【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第二十四讲 基本不等式的应用（二） Word版含解析.docx，共(17)页，1.416 MB，由小赞的店铺上传

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第二十四讲：基本不等式的应用（二）【教学目标】1．掌握对应的基本不等式求解最值；2．通过分析实际问题，建立函数方程，通过基本不等式求解最优解.【基础知识】一、基本不等式：（1）2(,*)ababab+

R；（2）222()22ababab++.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化

成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.二、恒成立与能成立问题若()fxm恒成

立，则max()fxm；若()fxm恒成立，则min()fxm.若()fxm有解，则min()fxm；若()fxm有解，则max()fxm.【题型目录】考点一：基本不等式求参（恒成立与能成立问题）考点二：基本不等式实际应用（一）考点三：基本不等式拓展【考点剖析】

考点一：基本不等式求参（恒成立与能成立问题）例1．若对0x，0y，有21(2)()xymxy++恒成立，则m的取值范围是（）A．4mB．4mC．0mD．8m【答案】D【详解】因为0x，0y，所以2144(2)()22428xyxyxyxy

yxyx++=++++=，当且仅当2yx=时取等号，所以8m，故选：D．变式训练1．若对任意0x，32254xxxax++恒成立，则实数a的取值范围是（）A．5aB．59aC．5aD．9

a【答案】D【详解】因为对任意0x，不等式32254xxxax++，即不等式3225445xxxaxxx++=++恒成立，因为0x，可得4244xx+=，当且仅当4xx=时，即2x=等号成立，所以459xx++，所以9

a.故选：D.变式训练2．若1x时，不等式111xkx++−恒成立，则实数k的取值范围是（）A．(),4−B．(,4−C．)2+，D．()2+，【答案】A【详解】由题意可知：不等式111xk

x++−恒成立等价转化为min1[(1)2]1xkx−++−，因为1x，所以10x−，则11(1)22(1)2411yxxxx=−++−+=−−（当且仅当1(1)1xx−=−，也即2x=时等号成立），所以4k，故选：A.

变式训练3．若两个正实数x，y满足141xy+=，且不等式234yxmm+−有解，则实数m的取值范围（）A．()1,4−B．(),14,−−+C．()4,1−D．4,1−【答案】B【详解】解：∵不等式234yxmm+−有解，∴2min34yxmm+−，∵0x，

0y，且141xy+=，∴144422244444yyxyxyxxxyyxyx+=++=+++=，当且仅当44xyyx=，即2x=，8y=时取“＝”，∴min44yx+=，故234mm−，即()

()140mm+−，解得1m−或4m，∴实数m的取值范围是(),14,−−+．故选：B．考点二：基本不等式实际应用（一）例1．近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮

政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供((0,20)xx（万元）的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府x（万元）补贴后，产量将增加到(3)=

+tx（万件）．同时波司登制衣有限公司生产t（万件）产品需要投入成本为81(73)++txt（万元），并以每件42(8)+t元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴−成本．(1

)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y（万元）关于政府补贴x（万元）的表达式；(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y（万元）最大？【答案】(1)81453yxx=−−+；(2)6万元【详解】（1）428187

3ytxtxtt=++−++81422txt=+−−．因为()3tx=+，所以818134224533yxxxxx=++−−=−−++（2）因为81453yxx=−−+()81348

3xx=−++++．又因为(0,20x，所以8130,03xx++，所以()()81813231833xxxx+++=++（当且仅当81363xxx+==+即时取“=”）所以1

84830y−+=即当6x=万元时，y取最大值30万元．变式训练1．某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其

造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米（池壁厚忽略不计），设泳池的长为x米，写出泳池的总造价()fx，问泳池的长为多少米时，可使总造价()fx最低，并求出泳池的最低造价．【答案】225()80012000,((0,))fxxx

x=+++，泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．【详解】因为泳池的长为x米，则宽为200x米．则总造价200200()4002210060200((0,))fxxxxx=++++，整理得到225(

)800120001600151200036000((0,))fxxxx=+++=+，当且仅当15x=时等号成立．故泳池的长设计为15米时，可使总造价最低，最低总造价为36000元．变式训练2．常州在中

国工业大奖和工业强基工程项目双双位列全国地级市第一，已知常州某零件装备生产企业2023年的固定成本为2500万元，每生产100x件零件，需另投资()Cx(单位：万元)，经计算与市场评估得210100,040()100005014500,40xxxC

xxxx+=+−，调查发现，零件装备售价5万元，且全年内生产的零件装备当年能全部销售完(其中*Nx).(1)预测出2023年的利润()Lx(单位：万元)的函数表达式(利润=销售额—成本)；(2)当2023年

装备产量为多少时，常州该企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)2104002500,040()100002000,40,NxxxLxxxxx−+−=−+(2)当2023年生产100件时，该企业获得的

