【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2020-2021学年高二上学期第一次教学质量检测数学（文）试卷 含解析.doc，共(19)页，1.520 MB，由小赞的店铺上传

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长安一中高2019级高二阶段第一次教学质量检测数学试卷（文）时间：120分钟总分：150分一、选择题（本题共14小题，每小题5分，共70分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.下列命题中，真命题是（）A.xR，22xxB.0xR，00xeC.

若ab，cd，则acbd−−D.22acbc是ab的充分不必要条件————D分析：对选项进行逐个分析即得。解答：当2x=时，22xx=，故A错误；由指数函数的性质可知，故B错误；根据同向可加性只能得出acbd++，

故C错误；22acbc可得ab，反之不成立，故D正确.故选：D点拨：本题考查判断真命题，是基础题。2.若变量,xy满足约束条件2{11yxxyy+−，2xy+则的最大值是A.5-2B.0C.53D.52

————C分析：解答：试题分析：作出2{11yxxyy+−表示的平面区域如图所示：由图可知，直线2zxy=+过点时，2zxy=+取最大值.考点：线性规划.3.已知命题:0px,ln(1)0x+；命题:q若ab，则22ab，下列命题为真命题的是（）A.pqB.pq

C.pqD.pq————B解：命题p：∀x＞0，ln（x+1）＞0，则命题p为真命题，则￢p为假命题；取a=﹣1，b=﹣2，a＞b，但a2＜b2，则命题q是假命题，则￢q是真命题．∴p∧q是假命题，p∧￢q是真命题，￢p∧q是假命题，￢p∧￢q是假命题

．故选B．4.已知椭圆C：2224xya+=1的一个焦点为(2，0)，则C的离心率为（）A.13B.12C.22D.223————C分析：由焦点坐标确定长半轴长是a，利用,,abc关系求得a，再计算离心率．解答：椭圆C：2224xya+=1的一个焦点为(2，0)，可得a2﹣4＝4，解得a＝2

2，∵c＝2，∴e22222ca===．故选：C．点拨：本题考查求椭圆的离心率，掌握,,abc的关系是解题基础．5.设,,xyR则“2x且2y”是“224xy+”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.即不充分也不必要条件————A试题分析：若x≥2且y≥2，则

x2≥4，y2≥4，所以x2+y2≥8，即x2+y2≥4；若x2+y2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的充分而不必要条件．故选A．考点：本题考查充分、必要、冲要条件．点评：本题也可以利用几何意义来做：“224x

y+”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，包括圆周上的点，“2x且2y”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，所以选A．这种做法比分析中的做法更形象、更直观．6.已知na为等差数列，d为公差，若124,,

aaa成等比数列，36a=且0d，则数列11nnaa+的前n项和为（）A.24(1)nn−−B.14nn−C.4(1)nn+D.14(2)nn++————C分析：先利用已知条件得到()()()23332

ddadaa−=−+，解出公差，得到na通项公式，再代入数列11nnaa+，利用裂项相消法求和即可.解答：因为124,,aaa成等比数列，36a=，故2214aaa=，即()()()23332ddadaa−=−+，故()()()26626ddd−=−+

，解得2d=或0d=（舍去），故()()336232naandnn=+−=+−=，即()()111111112214141nnaannnnnn+===−+++，故11nnaa+的前n项和为：()1111

11111...14122314141nnSnnnn=−+−++−=−=+++.故选：C.点拨：方法点睛：数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数

列{}na的前n项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：

把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列:或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，

形如()()1nnafn=−类型，可采用两项合并求解.7.已知0,0ab，2ab+=，则14yab=+的最小值是（）A.72B.4C.92D.5————C分析：利用题设中的等式，把y的表达式转化成14()()2abab++，展开后，利用基本不等式求得y的最小值.解答：因为0

,0ab，2ab+=，所以141452529()()2222222abbabayabababab+=+=+=+++=（当且仅当22baab=，即2ba=时等号成立）.所以14yab=+的最小值是92.故选：C.点

拨：本题主要考查利用基本不等式求最值，其中解答中熟记基本不等式求最值的条件“一正、二定、三相等”，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.8.已知等差数列{}na中，59aa=，公差0d，则使前n项和为nS取最小值的正

整数n的值是（）A.4和5B.5和6C.6和7D.7和8————C试题分析：59595970,0,00aaaaaaa=+==，所以使前n项和nS取最小值的正整数n的值为6和7考点：数列性质9.已知p：211−x，q：(x－a)(x－a－1)≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围

