【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题5.3 导数的运算（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(7)页，637.157 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.3导数的运算（重难点题型精讲）1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则3．复合函数的导数(1)复合函数的定义一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作y

=f(g(x)).(2)复合函数的求导法则复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为=，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.【题型1求函数的导数的方法】【方法点拨】1.总原则：先化简解析式，再求

导.2.具体方法：(1)连乘积的形式：先展开化为多项式的形式，再求导.(2)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导.(3)复杂分式：将分子凑成与分母相关的形式，化为简单分式的和、差，再求导.【例1】（2022·陕西·高二阶段练习（文）

）下列求导运算正确的是（）A．(ln𝑥)′=𝑥B．(sinπ5)′=cosπ5C．(cos𝑥)′=sin𝑥D．(𝑎𝑥)′=𝑎𝑥ln𝑎(𝑎>0,𝑎≠1)【变式1-1】（2021·广西·高二期中（文））下列各式正确的是（）.A．(sin10°)′=cos10°B．(cos𝑥)′

=sin𝑥C．(sin𝑥)′=cos𝑥D．(𝑥−5)′=−15𝑥−6【变式1-2】（2022·陕西·高二期末（理））已知函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，且满足𝑓(𝑥)=ln𝑥+𝑥2𝑓′(1)+𝑥，则𝑓′(−1)=（）A．323B．−323C．4D

．−4【变式1-3】（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知函数𝑓(𝑥)=𝑡2，𝑔(𝑥)=2cos𝑥，则（）A．𝑓′(𝑥)=0,𝑔′(𝑥)=−2sin𝑥B．𝑓′(𝑥)=2𝑡,𝑔′(𝑥)=−2sin𝑥C．𝑓′(

𝑥)=0，𝑔′(𝑥)=2sin𝑥D．𝑓′(𝑥)=2𝑡,𝑔′(𝑥)=2sin𝑥【题型2复合函数的求导方法】【方法点拨】(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；(2)分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；(3)相乘：把上述求导的结果相乘；(4)变量回代：把中

间变量回代.【例2】（2022·河北邢台·高三阶段练习）下列求导运算正确的是（）A．(sinπ5)′=cosπ5B．(𝑥2sin3𝑥)′=2𝑥sin3𝑥+𝑥2cos3𝑥C．(tan𝑥)′=1c

os2𝑥D．[ln(2𝑥−1)]′=12𝑥−1【变式2-1】（2022·全国·高三专题练习）下列求导运算正确的是（）A．(𝑥+1𝑥)′=1+1𝑥2B．[ln(4𝑥)]′=1𝑥C．(𝑥2𝑒𝑥)′=2𝑥+𝑥2�

�𝑥D．(𝑥2cos𝑥)′=2𝑥cos𝑥+𝑥2sin𝑥【变式2-2】（2022·河南南阳·高二期末（理））下列求导正确的为（）A．(2e−𝑥)′=2e−𝑥B．(ln2+log2𝑥)′=𝑥ln2C．(sin𝜋5)′=cos𝜋5D．(e

𝑥cos𝑥)′=e𝑥(cos𝑥−sin𝑥)【变式2-3】（2022·广东广州·高二期末）下列求导运算结果正确的是（）A．(𝑥−1𝑥)′=1−1𝑥2B．(e𝑥ln𝑥)′=e𝑥𝑥C．(tan�

�)′=1cos2𝑥D．[ln(2𝑥−1)]′=12𝑥−1【题型3求曲线的切线】【方法点拨】求切线方程时，一定要检验已知点是否在曲线上，还要注意对“在”和“过”的理解.(1)若“在”，则该点为切点.(2)若“过”，则该点不一定是切点；若“过

”曲线外的一点，则该点一定不是切点.【例3】（2022·陕西·西安市高二期末（理））曲线𝑦=sin𝑥+e𝑥在𝑥=0处的切线方程是（）A．𝑥−3𝑦+3=0B．𝑥−2𝑦+2=0C．2𝑥−𝑦+1=0D．3𝑥−𝑦+1=0【变式3-1】（2

022·辽宁葫芦岛·高三阶段练习）函数𝑓(𝑥)=𝑥2−4e𝑥+1的图象在点(0,𝑓(0))处的切线方程为（）A．𝑥+4𝑦+12=0B．4𝑥+𝑦+3=0C．𝑥−4𝑦−12=0D．4𝑥−𝑦−3=0【

变式3-2】（2022·河南·高二期末（文））曲线𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥在𝑥=e（其中e为自然对数的底数）处的切线方程为（）A．𝑦=2𝑥−eB．𝑦=2𝑥+eC．𝑦=−𝑥D．𝑦=𝑥【变式3-3】（2022·陕西·高二阶段练习（文））已知函数𝑓(𝑥)=sin𝑥(1−2

cos2𝑥2)，则曲线𝑓(𝑥)在𝑥=π3处的切线斜率为（）A．0B．−14C．√32D．12【题型4已知切线方程求参数】【方法点拨】当曲线的切线方程是已知条件时，常合理选择以下三个条件的表达式解题：(1)切点在切线上；(2)切点在曲线上；(3)切点在横坐标处的导数等于切线的斜率.【例4】

