【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练16　利用导数研究函数的极值、最值 Word版含解析.docx，共(5)页，54.733 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练16利用导数研究函数的极值、最值一、基础巩固1.已知函数f(x)=x3-3x2+x的极大值点为m,极小值点为n,则m+n等于()A.0B.2C.-4D.-2答案:B解析:f'(x)=3x2-6x+1,因为函数f(x)=x3-3x2+x的极

大值点为m,极小值点为n,所以x1=m,x2=n为3x2-6x+1=0的两根.由根与系数的关系,可知m+n=-(-6)3=2.2.若x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0答

案:A解析:f'(x)=a+1𝑥(x>0).∵x=1是函数f(x)=ax+lnx的极值点,∴f'(1)=0,∴a+11=0,∴a=-1.当x>1时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当0<x<1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.因此当x=1时,f(x)有极大值-1.3.函

数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为()A.-1B.1-eC.-eD.0答案:A解析:f'(x)=1𝑥-1=1-𝑥𝑥,令f'(x)>0,得0<x<1;令f'(x)<0,得1<x<e,则函数f(x)在区间(0,1)内单

调递增,在区间(1,e)内单调递减,即当x=1时,函数f(x)取极大值,这个极大值为函数f(x)在区间(0,e]上的最大值,所以f(x)max=f(1)=-1,故选A.4.若a∈R,则“a>3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)内有极值”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:由题意,函数f(x)=(x-a)ex,则f'(x)=(x-a+1)ex.令f'(x)=0,可得x=a-1,当x<a-1时,f'(x)<0;当x>a-1时,f

'(x)>0,所以函数y=f(x)在x=a-1处取得极小值.若函数y=f(x)在区间(0,+∞)上有极值,则a-1>0,解得a>1.因此“a>3”是“函数f(x)=(x-a)ex在区间(0,+∞)上有极值”的充分不必要条件.5.已知函数f(x)=13x3-4x+a

在区间[0,3]上的最大值为2,则a的值为()A.-103B.2C.5D.223答案:B解析:f'(x)=x2-4.令f'(x)>0,解得x>2或x<-2,令f'(x)<0,解得-2<x<2,故f(x)在区间[0,2)内单调递减,在区间(2,

3]内单调递增,故f(x)的最大值是f(0)或f(3),而f(0)=a>f(3)=a-3,故f(0)=a=2.6.(多选)(2023新高考Ⅱ,11)若函数f(x)=alnx+𝑏𝑥+𝑐𝑥2(a≠0)既有极大值也有极小值,则()A.bc>0B.ab>0C.b2+8ac>0D.ac<0答案:

BCD解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=𝑎𝑥−𝑏𝑥2−2𝑐𝑥3=𝑎𝑥2-𝑏𝑥-2𝑐𝑥3.因为函数f(x)既有极大值也有极小值,所以g(x)=ax2-bx-2c在区间(0,+∞)上有两

个不同的零点,即一元二次方程ax2-bx-2c=0有两个不同的正实数根,设这两个正实数根为x1,x2,所以{𝛥=𝑏2+8𝑎𝑐>0,𝑥1+𝑥2=𝑏𝑎>0,𝑥1𝑥2=-2𝑐𝑎>0,所以b2+8ac>0,且ab>0,a

c<0,bc<0,所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD.7.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-lnx(a>0,b∈R)的一个极值点,则lna与b-1的大小关系是()A.lna>b-1B.lna<b-1C.lna=b-1D.以上都不对答案:B解析:f'(x)=3ax2-b

-1𝑥,∵x=1是函数f(x)的极值点,∴f'(1)=3a-b-1=0,即3a-1=b.令g(a)=lna-(b-1)=lna-3a+2(a>0),则g'(a)=1𝑎-3=1-3𝑎𝑎,即g(a)在区间(0,13)内单调递增,

在区间13,+∞内单调递减,故g(a)max=g(13)=1-ln3<0.故lna<b-1.8.写出一个存在极值的奇函数.答案:f(x)=sinx(答案不唯一,满足条件即可)解析:根据题意,函数可以为f(x)=sinx,当x=π2+2kπ,k∈Z时,f(x)=si

nx取得极大值,当x=-π2+2kπ,k∈Z时,f(x)=sinx取得极小值.又f(-x)=sin(-x)=-sinx=-f(x),所以函数f(x)=sinx是奇函数.9.若函数f(x)=x(x-a)2在x=2处有极小值,则a=.答案:2解析:由f(x)=x(x-a)2=x3-2ax2+a2x,可

知f'(x)=3x2-4ax+a2.依题意可得f'(2)=3×22-4a×2+a2=0,解得a=2或a=6.当a=6时,f'(x)=3x2-24x+36=3(x2-8x+12).由f'(x)=3(x2-8x+12)>0,可得x<2或x>6;由f'(x)=3(x2-8x+12)<0,可得2<x<

