【文档说明】陕西省千阳县中学2020-2021学年高二上学期数学（文）检测题（四）含答案.docx，共(22)页，979.801 KB，由小赞的店铺上传

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陕西省千阳县中学2020-2021高二第一学期数学（文）检测题（四）考试时间：120分钟；满分：150分班级：姓名：成绩：一、选择题（每小题5分）1．已知R为实数集，A＝{x|x2﹣1≤0}，B＝{x|1x≥1}，则A∩(∁RB)＝（）

A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|0＜x≤1}C．{x|﹣1≤x≤0}D．{x|﹣1≤x≤0或x＝1}2．命题p：“35m”是命题q：“曲线22135xymm−=−−”表示双曲线”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件3．已知函数()fx的导函数是'()fx，'()fx的图象如图所示，下列说法正确的是（）A．函数()fx在(2,1)−−上单调递减B．函数()fx在3x=处取得极大值C．函数()fx在(1,1)−上单调递减D．函数()fx共有4个极值点4．若函数(

)yfx=可导，则“()0fx=有实根”是“()fx有极值”的（）．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．ABC的三边长分别为4，5，7，则该三角形的形状为（）A．没有满足要求的三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形6．

在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述:今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则二马相逢时，良马比驽马多走了多少路程（）A．440里B．540

里C．630里D．690里7．在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若sinsinsinabCacAB−=−+，则B=（）A．6B．4C．3D．238．已知数列na的通项公式：()11nann=+，则它的前n项和是（）A．1nn+B．1nn+C

．21nn+D．21nn+9．抛物线24yx=的焦点为F，点(3,2)A，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则PAF△周长的最小值为（）.A．4B．5C．422+D．555+10．已知数列na的前n项和为nS，且21nnSa=−，则66Sa=（）A．6332B．3116C．1236

4D．12712811．直线l过椭圆2212xy+=的左焦点F，且与椭圆交于P、Q两点，M为PQ的中点，O为原点，若FMO是以OF为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（）A．22B．22C．32D．3212．已知函数()21ln2fxaxx=+，在其图象上任取两个不同的点()11,Pxy

、()()2212,Qxyxx，总能使得()()12122fxfxxx−−，则实数a的取值范围为（）A．()1,+B．)1,+C．()1,2D．1,2二、填空题（每小题5分）13．已知()fx为偶函数，当0x时，()()ln2fxxx=−+，则曲线()yfx=在点(

)()1,1f处的切线方程是__________．14．椭圆221164xy+=的弦AB中点为(1,1)M，则直线AB的方程___________15．长方体1111ABCDABCD−中，11,2ABBCBB===，

设点A关于直线1BD对称点为P，则点P与点1C之间的距离是_________16．已知函数(),e,xxxafxxxa=−，若存在实数b，使函数()()gxfxb=−恰有三个零点，则a的取值范围是__.三、解答题17．（10分）已知2:40paa

−，:q关于x的方程2230xxa−+=有实数根.若“pq”为真，“pq”为假，，求实数a的取值范围.18．（12分）已知函数2()xxfxe=．（1）求函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在区间1,2−+上的值域．19．（12分）在ABC的中，角A，B，C的对边分别

为abc，，，且sin(sinsin)sin0aAbABcC++−=（1）求角C；（2）若2c=，求+ab的取值范围.20．（12分）设1F、2F分别是椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N.（1）若直线MN的斜率为

34，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且15MNFN=，求a、b的值．21．（12分）已知1F、2F是椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右两个焦点，124FF=，长轴长为6，又A、B分别是椭圆C上

位于x轴上方的两点，且满足122AFBF=.（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形21ABFF的面积．22．（12分）已知函数()lnfxxax=−()0,xaR有两个零点12,xx，且12xx，（1）求a的取值范围；（2）证明：212xxe.参考答案1．C【分析】由集合的不等式描

述求集合A、B，根据集合的交补运算求A∩(∁RB)即可.【详解】∵R为实数集，A＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|1x≥1}＝{x|0＜x≤1}，∴∁RB＝{x|x≤0或x＞1}，∴A∩（∁RB）＝{x|﹣1≤x≤0}．故

选：C．2．A【分析】根据双曲线的标准方程，满足()()350mm−−，求出m的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义即可求解.【详解】曲线22135xymm−=−−表示双曲线，可得()()350mm−−，解得35m,命题p：“35m”是命题q：“曲线221

