【文档说明】备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题18数学文化与新情景问题（十一大题型）（原卷版）.docx，共(36)页，11.756 MB，由小赞的店铺上传

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专题18数学文化与新情景问题集合与逻辑语言1．（2022秋·福建宁德·高三宁德市民族中学校考期中）（多选）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上

，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足QMN=，MN=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(),

MN为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割(),MN，下列选项中，可能成立的是（）A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素2．（2022秋·辽宁沈阳·高三统考期中）十九世纪

下半叶集合论的创立.奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集.（Cantor）”是数学理性思维的构造产物，具体典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0,1]均分为三段，去掉中间的开区间段13,23，记为第一次操

作；再将剩下的两个区间0,13，23,1分别均分为三段，并各自去掉中间的开区间段，记为第二次操作；….如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的开区间段.操作过程不断地进行下

去.以至无穷，剩下的区间集合即“康托三分集”.第三次操作后，从左到右第四个区间为（）A．29,13B．227,19C．827,13D．825927,3．（2022秋·河北张家口·高三校联考期中）王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被

誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（山东省青岛第二中学分

校2022-2023学年高三上学期期中）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡

尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合34,|Bxxx=−Z，则AB的子集个数为（）A．3B．4C．7D．85．（2022秋·山东菏泽·高三统

考期中）（多选）中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何?”现有如下表示：已知32,NAxxnn+==+，53,NBxxnn+==+，72,NCxxnn+==+，若xABC

，则下列选项中符合题意的整数x为（）A．8B．128C．37D．236．（河北省张家口市第一中学2023届高三上学期期中）若集合1,2,3,,nUn=，2n，*nN，,nABU，且满足集合A

中最大的数大于集合B中最大的数，则称有序集合对(),AB为“兄弟集合对”.当3n=时，这样的“兄弟集合对”有_____对；当3n时，这样的“兄弟集合对”有_____对（用含有n的表达式作答）.7．（河北省大名县第一中学2023届高三上学期期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，

享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，我们把取整函数,yxx=R称为高斯函数，其中x表示不超过x的最大整数，如1.11,1.12.=−=−则点集22(,)|[][]1Pxyxy=+=所表示的平面区域的面积是_____.向量与复数8

．（海南华侨中学2023届高三上学期期中）勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形.在如图所示的勒洛三角形中，已知2AB=，P为弧AC上的一点，且π6PBC=，则BPCP的值为（）A．42

−B．42+C．423−D．423+9．（辽宁省重点高中沈阳市郊联体2022-2023学年高三上学期期中考试）下图是北京2022年冬奥会会徽的图案，奥运五环的大小和间距如图所示．若圆半径均为12，相邻圆圆心水

平路离为26，两排圆圆心垂直距离为11．设五个圆的圆心分别为1O、2O、3O、4O、5O，则()414542OOOOOO+的值为（）A．507−B．386−C．338−D．242−10．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第

一中学校考期中）欧拉公式iecosisin=+由瑞士数学家欧拉发现，其将自然对数的底数e，虚数单位i与三角函数cos，sin联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数iπ2ez=，则z的虚部为（）A．iB．1C．2i2D．2211．（2022秋·浙江绍兴·高三绍兴一中校考期中）（

多选）若ABC的三个内角均小于120，点M满足120AMBAMCBMC===，则点M到三角形三个顶点的距离之和最小，点M被人们称为费马点.根据以上性质，已知a是平面内的任意一个向量，向量,bc满足bc⊥，且223bc==，则abacac

−+−++的取值可以是（）A．9B．43C．6D．3312．（2022秋·福建宁德·高三统考期中）（多选）任何一个复数izab=+（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：()cossiinzr=+的形式，通常称之为复数z的三

角形式.法国数学家棣莫弗发现()cosisinnnzr=+()cosisinNnrnnn+=+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．22zz=B．当1r=，π3=时，31z=C．当1r=，π3=时，1

3i22z=−D．当1r=，π4=时，若n为偶数，则复数nz为纯虚数13．（2022秋·河北沧州·高三任丘市第一中学校考期中）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图1所示的是八卦模型图，其平面图形（图2）

中的正八边形ABCDEFGH，其中O为正八边形的中心，边长1AB=，则ACAD=_____．函数14．（山东省青岛市4区县2022-2023学年高三上学期期中）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发

展．下图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A．24yxx=−B．24yxx=−

C．22yxx=−+D．22yxx=−+15．（山东省日照市2022-2023学年高三上学期期中）提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表示各行星与太阳平均距离的一种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验

公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号为n，则该行星到太阳的平均距离表示为12nab−+，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于（）行星金星地球火星谷神星木星土星天王星海王星编号12345678公式推得值0.711.62.85.

