【文档说明】2024-2025学年精品同步试题 数学（选择性必修第一册 人教A版2019） 第3章测评 Word版含解析.docx，共(9)页，62.307 KB，由小赞的店铺上传

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第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知抛物线的方程为y=2ax2,且过点(1,4),则焦点坐标为()A.(0,116)B.(116,0)

C.(1,0)D.(0,1)解析:∵抛物线过点(1,4),∴4=2a,∴a=2,∴抛物线方程为x2=14y,焦点坐标为(0,116).答案:A2.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它

的离心率为()A.√6B.√5C.√62D.√52解析:设双曲线的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),则其渐近线方程为y=±𝑏𝑎x.因为点(4,-2)在渐近线上,所以𝑏𝑎=12,根据c2=a2+b2,可得𝑐2-𝑎

2𝑎2=14,解得e2=54,e=√52.答案:D3.与椭圆𝑥210+𝑦24=1共焦点且过点(5,-2)的双曲线的标准方程是()A.𝑥25-y2=1B.x2-𝑦25=1C.𝑥210−𝑦28=1D.𝑦28−𝑥210=1解析:∵双曲线与椭圆𝑥210+𝑦24=1共焦点,∴双

曲线中c2=6,即a2+b2=6,故设双曲线方程为𝑥2𝑎2−𝑦26-𝑎2=1,把(5,-2)代入双曲线方程得a2=5,故所求双曲线的方程为𝑥25-y2=1.答案:A4.已知双曲线𝑥2𝑚−𝑦2𝑛=1(mn≠0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为()A

.316B.38C.163D.83解析:抛物线的焦点为(1,0),由题意知1√𝑚=2.即m=14,则n=1-14=34,从而mn=316.答案:A5.过抛物线y2=8x的焦点,作倾斜角为45°的直线,则被抛物线

截得的弦长为()A.8B.16C.32D.64解析:在抛物线中2p=8,p=4,焦点坐标为(2,0),过焦点且倾斜角为45°的直线方程为y=x-2,由{𝑦=𝑥-2,𝑦2=8𝑥,得x2-12x+4=0,则x1+x2=12(x1,x2为直线与抛物线两个交点的横坐标),

从而弦长为x1+x2+p=12+4=16.答案:B6.已知定点A(2,0),它与抛物线y2=x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()A.y2=2(x-1)B.y2=4(x-1)C.y2=x-1D.y2=12(x-1

)解析:设P(x0,y0),M(x,y),则{𝑥=𝑥0+22,𝑦=𝑦02,{𝑥0=2𝑥-2,𝑦0=2𝑦.因为𝑦02=x0,所以4y2=2x-2,即y2=12(x-1).答案:D7.已知点A是抛物线C1:y2=2px(p>0

)与双曲线C2:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的交点(异于原点),若点A到抛物线C1的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率为()A.√2B.2C.√5D.4解析:∵点A到抛物线C1的准线的距离为p,∴A(𝑝

2,𝑝),适合y=𝑏𝑎x,∴𝑏2𝑎2=4,∴e=√5.答案:C8.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为√32,双曲线x2-y2=1的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边

形的面积为16,则椭圆C的方程为()A.𝑥28+𝑦22=1B.𝑥212+𝑦26=1C.𝑥216+𝑦24=1D.𝑥220+𝑦25=1解析:因为椭圆的离心率为√32,所以e=𝑐𝑎=√32,由c2=34a2=a2-b2,得b2=14a2

,即a2=4b2.双曲线的渐近线方程为y=±x,代入椭圆方程得𝑥2𝑎2+𝑥2𝑏2=1,即𝑥24𝑏2+𝑥2𝑏2=5𝑥24𝑏2=1,所以x2=45b2,x=±2√5b.所以y=±2√5b,则在第一象限,双曲线的渐近线与椭圆C的交点坐标为(2√5𝑏,2√5𝑏),所

以四边形的面积为4×2√5b×2√5b=165b2=16,所以b2=5,故椭圆C的方程为𝑥220+𝑦25=1,选D.答案:D二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部

选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.若双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±43x,则下列结论正确的是()A.C的方程为𝑥29−𝑦216=1B.C的离心率为54C.焦点到渐近线的距离为3D.双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为6解析:由题意设双