35xymm−=−−”表示双曲线”的充要条件,故选：A3．C【分析】对于选项A，函数()fx在(2,1)−−上单调递增，故A错误；对于选项B，函数()fx在(1,3)上单调递增，在(3,)+上单调递增，所以3x=不是()fx的极值点，故B错误；对于选项C，函数()fx在(1,1)−上单调递减，

故C正确；对于选项D，由导函数的图象得函数()fx共有3个极值点，故D错误.【详解】对于选项A，由导函数的图象得函数()fx在(2,1)−−上单调递增，故A错误；对于选项B，由导函数的图象得函数()fx在(1,3)上单调递增，在(3

,)+上单调递增，所以3x=不是()fx的极值点，故B错误；对于选项C，由导函数的图象得函数()fx在(1,1)−上单调递减，故C正确；对于选项D，由导函数的图象得函数()fx共有3个极值点，3,1xx=−=是极小值点，1x=−是极大值点，故D错误.故选：C.【点睛】结论点睛

：（1）函数()fx的()0fx在(,)ab上恒成立，则函数()fx在(,)ab上单调递增；函数()fx的()0fx在(,)ab上恒成立，则函数()fx在(,)ab上单调递减.（2）如果函数()fx的极值点是0x，则0

x附近左右两边的导数符号相反.4．A【分析】结合极值与充分、必要条件的知识确定正确选项.【详解】()0fx=，但()fx在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时()fx在零点处无极值，但()fx有极值则()fx在

极值处一定等于0.所以“()0fx=有实根”是“()fx有极值”的必要不充分条件.故选：A5．D【分析】结合余弦定理判断最大角后可得结论．【详解】解析：因为222457+，由余弦定理易知，最大角为钝角，该三角形为钝角三角形.故选：D．6．B【分析】根据等差

数列的前n项和，设出天数n，根据两前n项和之和为2倍，列出方程，即可求解.【详解】设良马每天所行路程为na，则na是以103为首项，以13为公差的等差数列，其前n项为nA，驽马每天所行路程为nb，则

nb是以97为首项，以12−为公差的等差数列，其前项为nB，设共用n天二马相逢，则21125nnAB+=,所以(1)(1)11031397()2250222nnnnnn−−+++−=，化简得2313600nn+−=，解得9

n=，9981031313952A==，922501395855B=−=，所以991395855540AB−=−=.故选：B.【点睛】解决数列与数学文化相交汇问题的关键：（1）读懂题意：会脱去数学文化的背景，读懂题意；（2）由题意，构造等

差数列或等比数列或递推关系式的模型；（3）利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项，通项公式或前n项和的公式.7．C【分析】根据条件由正弦定理可得222acbac+−=，再根据余弦定理可得2221cos22acbBac+−

==得出答案.【详解】由sinsinsinabCacAB−=−+，得abcacab−=−+，可得222abacc−=−所以222acbac+−=，则2221cos222acbacBacac+−===又0B，所以3B

=故选：C8．B【分析】利用裂项相消法可求得结果.【详解】()11111nannnn==−++，其前n项和11111111223111nnSnnnn=−+−++−=−=+++.故选：B.【点睛】方法点睛：本题重点考查了裂项相消法求解数列的前n项和的

问题，裂项相消法适用于通项公式为()()mfnfnd+形式的数列，即()()()()11mmdfnfndfnfnd=−++，进而前后相消求得结果.9．C【分析】求PAF△周长的最小值，即求PAPF+的最

小值，设点P在准线上的射影为D，由D，P，A三点共线求解.【详解】如图所示：设点P在准线上的射影为D，由抛物线的定义，得PFPD=，因此，PAPF+的最小值，即PAPD+的最小值，由平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时PAPD+最小，因此最小值为(1)314

Ax−−=+=，22(31)(20)22AF=−+−=，PAF周长的最小值为422+，故选：C.10．A【解析】由题意得，111121,1,nnnaaaaSS−=−==−，则21nnS=−，即666332Sa=，故选A

.11．B【分析】求得点()1,0F−，设直线l的方程为1xmy=−，设点()11,Pxy、()22,Qxy，将直线l的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点M的横坐标，由题意可得出点M的横坐标为12−，进而可求得m的值，即可得出直线l的斜率.【详解】在椭圆2212xy+

=中，22a=，21b=，则2221cab=−=，()1,0F−.若直线l的斜率为零，则直线l与x轴重合，此时，F、M、O三点共线，不合乎题意.设直线l的方程为1xmy=−，设点()11,Pxy、()22,Qxy，联立22112xmyxy=−