21019.638.8实测值0.7211.522.95.29.5419.1830.06A．()30,50B．()50,60C．()60,70D．()70,8016．（2022秋·山西临汾·高三统考期中）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——

故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分

可用函数()2fxxax=−+的图像来刻画，满足关于x的方程()fxb=恰有三个不同的实数根123,,xxx，且123xxxb=（其中,(0,)ab+），则ba−的值为（）A．8081−B．169C．8081D．2088117．（湖南

省长沙市南雅中学2022-2023学年高三上学期期中）世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数yx=，x表示不超过x的最大整数，例如1.11=，21.1−=−.已知()4fxxx=+，1,62x

，则函数()fx的值域为（）A．4,6,8B．4,5,6C．4,5,6,7,8D．4,818．（2022秋·山东日照·高三统考期中）（多选）意大利画家列奥纳多·达·芬奇曾提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”．当微

积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到1691年莱布尼兹和伯努利借助微积分推导出这种曲线是悬链线，其函数解析式()coshxfxaa=（其中a是悬链线系数），当1a=时，()coshyx=称为双曲余弦函数，相应的还得到了双曲正弦函数()sin

hyx=．已知双曲正弦函数()sinhyx=和双曲余弦函数()coshyx=具有如下性质：①()sinhx是定义域为R的奇函数，()coshx是定义域为R的偶函数；②()()sinhcoshexxx+=（

常数e是自然对数的底数，e2.71828=）．则下列说法正确的是（）A．双曲正弦函数()sinhyx=是周期函数B．()()()sinh22sinhcoshxxx=C．若直线xt=与()sinhyx=和()coshyx=的图象分别交于点A，B，则线段AB的长度

随着t的增大而增大D．若直线ym=与()sinhyx=和()coshyx=的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为1x，2x，3x，则()123ln12xxx+++19．（2022秋·山东·高三山东师范大学附中校考期中）数学上将形如21p−（p为素数）的素数

称为“梅森素数”．显然，即使p是一个“不太大”的素数，“梅森素数”21p−也可能是一个“很大”的数．利用()lg21lg2pp−和lg20.301，可估计得出“梅森素数”6721−的位数为_____．20．（湖北省荆荆宜三校20

22-2023学年高三上学期期中）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段12,33，记为第一

次操作；再将剩下的两个区间120,,,133分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若

使去掉的各区间长度之和不小于99100，则需要操作的次数n的最小值为_____.（参考数据：lg20.3010,lg30.4771==）导数21．（湖南省张家界市慈利县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）闵氏距离（Minkowskidistance）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的

方法，设点A、B坐标分别为()11,xy，()22,xy，则闵氏距离()()()11212,N*ppppDABxxyyp=−+−.若点A、B分别在exy=和1yx=−的图像上，则(),pDAB的最小值为（）

A．12pB．2pC．1peD．pe22．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：357211sin(1)3!5!7!(21)!

nnxxxxxxn−−=−+−++−+−，（其中xR，*Nn），则111111(1)2!4!6!(22)!nn−−+−++−+−的值约为（1弧度57）（）A．sin57B．sin33C．sin33−D．sin57−23．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）如图，古建筑

的主要受力构件梁椽､楼板､柱子都是木头，由于构件的拼接需要，梁通常做成矩形.圆形的木头加工成矩形断面，梁是主要的水平受力构件，作为水平或斜向受弯构件，除了材料本身的特性，截面抵抗矩W是唯一的标准.矩形截面抵抗216WBH=，（其中B为垂直于弯矩作

用方向的长度），木材本身的圆形直径D是确定的，则截面抵抗矩最大时:HB为（）A．2:1B．3:2C．2:1D．1:124．（2022秋·福建泉州·高三泉州五中校考期中）计算器计算ex，lnx，sinx，cosx等函数的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数(

)fx在含有0x的某个开区间(),ab内可以多次进行求导数运算，则当(),xab，且0xx时，有()()()()()()()()()02300000000''''''0!1!2!3!fxfxfxfx

fxxxxxxxxx=−+−+−+−+．其中()'fx是()fx的导数，()''fx是()'fx的导数，()'''fx是()''fx的导数……．取00x=，则sinx的“泰勒展开式”中第三个非零项为_____，sin1精确到0.01的近似值为_____．25．（山东省大教育联盟学校20