利润最大，最大利润为1800万元【详解】（1）根据题意，当040x时，()25100101002500Lxxxx=−−−2104002500xx=−+−；当40x时，()10000510050145002500Lxxxx=−−+−100002000xx

=−+；故2104002500,040()100002000,40,NxxxLxxxxx−+−=−+；（2）根据题意，当040x时，()()2210400250010201500Lxxxx=−+−=

−−+，当20x=时，()()201500LxL=；当40x时，()10000100002000200021800Lxxxxx=−+−=，当且仅当100x=时等号成立，则有()()1001800LxL=；由()()20100LL，故()max1800

Lx=；故当100x=时，即当2023年生产100件时，该企业获得的利润最大，最大利润为1800万元.变式训练3．如图设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为40cm，把△ABC沿AC向△ADC翻折成为△AEC，AE交DC于点P．设AB

xcm=．(1)若13DPAB＞，求x的取值范围；(2)设△ADP面积为S，求S的最大值及相应的x的值．【答案】(1)()3010320−，；(2)102x=，23002002cm−【详解】（1）由矩形周长为40cm，可知()20cmADx=−，设cmDPa=，则()cmPCxa=−∵AD

PCEP△△，∴()cmAPPCxa==−．在RtADP中，222ADDPAP+=，即()()22220xaxa−+=−，得20020ax=−，由题意，2001203xx−＞，即2606000xx−+，解得3010330103x−+＜＜，由ABAD得，1020x，∴301

0320x−＜＜，即x的取值范围是()3010320−，．（2）因为()11200202022SADDPxx==−−，1020x．化简得20030010Sxx=−+．∵0x，∴200202xx+，当

且仅当200xx=，即102x=时，min200()202xx+=，2max3002002cmS=−.考点三：基本不等式拓展例1．均值不等式(0,0)2ababab+可以推广成均值不等式链，在不等式证明和求最值中有广泛的应用，具体为：222(0,0)1

122ababababab+++.(1)证明不等式2112abab++.(2)上面给出的均值不等式链是二元形式，其中22(0,0)22ababab++指的是两个正数的平方平均数不小它们的算数平均数，类比这个不等式给出对应的三元形

式，即三个正数的平方平均数不小于它们的算数平均数，并尝试用分析法证明猜想.（n个数的平方平均数为22212naaan++）【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【详解】（1）由题意可知，0,0ab，则0,0baab1111122222

222ababababbaba++=++++=（当且仅当ab=时，取等号）2112abab++（2）要证()2221231231230,0,033aaaaaaaaa++++.只要证()222212313339aaaaaa++++.即证()222

223123333aaaaaa++++.()2222123123122313222aaaaaaaaaaaa++=+++++22222212122323131322,2,aaaaaaaaaaaa+++（当且仅当123aaa==时，取

等号）()()22222222222212312231312312312322322aaaaaaaaaaaaaaaaaa+++++++++++=+即()222223123333aaaaaa++++（当且仅当123aaa==时，取等号）()222

1231231230,0,033aaaaaaaaa++++.证毕.变式训练1．根据高一课本基本不等式章节知识所学，我们知道基本不等式()2,abababR++，那么类比可得()3,,xyzxyzxyzR+

++，那么根据上述结论，则32124(04)4ytttt=−+的最大值为________.【答案】6427【详解】解：由已知()2,abababR++可得2()2abab+，又()3,,xyzxyzxyzR+++，则类比可得3()3xyzxyz++(),,

xyzR+，又04t，所以40t−，则32231112(4)4)6424(2)(4)[]488327tttttttt+−+−−+=−=，当且仅当24tt=−，即43t=时取等号，故答案为6427.变式训练2．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，

其表述如下：设a，b，x，y>0，则()222ababxyxy+++，当且仅当abxy=时等号成立．根据权方和不等式，函数291()(0)122fxxxx=+−的最小值为（）A．16B．25C．36D．49【

答案】B【详解】因a，b，x，y>0，则()222ababxyxy+++，当且仅当abxy=时等号成立，又102x，即120x−，于是得22223(23)()252122(12)fxxxxx+=+=−+−，当

且仅当23122xx=−，即15x=时取“=”，所以函数291()(0)122fxxxx=+−的最小值为25.故选：B变式训练3．我们学习了二元基本不等式：设0a,0b,2abab+,当且仅当ab=时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式

，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值.（1）对于三元基本不等式请猜想：设0,0,c0,3abcab++>>>当且仅当abc==时，等号成立（把横线补全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式

证明：设0,0,0,abc求证：()()2229abcabcabc++++?(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：设0,0,c0,1,ababc>>>++=求()()()111abc---的最大值.【答案】（1）33abcabc++³