+=，消去x并整理得()222210mymy+−−=，()()222442810mmm=++=+，由韦达定理可得12222myym+=+，()2121222242222mxxmyymm+=+−=−=−++，所以，点M的横

坐标为122222xxm+=−+，由于FMO是以OF为底边的等腰三角形，12221222xxm+=−=−+，解得2m=.因此，直线l的斜率为122m=.故选：B.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程

，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx

的形式；（5）代入韦达定理求解.12．B【分析】根据()()12122fxfxxx−−结合120xx，可得出()()112222fxxfxx−−，可知函数()()2gxfxx=−在()0,+上为增函数，可得出()0gx，结合参变量分离法可求得实数a的取值范围

.【详解】由()()12122fxfxxx−−以及120xx，()()121222fxfxxx−−，所以，()()112222fxxfxx−−，构造函数()()212ln22gxfxxaxxx=−=+−，则()()12g

xgx，所以，函数()gx在()0,+上为增函数，由于()2agxxx=+−，则()0gx对任意的()0,x+恒成立，由()20agxxx=+−，可得22axx−+，当0x时，则

()222111yxxx=−+=−−+，当且仅当1x=时，等号成立，所以，1a，因此实数a的取值范围是)1,+.故选：B.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数()fx在区间D上单调递增()0fx

在区间D上恒成立；（2）函数()fx在区间D上单调递减()0fx在区间D上恒成立；（3）函数()fx在区间D上不单调()fx在区间D上存在极值点；（4）函数()fx在区间D上存在单调递增区间xD，使

得()0fx成立；（5）函数()fx在区间D上存在单调递减区间xD，使得()0fx成立.13．9(,0](,4)8−.【分析】本题考查了逻辑联结词，首先按照真命题求解出p与q的范围，然后分析条件可判断

出p与q一真一假，再分类讨论p真q假与p假q真的两种情况，最后取并集即可.【详解】解：若p为真，则04a；若q为真，则=980a−，即，98a.因为“pq”为真，“pq”为假，所以p与q

一真一假.若p为真，q为假，则948a，若q为真，p为假，则0a，综上可知，实数a的取值范围为9(,0](,4)8−.故答案为：9(,0](,4)8−.【点睛】关于逻辑联结词的考查，需要注意：（1）求解每个命题的范围时，需要按照真命题求解；（2）pq，有真则真；pq，有假

则假；p，与原命题真假相反；如果“pq”为真，“pq”为假，则p与q一真一假，需要分类讨论.14．（1）(),e+；（2）证明见解析.【分析】（1）通过求导，得出切点坐标，找到()fx有两个零点的等价条件，即可求出a的取值范围；（2）通过分析法得到要证212xx

e成立，即证()1212122lnxxxxxx−+成立，构造函数()()21ln1tgttt−=−+，通过求导证明在()0,1上()0gt即可.【详解】解：（1）令()ln0fxxax=−=，1

lnxxa=，令1lnyx=，21yxa=，当1y与2y相切时，如图所示：设切点为()00,lnxx，则11yx=，01011xxyxa===，0xa=，即切点坐标是(),lnaa，把(),lnaa代21yxa=，解得：ae=，若()yfx=有两个

零点12,xx，即1y，2y有2个交点，只需11ae即可，即ae，a的范围是(),e+；（2）由题意知：11ln0xax−=，22ln0xax−=，即11lnxxa=，22lnxxa=，()12

121lnlnxxxxa+=+①()12121lnlnxxxxa−=−，即1212lnln1xxaxx−=−②要证212xxe成立，即证212lnlnxxe成立，即证12lnln2xx+，由①知：即证()1212x

xa+，即证1212axx+，又由②知：即证121212lnln2xxxxxx−−+，即证()1212122lnxxxxxx−+，即证12112221ln1xxxxxx−+，令12xtx=，则01t，即证()21ln1

ttt−+，设()()21ln1tgttt−=−+，()01t，()()()()2311ttgttt+−=+，()gt在()0,1上单调递减，()()()2111ln1011gtg−=−=+

，即12112221ln1xxxxxx−+成立，故212xxe得证.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参

