【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第二十三讲 基本不等式的应用（一） Word版含解析.docx，共(25)页，1.662 MB，由小赞的店铺上传

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第二十三讲：基本不等式的应用（一）【教学目标】1．掌握对应的基本不等式求解最值2．掌握公式，凑项，凑系数，分离，常数代换，换元，平方等方法求解最值【基础知识】基本不等式：（1）2(,*)ababab+R；（2）222()22ababab++.基本不等式求

最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是

利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．【题型目录】考点一：公式直接应用考点二：凑项考点三：凑系数考点四：分离考点五：常数代换（1代换）考点六：平方考点七：消

元考点八：构建目标不等式【考点剖析】考点一：公式直接应用基本不等式：积定和最小，和定积最大.例1．已知0,0,42abab+=，则ab的最大值为（）A．14B．12C．1D．2【答案】A【详解】因为0,0,42abab+=，由基本不等式可得24244ababab=+=，可

得14ab，当且仅当4ab=，即11,4ab==时，等号成立，所以ab的最大值为14.故选：A.变式训练1．已知0,0xy，且7xy+=，则()()12xy++的最大值为（）A．36B．25C．16D．9【答案】B【详解】解：由7xy+=，得()()1210xy+++=，

则()()()()21212252xyxy+++++=，当且仅当12xy+=+，即4,3xy==时，取等号，所以()()12xy++的最大值为25.故选：B.变式训练2．已知0,0ab，且1ab+=，则22ab+的最小值为（）A．14B．12

C．1D．2【答案】B【详解】由222abab+（当且仅当ab=时等号成立），得222222244abababab+++++，即222()24abab++，即22124ab+，2212ab+，当且仅当a=b=12时等号成立.所以22ab+的最小值为12.故选：B.变式训练3

．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式()()()Sppapbpc=−−−求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足3,1abc+==，则此

三角形面积的最大值为（）A．2B．53C．15D．22【答案】D【详解】根据题意可知()122pabc=++=，所以()()()2(2)(2)Sppapbpcab=−−−=−−，由42abcaaa++=+=>，所以20a−，同理可得20b−；由基本不等式可得221(2)(2)22abab−

+−−−=，当且仅当32ab==时，等号成立；即22(2)(2)2Sab=−−；即此三角形面积的最大值为22.故选：D考点二：凑项凑项：凑出乘积为定值的ab值.例2．函数15()()22=+−

fxxxx有（）A．最大值92B．最小值92C．最大值4D．最小值4【答案】D【详解】解：因为52x，所以122x−，所以()()()111222224222fxxxxxxx=+=−++−+=−−−，当且仅当122xx−=−，即3x=时取等号，所以函数15()22fxxx

x=+−有最小值4.故选：D变式训练1．函数11yxx=++在)0+，上的最小值是（）A．-2B．1C．2D．3【答案】B【详解】因为)0x+，，所以()()111112111111yxxxxxx=+=++−+−=+++，当且仅当111xx+=+，即0x=时，等号成立

，故11yxx=++在)0x+，上的最小值为1.故选：B变式训练2．已知实数x满足102x，则1821yxx=+−的最大值为（）A．4−B．0C．4D．8【答案】B【详解】由102x得到1210x−−，则0121x

−，11184(21)4[4(12)]4212112yxxxxxx=+=−++=−−++−−−124(12)4012xx−−+=−，当且仅当14x=上式取等号，则1821yxx=+−的最大值为0.故选：B.变式训练3．2241xx++的最小值等于（）A．3B．52C．2D．无最小值【答

案】A【详解】因为20x，则211x+，所以()()222222444121311111xxxxxx+=+−−=+++++，当且仅当22411xx=++，即21x=，1x=时取等号，所以2241xx++的最小值等于3.故

选：A考点三：凑系数凑系数：凑出和为定值的ab+值.例3．已知01x，则当(55)xx−取最大值时，x的值为（）A．54B．12C．13D．34【答案】B【详解】由01x，可得10x−，则215(55)5(1)

