【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练41　直线的交点坐标与距离公式 Word版含解析.docx，共(5)页，37.619 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练41直线的交点坐标与距离公式一、基础巩固1.若O为坐标原点,P为直线x-y+2=0上的动点,则|OP|的最小值为()A.√22B.√2C.√3D.22.已知点A(cos10°,sin10°),B(cos100°,sin100°),则|AB|=()A.1B.√2C.√3D.2

3.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则直线l1与l2之间的距离为()A.4√23B.4√2C.8√23D.2√24.点P(cosθ,sinθ)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为()A.[12

5,175]B.[75,125]C.[75,175]D.[125,245]5.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值为()A.1B.2C.-2或1D.-1或

26.直线l:x+λy+2-3λ=0(λ∈R)恒过定点,点P(1,1)到该直线的距离的最大值为.7.直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程为.8.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线

l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为.9.已知正方形ABCD的两个顶点A,B在直线x+y-4=0上,另两个顶点C,D分别在直线2x-y-1=0,4x+y-23=0上,则正方形ABCD的边长为.10.已知直线l

1:x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.(1)若l1⊥l2,求m的值;(2)若l1∥l2,且它们间的距离为√5,求m,n的值.二、综合应用11.已知直线y=2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-

4,2),(3,1),则点C的坐标为()A.(-2,4)B.(-2,-4)C.(2,4)D.(2,-4)12.若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则k的取值情况是()A.只有唯一值B.有两个不同的值

C.有三个不同的值D.无穷多个值13.(多选)在平面直角坐标系Oxy中,点P在曲线y=x+1𝑥(x>0)上,则点P到直线3x-4y-2=0的距离可以为()A.45B.1C.65D.7514.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交

于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为.15.将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,n)重合,则m+n=.16.已知直线l:x-2y+8=0和点A(2,

0),B(-2,-4).(1)在直线l上求一点P,使|PA|+|PB|的值最小;(2)在直线l上求一点P,使||PB|-|PA||的值最大.三、探究创新17.已知平面上一点M(5,0),若一条直线上存在点P使|PM|=4,则称该直线为“切割型直线”.给出直线:①y=x

+1;②y=2;③y=43x,其中是“切割型直线”的是()A.②③B.①C.①②D.①③18.定义:点M(x0,y0)到直线l:ax+by+c=0的有向距离为𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐√𝑎2+𝑏2.已知点A(-1,0),B(1,

0),直线m过点P(3,0),若圆x2+(y-18)2=81上存在一点C,使得A,B,C三点到直线m的有向距离之和为0,则直线m的斜率的取值范围为.考点规范练41直线的交点坐标与距离公式1.B由已知得原点O到直线x-y+2=0的距离d=2√2=√2,故|OP|的最小值为√2.

2.B|AB|=√(cos10°-cos100°)2+(sin10°-sin100°)2=√cos210°-2cos10°cos100°+cos2100°+sin210°-2sin10°sin100°+sin2100°=√2-2(cos10°cos100°+sin10°sin100°)

=√2-2cos(10°-100°)=√2-2cos90°=√2.3.C∵l1∥l2,∴a≠2,且a≠0,1𝑎-2=𝑎3≠62𝑎,解得a=-1,∴两直线方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+23=0,∴直线l1与l2之间的距离为d=|6-23|√2=8√23.4.C由

点到直线的距离公式,得点P到直线3x+4y-12=0的距离为d=|3cos𝜃+4sin𝜃-12|√32+42=|5sin(𝜃+𝜑)-12|5,其中sinφ=35,cosφ=45.因为5sin(θ+φ)-12∈[-17,-7],所以d∈[75,

175].5.C因为直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,所以这三条直线必有两条直线平行.又直线2x+y-4=0与x-y+1=0不平行,所以当直线2x+y-4=0与ax-y+2=0平行时,a=-2;当直线x-y+1=0与ax

-y+2=0平行时,a=1.所以实数a的值为1或-2.6.(-2,3)√13依题意,直线l的方程可化为λ(y-3)+x+2=0,所以直线l恒过定点Q(-2,3),点P(1,1)到该直线的距离的最大值为|PQ|=√32+22=√13.7.x-2y=0由

{𝑦=2𝑥+3,𝑦=𝑥+1,解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),所以可设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直线l上取一点(1,2),由题设知点(1,2)到

直线l1,l2的距离相等,由点到直线的距离公式得|𝑘-2+2𝑘-1|√𝑘2+1=|2-2+3|√22+1,解得k=12(k=2舍去),所以直线l2的方程为x-2y=0.8.6x-y-6=0设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M'(a,b),则反射光线所在直线过点M',所以{

𝑏-4𝑎-(-3)·1=-1,-3+𝑎2-𝑏+42+3=0,解得{𝑎=1,𝑏=0,点M'的坐标为(1,0).又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为y=6-02-1(x-1),即6x-y-