（2022·宁夏·高三阶段练习（文））函数𝑓(𝑥)=e𝑥+𝑎𝑥在𝑥=0处的切线与直线2𝑥−𝑦−5=0平行，则实数𝑎=（）A．−1B．1C．12D．14【变式4-1】（2022·贵州遵义·高三阶段练习（理））若函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥−2ln𝑥在(1,�

�(1))处切线方程为𝑥+𝑦+𝑚=0，则实数𝑚=（）A．−1B．−2C．2D．0【变式4-2】（2021·河南·高二期末（文））已知函数𝑓(𝑥)=𝑎2𝑥2+𝑏ln𝑥的图象在点(1,𝑓(1))处的切

线方程是2𝑥−𝑦−1=0，则𝑎𝑏等于（）A．2B．1C．0D．﹣2【变式4-3】（2022·湖北·高三阶段练习）若直线𝑥+𝑦+𝑚=0是曲线𝑦=𝑥3+𝑛𝑥−52与曲线𝑦=𝑥2−3

ln𝑥的公切线，则𝑚−𝑛=（）A．−30B．−25C．26D．28【题型5函数图象的应用】【方法点拨】结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求解即可.【例5】（2022·江西·高三开学

考试（理））已知𝑓(𝑥)=14𝑥2+sin(𝜋2+𝑥)，𝑓′(𝑥)为𝑓(𝑥)的导函数，则𝑓′(𝑥)的大致图象是（）A．B．C．D．【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知二次函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，设�

�(𝑥)=e−𝑥⋅𝑓(𝑥)，若函数𝑔(𝑥)的导函数𝑔′(𝑥)的图像如图所示，则（）A．𝑎<𝑏，𝑏<𝑐B．𝑎>𝑏，𝑏>𝑐C．𝑏𝑎>1，𝑏=𝑐D．𝑏𝑎<1，𝑏=𝑐【变式5-2】（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数f(x)＝Asin(ωx＋

φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则f的值为()A．2B．C．－D．－【变式5-3】（2022·全国·高二课时练习）函数𝑓(𝑥)=16𝑥2−cos𝑥的导函数𝑦=𝑓′(𝑥)的图象大致是（）A．B．C．D．【题型6

与导数有关的新定义问题】【方法点拨】与导数有关的新定义问题，一般先理解所给定义与已有的函数、运算的关联性，再通过所给新定义转化为所学过的知识与方法去转化问题，进而解决问题.【例6】（2022·河北·高二阶段练习）给出以下新定义：若函数𝑓(𝑥)在D上可导，即𝑓′(

𝑥)存在，且导函数𝑓′(𝑥)在D上也可导，则称𝑓(𝑥)在D上存在二阶导函数，记𝑓′′(𝑥)=(𝑓′(𝑥))′，若𝑓′′(𝑥)<0在D上恒成立，则称𝑓(𝑥)在D上为凸函数．以下四个函数在定义域上是凸函数的是（）A．𝑓(𝑥)=e𝑥B．�

�(𝑥)=2𝑥C．𝑓(𝑥)=𝑥3D．𝑓(𝑥)=ln𝑥【变式6-1】（2022·云南昭通·高二期末）定义满足方程𝑓′(𝑥)+𝑓(𝑥)=1的实数解𝑥0叫做𝑓(𝑥)函数的“自足点”，则下列函数存在“自足点”的是（）A．𝑓(𝑥)

=𝑥2+3B．𝑓(𝑥)=e𝑥+1C．𝑓(𝑥)=ln𝑥D．𝑓(𝑥)=e𝑥−sin𝑥+3【变式6-2】（2022·全国·高三专题练习）定义在区间∃𝜉∈[𝑎,𝑏]上的函数𝑓(𝑥)，其图象是连续不断的，若∃𝜉∈[𝑎,�

�]，使得𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)=𝑓′(𝜉)(𝑏−𝑎)，则称𝜉为函数𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]以上的“中值点”．则下列函数：①𝑓(𝑥)=𝑥；②2𝑓(𝑥)=𝑥2；③𝑓(𝑥)=ln(𝑥+1)；④𝑓(𝑥)=(𝑥−12)3中，在区间[𝑎,𝑏]

上至少有两个“中值点”的函数是（）A．①④B．①③C．②④D．②③【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）定义方程𝑓(𝑥)=𝑓′(𝑥)的实数根𝑥0叫做函数𝑓(𝑥)的“新驻点”，若函数�

�(𝑥)=2𝑥，ℎ(𝑥)=ln𝑥，𝜑(𝑥)=𝑥3(𝑥≠0)的“新驻点”分别为𝑎，𝑏，𝑐，则𝑎，𝑏，𝑐的大小关系为（）A．𝑎>𝑏>𝑐B．𝑐>𝑏>𝑎C．𝑎>𝑐>𝑏D．𝑏>�

�>𝑐