曲线的标准方程为𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0),焦距为2c,因为双曲线C的一个焦点F(5,0),且渐近线方程为y=±43x,所以{𝑐=5,𝑏𝑎=43,𝑎2+𝑏2=𝑐2,解得{𝑎=3,𝑏=4,𝑐=5,所以双曲线的标准方程为𝑥29−𝑦216=

1,A对;其离心率为e=𝑐𝑎=53,B错;焦点到渐近线的距离d=4×5√32+42=4,C错;由双曲线定义知,双曲线一点到两焦点的距离之差的绝对值为2a=6,D对.答案:AD10.设椭圆C:𝑥22+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P

是C上的动点,则下列结论正确的是()A.|PF1|+|PF2|=2√2B.离心率e=√62C.△PF1F2面积的最大值为√2D.以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切解析:对于A选项,由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2

a=2√2,所以A选项正确.对于B选项,依题意a=√2,b=1,c=1,所以e=𝑐𝑎=1√2=√22,所以B选项不正确;对于C选项,|F1F2|=2c=2,当P为椭圆短轴顶点时,△PF1F2的面积取得最大值为12×2c·b=c·b=1,所以C选项错误.对于D选项,以

线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为c=1,圆心到直线x+y-√2=0的距离为√2√2=1,圆心到直线的距离等于半径,所以以线段F1F2为直径的圆与直线x+y-√2=0相切,所以D选项正确.综上所述,正确的为AD.答案:AD11.已知椭圆C:𝑥24+𝑦

23=1的右焦点为F,过点F的两条互相垂直的直线l1,l2,l1与椭圆C相交于点A,B,l2与椭圆C相交于点C,D,则下列叙述正确的是()A.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为7B.存在直线l1,l2使得|AB|+|CD|的值为487C.弦长|AB|存在最大值,且最大

值为4D.弦长|AB|不存在最小值解析:当直线l1,l2一个斜率为零一个斜率不存在时,则|AB|+|CD|=7,故A选项是正确的;当直线l1,l2的斜率都存在时,不妨令直线l1的斜率为k(k≠0),由题意知l1的直线方程为y=k(x-1),联立得{𝑥24+𝑦23=1,𝑦=𝑘(𝑥

-1),消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系知x1+x2=8𝑘23+4𝑘2,x1·x2=4𝑘2-123+4𝑘2,则|AB|=√1+𝑘2·|x1-x2|=12(1+

𝑘2)3+4𝑘2,同理|CD|=12(1+𝑘2)3𝑘2+4.特别地,当k2=1时,|AB|=|CD|=247,即|AB|+|CD|=487,故B选项正确;由于|AB|=12(1+𝑘2)3+4𝑘2=3+33+4𝑘2,故当k=0时,|AB|

取到最大值4,故C选项正确;由于|AB|=3+33+4𝑘2>3,但当弦AB的斜率不存在时,|AB|=3,故|AB|存在最小值3,故D选项不正确.答案:ABC三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设F1,F2为椭圆𝑥29+𝑦25=1的两个焦点,

点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则|PF2|的值为,|PF1|的值为.(本题第一空2分,第二空3分)解析:因为线段PF1的中点在y轴上,所以PF2与x轴垂直,且点P的坐标为(2,±53),所以|PF2|=53,则|PF1|=2a-|PF2|=133.答案

:5313313.设F1,F2为曲线C1:𝑥26+𝑦22=1的焦点,P是曲线C2:𝑥23-y2=1与C1的一个交点,则△PF1F2的面积S为.解析:由题意知|F1F2|=2√6-2=4,设点P坐

标为(x,y).由{𝑥26+𝑦22=1,𝑥23-𝑦2=1,得{𝑥=±3√22,𝑦=±√22.则S=12|F1F2|·|y|=12×4×√22=√2.答案:√214.设F1,F2是双曲线C:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P

是C上一点.若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率为.解析:依题意及双曲线的对称性,不妨设F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线的右支上,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,可得|PF1|=4a,|P

F2|=2a.而|F1F2|=2c,所以在△PF1F2中,由余弦定理,得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos∠PF1F2,所以4a2=16a2+4c2-2·4a·2c·cos30°,即3a2-2√3ac+c2=0,所以√3a-c=0,故双曲线C

的离心率为√3.答案:√3四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx(m≠0)截得的弦长为6√2,求抛物线的标准