6=0.9.2√2或14√2因为AB∥CD,所以可设直线CD的方程为x+y+m=0,由{2𝑥-𝑦-1=0,𝑥+𝑦+𝑚=0,得C(1-𝑚3,-1-2𝑚3),由{4𝑥+𝑦-23=0,𝑥+𝑦+𝑚=0,得D(𝑚+233,-23-4𝑚3).所以|CD|=√(1-𝑚3-

𝑚+233)2+(-1-2𝑚3--23-4𝑚3)2=2√23|m+11|.又直线AB与CD之间的距离d=|𝑚+4|√2,所以2√23|m+11|=|𝑚+4|√2,解得m=-8或m=-32,所以正方形ABCD的边长为2√2或14√2.10.解(1)若l1⊥l2

,则m+2=0,解得m=-2.(2)直线l1的方程可化为2x+2y+4=0.若l1∥l2,则𝑚2=22≠𝑛4,解得m=2.又两直线之间的距离为√5,则|𝑛-4|√22+22=√5,解得n=4+2√10或n=4-2√10.11.C设A(-4,2)关于直线

y=2x的对称点为(x,y),则{𝑦-2𝑥+4×2=-1,𝑦+22=2×-4+𝑥2,解得{𝑥=4,𝑦=-2,所以BC所在直线的方程为y-1=-2-14-3(x-3),即3x+y-10=0.同理可得点B(3,1)关于直线y=2

x的对称点为(-1,3),所以AC所在直线的方程为y-2=3-2-1-(-4)(x+4),即x-3y+10=0.由{3𝑥+𝑦-10=0,𝑥-3𝑦+10=0,解得{𝑥=2,𝑦=4,所以点C的坐标为(2,4).故选C.12.C

若三条直线x-2y+2=0,x=2,x+ky=0将平面划分成6个部分,则其中有2条直线互相平行,第三条直线和这2条平行线都相交,此时k=-2或k=0,或者三条直线经过同一个点,即直线x-2y+2=0和

x=2的交点(2,2)在直线x+ky=0上,此时k=-1.综上,k=-2或k=0或k=-1.13.CD由已知得y'=1-1𝑥2,设点P(x0,y0),则曲线在点P处的切线的斜率为1-1𝑥02.当点P到直线

3x-4y-2=0的距离最小时,曲线y=x+1𝑥(x>0)在点P处的切线的斜率应等于直线3x-4y-2=0的斜率,即1-1𝑥02=34,解得x0=2,所以y0=2+12=52,点P的坐标为2,52,所以点P到直线3x-4y-2=0的距离的最小值为|3×2-4×52-2|√9+16=65.故选

CD.14.√5由{𝑦=2𝑥,𝑥+𝑦=3,解得{𝑥=1,𝑦=2.将x=1,y=2代入mx+ny+5=0,得m+2n+5=0.所以m=-5-2n.所以点(m,n)到原点的距离d=√𝑚2+𝑛2=√(

5+2𝑛)2+𝑛2=√5(𝑛+2)2+5≥√5,当n=-2时取等号,此时m=-1.所以点(m,n)到原点的距离的最小值为√5.15.345由题意,可知纸的折痕既是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线,也是点(7,3)与点(m,n)连线的垂直平分线

,易求得纸的折痕所在直线的方程为y=2x-3,于是{3+𝑛2=2×7+𝑚2-3,𝑛-3𝑚-7=-12,解得{𝑚=35,𝑛=315.故m+n=345.16.解(1)设点A关于直线l的对称点为A'

(m,n),则{𝑛-0𝑚-2=-2,𝑚+22-2·𝑛+02+8=0,解得{𝑚=-2,𝑛=8,所以A'(-2,8).因为P为直线l上一点,所以|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|,当且仅当B,P,A'三点共线时,等号成立,此时点

P为直线A'B与直线l的交点,则有{𝑥=-2,𝑥-2𝑦+8=0,解得{𝑥=-2,𝑦=3.所以当点P的坐标为(-2,3)时,|PA|+|PB|的值最小.(2)因为A,B两点在直线l的同侧,P为直线l上一点,直线AB与l相交,所以||PB|-|PA|

|≤|AB|,当且仅当A,B,P三点共线时,等号成立,此时点P为直线AB与l的交点.由题意可知直线AB的方程为y=x-2.由{𝑦=𝑥-2,𝑥-2𝑦+8=0,解得{𝑥=12,𝑦=10.所以当点P的坐标为(12,10)时,||PB|-

|PA||的值最大.17.A由题意可知,点M到直线y=x+1的距离为|5-0+1|√2=3√2>4,点M到直线y=2的距离为2<4,点M到直线y=43x的距离为|4×5-3×0|√16+9=4,故②③符合题意,①不符合题意.故选A.18.(-∞,-34]由题意,设直线m的方程为y=k(x-3),

即kx-y-3k=0,点C的坐标为(x,y),由已知得-4𝑘√1+𝑘2+-2𝑘√1+𝑘2+𝑘𝑥-𝑦-3𝑘√1+𝑘2=0,化简得kx-y-9k=0,则直线kx-y-9k=0与圆x2+(

y-18)2=81有公共点,所以|-18-9𝑘|√1+𝑘2≤9,解得k≤-34.