【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第三十三讲 函数的奇偶性（原卷版）.docx，共(8)页，1.037 MB，由小赞的店铺上传

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第三十三讲：函数的奇偶性【教学目标】1.了解函数奇偶性的定义；2掌握判断和证明函数奇偶性的方法；3应用函数的奇偶性解决简单的求值问题；4.掌握用奇偶性求解析式的方法；5.理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．【基础知识】一、奇偶函数的定义偶函数的定义：一般地，设函数f(x)

的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．注意点：①函数的奇偶性是函数的

整体性质；②先判断定义域是否关于原点对称，如果∀x∈I，都有－x∈I，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数；③偶函数图象

关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称；④若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0；⑤若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集．二、奇偶性求函数解析式用奇偶性求解析式的步骤：如果已

知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(

x)或f(－x)，从而解出f(x)．三、奇偶性与单调性的关系1．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．2．若f(x)为偶函数

且在区间[a，b](a<b)上单调递增，则f(x)在[－b，－a]上单调递减，即在对称区间上单调性相反．3．若f(x)为奇函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为M，则f(x)在[－b，－a]上有最

小值为－M.4．若f(x)为偶函数且在区间[a，b](a<b)上有最大值为N，则f(x)在[－b，－a]上有最大值为N.以上a，b符号相同．四、常见函数的奇偶性结论奇函数：关于原点对称，且()()fxfx−=−，若0x=时，(0)0f=；常见奇函数：1、yx=（1;

为奇数）；2、sin;tanyxyx==；3、()()yfxfx=−−，即xxyaa−=−；4、11xxaya−=+；5、logabcxybcx+=−；6、22log(1)aybxbx=+，即2log(1)ayxx=+偶函数：关于y轴对称，且()()fxfx−=；

常见的偶函数：1、yx=（为偶数）；2、cosyx=3、()()yfxfx=+−，即xxyaa−=+；4、||yx=；5、ya=（a为常数）0y=即为奇函数，又为偶函数；奇偶性的运算奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇+偶=非奇奇=偶；偶偶=

偶；奇偶=奇复合函数的奇偶性内偶则偶；内奇同外【题型目录】考点一：函数奇偶性的判断考点二：利用函数奇偶性求值考点三：利用函数奇偶性求解析式考点四：奇偶性求特殊函数值考点五：奇偶性与单调性比较大小考点六：奇偶

性求解不等式【考点剖析】考点一：函数奇偶性的判断例1．下列函数中，是偶函数的是（）A．3()fxx=B．()|1|fxx=−C．()1fx=D．2()1xfxx=+变式训练1．下列函数是偶函数的是（）A．1yx−=B．223yx=−+C．12yx−=D．2yx=，0,1x变式

训练2．下列函数中，是奇函数的是（）A．()fxx=B．()||fxx=C．2()fxx=D．2()1fxx=−变式训练3．下列四个函数中是偶函数，且在(),0−上单调递减的是（）A．()21fxx=B．()21f

xx=−C．()12fxx=−D．()222,02,0xxxfxxxx+=−考点二：利用函数奇偶性求值例2．已知()yfx=是奇函数，且当0x时，()322fxxx=++，则(2)f−=（）A．－2B．－14C．2D．14变式训练1．已知()fx是R

上的奇函数，当0x时，3()3fxx=+，则(0)(1)ff−−=（）A．4B．4−C．7D．1−变式训练2．设()()322fxxaxx=−+−+是定义在[2,3]bb+上的奇函数，则()fab+＝（）A．1−B．0C．1D．2−变式训练3．(

)fx为奇函数，()gx为偶函数，且(1)(1)4(1)(1)2fgfg−+=+−=，则()1g=（）A．3B．-1C．1D．-3考点三：利用函数奇偶性求解析式例3．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()243fxxx=−+−，则函数()fx的解析式为____

_____．变式训练1．已知()fx为偶函数，当0x时，()223fxxx=−−，则当0x时，()fx=（）A．223xx−−+B．223xx+−C．223xx−++D．223xx−−变式训练2．已知()fx是定义在R上的奇函

数，当0x时2()2fxxx=−则()fx在R上的表达式是（）A．()2yxx=−B．()1yxx=−C．||(2)yxx=−D．()2yxx=−变式训练3．已知函数()fx是奇函数，当0x时，()2222fxxx=−+，则()fx=______．考点四：奇偶性求特殊函数值例4

．已知3()1,(2)10fxaxbxf=+−−=，则(2)f等于（）A．8B．10−C．12−D．10变式训练1．函数()32bfxaxx=−−且()22f=，则()2f−=（）A．6−B．2−C．0D．2变式训练2．已知函数()7322023f

xaxbxxcx=+++−，且()106f=，则()10f−=______．变式训练3．已知函数()426fxaxbxx=+++，且()12022f−=，则()1f=______．考点五：奇偶性与单调性比较大小例5．设偶函数()fx的定义域为R，当)0,x+时，()

fx是减函数，则()2f−，()πf，()3f−的大小关系（）A．()()()2π3fff−−B．()()()3π2fff−−C．()()()23πfff−−D．()()()32πfff−−变式训练1．已知()fx是奇函数且对任意正实数()1212,xxxx，恒有()()1