5()24xxxxxx+−−=−=，当且仅当1xx=−，即12x=时取等号，所以12x=时，(55)xx−取得最大值.故选：B.变式训练1．若104x，则(14)xx−取最大值时x的值是（）A．14B．16C．1

8D．10【答案】C【详解】104x，则140x−，所以2114141(14)4(14)()44216xxxxxx+−−=−=，当且仅当414xx=−即18x=时等号成立.故选：C．变式训练2．已知正数x，y满足22xy+=，则xy的最大值为（）

A．2B．1C．12D．14【答案】C【详解】因为正数x，y满足22xy+=，所以()2112122222xyxyxy+==，当且仅当2xy=且22xy+=，即11,2xy==时取等号，所以xy的

最大值为12.故选：C.变式训练3．设220,0,12yxyx+=，则21xy+的最大值为（）A．1B．22C．324D．2【答案】C【详解】因为2212yx+=，所以22022yx=−，解得：0,1x，故()222222223212232

232122242232xxxxxxxyxx+−+===+=−−−，当且仅当22232xx=−，即32x=时，等号成立，故21xy+的最大值为324.考点四：分离例4．函数()()25301xxfxxx−+=+…的最小值是（）A．

1−B．3C．6D．12【答案】A【详解】()()()2539170.11xxfxxxxx−+==++−++…因为0x，…所以912961xx++=+…，(当且仅当13x+=，即=2x时，等号成立).故()fx最小值为1−，故选：A变式训练1．当0x时，函数23

1xxyx++=+的最小值为（）A．23B．231−C．231+D．4【答案】B【详解】因为0x，所以()()23333112112311111xxyxxxxxxx++==+=++−+−=−++++，当且仅当311xx=++，即31x=−时，等号成立．故选：

B．变式训练2．已知正实数x，则224xxyx−+−=的最大值是（）A．1B．42C．42−D．142−【答案】D【详解】解：因为224421xxyxxx−+−==−++，又因为0x，所以40x，所以4422242xxxx+=，当且仅当42xx=时，即2x

=时等号成立，所以2244=21421xxyxxx−+−=−++−+，即y的最大值是142−.故选：D.变式训练3．若函数()()22422xxfxxx−+=−在xa=处取最小值，则=a（）A．15+B．2C．4D．6【答案】C【详解】

由题意，20x−，而()()()22222424422222xxxxfxxxxx−+−+−+===−++−−−()422262xx−+=−，当且仅当422xx−=−，即4x=时，等号成立，所以4a=.故选

：C.考点五：常数代换（1代换）构造一个条件为1的等式，目标函数乘1，化简求解.例5．若()2310,0xyxy+=，则23xy+的最小值为（）A．16B．20C．24D．25【答案】D【详解】因为正数x、y满足231xy+=，所以，()236666231313225

yxyxxyxyxyxy++=+++=，当且仅当66231xyyxxy=+=时，即当5xy==时，等号成立，故23xy+的最小值为25.故选：D.变式训练1．若正实数x，y满足31xy+=．

则121xy+的最小值为（）A．12B．25C．27D．36【答案】C【详解】因为31xy+=，所以()12112136315yxxyxyxyxy+=++=++．因为,0xy，所以3636212yxyxxyxy+=，当且仅当36yxxy=

，即23x=，19y=时，等号成立，所以，121xy+的最小值为27．故选：C变式训练2．设,ab为正实数，且10abab+=，则9ab+的最小值为（）A．65B．1310C．85D．95【答案】C【详解】因为,ab为正实数

，且10abab+=，所以111110ab+=，所以()1111919899101021010105babaababababab+=++=+++=，当且仅当9baab=，即

229ab=，即22,515ab==时等号成立.所以9ab+的最小值为85.故选：C.变式训练3．已知正数,xy满足1xy+=，则141xy++的最小值为（）A．53B．2C．92D．6【答案】C【详解】1xy+=

，则()12xy++=，()2141141141141+52512121219yxyxxyxyxyxyxy+++=+++=++++++=.当141yxxy+=+，即23x=，13y=时等号成

立.故选：C考点六：平方例6．已知,xy为正实数，3210xy+=，求=32Wxy+的最大值．【答案】25【解析】∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋23x·2y≤10＋(3x＋2y)