数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解15．（1）23C=；（2）4323，.【分析】（1）由已知和正弦定理得2220

aabbc++−=，再由余弦定理和角的范围可求得答案；（2）由余弦定理得2()4abab+−=，再根据基本不等式可求得其范围.【详解】解：（1）由sin(sinsinB)sin0aAbAcC++−=，及正弦定理得2220aabbc++−=，由余弦定理得2

221cos222abcabCabab+−−===−，又0C，所以23C=；（2）由2220aabbc++−=及2c=，得224aabb++=，即2()4abab+−=，所以221()4()4ababab=+−+，所以433ab+，当且仅当233ab==

时，等号成立，又2abc+=，所以4323ab+，所以+ab的取值范围为4323，.【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题

设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式

来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.16．（1）12；（2）7a=，27b=.【分析】（1）本题首先可根据题意得出M点坐标为2,bca，然

后根据直线MN的斜率为34得出223bac=，最后与222bac=−联立求解，即可得出结果；（2）本题首先可根据题意得出直线1MF与y轴的交点坐标为()0,2D以及()0,2D是线段1MF的中点，则24ba=，然后根据15MNFN=得出112DFFN=，则3,12Nc骣琪--琪桫

，代入椭圆方程中得2229114cab+=，最后通过转化与计算即可得出结果.【详解】（1）因为M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线MN的斜率为34，()2,0Fc，所以代入xc=，解得M点坐标为2,bca，因为()1,0Fc−，所以2324bac=，即223bac=，联立22

2223bacbac==−，解得12ca=或2ca=−（舍去），椭圆C的离心率为12.（2）因为直线MN在y轴上的截距为2，所以直线1MF与y轴的交点坐标为()0,2D，因为原点O是12FF的中

点，2MF与x轴垂直，所以()0,2D是线段1MF的中点，24ba=，24ba=，因为15MNFN=，所以112DFFN=，设()11Nxy,，易知10y，则()11222cxcy−−=−=，即11321xcy

=−=−，3,12Nc骣琪--琪桫，代入椭圆2222:1xyCab+=中得2229114cab+=，即()22229114abab−+=，()22941144aaaa−+=，解得7a=，2428ba==

，故7a=，27b=.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率的计算以及a、b值的求法，考查公式222bac=−的灵活应用，离心率公式为cea=，考查直线与椭圆相关问题的求解，考查计算能力，是难题.17．（1）22195xy+

=；（2）1534.【分析】（1）根据已知条件得出a、c的值，可求得b的值，由此可得出椭圆C的方程；（2）延长AB交x轴于点H，推导出2F为1FH的中点，可得点()6,0H，由题可得122yy=，设直线AB的方程为6xmy=+，联立直线AB的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，结合1

22yy=可求得m的值，再由1221AFHBFHABFFSSS=−△△四边形可求得结果.【详解】（1）由题意知2624ac==，所以32ac==，225bac=−=，所以椭圆C的方程为221

95xy+=；（2）设()11,Axy、()22,Bxy，()12,0F−、()22,0F，所以，()1112,AFxy=−−−，()2222,BFxy=−−，由122AFBF=，可得()12222xx−

−=−，122yy−=−，延长AB交x轴于H，因为122AFBF=，所以12//AFBF，且122AFBF=，所以线段2BF为1AFH△的中位线，即2F为线段1FH的中点，所以()6,0H，设直线AB的方程为6xmy=+，联立226195xmyxy=++=，消去x并整理得()2259

601350mymy+++=，()()2222604135591805270mmm=−+=−，解得3155m−或3155m.由韦达定理可得122260359myyym+=−=+，21222135259yyym==+

，所以，2222220135225959mymm=−=++，可得227925m=，结合题意可得935m=−，1221112212222114282622AFHBFHABFFSSSFHyFHyyyyyy=−

=−=−=−=△△四边形2120153594mm=−=+.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、()22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出

韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx的形式；（5）代入韦达定理求解.18．（1）单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)−+；（2）240,e．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即

可；（2）根据函数的单调性求出函数的极值点，从而求出函数的最值即可．【详解】解：（1）由题意得，(2)()xxxfxe−=，令()0fx，得02x，令()0fx，得2x或0x，故函数()fx的单调递增区间为(0,2)，单调递减区间为(,0),(2,)−+

．（2）易知241(0)0,(2),24efffe==−=，因为2221416(2)244eeeffee−−−=−=222221628(22)(22)0422eeeeeee−−+−==,所以1(2)2ff−．（或由244(2)9fe=，1343,244