（2）证明见解析（3）827【详解】（1）通过类比,可以得到当0a,0b,0c时33abcabc++³,当且仅当abc==时,等号成立；（2）证明：0a,0b,0c,由（1）可得22232223abcabc++,()()

22233222333333abcabcabcabcabcabc++++壮?=()()2229abcabcabc++++（3）解：由（1）可得,33abcabc++,即33abcabc++,由题,已知0a

,0b,0c,1abc++=,10abc−=+,10bac−=+，10cab−=+,()()()()()()()()()()33322811133327bcacababcbcacababc轾轾骣+++++犏琪---=+++?++==犏琪犏犏臌桫臌当且仅

当bcacab+=+=+,即abc==时取等,即()()()111abc---的最大值为827【课堂小结】1．知识清单：(1)利用基本不等式求最值．(2)利用基本不等式求解取值范围．(3)实际应用问题，基本不等式求解最优解．2．方

法归纳：配凑法．3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．【课后作业】1、当1x时，不等式11xax+−恒成立，则实数a的取值范围是（）A．(2−，B．)2+，C．)3+，D．(3−，【答案】D【详解】当1x时，不

等式11xax+−恒成立，11axx+−对1x均成立．由于111121311xxxx+=−+++=−−，当且仅当2x=时取等号，故11xx+−的最小值等于3，3a，则实数a的取值范围是(3−，．故选：D．2、若对于任意0x，231x

axx++恒成立，则a的取值范围为（）A．1,5+B．1,5+C．()0,+D．()5,+【答案】B【详解】解：因为对于任意0x，231xaxx++恒成立，所以2max31xaxx++，因为0x，所以1

122xxxx+=，当且仅当1x=时等号成立，所以21113153xyxxxx==++++，所以15a，即a的取值范围为1,5+，故选：B.3、若关于x的不等式220xax−+在区间1,5上恒成立，则

a的取值范围为（）A．()22,+B．(),22−C．(),3−D．27,5−【答案】B【详解】当1,5x时，由220xax−+可得2axx+，则min2axx+，由基本不等式可得22222xxxx+=，当且仅当2x=时，

等号成立，所以，22a.故选：B.4、已知0x，0y，且211xy+=，若2xym+恒成立，则实数m的取值范围是（）A．(),9−B．)7,+C．)9,+D．(),7−【答案】A【详解】因为0x，0y，且211xy+=，则()2122222

5529xyxyxyxyyxyx++=+++=，当且仅当3xy==时，等号成立，即2xy+的最小值为9，因为2xym+恒成立，则9m.故选：A.5、已知正实数x，y满足230xyxy+−=，若32xyt+恒成立，则实数t的取值范围是（）A．25tB．25tC．24

t≤D．24t【答案】A【详解】由正实数x，y，230xyxy+−=，则231yx+=，即()23666632329413225xyxyxyxyyxyxyx+=++=++++=，当且仅当66xyyx=，即5xy==时，等号成立，则25t，故选：A.

6、若正数,xy满足1xy+=，且不等式4101mxy+−+恒成立，则实数m的最大值为（）A．447B．275C．143D．92【答案】D【详解】0x>，0y，1xy+=，12xy++=，∴()()4114114119

1145241212122yxxyxyxyxy++=+++=++++=+++当且仅当411yxxy+=+，即12xy+=时等号成立，解得13x=，23y=时等号成立，因为不等式4101mxy+−+恒成立，所以min411mx

y++，即92m所以，实数m的最大值为92.故选：D．7、设0x，0y，不等式110mxyxy+++恒成立，则实数m的最小值是（）A．2−B．2C．1D．4−【答案】D【详解】∵0

x，0y，不等式110mxyxy+++恒成立，即11()mxyxy−++恒成立，∴只需max11()mxyxy−++,∵11()2224xyxyxyxyyxyx++=+++=，当且仅当xy=时取等号.所以11()4xyxy−+

+−，∴4m−，∴m的最小值为4−，故选：D8、若两个正实数x，y满足40xyxy+−=，且不等式26xymm−恒成立．则实数m的取值范围是（）A．[2,8]−B．(2,8]−C．[2,6]−D．(2,6]−【答

案】A【详解】解：因为44xyxy+，40xyxy+−=，所以40xyxy−，解得4xy（0xy），所以16xy，当且仅当48xy==时，取等号，所以xy的最小值为16，则不等式26xymm−恒成立，即为2616mm−，解得2

8−m，所以实数m的取值范围是[2,8]−.故选：A.9、已知abc，若14mabbcac+−−−恒成立，则m的最大值为（）A．3B．4C．8D．9【答案】D【详解】由abc，知0ab−，0bc−，0ac−，由14mabbcac+−−−…，得14(