22-2023学年高三上学期期中）泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，得名于英国数学家泰勒．根据泰勒公式，有()()357211sin13!5!7!21!nnxxxxxxn−−=−+−++−+−，其中Rx，*nN，!123nn=，0!1=．现用上述

式子求()()2462214444112!4!6!22!nnn−−−+−++−+−的值，下列选项中与该值最接近的是（）A．cos49B．cos41C．sin49−D．sin41−26

．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中校考期中）艾萨克牛顿是英国皇家学会会长，著名物理学家，他在数学上也有杰出贡献.牛顿用“作切线”的方法求函数()fx零点时给出一个数列()()1:nnnnnfxxxxfx+−=，我们把该数列称为牛顿数列.如果函数()2(0)fxaxbxca=++有

两个零点1和2，数列nx为牛顿数列.设2ln1nnnxax−=−，已知11a=，2nx，na的前n项和为nS，则2023S=_____.三角函数27．（2022秋·山东潍坊·高三潍坊一中校考期中）《九章算术》是我国古代内容

极为丰富的数学名著，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积12=（2弦×矢+矢），弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现已知弧田面积为432+，且弦是矢的23倍，按照上述经验公式计算所得弧田的弧长是（）A．π3B

．2π3C．4π3D．8π328．（黑龙江省大庆中学2022-2023学年高三上学期期中）顺德欢乐海岸摩天轮是南中国首座双立柱全拉索设计的摩天轮，转一圈21分钟，摩天轮的吊舱是球形全景舱，摩天轮最高点距离地面

高度为99m，转盘直径为90m，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，开始转动mint后距离地面的高度为mH，则在转动一周的过程中，高度H关于时间t的函数解析式是（）A．()()2ππ45sin54021212Httt=+

+B．()()2ππ45sin54021212Httt=−+C．()()2ππ45cos54021212Httt=−+D．()()2ππ45sin54021212Httt=−−+29．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）正割（

Secant）及余割（Cosecant）这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入，sec，csc这两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割1seccos

=，余割1cscsin=．则函数()11seccscfxxx=+的值域为（）A．1,1−B．2,2−C．22−,D．)()(2,11,11,2−−−30．（安徽省卓越县中联盟2022-2023学年高三上学期期

中）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条

理.如下图，点C为半圆O上一点，CHAB⊥，垂足为H，记COB=，则由tanBHBCHCH=可以直接证明的三角函数公式是（）A．sintan21cos=−B．sintan21cos=+C．1costan2sin−=D．1costan2sin+=31．（广东省

华附、省实、广雅、深中2023届高三上学期期中）我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距()0180的对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表，根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距的

正切值的乘积，即tanlh=．若对同一“表高”两次测量，“晷影长”分别是“表高”的13和12，相应的太阳天顶距为1和2，则12t(an)+的值为（）A．16B．56C．57D．132．（2022秋·山西阳泉·高三统考期中）（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“

水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的特征.如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点()3,33A−出发，沿圆周按逆时针方向匀速

旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到点P，设点P的坐标为(),xy，其纵坐标满足()sin()yftRt==+（0t，0，π2），则下列叙述正确的是（）A．π3=−B．当(0,60

t时，函数()yft=单调递增C．当(0,60t时，()ft的最大值为33D．当100t=时，6PA=33．（2021秋·山东青岛·高三统考期中）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三

角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,,abc，且210sin7cos22BCA+=−.以,,ABBCAC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1,23,OOO.则角A=_____.解三角形34．（湖南省岳阳

市第五中学2022-2023学年高三上学期期中）我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积222222142acbSac+−=−．若2b=，sinsinsin2sinabccABCA++

=++，则△ABC面积S的最大值为（）A．2B．1C．23D．2335．（山东省潍坊市临朐县实验中学2022-2023学年高三上学期期中）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色

柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点C，测得切线100cmAC=，100cmBC=，180cmAB=，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（）A．0.

62B．0.56C．0.56−D．0.62−36．（江苏省常州市金沙高级中学2022-2023学年高三上学期期中）哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸、尖形拱门、大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由

线段AB和两个圆弧AC、BC围成，其中一个圆弧的圆心为A，另一个圆弧的圆心为B，圆O与线段AB及两个圆弧均相切，若2AB=，则OAOB=（）A．716−B．27−C．43−D．47−37．（2022秋·广东汕头·高三统考期中）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最

早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为等边三角形的顶点”.如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为,,abc，且210sin7cos22BCA+=−.以,,ABBCAC为边向外作三个等边三角形，其外接圆

圆心依次为1,23,OOO.(1)求角A；(2)若1233,aOOO=的面积为734，求ABC的周长.38．（江苏省常州市横林高级中学2022-2023学年高三上学期期中）（多选）2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）的正视图近似伯努利双纽线.