＝20，当且仅当3x＝2y,3x＋2y＝10，即x＝53，y＝52时，等号成立．∴W≤25，即W的最大值为25.变式训练1．若1522x，则函数()2152fxxx=−+−的最大值为（）A．1B．2C．3D．22【答案】D【详解】1522x，210x−，520x−

，令21520yxx=−+−，两边平方()()2215222152422152yxxxxxx=−+−+−−=+−−，又()()2215221524xxxx−−−+−=，28y，022y，当且仅当2152xx−=−时，即当32x=时，等号成立，因此，()

fx的最大值为22，故选：D.变式训练2．设正数x，y满足2212yx+=，则21xy+的最大值为（）A．32B．322C．34D．324【答案】D【详解】因为正数x，y满足2212yx+=，所以2222xy+=，所以()()2222222

212222132121222224xyxyxyxy+++++=+==，当且仅当2222221xyxy+==+，即32,22xy==时，取等号，所以21xy+的最大值为324，故选：D变式训练3．已知0,0ab，且224abab+=+，则2+a

b的最大值为（）A．433B．233C．3D．4【答案】A【详解】()2220,0,224,(2)242442ababababababab++=++=+=++，化简得：216(2)3ab+，解得4323ab+，当且仅当24323abab

=+=，即2323ab==时取等号，故2+ab的最大值为433.故选：A.考点七：消元例7．已知0,0,210xyxyxy+−=，则xy+的最小值为（）A．221−B．22C．42D．421−【答案】D【详解】因为0,0xy，由210xyxy+−=，

得102yxy+=+，所以102yxyyy++=++8212yy=++−+82(2)14212yy+−=−+，当且仅当222y=−时，等号成立.故xy+的最小值为421−.故选：D变式训练1．已知正数,ab满足2240aab

−+=，则4ab−的最小值为（）A．1B．2C．2D．22【答案】B【详解】,0ab,2240aab−+=，则有22aba=+，2222242444aaaaabaaa−=+−=+=…，当且仅当24aa=，

即22a=时等号成立，此时322b=，故选：B.变式训练2．若4x，1y，且124xyxy=++，则xy+的最小值是（）A．5B．8C．13D．16【答案】C【详解】由题意4x，1y，124xyxy=++得

124xyx+=−，故161615444xyxxxx+=+++=+−−−，由于40x−，故161652513444()4xxxx++=−−−+−，当且仅当1644xx−=−即8x=时取等号，即13xy+

，故xy+的最小值是13，故选：C变式训练3．设x，y为正实数，若5224xyxy++=，则2xy+的最小值是（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【详解】解：因为x，y为正实数，且522(21)(1)14xyxyxy=++=++−

，令21mx=+，1ny=+，则94mn=，则22221xymnmn+=+−−=，当且仅当mn=，即12y=，14x=时取等号.故选：D．考点八：构建目标不等式例8．已知()222,Rxxyyxy−+=，则22xy+的最

大值为（）A．1B．2C．22D．4【答案】D【详解】222xxyy−+=可变形为222xyxy+−=，因为222xyxy+，所以222222xyxy++−≤，解得224xy+，当且仅当2xy==时，22xy+取到最大值4.故选:D．变式训练1．已知0x，0y，且3xyxy

++=，则xy+的最小值为（）A．2B．3C．22D．23【答案】A【详解】由3xyxy++=得()()114xy++=，0x>，0y，10x+，10y+()()112211422xyxyxy+=+++−++=−=当且仅当11xy+=+，即1

xy==时等号成立.故选：A.变式训练2．已知,(0,)ab+，且115abab+++=，则ab+的取值范围是（）A．[1,4]B．[2,)+C．(1,4)D．(4,)+【答案】A【详解】因为,(0,)ab+，由22abab+，可得()21

4abab+，又115abab+++=，可得()()()214151abababab++=+++，化为()()2540abab+−++，解得14ab+，则ab+的