是（）A.[0，12]B.(0，12)C.(－∞，0]∪[12，＋∞)D.(－∞，0)∪(12，＋∞)————A分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：若211x−„，则0211x−剟，即112x剟，即1:12px剟，不等式：(

)(1)0xaxa−−−„的解为1axa+，若p是q的充分而不必要条件，则1112aa+…„，即012aa…„，解得102a剟，即实数a的取值范围为[0，1]2，故选：A．点拨：本题主要考查充分条件和必要条件的应

用，根据条件求出不等式的解是解决本题的关键．10.已知不等式210axbx−−的解集是11[,]23−−，则不等式20xbxa−−的解集是（）A.(2,3)B.(,2)(3,)−+C.11(,)32D.11(,)(,)

32−+————A分析：根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出,ab的值，故不等式20xbxa−−即为2560xx−+，从而可求其解，从而得到正确的选项．解答：∵不等式210axbx−−的解集是1123−−，，∴1123xx=−=−，是方程210axb

x−−=的两根，∴1152361111236baa=−+−=−−=−−=，解得65ab=−=.∴不等式20xbxa−−为2560xx−+，解得23x，∴不等式的解集为()2,3.故选：A.

点拨：本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与x轴交点的横坐标.本题属于基础题．11.在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆22221(0)xyabab+=的右焦点，直

线2by=与椭圆交于B、C两点，且90BFC=，则该椭圆的离心率为（）A.22B.33C.23D.63————D分析：先将2by=代入椭圆方程求得,BC的坐标，即可表示出,BFCF，由90BFC=，可知0BFCF=，从

而构造出关于,ac的齐次方程，由cea=即可求得结果.解答：解：将2by=代入椭圆方程得：222221bxab+=，解得：32x=，不妨设：3,22bBa−，3,22bC

a，又椭圆焦点(),0Fc，3,22bBFca=+−，3,22bCFca=−−，又90BFC=，22222222233310444442bacBFCFcacaca−=−+=−

+=−=，即223142ca=，22223cea==，63e=.故选：D.点拨：关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够利用垂直关系构造出关于,ac的齐次方程，从而根据cea=求得离心率.12.在ABC中，“ABC”是“

cos2cos2cos2ABC”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件————C试题分析：由正弦定理可得，在ABC中，“ABC”则sinsinsinABC，则222sinsinsinABC，由倍角公式

可得1cos21cos21cos2222ABC−−−，可得cos2cos22ABcosC，反之也成立，所以在ABC中，“ABC”是“cos2cos22ABcosC”的充分必要条件，故选C.考点：正弦定理与倍角公式.13.已知nS为数列na的前n项和

，12nnSS+=，nN，24S=，则2020a=（）A.20202B.20204C.20194D.20192————D分析：直接利用递推公式求出数列nS的通项公式，再利用202020202019aSS=−计算2020a即可.解答：由12nnSS+=，

24S=可知，12S=，12nnSS+=，故nS是以2为首项，2为公比的等比数列，故通项公式为1222nnnS−==，所以()2020201920192019202020202019222212aSS=−=−=−=.故选：D.14.已知O为坐标原点，F是椭圆C

：22221(0)xyabab+=的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为A.13B.12C.23D.34—

———A分析：解答：试题分析：如图取P与M重合，则由2(,0),(,)bAaMca−−直线22:()(0,)bbaAMyxaEcaac=+−+−同理由222221(,0),(,)(0,)33bbbbBaMcGaceaacacac−===+−+,故选A.考点：1、椭圆及其性质

；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型.如图取P与M重合，则由2(,0),

(,)bAaMca−−直线22:()(0,)bbaAMyxaEcaac=+−+−同理由2(,0),(,)(0,bBaMcGa−22221)33bbbaceacacac===+−+.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.把答案填写在答题卡相应的

位置.）15.设等差数列na的前n项和为nS，若132aa+=，510S=，则4a=______.————3分析：利用等差中项，等差数列nS的性质，求出2a，3a，再根据等差中项求出4a.解答：13222a

aa+==，即21a=，()155355102aaSa+===，解得32a=，因为4232aaa+=，所以43223aaa=−=.故答案为：3.点拨：本题主要考查了等差数列nS的性质，等差中项的性质，属于基础题.16

.椭圆E：221164xy+=内有一点P(2，1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为________．————240xy+−=试题分析：设所求直线与椭圆交于1122(,),(,)AxyBxy，代入椭圆的方程，两式相减得12121212()()()()01616xxxxyy

yy+−+−+=，又12124,2xxyy+=+=，所以斜率121212yykxx−==−−，因此所求直线的方程为11(2)2yx−=−−，即240xy+−=．考点：椭圆的几何性质及其应用．17.若对任意0x，231xaxx++恒成立，则a的取值范围是_____．————15a