定义在平面直角坐标系xoy中，把到定点1(,0)Fa−，2(,0)Fa距离之积等于2a(0)a的点的轨迹成为双纽线C，已知点00(,)Pxy是双纽线C上一点，下列说法正确的有（）．A．双纽线C关于原点O中心对称；B．022aay−；C．双纽线C上满足12PFPF=的点P有两个；D．||PO

的最大值为2a.39．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）（多选）东汉末年的数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”.如图1

，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图2，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形ABC拼成的一个大等边三角形ABC，对于图2，下列结论正确的是（）A．这三个全等的钝角三角形不可能是等腰三角形B

．若3BB=，53sin14ABB=，则2AB=C．若2ABAB=，则5ABBB=D．若A是AB的中点，则三角形ABC的面积是三角形ABC面积的7倍40．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期

期中）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点

B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为_____米.数列41．（湖北省重点高中联考协作体2023届高三上学期期中）我国天文学和数学著作《周髀算经》中记

载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则说法不正确的是（）A．

相邻两个节气晷长减少或增加的量为十寸B．秋分的晷长为75寸C．立秋的晷长比立春的晷长长D．立冬的晷长为一丈五寸42．（2022秋·浙江杭州·高三学军中学校考期中）“积跬步以至千里，积小流以成江海．”出自

荀子《劝学篇》．原文为“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”数学上这样的两个公式：①301.011.3；②3651.0137.8，也能说明这种积少成多，聚沙成塔的成功之道．它们所诠释的含义是“每天增加1%，就会在一个月、一年以后产生巨大

的变化．虽然这是一种理想化的模型，但也能充分地说明“小小的改变和时间积累的力量”．假设某同学通过学习和思考所带来的知识积累的变化，以每天2.01%的速度“进步”，则30天以后他的知识积累约为原来的（）A．1.69倍B．1.96倍C．

1.78倍D．2.8倍43．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）如表所示的数阵称为“森德拉姆素数筛”，表中每行每列的数都成等差数列，设(,)fmn表示该数阵中第m行、第n列的数，则下列说法正确的是（）A．(3,18)49fB．(6,8)49fC．(7,7)49f

=D．(12,4)49f=44．（湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期期中）英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列nx满足()()1nnnnfxxx

fx+=−，则称数列nx为牛顿数列.若()1fxx=，数列nx为牛顿数列，且11x=，0nx，数列nx的前n项和为nS，则满足2023nS的最大正整数n的值为（）A．10B．11C．12D．1345．（辽宁省抚顺市六校协

作体2022-2023学年高三上学期期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数()fxx=，其中x表示不超过x的最大整数．已知正项数列na的前n项和为nS，且112nnnSaa=+，令21nnnbS

S+=+，则1299bbb+++=（）A．7B．8C．17D．1846．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆（Sundaram）发现了“正方形

筛子”：（1）“正方形筛子”中位于第10行的第10个数是_____.（2）若(),nma表示第n行m列的数，则(),nma=_____（用n，m表示）47．（山西省运城市2023届高三上学期期中）风雨桥（如图①所示）是侗

族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形.图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：110001ABABBB=−，221112ABABBB=−，…，111nnnnnnABABBB−−−=

−，其中()42312130BBBBBBBBn===N.已知该风雨桥亭共5层，若008mAB=，010.5mBB=，则图②中的五个正六边形的周长总和为_____m.48．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）南宋数学家在《详解

九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，

22，则该数列的第20项为_____.解析几何49．（安徽省合肥市庐江第五中学2022-2023学年高三上学期期中）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴

长与短半轴长的乘积.已知椭圆22221(0)xyabab+=的右焦点为()6,0F，过F作直线l交椭圆于,AB两点，若弦AB中点坐标为6,13−，则椭圆的面积为（）A．123πB．93πC．63πD．33π50．（江苏

省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高三上学期期中）加斯帕尔-蒙日是1819世纪法国著名的几何学家．如图，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这

个圆被称为“蒙日圆”．若长方形G的四边均与椭圆22:164xyM+=相切，则下列说法错误的是（）A．椭圆M的离心率为33B．椭圆M的蒙日圆方程为2210xy+=C．若G为正方形，则G的边长为25D．长方形G的面积的最大值为1851．（河北省安平中学2023届高三上学期期中）（多选）我国首