2120fxfxxx−−，则下列结论一定正确的是（）A．()()35ff−B．()()53ff−−C．()()53ff−D．()()35ff−−变式训练2．已知函数(1)fx+是偶函数，当121xx时，()()()21210fxfx

xx−−恒成立，设1(),(2),(3)2afbfcf=−==，则a，b，c的大小关系为（）A．bacB．cbaC．b<c<aD．abc变式训练3．若函数()fx在R上是偶函数，()fx在(0,)+上单调递增，则(2)af

=−，π2bf=，32cf=的大小关系是___________.考点六：奇偶性求解不等式例6．奇函数()fx在定义域()1,1−上是减函数，若(21)()0fmfm++，则m的取值范围是（）A．1,03−B．1[,1)3−C．11,3−

−D．1,3−−变式训练1．若偶函数()fx在(,0−上为增函数，若()()2132fafa−+，则实数a的取值范围是_______.变式训练2．设奇函数()fx在(0,)+上为单调递增函数，且(2)0f

=，则不等式()()0fxfxx−−，的解集为（）A．[2,0][2,)−+B．(,2](0,2]−−C．(,2][2,)−−+D．[2,0)(0,2]−变式训练3．已知定义域为R的函数()fx是奇函数且()()12120fxfxxx−−.若对于任意Rt

，不等式()()22220fttftk−+−恒成立，则k的取值范围为_______.【课堂小结】1．知识清单：(1)函数奇偶性的概念．(2)奇函数、偶函数的图象特征．(3)利用奇偶性求函数的解析式

．(4)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．2．方法归纳：特值法、转化法、数形结合法．3．常见误区：忽略奇、偶函数的定义域关于原点对称；解不等式易忽视函数的定义域.【课后作业】1．函数()3fxxx=+的图像关于（）A．y轴对称B．直线yx=

−对称C．坐标原点对称D．直线yx=対称2．下列函数中是偶函数的是（）A．21yx=−，1,2x−B．2yxx=+C．3yx=D．2yx=，)(1,00,1x−3．下列函数中为奇函数的是（）A．()fxx=B．31()fxxx=+C．2()1fxxx=++D．41()fxx=4．已

知()fx为定义在R上的函数，()22f=，且()()22gxfxx=+为奇函数，则()2f−=（）A．4−B．2−C．0D．25．若奇函数()fx在区间[,](0)aba上是增函数，则它在区间[,]ba−−上是（）

A．增函数且最大值是()fa−B．增函数且最小值是()fa−C．减函数且最大值是()fb−D．减函数且最小值是()fb−6．已知函数()fx是定义在22−,上的奇函数，且当(0,2x时，()222fxxx=−+，则()fx的最小值是（）A．2−B．1−C．1D．27．（多选）已知()

fx，()gx都是定义在R上且不恒为0的函数，则（）A．()()yfxfx=−为偶函数B．()()ygxgx=+−为奇函数C．若()gx为奇函数，()fx为偶函数，则()()yfgx=为奇函数D．若()fx为奇函数，()gx为偶函数，则()()yfxgx=−为非奇非偶函

数8．（多选）设()fx是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（）A．()()fxfx−是偶函数B．()()fxfx−是偶函数C．()()fxfx−−是偶函数D．()()fxfx+−是偶函数9．（多选）下列函数中，即是奇函数，又是（0，+∞）增函数的有（

）A．21yx=−B．13yx=C．2yxx=+D．3yx=10．已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，()223xxxf=−+，则下列结论正确的是（）A．()2fxB．当0x时，()223fxxx=−−−C．1x=是()fx图像的一条对称轴D．()

fx在(),1−−上单调递增11．已知函数2()1xfxx=+，则下列说法错误的是（）A．()fx的定义域为RB．()fx的值域是11,22−C．()fx是奇函数D．()fx在区间(0,2)上单调递增12．函数()fx是定义在()1,1−上的奇

函数且单调递减，若2(2)(4)0,fafa−+−则a的取值范围是（）A．()5,3B．(,3)(2,)−+C．()3,2D．()3,2−13．已知()fx是定义在R上的偶函数，对于任意的1x，)20,x+（12xx），都有()()12120

fxfxxx−−成立．若()()123fmfm−−，则实数m的取值范围为（）A．43m或m>2B．423mC．23m或4mD．243m14．定义在R上的偶函数()fx在)0,+上单调递减，且()20f=，则满足()()10xfx−的x的取值范围是（）A

．()(),21,−−+B．()()2,12,−−+C．()()212−−,,UD．()()2,11,2−−15．函数()fx是定义域为R的奇函数，()fx在(0,)+上单调递增，且(2)0f=.则不等式()()20fxfxx−−的解集为（）A．(2,2)−B．(,0)(0,2)

−C．(2,)+D．(,2)(2,)−−+16．（多选）已知函数()fx在R上单调递减，且为奇函数，若(1)1f=−，则满足1(2)1fx−−的x值可能为（）A．1−B．0C．1D．217．设函数()()21ln11fxxx=+−+，则使

得()()221fxfx−+成立的x的取值范围是（）A．1,33−B．13,3−