6.故f(x)在x=2处取得极大值,不合题意.故a=2.10.已知a,b∈R,函数f(x)=13x3+ax2+bx在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减.(1)若a=-2,求b的值;(2)求函数

f(x)在区间[1,4]上的最小值(用b表示).解:(1)∵函数f(x)=13x3+ax2+bx,∴f'(x)=x2+2ax+b.∵函数f(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,2)内单调递减,∴f'(1)=1+2a+b=0.∵a=-2,∴b=

3.(2)由(1)知f'(1)=1+2a+b=0,即2a=-b-1.则f(x)=13x3-𝑏+12x2+bx.即f'(x)=x2-(b+1)x+b=(x-b)(x-1).当b≤1时,f'(x)=(x-b)(x-1)>0在区间(1,+∞)内恒成立,此时,函数f(

x)在区间(1,+∞)内单调递增,与题意不符.当b>1时,当x变化时,f'(x)与f(x)的变化情况如下表:x(-∞,1)1(1,b)b(b,+∞)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递

增由函数f(x)在区间(1,2)内单调递减,得b≥2.当2≤b<4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(b)=-16b3+12b2;当b≥4时,函数f(x)在区间[1,4]上的最小值为f(4)=403-4b.综上,当2≤b<4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为-1

6b3+12b2;当b≥4时,f(x)在区间[1,4]上的最小值为40-12𝑏3.二、综合应用11.(多选)如图,函数f(x)=2x2+1𝑥的图象称为牛顿三叉戟曲线,则()A.f(x)的极小值点为12B.当x

>0时,|f(-x)|<f(x)C.过原点且与曲线y=f(x)相切的直线仅有2条D.若f(x1)=f(x2),x1<0<x2,则x2-x1的最小值为√3答案:BD解析:由函数f(x)=2x2+1𝑥知,x∈R,且x≠

0,求导得f'(x)=4x-1𝑥2=4𝑥3-1𝑥2,对于A选项,当x<0时,f'(x)<0,当0<x<√232时,f'(x)<0,当x>√232时,f'(x)>0,则f(x)的极小值点为√232,A不正确;对于B选项,当x>0时,f(-x)=2x2-1𝑥,若2x2≥1𝑥

,则|f(-x)|=2x2-1𝑥<2x2+1𝑥=f(x),若2x2<1𝑥,则|f(-x)|=1𝑥-2x2<2x2+1𝑥=f(x),即x>0时,恒有|f(-x)|<f(x),B正确;对于C选项,设切点坐标为(𝑥0,2𝑥02+1𝑥0),则切线斜率为f'(x0)=4x0-1𝑥02,切

线方程为y-(2𝑥02+1𝑥0)=(4𝑥0-1𝑥02)(x-x0),而切线过原点,则有-(2𝑥02+1𝑥0)=(4𝑥0-1𝑥02)(-x0),解得x0=1,即过原点且与曲线y=f(x)相切的直线有一条,C不正确;对于D选项,当x1

<0<x2时,f(x1)=f(x2)⇔2𝑥12+1𝑥1=2𝑥22+1𝑥2⇔(x1-x2)(2x2+2x1)=𝑥1-𝑥2𝑥1𝑥2⇔x2+x1=12𝑥1𝑥2,(𝑥2-𝑥1)2=(𝑥2+𝑥1)2-4x1x2=14(𝑥1𝑥2)2-4x1x2,令t=x1x

2<0,则g(t)=14𝑡2-4t,g'(t)=-12𝑡3-4=-12(1𝑡3+8),当-12<t<0时,g'(t)>0,当t<-12时,g'(t)<0,函数g(t)=14𝑡2-4t在区间(-12,0)上单调递增,在区间(-∞,-1

2)上单调递减,当t=-12时,g(t)min=3,即(𝑥2-𝑥1)2有最小值3,x2-x1的最小为√3,D正确.12.已知函数f(x)=x2ex在区间(k,k+1.5)内存在极值点,则整数k的值为()A.-3,0B.-2,1C.-3,-1D.-2,0答案:C解析:由f(x)=x2e

x,可得f'(x)=2xex+x2ex=ex(x2+2x).当x∈(-∞,-2)和(0,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(-2,0)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(-∞,-2)和(0,+∞)内单调递增,在区

间(-2,0)内单调递减.若f(x)在区间(k,k+1.5)内无极值点,则k+1.5≤-2或k≥0或-2≤k<k+1.5≤0,即k∈(-∞,-3.5]∪[-2,-1.5]∪[0,+∞)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内