先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：1F，2F是双曲线的左､右焦点，从2F发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过1F；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P

处的切线平分12FPF.若双曲线C的方程为221916xy−=，则下列结论正确的是（）A．射线n所在直线的斜率为k，则44,33k−B．当mn⊥时，1232PFPF=C．当n过点()7,5Q时，光线由

2F到P再到Q所经过的路程为13D．若点T坐标为()1,0，直线PT与C相切，则212PF=52．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”.他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日

圆.已知椭圆C：2212xy+=，则C的蒙日圆O的方程为_____；在圆222(3)(4)(0)xyrr−+−=上总存在点P，使得过点P能作椭圆C的两条相互垂直的切线，则r的取值范围是_____.53．（2022秋·河北沧州·高三统考期末）如图所示，在圆锥内放入两个大小不同

的球1O，2O，使得它们分别与圆锥的侧面和平面都相切，平面分别与球1O，2O相切于点E，F.数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，E，F为此椭圆的两个焦点，这两个球

也被称为Dandelin双球.若球1O，2O的半径分别为6和3，球心距离1211OO=，则此椭圆的长轴长为_____.54．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案(阴影区域)”，其中AC、BD是

过抛物线焦点F的两条弦，且其焦点()01F，，0ACBD=，点E为y轴上一点，记EFA=，其中为锐角．(1)求抛物线方程；(2)求证：()221cosAFsin+=．立体几何该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．在如图

所示的“曲池”中，1AA⊥平面1111DCBA，记弧AB、弧DC的长度分别为1l，2l，已知1AD=，124π23ll==，E为弧11AB的中点．(1)证明：11ADDE⊥．(2)若14AAAD=，求直线

CE与平面1DEB所成角的正弦值．56．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式，庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊

组成，因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡,故又称四阿顶.如图，某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似.已知底面ABCD为矩形，228ABADEF===，EF∥底面ABCD，且EAEDFBFC===，

M，N分别为AD，BC的中点.(1)证明：EFAB∥，且BC⊥平面EFNM.(2)若EM与底面ABCD所成的角为π4，过点E作EHMN⊥，垂足为H，过H作平面ABFE的垂线，写出作法，并求H到平面ABFE的距离.57．（江苏省镇江市扬中市

第二高级中学2022-2023学年高三上学期期中）自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种叫做棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录．现测量如图中一顶斗笠，得到图中圆锥PO模型，经测量底面圆O的直径48cmAB=，母线30cmAP

=，若点C在AB上，且π6CAB=，D为AC的中点．证明：BC∥平面POD；58．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去三个相等的三棱锥HABC−，JCDE−，KEFA−，再分别以AC，CE，EA为轴将ACH，CEJ

，EAK分别向上翻转180，使H，J，K三点重合为点S所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，而每一顶点的曲率规定等

于2π减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在各顶点的曲率为π2π3π3−=.(1)求蜂

房曲顶空间的弯曲度；(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设BHx=（i）用x表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积()Sx；（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点S的曲率的余弦值.59．（江苏省徐州市第七中学2022-2023学年高三上学期期中）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律

的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十

二面体、正二十面体.已知一个正四面体QPTR和一个正八面体AEFBHC的棱长都是a（如图），把它们拼接起来，使它们一个表面重合，得到一个新多面体.（1）求新多面体的体积；（2）求正八面体AEFBH中二面角ABFC−−的余弦值；（3）判断新多面体为几面体？（只需给出答案，无需证明）60

．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中考）中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥PABCD−，其中ACBD⊥于O，4OAOBOD===，8OC=，PO⊥平

面ABCD．（1）求证：PDAC⊥；（2）试验表明，当12POOA=时，风筝表现最好，求此时直线PD与平面PBC所成角的正弦值．计数原理61．（福建省石狮市永宁中学2023届高三上学期期中）欧几里得在《几何原本》中

证明了算术基本定理：任何一个大于1的自然数N，可以唯一分解成有限个素数的乘积，如果不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么这个乘积形式是唯一的.记1212kaaakNppp=（其中ip是素数，ia是正整数，1ik

，12kppp），这样的分解称为自然数N的标准素数分解式.若N的标准素数分解式为1212kaaakNppp=，则N的正因子有()()()12111kaaa+++个，根据以上信息，180的正因子个数为（）A．6B．12C．13D．1862．（云南民

族大学附属中学2023届高三上学期期中）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如30=7+23，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好

含有这组数的中位数的概率是（）A．14B．13C．29D．3863．（河北省沧衡八校联盟2022-2023学年高三上学期11月期中）算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁

