2fxa的解集不是空集，求实数a的取值范围．【答案】（Ⅰ）15{|}22xxx或；（Ⅱ）1

[,)3+【解析】【分析】（Ⅰ）分别在1x、12x和2x三种情况下讨论，去掉绝对值求得结果；（Ⅱ）由解集不是空集可知：0a且()min2fxa；利用绝对值三角不等式求得()minfx，解不等式求

得结果.【详解】（Ⅰ）当2a=时，不等式为()212fxxx=−+−当1x时，322x−，解得：12x；当12x时，12，显然不等式不成立；当2x时，则232x−，解得：52x综上可得，不等式的解集为：12xx或52

x（Ⅱ）不等式12xaxa−+−的解集不是空集，则0a，且()min2fxa11xaxa−+−−()min12fxaa=−，即12aa−又0a212aaa−−，解得：13a

实数a的取值范围是1,3+【点睛】本题考查绝对值不等式的解法、绝对值三角不等式求最值、恒成立思想的应用等知识，关键是能够将不等式解集不是空集转化为参数与函数最值之间的比较，从而利用绝对值三角不等式求得最值，属于常考题型.18.已知曲线2()ln1fxxxax=+−+.（1）

当a=1时，求曲线在x=1处的切线方程；（2）对任意的x∈[1，+∞)，都有()0fx，求实数a的取值范围.【答案】（1）y=2x-1；（2）a≤2.【解析】【分析】（1）代入1a=，对函数()fx求导后求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）分离参量后，构造新函数，对新函数求

导计算出最值，即可得到a的取值范围.【详解】（1）函数f(x)的定义域为{x|x>0}，当a=1时，2()ln1fxxxx=+−+，1()21fxxx=+−，(1)2,(1)1ff==，所求切线方程为y-1=2(x-1)，即y=2x-1.（2）由题意

对于)1,x+有2()ln10fxxxax=+−+则可得2ln1xaxx++，x∈[1，+∞).设2ln1()xxgxx++=，x∈[1，+∞)，22ln()xxgxx−=，x∈[1，+∞)

再设m(x)=x2-lnx，x∈[1，+∞)，2121()20xmxxxx−=−=，m(x)在[1，十∞)上为增函数，m(x)≥m（1）=1，即g'(x)>0，g(x)在[1，+∞)上为增函数，g(x)≥g（1）=2，即a≤2.【点睛】思路点睛：在解答含有参量的

恒成立问题时，可以选用分离参量的方法，构造新函数，运用导数知识求出新函数的最值，即可得到结果；如果不分离参量，也可以直接对函数进行求导后解答，需要注意分类讨论.19.近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，特

别在疫情期间，电子商务更被群众广泛认可，2020年双11期间，某平台的销售业绩高达3568亿人民币.与此同时，相关管理部门也推出了针对电商的商品和服务评价体系，现从评价系统中随机选出200次成功的交易，并对其评价结果进

行统计，对商品的好评率为35，对服务的好评率为34，其中对商品和服务都作出好评的交易为80次.（1）是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品和服务的好评率有关？（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次

好评的概率.()2PKk…0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，其中n＝a＋b＋c＋d）【答案】（1

）是；（2）35.【解析】【分析】（1）计算2K，根据临界值表即可作出结论；（2）抽出好评的交易次数为3次记作A，B，C，不满意的次数为2次记作a，b，列出基本事件，根据古典概型求解.【详解】（1）由题意可得关于商品和服务评价的2×2列联表：对服务好评对服务不满意合计对商品

好评8040120对商品不满意701080合计1505020022200(80104070)11.11110.8281505012080K−=，可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关.（2）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中

取出5次交易，则好评的交易次数为3次，不满意的次数为2次，令好评的交易为A，B，C，不满意的交易为a，b，从5次交易中，取出2次的所有取法为（A，B）、（A，C）、（A，a）、（A、b）、（B，C）、（B，a）、（B，b）

、（C、a）、（C，b）、（a，b），共计10种情况，其中只有一次好评的情况是（A，a）、（A，b）、（B，a）、（Bb）、（C、a）、（C，b），共计6种，因此，只有一次好评的概率为63105=.20.如图所示，已知平行四边形ABCD和矩形ACEF所在平

面互相垂直，1AB=，2AD=，o60ADC=，1AF=，M是线段EF的中点.（1）求证：ACBF⊥；（2）设点P为一动点，若点P从M出发，沿棱按照→→MEC的路线运动到点C，求这一过程中形成的三棱锥PBFD−的体积的最小值.【答案】（1）证明见解