取值范围是1,4.故选：A.变式训练3．已知正数x、y满足22933xyxy++=，则3xy+的最大值为（）A．1B．3C．2D．5【答案】C【详解】由题意得()()()2222239333334xyxyxyxyx

yxy+++=+−=+−，得()234xy+，即32xy+，当且仅当31xy==时，等号成立.因此，3xy+的最大值为为2.故选：C.【课堂小结】1．知识清单：(1)利用基本不等式求最值．(2)利用基本不等式求解取值

范围．(3)基本不等式的综合应用．2．方法归纳：配凑法、常值代换法．3．常见误区：忽略应用基本不等式求最值的条件(一正、二定、三相等)．【课后作业】1、若a，b为实数，且1ab=，则22ab+的最小值为（）A．2B．32C．3D．2【答案】D【详解】注意到，()22220ab

abab+−=−，则2222abab+=，当且仅当1ab==时取等号.故选：D2、已知,ab为正实数，且23ab+=，则ab的最大值为（）A．1B．2C．98D．73【答案】C【详解】由题意，,ab为正实数，且23ab+=，则2112922

228ababab+==，当且仅当2ab=，即32a=，34b=时取等号，所以ab的最大值为98.故选：C3、若>4x，则14yxx=+−的最值情况是（）A．有最大值6−B．有最小值6C．有最大值2−D．有最小值2【答案】B【详解】若>4x，则()1114

42446444=+=−++−+=−−−yxxxxxx，当且仅当144xx−=−即5x=等号成立，所以若>4x时，14yxx=+−有最小值为6，无最大值.故选：B.4、()221314xx++的最小值为（）A．93B．742+C．83D．743+【答案】

D【详解】()2222221113147127212743xxxxxx++=+++=+，当且仅当22112xx=，即4112x=时，等号成立，故()221314xx++的最小值为

743+.故选：D5、已知,,abc都是正实数，且1abbcac++=，则abc的最大值是（）A．39B．33C．1D．3【答案】A【详解】解：因为,,abc都是正实数，且1abbcac++=，所以()23133abbcacabc++=，则()3211327abc=，即32133

9abc=，当且仅当13abbcac===时，等号成立，所以abc的最大值是39，故选：A6、若102x，则214yxx=−的最大值为（）A．1B．12C．14D．18【答案】C【详解】102x，

()()222222211414114144142224xxyxxxxxx+−=−=−=−=当且仅当22414xx=−，即24x=时取等号则214yxx=−的最大值为14故选：C7、若正实数,xy满足2xy+=，则1xy的最小值为（

）A．1B．2C．3D．4【答案】A【详解】由题意，正实数,xy满足2xy+=，则222()124xyxy+==，当且仅当1xy==时，等号成立，即1xy，所以11xy，即1xy的最小值为1.故选：A.8、已知(

)()2,1,214xyxy−−=，则xy+的最小值是（）A．1B．4C．7D．317+【答案】C【详解】∵()()2,1,214xyxy−−=，∴(2)(1)32(2)(1)37xyxyxy+=−+−+−

−+=当且仅当43xy==时等号成立.故选：C9、已知0x，则44xx−+的最小值为（）A．－2B．0C．1D．22【答案】B【详解】∵0x，∴444240xxxx+−−=，当且仅当4xx=即2x=时等号成立．故选：B．10、已知函数()14245fxxx=−+−的定

义域为5,4−，则()fx的最大值为（）A．5B．5−C．1D．1−【答案】C【详解】5,,4x−令45,0,xtt−=()111423345fxxttxtt=−+=++=−−++−−1

231,tt−−+=−当且仅当1t=−即1x=时取得.()()max11.fxf==故选：C11、已知()0,0abtab+=，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于（）A．2B．2C．22D．4【答案】C【详解】因为()0,0abtab+=，所以22ababt+=，当且仅当a

b=时取等号，又ab的最大值为2，所以22t=，即22t=.故选：C.12、下列函数中，最小值为2的是（）A．1(0)yxxx=+B．11(1)yxx=+C．42(0)yxxx=+−D．22122yxx=+++【