，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于500的概率为（）A．12

B．23C．14D．3464．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学校考期中）唐宋八大家，又称唐宋散文八大家，是中国唐代韩愈、柳宗元，宋代苏洵、苏轼、苏辙、王安石、曾巩、欧阳修八位散文家的合称，其中江西独占三家，分别是：王安石、曾巩、欧阳修，他们掀起的古文革新浪潮，使诗文发展的

陈旧面貌焕然一新.为弘扬中国传统文化，某校决定从唐宋八大家中挑选五位，于某周末开展他们的散文赏析课，五位散文家的散文赏析课各安排一节，连排五节.若在来自江西的三位散文家中至少选出两人，且他们的散文赏析课互不相邻，则不同

的排课方法共有_____种.（用数字作答）65．（福建省宁德市高级中学2023届高三上学期期中）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，

蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律，由八卦模型图可抽象得到正八边形，从该正八边形的8个顶点中任意取出4个构成四边形，其中梯形的个数为（）A．8B．16C．24D．3266．（山东省泰安市宁阳县2022-2023学年高三上学期期中）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角

形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则

下列命题中正确的是（）A．在第10行中第5个数最大B．22222348CCCC84++++=C．第8行中第4个数与第5个数之比为4:5D．在杨辉三角中，第n行的所有数字之和为12n−67．（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三上学期期中）数字波是由0和1组成

的脉冲信号序列，某类信号序列包含有n个数字0和n个数字1，且每个数字0之前1的个数多于0的个数.当n等于3时，这样的信号序列有_____种；当n等于5时，这样的信号序列有_____种.统计与概率68．（2022秋·福

建厦门·高三厦门一中校考期中）云南某镇因地制宜，在政府的带领下，数字力量赋能乡村振兴，利用“农抬头”智慧农业平台，通过大数据精准分析柑橘等特色产业的生产数量､价格走势､市场供求等数据，帮助小农户找到大市场，开启“直播+电商”销售新模

式，推进当地特色农产品“走出去”；通过“互联网+旅游”聚焦特色农产品､绿色食品､生态景区资源.下面是2022年7月到12月份该镇甲､乙两村销售收入统计数据（单位：百万）：甲：5，6，6，7，8，16；乙：4，6，8，9，10，17.根据上述数据，则（）A．甲村销售收

入的第50百分位数为7百万B．甲村销售收入的平均数小于乙村销售收入的的平均数C．甲村销售收入的中位数大于乙村销售收入的中位数D．甲村销售收入的方差大于乙村销售收入的方差69．（江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高三上学期期中）泊松分布是

一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛的应用，泊松分布的概率分布列为()()e,2,!0,1kPkkkx−===，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．当n很大且p很小时，

二项分布近似于泊松分布，其中np=．一般地，当20n而0.05p时，泊松分布可作为二项分布的近似．若随机变量()~1000,0.001XB，()2PX的近似值为（）A．11e−B．21e−C．e14−D．211e−70．（2022秋·辽宁沈阳·

高三沈阳二十中校联考期中）（多选）1990年9月，CraigF·Whitaker给《Parade》杂志“AskMarilyn”专栏提了一个问题（著名的蒙提霍尔问题，也称三门问题），在蒙提霍尔游戏节目中，事先在三扇关着的门背后放置好奖品，然后让游戏参与者在三扇关着的门中选择一扇门并赢得

所选门后的奖品，游戏参与者知道其中一扇门背后是豪车，其余两扇门背后是山羊，作为游戏参与者当然希望选中并赢得豪车，主持人知道豪车在哪扇门后面.假定你初次选择的是1号门，接着主持人会从2,3号门中打开一道后面是山羊的门.则以下说法正确的是（）A．你获得豪车的概率

为13B．主持人打开3号门的概率为12C．在主持人打开3号门的条件下，2号门有豪车的概率为13D．在主持人打开3号门的条件下，若主持人询问你是否改选号码，则改选2号门比保持原选择获得豪车的概率更大71．（海南省海口嘉勋高级中学2023届高三上学期11月期中）橘生淮南则为橘，生于淮北则

为枳，出自《晏子使楚》.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是枳树，现在常用来比喻一旦环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布()290,N，且(869

0)0.2P=，在有1000个的一批橘果中，估计单个果品质量不低于94g的橘果个数为_____.72．（江苏省淮安市涟水县第一中学2023届高三上学期期中）数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数