94ef−=可得1(2)2ff−）,又当0x时，2()0xxfxe=，所以函数()fx在区间1,2−+上的值域为240,e．【点睛】确定函数单调区间的步骤：第一步，确定函数()fx的定义域；第二步，求'()fx；第三步，解不等式'()0

fx，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式'()0fx，解集在定义域内的部分为单调递减区间．19．10xy++=【分析】先根据函数的性质求出函数方程，再根据导函数求切线斜率，点斜式写出切线方程即可.【详解】令0x，则0x−，因为当0

x时，()()ln2fxxx=−+，所以()ln2−=−fxxx，又()fx为偶函数，所以()()ln2=−=−fxfxxx，所以当0x时，()ln2fxxx=−，所以()12f=-，又()12fxx=−，所以()11f=−，

所以曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程是()21yx+=−−，即10xy++=.故答案为：10xy++=【点睛】本题主要考查函数的性质和切线方程，解题的关键是会利用导函数求切线斜率.20．1,1e−【分析】设函数()xx

hxe=，求得()1xxhxe−=，求得函数的单调性和极值，画出函数的图象，结合图象分类讨论，即可求解.【详解】设函数()xxhxe=，xR，则()1xxhxe−=，令()0hx=得：1x=，当(),1x−

时，()0hx，函数()hx单调递增；当()1,x+时，()0hx，函数()hx单调递减，又()11he=，故画出函数()hx的图象，如图所示：因为存在实数b，使函数()()gxfxb=−恰有三个零点，所以存在实数b，使方程()fxb=有三个实数根，所以存在实数b，使函数()fx与y

b=的图象有3个交点，因为函数(),,xxxafxexxa=−，结合函数()hx的图象和函数yx=−单调递减，所以1a，①当01a时，函数()fx的图象如图所示：显然存在实数b，使函数()fx与yb=的图象有3个交点，符合题意，②当0a时，函数()fx的图象如图所

示：要存在实数b，使函数()fx与yb=的图象有3个交点，则1ae−，解得1ae−，所以10ae−，综上所述，a的取值范围是：1,1e−，故答案为：1,1e−.【点睛】有关函数零点的判定方法及策略：（1）直接法：令()0fx=，有几个解，函数就有几个零点；（2）

零点的存在定理法：要求函数()fx在区间,ab上连续不断的曲线，且()()0fafb，再结合函数的图象与性质确定零点的个数；（3）图象法：利用图象交点的个数，作出两函数的图象，观察其交点的个数，得出函数()fx的零点个数.21．450xy+−=【分析】设出,AB的

坐标，利用点差法求解出直线AB的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解出直线AB的方程，最后转化为一般式方程.【详解】设()()1122,,,AxyBxy，所以22112222416416xyxy+=+=，所以121212121

4xxyyyyxx+−−=+−，又因为1212122122xxyy+==+==，所以12121242AByykxx−−==−，所以1=4ABk−，所以()1:114ABlyx−=−−，即450xy+−=，故答案为：

450xy+−=.【点睛】思路点睛：已知椭圆中一条弦的中点坐标，求解该弦所在直线方程的思路：（1）可以通过先设出弦所在直线与椭圆的交点坐标，将坐标代入椭圆方程中并将两个方程作差；（2）得到中点和坐标原点连线的斜率与直线斜率的关系，从而根据直线的点斜式方程可求解出直线方程.22．

1【分析】画出过点A，线段1BD的平面图，因为P点是点A关于直线1BD对称点，所以1APDB⊥且1DB平分AP，设1APDBH=，11ADHPDH，分别求出113DPDA==，111DCAB==，1130PDC=，在11CDP中由余弦定理得即可求解.【详解】画出过点A，线段1BD的平面

图如图所示：过点A作1APDB⊥于点H，因为P点是点A关于直线1BD对称点，所以1APDB⊥且1DB平分AP，所以11ADHPDH，因为长方体1111ABCDABCD−中，11,2ABBCBB===，所以13AD=，12BD=，190DA

B=，所以130ADB=，130PDH=，所以1190303030PDC=−−=113DPDA==，111DCAB==，在11CDP中由余弦定理得22111111132cos301321312PCDCDPDCDP=+−=+−=，故答案

为：1【点睛】关键点点睛：本题的关键点是将空间距离转化到平面上求解，将问题转化到11CDP，由于点的对称性可得11ADHPDH，所以113DPDA==，111DCAB==，1130PDC=，由余弦定理得即可求1PC.