【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练13　初等函数模型的应用 Word版含解析.docx，共(3)页，31.516 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练13初等函数模型的应用一、基础巩固1.某新产品投放市场后第一个月销售100台,第二个月销售200台,第三个月销售400台,第四个月销售790台,则下列函数模型中能较好地反映销量y(单位:台)与投放市场的月数x之间函数关系的是()A.y=100xB.y=50x2-50

x+100C.y=50×2xD.y=100log2x+100答案:C解析:根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知,应为指数型函数模型.2.用长度为24的材料围一矩形场地,中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的

长度为()A.3B.4C.6D.12答案:A解析:设隔墙的长为x(0<x<6),矩形面积为y,则y=x·24-4𝑥2=2x(6-x)=-2(x-3)2+18,故当x=3时,y最大.3.一股民购进某只股票,在接下来的交易时间内

,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况答案:B解析:设该股民购买这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10

%)n=a×1.1n元,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故该股民这只股票略有亏损.4.某市盛产杨梅,杨梅果味酸甜适中,有开胃健脾、

生津止渴、消暑除烦、抑菌止泻、降血脂血压等功效.杨梅的保鲜时间很短,当地技术人员采用某种保鲜方法后可使得杨梅采摘之后的时间t(单位:小时)与失去的新鲜度y满足函数关系y={11000𝑡2,0≤𝑡<10,𝑚𝑎𝑡,10≤𝑡≤100,其中m,a为常数.已知采用该种保鲜方

法后,杨梅采摘10小时之后失去10%的新鲜度,采摘40小时之后失去20%的新鲜度.如今我国物流行业蓬勃发展,为了保证该市的杨梅运输到北方某城市销售时的新鲜度不低于85%,则物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过(参考数

据:log23≈1.6)()A.20小时B.25小时C.28小时D.35小时答案:C解析:当10≤t≤100时,y=mat,由题意可得{10%=𝑚𝑎10,20%=𝑚𝑎40,解得{𝑎=2130,𝑚=110×2-13,为使新鲜度不低于85%,即不能失去超过15%的新鲜度,则有1

5%≥110×2-13×2𝑡30,即2𝑡30≤32×213=3×2-23,因此log22𝑡30≤log2(3×2-23)=log23-23,即𝑡30≤log23-23,则t≤30log23-20≈48-20=28,即物流时间(从杨梅采摘的时刻算起)不能超过28小时.5.设某公司原有员工1

00人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则

最多能分流的人数是.答案:16解析:由题意,分流前每年创造的产值为100t万元,分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则{0<𝑥<100,𝑥∈N*,(100-𝑥)(1+1.2𝑥%)𝑡≥

100𝑡,解得0<x≤503.因为x∈N*,所以x的最大值为16.6.某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为18m2,经过3个月其覆盖面积为27m2.现水葫芦覆盖面积y(单位:m2)与经过时间x(x∈N)个月的关系有两个函数模型y=ka

x(k>0,a>1)与y=p𝑥12+q(p>0)可供选择.(参考数据:√2≈1.414,√3≈1.732,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(2)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个

月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.解(1)由于y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快,y=p𝑥12+q(p>0)的增长速度越来越慢.故依据题意应选函数y=kax(k>0,a>1),则有{𝑘𝑎2=18,

𝑘𝑎3=27,解得{𝑎=32,𝑘=8,即y=8×(32)𝑥(x∈N).(2)由(1)知,当x=0时,y=8.由经过x个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍,得8×(32)𝑥=8×1000,解得x=log32

1000=lg1000lg32=3lg3-lg2≈17.04.故原先投放的水葫芦的面积为8m2,约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.二、综合应用7.已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a√𝐴(a为常数),广告效应为D=R-A.那么商人为了取得最大广告效应

,投入的广告费应为.(用常数a表示)答案:14a2解析:令t=√𝐴(t≥0),则A=t2,则D=a√𝐴-A=at-t2=-(𝑡-12𝑎)2+14a2,当t=12a,即A=14a2时,D取得最大值.8.某商家推行亲子款十二生肖纪念章.通过市场调查,

得到该纪念章每枚的市场价y(单位:元)与上市时间x(单位:天)的数据如下:上市时间x/天41036市场价y/元905190(1)根据上表数据,为描述亲子款十二生肖纪念章的市场价y与上市时间x的变化关系,从下列函数中选取一个最佳的函数模型是.①y=ax+b;②y=ax2+bx

+c;③y=logax.(2)利用你选取的函数,求亲子款十二生肖纪念章的市场价最低时的上市时间及最低价格.(3)设你选取的函数为y=f(x),若对任意实数k,方程f(x)=kx+2m+120恒有两个相异实数根,求m的取值范围.解:(1)由于市场价y随上市时间x的增大而先减小后增大,而模型①

③均为单调函数,不符合题意,故选择二次函数模型②.(2)由题表中数据可知{16𝑎+4𝑏+𝑐=90,100𝑎+10𝑏+𝑐=51,-𝑏2𝑎=4+362,解得{𝑎=14,𝑏=-10,𝑐=126.得函数

模型为y=14x2-10x+126=14(x-20)2+26.故当市场价最低时的上市时间为20天,最低价格为26元.(3)由于f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+120,则14x2-(10+k)x+

6-2m=0恒有两个相异实数根,即Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,即-2m<k2+20k+94.由于k2+20k+94=(k+10)2-6≥-6,得-2m<-6,m>3.故m的取值范围是(3,+∞).三、探究创新9.某企业开发出了一种新产品,预计能

获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励,并讨论了一个奖励方案:奖金y(单位:万元)随经济收益x(单位:万元)的增加而增加,且y>0,奖金金额不超过20万元.(1)请你为该企业构建一个y关于x的函数模型,并说明你的函数模型符合

企业奖励要求的理由;(答案不唯一)(2)若该企业采用函数y={150𝑥+1,50≤𝑥≤500,19+1-𝑎𝑥,500<𝑥≤1500作为奖励函数模型,试确定实数a的取值范围.解:(1)答案不唯一.构造出一个函数,说明是单调递增函

数,函数的取值满足要求.如,y=1100x+1,x∈[50,1500],就是符合企业奖励的一个函数模型.理由:根据一次函数的性质,易知y随x的增大而增大,当x=50时,y=1100×50+1=32>0,当x=1500时,y=1100×1500+1=16<20,即奖

金金额y>0且不超过20万元.故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.(2)当50≤x≤500时,易知y=150x+1单调递增,且当x=50时,y=150×50+1=2>0,当x=500时,y=150×500+1=11<20,即满足奖金y>0且不超过20万的要求;故当50≤x≤50

0时,y=150x+1符合企业奖励要求.当500<x≤1500时,函数f(x)=19+1-𝑎𝑥单调递增,即对任意x1,x2∈(500,1500],且x1<x2时,f(x1)-f(x2)=(1-a)𝑥2-𝑥1𝑥1𝑥2<0成立.故当且仅当1-a<0,即a

>1时,此时函数在区间(500,1500]上单调递增.由19+1-𝑎500≥0,得a≤9501;进一步可知,1-𝑎𝑥<0,故y=19+1-𝑎𝑥<19<20成立,即当1<a≤9501时,函数符合奖金y>0且金额不超过20

万的要求.依据函数模型y={150𝑥+1,50≤𝑥≤500,19+1-𝑎𝑥,500<𝑥≤1500是符合企业的奖励要求,即此函数为增函数,于是,有150×500+1≤19+1-𝑎500,解得a≤4001.综上所述,所求实数a的取值范围是(1,4001].