字，并满足每一行､每-列､每一个粗线宫（3×3）内的数字均含1~9，且不重复.数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛.（1）赛前小明在某数独APP上进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y（秒/题

）与训练天数x（天）有关，经统计得到如下数据：x（天）1234567y（秒/题）910800600440300240210现用byax=+作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程（a，b用分数表示）.（2）小明和小红在数独APP上玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出

题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛.若小明每局获胜的概率为23，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及期望.参考数据（其中1itx=）：71iiity=t72217iitt=−17500.37

0.55参考公式：对于一组数据()11,uv，()22,uv，…，(),nnuv，其回归直线vu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221,niiiniiuvnuvvuunu==−==−−73．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）《周易》包括《经》和《

传》两个部分，《经》主要是六十四卦和三百八十四爻，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代语解释为：把阳爻“”当做数字“1”，把阴爻“”当做数字“0”，则六十四卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000

000剥0000011比0000102观0000113…………(1)成语“否极泰来”包含了“否”卦和“泰”卦，试分别写出这两个卦所表示的十进制数；(2)若某卦的符号由四个阳爻和两个阴爻构成，求所有这些卦表示的十进制数的和；(3)在由三个阳

爻和三个阴爻构成的卦中任取一卦，若三个阳爻均相邻，则记5分；若只有两个阳爻相邻，则记2分；若三个阳爻均不相邻，则记1分．设任取一卦后的得分为随机变量X，求X的概率分布和数学期望．74．（湖北省武汉市江北重点高中2022

-2023学年高三上学期期中）近日，某芯片研发团队表示已自主研发成功多维先进封装技术XDFOI，可以实现4nm手机SOC芯片的封装，这是中国芯片技术的又一个重大突破，对中国芯片的发展具有极为重要的意义．可以说国产4nm先进封装技术的突破，激发了中国芯片的潜力，证明了知名院士倪光南所说的先进技

术是买不来的、求不来的，自主研发才是最终的出路．研发团队准备在国内某著名大学招募人才，准备了3道测试题，答对两道就可以被录用，甲、乙两人报名参加测试，他们通过每道试题的概率均为()01pp，且相互独立，若甲选择了全部3道试题，乙随机选择了其中2

道试题，试回答下列问题．（所选的题全部答完后再判断是否被录用）(1)求甲和乙各自被录用的概率；(2)设甲和乙中被录用的人数为，请判断是否存在唯一的p值0p，使得()1.5E=？并说明理由．1．（广东省江门市新会区新会陈经

纶中学2022-2023学年高三上学期期中）记()()()1fxfx=，若()()()()()1nnfxffx−=（2n且*nN），则称()()nyfx=是()yfx=的n次迭代函数．若()31xfxx−=+，则()20232

022f=（）A．20252021−B．20192023C．2022D．20232．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中考）声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数sinyAt=.我

们听到的声音是由纯音合成的，称为复合音.已知一个复合音的数学模型是函数()1sinsin22fxxx=+.给出下列四个结论：①()fx的最小正周期是π；②()fx在0,2π上有3个零点；③()fx在π0,2上是增函数；④()fx的最大值为33

4.其中所有正确结论的序号是（）A．①②③B．②④C．①②④D．③④3．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）黄金分割点是指将一条线段分为两部分，使得较长部分与整体线段的长的比值为512−的点．利用线段上的两个黄金分割点可以作出正五角

星，如图所示，已知C，D为AB的两个黄金分割点，研究发现如下规律：512ACBDCDABABBC−===．若等腰△CDE的顶角CED=，则cos=（）A．514−B．514+C．358−D．358

+4．（湖南省永州市第一中学2022-2023学年高三上学期期中）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术.图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心

为该正六边形的中心О，圆О的半径为1，点P在圆О上运动，则PEOE的最小值为（）A．-1B．-2C．1D．25．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中考）攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒

尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）A．1sinB．1cosC．12sinD．12cos

6．（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）（多选）中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状，如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面的方程为2222221xyzabc++=（0z，a，b，0c，且a，b，c不全相等）若该建

筑的室内地面是面积为2π(0)mm的圆，则下列结论正确的是（）A．am=；B．cm=；C．2acm=；D．若acm，则1c7．（河北南宫中学2023届高三上学期期中）（多选）将杨辉三角中的每一个数Crn都换成()11Crnn+，得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼

茨三角形具有很多优美的性质，如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和，如果()*2Nnn，那么下面关于莱布尼茨三角形的结论正确的是（）A．当n是偶数时，中间的一项取得最大值，当n是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值B．()()10011111C1CCnnnnnn−