分析：利用基本不等式求出211313xxxxx=++++的最大值，即可得出结果.解答：0x>，211113151323xxxxxxx==+++++，当且仅当1xx=，即1x=时等号成立，15a.故答案为：15a.点拨：关键点睛：本题考查不等式

的恒成立问题，解题的关键是化简式子211313xxxxx=++++利用基本不等式求出最大值.18.已知,,abc分别是ABC内角A，B，C的对边，且2coscos(tantan1)1ACAC−=，若D为AC的中点，且1

BD=，则ABC面积最大值是________.————33分析：先正切化弦，利用两角和的余弦公式化简已知式可得()1cos2AC+=−，即1cos2ABC=，得3ABC=和222bacac=+−，分别ABD△和BCD△中利用余弦定理结合πADB

CDB+=，得到22222bac+=+，再结合上式化简，利用基本不等式和面积公式即求得面积最大值.解答：由()2coscosCtantan11AAC−=，得sinsin2coscos11coscosACACAC−=，()2sins

incoscos1ACAC−=，()1cos2AC+=−，又内角和为，故1cos2ABC=，由()0,ABC，知3ABC=，且ABC中，有222222cosbacacBacac=+−=+−，在ABD△中，由余弦定理得2222cosB

DADBDADABABD=+−即22121cos22bbcADB=+−①，在BCD△中，由余弦定理得2222cosBDCDBDCDCBABD=+−，即22121cos22bbCDBa=+−②，又πAD

BCDB+=即coscos0ADBCDB+=，①+②得222222222bacacac+−+=+=+，整理得224acac+=−，222,acac+4423acacac−，当且仅当233ac==时等号成立.所以ABC的面积13343sin24433Sac

ABCac===，当且仅当233ac==时等号成立.即ABC的面积的最大值为33.故答案为：33.点拨：方法点睛：求解三角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立+ab，

ab，22ab+之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共5小题，共60分）19.已知:,930xxpxa−−R，22:R,(21)20qxxaxa++++，若pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围

.————17,,44−−+.分析：先按p为真和q为真求出对应参数a的取值范围，命题为假时即对应补集范围，再根据题意判断一真一假，列不等式求解即可.解答：解:若p为真，则对任意,930xxxa−−R恒成立，令3(0)xtt=，则20(0)ttat−−恒成立，

所以2(0)attt−恒成立，所以当0t时，221124ttt−=−−，故12t=时，()2min14tt−=−，故()2min14att−=−，即14a−≤，则p为假时，14a−；若q为真，则

22(21)20xaxa++++有解，则()22(21)420aa=+−+，解得74a，则q为假时，74a.若pq为真命题，pq为假命题，则命题p和命题q一真一假.①若p真q假，则7414aa

−，则14a−≤；②若p假q真，则7414aa−，则74a；故实数a的取值范围是17,,44−−+.点拨：方法点睛：已知命题的真假，求参数范围的问题时，一般先按照命题是真命题求解参数范围，则命题是假命题时是其补集范围，再利用已知条件进行集合

运算即可，这样便简化了做题过程.20.等差数列na的前n项和为nS，数列nb是等比数列，满足13a=，11b=，2210bS+=，5232aba−=.（1）求数列na和nb的通项公式；（2）令nnncab=

，设数列nc的前n项和为nT，求nT.————（1）21nan=+，12nnb−=（2）()2121nnTn=−+试题分析：（1）根据条件列关于公差与公比的方程组，解方程组可得2,2,dq==再根据等差数列与等比数列通

项公式得结果（2）根据错误相减法求数列nc的前n项和为nT，注意作差时项符号的变化以及求和时项数的确定试题解析：（1）设数列na的公差为d，数列nb的公比为q，则由2252310,2,bSaba+=−=得610

,34232,qddqd++=+−=+解得2,2,dq==所以()32121nann=+−=+，12nnb−=.（2）由（1）可知()1212nncn−=+，∴012325272nT=++++()()21212212nnnn−−−++①12323

25272nT=++++()()1212212nnnn−−++②①—②得：1232222nT−=++++()122212nnn−−+()21222212nnn=++++−+()()1212121221nnnnn+=−−+=−−，∴

()2121nnTn=−+.点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“nS”与“nqS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“nnSqS−”的表达式；(3)在应