无极值点,得k∈(-3.5,-2)∪(-1.5,0)时,f(x)在区间(k,k+1.5)内存在极值点.由k是整数,得k=-3或k=-1.13.已知函数f(x)=(xex-m)x-2ex(x∈R).若m=0,则f(x)的极大值点为;若f(x)有3个极值点,则实数m

的取值范围是.答案:-1-√3(0,6e-4)解析:当m=0时,f(x)=(x2-2)ex,f'(x)=(x2+2x-2)ex.令f'(x)=0,解得x1=-1-√3,x2=-1+√3.即f(x)在区间(-∞,x1

)和(x2,+∞)内单调递增,在区间(x1,x2)内单调递减,故f(x)的极大值点为-1-√3.f(x)=(x2-2)ex-mx,f'(x)=(x2+2x-2)ex-m,令f'(x)=0,得m=(x2+2x-2)ex.构造函数g(x)=(x2+2x-2)e

x,g'(x)=(x2+4x)ex=x(x+4)ex,即g(x)在区间(-∞,-4),(0,+∞)内单调递增,在区间(-4,0)内单调递减,则g(x)的极大值为g(-4)=6e-4,极小值为g(0)=-2.因为当x<-4时,(x2+2x-2)ex>0,所以由f(x)有3个极值点,可

得0<m<6e-4.故实数m的取值范围是(0,6e-4).14.已知函数f(x)=ax3-32x2+b(x∈R).(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=6x-8,求a,b的值;(2)若a>

0,b=2,当x∈[-1,1]时,求f(x)的最小值.解:(1)f'(x)=3ax2-3x.由题意得f'(2)=6,f(2)=4,解得a=1,b=2.(2)f(x)=ax3-32x2+2(a>0).f'(x)=3ax2-3x=

3x(ax-1).令f'(x)=0,解得x=0或x=1𝑎.分以下三种情况讨论:①若1𝑎>1,即0<a<1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)0(0,1)f'(x)+0-f(x)单调递增极大值单调递减因为f(-1)=12-

a,f(1)=a+12,所以f(x)min=f(-1)=12-a.②若0<1𝑎<1,即a>1,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-1,0)0(0,1a)1a(1a,1)f'(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增因为f(-1)=12-a,f

(1𝑎)=2-12𝑎2,f(1𝑎)-f(-1)=2-12𝑎2−(12-𝑎)=32+a-12𝑎2>0,所以f(x)min=f(-1)=12-a.③当a=1时,f(x)=x3-32x2+2,则f'(x)=3x2-3x=3x(x-1).由f(x)在区间[-1,1]上

的单调性,知求此区间的最小值只比较f(1),f(-1)的大小即可,f(1)=32,f(-1)=-12,所以f(x)min=f(-1)=-12.综上所述,f(x)min=f(-1)=12-a.三、探究创新15.已知函数f(x)=x2-1𝑥+alnx(a∈R).(1)当a=-3时,讨论

f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有两个极值点x1,x2,求a的取值范围.解:(1)当a=-3时,f(x)=x2-1𝑥-3lnx(x>0),f'(x)=2x+1𝑥2−3𝑥=2𝑥3-3𝑥+1𝑥2=2𝑥2(x-1)(𝑥-√3-12)(𝑥+√3+1

2),当√3-12<x<1时,f'(x)<0;当0<x<√3-12或x>1时,f'(x)>0.即f(x)的单调递减区间是(√3-12,1),单调递增区间是0,√3-12和(1,+∞).(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,则需f'(x)=2x+1𝑥2+𝑎𝑥=2�

�3+𝑎𝑥+1𝑥2(x>0)有两个不相等的正零点.令g(x)=2x3+ax+1(x>0),故需g(x)有两个不相等的正零点,而g'(x)=6x2+a.①当a≥0时,g'(x)>0,此时g(x)不可能有两个不相等的正零点,故f(x)不可能有

两个极值点.②当a<0时,g'(x)=6x2+a=6[𝑥2-(-𝑎6)]=6(𝑥+√-𝑎6)(𝑥-√-𝑎6),当0<x<√-𝑎6时,g'(x)<0;当x>√-𝑎6时,g'(x)>0.故g(x)在区间(0,

√-𝑎6)内单调递减,在区间√-𝑎6,+∞内单调递增.则需g(x)min=g(√-𝑎6)=2𝑎3√-𝑎6+1<0,解得a<-3√432.由于a3<-272<-6,a3<-272<-154,-1a<√-a6<-3a,而g(-1

a)=-2a3>0,g(-3a)=-54a3-3a2+1=-3a2(18a+1)+1>0,故g(x)在区间(0,√-a6)内和√-a6,+∞内各有一个零点,则g(x)有两个不相等的正零点,即f(x)有两个极值点.综上所述,a

的取值范围是(-∞,-3√432).