=++C．()()11(N,0)1C1Crnrnnrrnnn−=++D．()()11111(N,1)1C1CCrrrnnnrrnnnn−−+=++8．（江苏省无锡市2022-2023学年高三上学期期中）（多选）抛物线有如

下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24yx=的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线1l从点()()2,4Pmnnm射

入，经过抛物线上的点()11,Axy反射后，再经抛物线上另一点()22,Bxy反射后，沿直线2l射出，则下列结论中正确的是（）A．121=xxB．点()11,Axy关于x轴的对称点在直线2l上C．直线2l与直线=1x−相交于点D，则A，O，D三点共线D．直线1l与2l间的距

离最小值为49．（河北省衡水市深州长江中学2023届高三上学期期中）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多

面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3−=，故其总曲率为4π.根据曲率的定义，正方体在每个顶点的曲率为___

__，四棱锥的总曲率为_____.10．（江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期期中）鲁洛克斯三角形是指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形，如图①.鲁洛克斯三角形的特点是：在任何方向上都有相同的

宽度，即能在距离等于其圆弧半径a（等于正三角形的边长）的两条平行线间自由转动，并且始终保持与两直线都接触.由于这个性质，机械加工中把钻头的横截面做成鲁洛克斯三角形的形状，就能在零件上钻出圆角正方形（视为正方形）的孔来.图②是鲁洛克斯三角形钻头（阴影部

分）与它钻出的圆角正方形孔洞的横截面，现有一个质点飞向圆角正方形孔洞，则其恰好被钻头遮挡住，没有穿过孔洞的概率为_____.11．（2022秋·福建福州·高三福建省福州高级中学上学期期中考试）十九世纪初，我国数学家董祐诚在研

究椭圆求周长时曾说：“椭圆求周旧无其术，秀水朱先生鸿为言圆柱斜剖成椭圆，是可以勾股形求之．”也就是说可以通过斜截圆柱法得到椭圆．若用一个与圆柱底面成60°的平面截该圆柱，则截得的椭圆的离心率为_____．1

2．（华师─附中等T8联考2022-2023学年高三上学期期中）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概

率之间的关系.该公式为：设1A，2A，…，nA是一组两两互斥的事件，12nAAA=，且()0iPA，1,2,,in=，则对任意的事件B，()0PB，有()()()()()()()()1iiiiinkkkPAPBAPAPBAPABPBPAPBA===，1,2,,in=.现有

三台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，每加工一个零件耗时35分钟，第2，3台加工的次品率均为5%，每加工一个零件分别耗时32分钟和30分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占

总数的25%，30%，45%.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时X（分钟）的分布列和数学期望.13．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）“不以规矩，不能成方圆”，出自《孟子·离娄章句上》．“

规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的角尺，是用来测量、画圆和方形图案的工具。有一块圆形木板，以“矩”量之，较长边为10cm，较短边为5cm，如图所示，将这块圆形木板截出一块三角形木块，三角形顶点,,ABC都在圆周上，角,,ABC的对边分别为a，b，c，满足

45cmc=(1)求sinC；(2)若ABC的面积为28cm，且ac，求ABC的周长14．（广东省广州市协和中学2023届高三上学期期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．

已知椭圆()2222:10xyCabab+=的蒙日圆方程为2222xyab+=+，椭圆C的离心率为22，M为蒙日圆上一个动点，过点M作椭圆C的两条切线，与蒙日圆分别交于P、Q两点，则MPQ面积的最大值为_____.（用含b的代数式表示）15．（福建省安

溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三上学期期中）中国是纸的故乡，折纸也是起源于中国.后来数学家将几何学原理运用到折纸中，并且利用折纸来研究几何学，很好的把折纸艺术与数学相结合.将一张纸片折叠一次，纸片上会留下一条折痕，如果在纸

片上按照一定的规律折出很多折痕后，纸上能显现出一条漂亮曲线的轮廓.如图，一张圆形纸片的圆心为点D，A是圆外的一个定点，P是圆D上任意一点，把纸片折叠使得点A与P重合，然后展平纸片，折痕与直线DP相交于点Q，当点P在圆上运动时，得到点Q的轨迹.(1)证明：点Q的轨迹

是双曲线；(2)设定点A坐标为(2,0)，纸片圆的边界方程为222(2)xyr++=.若点(2,3)M位于（1）中所描述的双曲线上，过点M的直线l交该双曲线的渐近线于E，F两点，且点E，F位于y轴右侧，O为坐标原点，求EOF面积的最小值.