答案】C【详解】由题意，对于A中，因为0x，所以111[()()]2()()2yxxxxxx=+=−−+−−=−−−，当且仅当1xx−=−时，即1x=−时等号成立，所以函数1(0)yxxx=+的最大值为2−，不符合题意；对于B中，函数()11yfxx==+在[1,)+上单调递

减，所以函数的最大值为()12f=，不符合题意；对于C中，442222yxxxx=+−−=，当且仅当4xx=，即=4x时等号成立，所以最小值为2，符合题意；对于D中，222211222222yxxxx=+++=++，当

且仅当22122xx+=+，即221x+=，即21x=−（显然不成立），所以最小值取不到2.故选：C.13、下列命题中正确的是（）A．函数1yxx=+的最小值为2.B．函数2232xyx+=+的最小值为2.C．函数423(

0)yxxx=−−的最小值为243−D．函数423(0)yxxx=−−的最大值为243−【答案】D【详解】对于A，0x时y为负值，故A错误对于B，22122yxx=+++，而22122xx+=+无解，无法取等，故B错误对于44232(3)(

0)yxxxxx=−−=−+4343xx+，当且仅当43xx=即233x=时等号成立，故423243yxx=−−−，D正确，C错误故选：D14、已知52x，则2332xxyx−+=−有（）A．最大值1B．最小值1C．最大值3D．最小值3【答案】D【详解】因为52x

，()22333611112122224xxxxyxxxxxx−+−++===+−=−++−−−−−()122132xx−+=−，当且仅当122xx−=−，即3x=时，等号成立，即2332xxyx−+=−有最小值3.故选：D.15、函数233(1)1xxyxx++=−+的

最大值为（）A．3B．2C．1D．-1【答案】D【详解】2233(1)(1)111xxxxyxx++++++==++1[(1)]1(1)xx=−−+++−+12[(1)]()111xx−−+−+=−+，当且仅当1111xx+==−+,即2x

=−等号成立.故选：D.16、若函数()()22422xxfxxx−+=−在xa=处取最小值，则a=（）A．15+B．2C．4D．6【答案】C【详解】由题意，20x−，而()()()22222424422222xxxxfxxxxx−+−+−+===−++−−−()422

262xx−+=−，当且仅当422xx−=−，即4x=时，等号成立，所以4a=.故选：C.17、下列说法正确的为（）A．12xx+B．函数()22243xyx+=+的最小值为4C．若0,x则(2)xx−最大值为1

D．已知3a时，44233+−−aaaa，当且仅当43=−aa即4a=时，43+−aa取得最小值8【答案】C【详解】对于选项A,只有当0x时，才满足基本不等式的使用条件，则A不正确；对于选项B,()22243xyx+=+()222

223122333xxxx++==++++，令()233xtt+=，即()223yttt=+在)3,+上单调递增，则最小值为min2832333y=+=,则B不正确；对于选项C,()()22(2)211111xxxxx−=−−++=−−+，则C正确；对于选项D,当3a时，()444

332337333aaaaaa+=−++−+=−−−，当且仅当433aa−=−时，即5a=，等号成立，则D不正确.故选：C.18、已知0a，0b，1ab+=，则11ab+的最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【

详解】因为0a，0b，1ab+=，所以()11112224babaababababab+=++=+++=,当且仅当12ab==时等号成立,故选:B19、已知非负数,xy满足1xy+=，则1912xy+++的最小值是（）A．3B．

4C．10D．16【答案】B【详解】由1xy+=，可得124xy+++=，19119()(12)12412129(1)129(1)(19)(102)4412412xyxyxyyxyxxyxy+=++++++++++++=++++=++++当且仅当(21)3yx+=+取等号

，故选：B20、设,mn为正数，且2mn+=，则1312nmn++++的最小值为（）A．95B．74C．53D．32【答案】A【详解】2mn+=可得125mn+++=，1311111()(12)112125121121129(11)1(22)15

2152115nmnmnmnmnmnmnnmnm++=++=+++++++++++++++=++++++=++++当且仅当12mn+=+时成立，故选：A21、已知正实数x、y满足11132xyxy+=++，