用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.21.设F1，F2分别是椭圆E：22xa＋22yb＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，113AFFB=.（1）若||4AB=，2ABF的周长为16，求2AF；（2）若23cos

5AFB=，求椭圆E的离心率．————（1）5；（2）22.分析：（1）利用椭圆的定义即可求解.（2）设()10FBkk=，利用椭圆的定义可得2223,2AFakBFak=−=−，在2ABF中，利用余弦定理可得3ak=，代入条件得12AFF△是等腰直角三角形，即可得椭圆E

的离心率.解答：（1）由113,||4AFFBAB==，得113,1AFFB==．因为2ABF的周长为16，所以22||416ABAFBFa++==，解得4a=．又1228AFAFa+==，所以25AF=．（

2）设()10FBkk=，则13,4AFkABk==，2223,2AFakBFak=−=−，由23cos5AFB=，在2ABF中，由余弦定理得：222222222cosABAFBFAFBFAFB=+−

，即()()()()()222642322325kakakakak=−+−−−−，化简可得()()30akak+−=，而0ak+，故3ak=，2123,5AFAFkBFk===，22222BFAFAB+=，12AFAF⊥，故12AFF△是等腰直角三角形，则22

ca=，所以22cea==.点拨：本题考查了椭圆的定义以及利用定义求离心率问题，理解定义是关键，属于较易题.22.已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且coscossin3sinBCAbcC+=

.（1）求b的值；（2）若cos3sin2BB+=，求ABC面积的最大值.————(1)b3=;(2)334.分析：（1）在式子coscos3sin3sinBCAbcC+=中运用正弦、余弦定理后可得3b=．（2）由cos3sin2BB+=经三角变换可得3

B=，然后运用余弦定理可得2232acacacacac=+−−=，从而得到3ac，故得133sin24SacB=．详解：(1)由题意及正、余弦定理得2222223223acbabcaabcabcc+−+−+=，整理得22

323aaabcc=，∴3b=（2）由题意得cos3sin2sin26BBB+=+=，∴sin(+=16B），∵()0,B，∴62B+=，∴3B=.由余弦定理得2222cosbacac

B=+−，∴2232acacacacac=+−−=，3ac，当且仅当3ac==时等号成立．∴11333sin32224SacB==．∴ABC面积的最大值为334．点睛：（1）正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查，

解题时要注意整体代换的应用，如余弦定理中常用的变形222()2acacac+=+−，这样自然地与三角形的面积公式结合在一起．（2）运用基本不等式求最值时，要注意等号成立的条件，在解题中必须要注明．23.如图，()1,0N是圆()22:116Mxy++=内一个定点，P是圆上任意一点.线

段NP的垂直平分线和半径MP相交于点Q.（Ⅰ）当点P在圆上运动时，点Q的轨迹E是什么曲线？并求出其轨迹方程；（Ⅱ）过点()0,1G作直线l与曲线E交于A、B两点，点A关于原点O的对称点为D，求ABD△的面积S的最大值.————（Ⅰ）22143x

y+=；（Ⅱ）463试题分析：由题意可得QMQNMN+=，根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M、N为焦点的椭圆，求得acb，，的值，代入即可求得其轨迹方程；()2设l的方程为1ykx=+，联立方程得22114

3ykxxy=++=，消去y得()2234880kxkx++−=，22461234ABDkSdABk+==+，根据韦达定理及换元后根据函数单调性即可求得面积的最大值．解析：（Ⅰ）由题意得42QMQNQMQPMPM

N+=+===根据椭圆的定义得点Q的轨迹E是以M、N为焦点的椭圆，2,3,1acb===轨迹方程为22143xy+=，（Ⅱ）由题意知1222ABDABOSSABddAB===（d为点O到直线l的距离），设l的方程为1ykx=+，联立方程得221143

ykxxy=++=，消去y得()2234880kxkx++−=设()()1122,,,AxyBxy，则12122288,3434kxxxxkk−−+==++，则()222212122461211434kkABkxxxxk

++=++−=+，又22214612,341ABDkdSdABkk+===++，令212kt+=，由20k，得1t，246461212ABDtSttt==++，1t，易证12ytt=+在()1,+递增，123tt+

，46,3ABDSABD面积S的最大值463.点睛：本题考查了点的轨迹问题，运用椭圆的定义求出轨迹方程，在求椭圆内三角形面积问题时先确定计算面积的方法，本题利用弦长公式求出三角形的边长，然后点到线的距离求出高，在计算过程中利

用基本不等式求出结果．