)()macabbc−+−−„，又acabbc−=−+−，1414()()[()()]()acabbcabbcabbc−+=−+−+−−−−4()4()5529abbcabbcbcabbcab−−−−=+++=−−−−…，当且仅当4()abbc

bcab−−=−−，即2()bcab−=−时，14()()acabbc−+−−取得最小值9，9m„，m的最大值为9．故选：D．10、某单位建造一间地面面积为212m的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不超过6米，房屋正面的造价为400

元2/m，房屋侧面的造价为150元2/m，屋顶和地面的造价费用合计为5800元．(1)把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域．(2)当侧面的长度为多少时，总造价最低，最低总造价是多少？【答案】(1)16900()5800(06)yxxx=++(2)当侧面长度为

4米时，总造价最低，最低总造价为13000元【详解】（1）侧面长度为x，则正面长度为12mx，12163215034005800900()5800(06)yxxxxx=++=++．（2）由（1）知，06x，由均值不等式得：161628xxxx+=，当且仅当

16xx=即4x=时，“=”成立，符合条件，所以9008580013000y+=元，所以当侧面长度为4米时，总造价最低，最低总造价为13000元．11、如图所示，有一批材料长为24m，如果用材料在

一边靠墙（墙足够长）的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成两个面积相等的矩形，那么围成的矩形场地的最大面积是多少？【答案】矩形面积最大为48平方米【详解】由题意所示3224xy+=，3122yx=−，∵00，xy，∴08x，∴2232408Sxyxxx==−+

（），函数的对称轴为2446x==，∴当4x=时，面积取得最大值，为3169648−+=，（或者：由于08x，所以()2282324383482xxSxyxxxx−+==−+=−=，当且仅当8xx−=，即4x=时取等号.）∴矩形面

积最大为48平方米．12、为提高隧道车辆通行能力，研究了隧道内的车流速度v（单位：千米/小时）和车流密度x（单位：辆/千米）所满足的关系式：()50,0306065,30120160xxvkkxx−=−−

．研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时．(1)若车流速度40v千米/小时，求车流密度x的取值范围；(2)隧道内的车流量y（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足yxv=，求隧道内车流

量y的最大值，并指出车流量最大时的车流密度x辆/千米．【答案】(1)(0,56(2)最大值为2600辆/小时，此时车流密度x为80辆/千米【详解】（1）由题意知，当120x=（辆/千米）时，0v=（千米/小时），代入65160kvx=−−得2600k=，所以50,030

6260065,30120160xxvxx−=−−当030x时，50406xv=−，易知符合题意；当30120x时，26006540160vx=−−，解得56x，所以3056x．综上，车流密度x的取

值范围是(0,56．（2）由（1）知50,0306260065,30120160xxvxx−=−−所以当030x时，506xyx=−为增函数，所以1350y，当且仅当30x=等号成立；当30120x时，()

260040640065656520065160160160160xxyxxxxxx=−=−=−−+−−−()6400130006521602600160xx−−=−，即

2600y，当且仅当6400160160xx−=−，即80x=等号成立．综上：y的最大值为2600（辆/小时），此时80x=（辆/千米）．即隧道内车流量y的最大值为2600辆/小时，此时车流密度x为80辆/千米．13、志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD，已知点E在边CD

上，AE＝CE，AB＞AD，且矩形的周长为8cm.(1)设AB＝xcm，试用x表示出图中DE的长度，并求出x的取值范围；(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空，如果要使△ADE的面积最大，那么应怎样设计队徽的长和宽.【答案】(1)84(24)DEx

x=−(2)队徽的长和宽分别为22,422−【详解】（1）由题意可得4ADx=−，且40xx−，可得24x，由CEAExDE==−，在直角三角形ADE中，可得222AEADDE=+，即222()(4)xDExDE−=−+，化简可得84(24

)DExx=−；（2）118(4)422ADESADDExx==−−△88262621282xxxx=−−−=−，当且仅当22x=时，即队徽的长和宽分别为22,422−，可得△ADE的面积取得最大值.14、．

（1）对于两个正数a，b，我们把211ab+称为它们的调和平均数，ab称为它们的几何平均数.求证：两个正数的调和平均数不大于它们的几何平均数；（2）已知0a，0b，且1ab+=，求91yab=+的最小值及取最小值时a，b的值.【答案】（1）见解析；（2）16；31,44a

b==【详解】（1）因为0a，0b，所以0,0ab，所以()20ab−，即20abab+−，故2abab+，所以21abab+，则2ababab+，即2ababab+，故211abab+，上述不等式当且仅当ab=，即ab=时，等号成立，所以211abab

+.（2）因为0a，0b，1ab+=，所以()9191991010216babayababababab=+=++=+++=，当且仅当9baab=且1ab+=，即31,44ab==时，等号成立，所以91yab=+的最小值为16，此时31,44ab==.