则xy+的最小值为（）A．3225+B．3325+C．2225+D．2325+【答案】A【详解】设()()()()3223xymxynxymnmny+=+++=+++，可得2131mnmn+=+=，解得1525mn==，所以

，()()()22111133223532532xyxyxyxyxyxyxyxyxy+++=++++=++++++()2233132232552xyxyxyxy++=++++.当且仅当()

322xyxy+=+时，等号成立，因此，xy+的最小值为3225+.故选：A.22、设112yxx=+−，)1,2x，则y的最小值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】()11112222222xxyxxxxxx−=+−+=++

−−，因为)1,2x，所以20x−，则121222222222xxxxxxxx−−+++=−−，当且仅当22xxxx−=−，即1x=时取等号，所以y的最小值为2．故选：B.23、已知,0ab，4

abab+=，则+ab的最小值为（）A．10B．9C．8D．4【答案】B【详解】,0ab，4abab+=，411ab+=，()41445259babaababababab+=++=+++=，当且仅当4baab=时等号成立，故+ab的最小值为

9.故选：B.24、已知01x，则2631xx+−的最小值为（）A．20B．32C．203D．323【答案】D【详解】解：因为01x，所以10x−，则2621831333xxxx+=+−−()121

83333333xxxx=++−−166542183333xxxx−=+++−，因为10x−，0x，所以1665416654218221833333333xxxxxxxx−−+++++−−()132

23621833=++=，当且仅当6654333xxxx−=−，即12x=−（舍）或14x=时取等，故2631xx+−的最小值为323.故选：D25、已知正实数m，n满足()14mnn−=，则4mn+的最小值是（）A．25B．18C．16D．8【答案】C【详解】0

,0,(1)4mnmnn−=，则411mn+=，所以4116164(4)()88216mnmnmnmnmnnmnm+=++=+++=，当且仅当16mnnm=，即8,2mn==时等号成立．故选：C．26、已知正数,ab满足2ab+=，则411abab+++的最大值是（）

A．92B．114C．1D．73【答案】B【详解】4114(1)4145()111111ababababab+−+−+=+=−+++++++，因为2ab+=，所以(1)(1)4ab+++=，因此141141144()[(1)(1)]()1141

1411abababab+=+=++++++++++114(1)114(1)9[5][52]4114114babaabab++++=+++=++++，（当且仅当14(1)11baab++=

++时取等号，即21ba=+时取等号，即15,33ab==时取等号），所以4114(1)4149115()511111144ababababab+−+−+=+=−+−=++++++.故选：B.27、若,0ab，且3abab=++，则ab的取值范围是（）A．1a

bB．9abC．3abD．19ab【答案】B【详解】因为3abab=++，,0ab，所以323,ababab=+++即2()230abab−−，当且仅当3ab==时，等号成立；解得9ab或1ab−（舍）.故选：B.28、已知实数x，y满足22242xxyy−+=，则2xy

+的最大值为（）A．2B．2C．22D．4【答案】C【详解】22242xxyy−+=可变形为()2226xyxy+−=，因为2263232xyxyxy+=，所以()2222232xyx

y++−，解得22222xy−+，当且仅当2xy=时，即2x=，22y=时，等号成立2xy+取到最大值22，故选：C.29、已知a，b为正实数，且26abab++=，则下列选项错误的是（）A．ab的最大值为2B．2ab+的最小值为4C．ab+的最小值为

3D．1112+++ab的最小值为22【答案】C【详解】因为a，b为正实数，故6222abababab=+++，当且仅当2ab=即1,2ab==时取等号，解得02ab，即2ab，故ab的最大值为2，A正确；由62abab=++得628211abaa−==−++，所以()()628822

21422144111aabaaaaaa−+=+=++−+−=+++，当且仅当()8211aa+=+，即1a=时取等号，此时取得最小值4，B正确；8821342311abaaaa+=+−=++−−++，当且仅当811aa+=+，即

221a=−时取等号，C错误；1111112222121222622abababab+===++++++++，当且仅当12+=+ab即2,1ab==时取等号，此时1112+++ab取得最小值22，D正确．故选：

C．