析（2）36【解析】【分析】（1）根据几何关系证明AC⊥平面ABF，进而证明结论；（2）设AC与BD相交于N，连接FN、CM，证明//CM平面BDF，进而得点P在M或C时，三棱锥PBFD−的体积最小，再根据CBFDFBC

DVV−−=求体积即可.【小问1详解】证明：在平行四边形ABCD中，ADC60=，1CDAB==，2AD=，由余弦定理可得2222cos3ACADCDADCDADC=+−=，3AC=，2BCAD==，222ABACBC

+=，90BAC=，ABAC⊥，∵四边形ACEF为矩形，则AFAC⊥，ABAFA=QI，AC⊥平面ABF，BF平面ABF，∴ACBF⊥；【小问2详解】解：设AC与BD相交于N，连接FN、CM，∵四边形ABCD为平行四边形，且ACBDN=，∴N为AC的中点，//ACEF且ACEF

=，M为EF的中点，//CNFM且CNFM=，所以，四边形CMFN为平行四边形，则//CMFN，FN平面BDF，CM平面BDF，//CM平面BDF，由图可知，当点P在M或C时，三棱锥PBFD−的体积最小，()mi

n11321sin1201326PBFDCBFDFBCDVVV−−−====21.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为22，椭圆C的四个顶点围成的四边形的面积为42．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设M为椭圆C的右顶点，过点(6,0)N且斜率不为0的直线l与

椭圆C相交于P，Q两点，记直线.PM，QM的斜率分别为1k，2k，求证:12kk为定值．【答案】（1）22142xy+=；（2）定值1【解析】【分析】（1）由题意可得22222224222ceaaabbabcc=====

=+=，从而可得到椭圆的标准方程；（2）依题意得直线l的斜率存在，设其方程为(6)(0)ykxk=−，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率公式，可得到结论.【详解】（1）由题意有22222224222ceaaabb

abcc======+=，∴椭圆C的标准方程为22142xy+=．（2）由（1）可知(2,0)M，依题意得直线l的斜率存在，设其方程为(6)(0)ykxk=−，设()11,Pxy，()22,Qxy，()1222

xx,，联立方程22142(6)xyykx+==−，消去y并整理可得2222(12)247240kxkxk+−+−=，21222412kxxk+=+,212272412kxxk−=+，2212121212121212121212(6)(6)[6()36].222()42()4yyk

xxkxxxxkkxxxxxxxxxx−−−++===−−−++−++=222222222222222222724144[36][72414436(12)]321212172448724484(12)

32+41212kkkkkkkkkkkkkkkkkk−−+−−++++===−−−++−++为定值.【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了直线的斜率及韦达定理的应用，考查了学生的计算能力，属于

中档题.22.已知函数2()ln2afxxxxx=−−()aR．（1）若曲线()yfx=在ex=处切线的斜率为1−，求此切线方程；（2）若()fx有两个极值点12,xx，求a的取值范围，并证明：1212xxxx+．【答案】（1）0xy+

=；（2）10,e,证明见解析.【解析】【分析】（1）()yfx=在xe=处切线的斜率为1−，即()'1fe=−，得出2ae=，计算f(e)，即可出结论（2）①()fx有两个极值点12,xx，得()'lnfxxa

x=−=0有两个不同的根，即lnxax=有两个不同的根，令()lnxgxx=，利用导数求其范围，则实数a的范围可求；()fx有两个极值点12,xx，1122lnx-ax=0lnx-ax=0利用()gx在(e,+∞)递减，(

)122122lnx+xlnxx+xxa=()1212lnxxx+x=，即可证明【详解】（1）∵()'lnfxxax=−，∴()'1fe=−，解得2ae=，∴，故切点为，所以曲线在处的切线方程为．（2）()'lnfxxax=−，令()'lnfxxax=−=0，得lnxa

x=．令()lnxgxx=，则()21ln'xgxx−=，且当时，；当时，；时，．令，得，且当时，；当时，．故在递增，在递减，所以．所以当时，有一个极值点；时，有两个极值点；当时，没有极值点．综上，取值范围是．（方法不同，酌情给分）因为是的两个极值点，所以1122lnx-ax=0lnx-ax

=0即1122lnx=axlnx=ax…①的不妨设，则，，因为在递减，且，所以()122122lnx+xlnxx+xx，即()1212lnx+xx+xa…②．由①可得()()1212lnxxx+xa=，即()1212lnxxx+xa=，由①，②得()()12121212

lnx+xlnxxx+xx+x，所以1212xxx+x．【点睛】本题主要考查导数在切线，极值方向的应用，主要理清导数的几何意义，导数和极值之间的关系进行转化，在做题的过程中，适当选取参变分离有时候能简化分类讨论的必要．获得更多资源请扫码加入享学

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