方程.解:设直线与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).由{𝑦2=2𝑚𝑥,𝑦=𝑥-4,得x2-2(4+m)x+16=0,x1+x2=2(4+m),x1x2=16,所以弦长为√(1+𝑘2)(𝑥1-𝑥2)2=√2[4(4+𝑚)2-4×16]=

2√2(𝑚2+8𝑚).由2√2(𝑚2+8𝑚)=6√2,解得m=1或m=-9.经检验,m=1或m=-9均符合题意.故所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2=-18x.16.(15分)已知椭圆C1:𝑥24+y2=1

,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1有相同的离心率.(1)求椭圆C2的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C1和C2上,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,求直线AB的方程.解:(1)由已

知可设椭圆C2的方程为𝑦2𝑎2+𝑥24=1(a>2),其离心率为√32,故√𝑎2-4𝑎=√32,则a=4,故椭圆C2的方程为𝑦216+𝑥24=1.(2)A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB),由𝑂𝐵

⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因此可以设直线AB的方程为y=kx.将y=kx代入𝑥24+y2=1中,得(1+4k2)x2=4,所以𝑥𝐴2=41+4𝑘2,将y=kx代入𝑦216+𝑥24=1中,得(4+k2)x2=16,所以𝑥𝐵2

=164+𝑘2.由𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,得𝑥𝐵2=4𝑥𝐴2,即164+𝑘2=161+4𝑘2,解得k=±1,故直线AB的方程为y=x或y=-x.17.(15分)已知动圆C过定点F(0,1),且与直线l1:y=-1相切,圆心

C的轨迹为E.(1)求动点C的轨迹方程;(2)已知直线l2交轨迹E于两点P,Q,且PQ中点的纵坐标为2,则|PQ|的最大值为多少?解:(1)由题设,点C到点F的距离等于它到l1的距离,故点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线,所求轨迹的方程为x2=4y.(2)由题意易知直线

l2的斜率存在,又抛物线方程为x2=4y,当直线l2的斜率为0时,|PQ|=4√2.当直线l2的斜率k不为0时,设中点坐标为(t,2),P(x1,y1),Q(x2,y2),则有𝑥12=4y1,𝑥22=4y2,两式作差得𝑥12−𝑥22=4(y1-y2),即得k=𝑥1+𝑥24=𝑡2

,则直线方程为y-2=𝑡2(x-t),与x2=4y联立得x2-2tx+2t2-8=0.由根与系数的关系得x1+x2=2t,x1x2=2t2-8,|PQ|=√(𝑥1-𝑥2)2+(𝑦1-𝑦2)2=√(1+𝑘2)[(𝑥1+𝑥2)2-4𝑥1𝑥2

]=√(1+𝑡24)[4𝑡2-4(2𝑡2-8)]=√(8-𝑡2)(4+𝑡2)≤6,当且仅当t2=2时等号成立.即|PQ|的最大值为6.18.(17分)已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为√22,点(2,√2)

在C上.(1)求C的方程;(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB的中点为M.证明:直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.(1)解由题意,得√𝑎2-𝑏2𝑎=√22,又点(2,√2)在C上

,所以4𝑎2+2𝑏2=1,两方程联立,可解得a2=8,b2=4.故C的方程为𝑥28+𝑦24=1.(2)证明:设直线l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).将y=kx+b代入𝑥28+𝑦24=1,得(2k2+1

)x2+4kbx+2b2-8=0.故xM=𝑥1+𝑥22=-2𝑘𝑏2𝑘2+1,yM=k·xM+b=𝑏2𝑘2+1.所以直线OM的斜率kOM=𝑦𝑀𝑥𝑀=-12𝑘,所以kOM·k=-12.故直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.19.(17分)已知抛物线y2=2p

x(p>0)上点T(3,t)到焦点F的距离为4.(1)求t,p的值.(2)如图所示,设A,B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点,且𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=5(其中O为坐标原点).①求证:直线AB必过定点,并求出该定点P的坐标;②过

点P作AB的垂线与抛物线交于C,D两点,求四边形ACBD面积S的最小值.(1)解由已知得3+𝑝2=4,∴p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,代入点T坐标可解得t=±2√3.(2)①证明:设直线AB的方程为x=my+n,A(𝑦1

24,𝑦1),B(𝑦224,𝑦2).由{𝑥=𝑚𝑦+𝑛,𝑦2=4𝑥,得y2-4my-4n=0,则y1+y2=4m,y1y2=-4n.由𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗·𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=5,得(𝑦1�

�2)216+y1y2=5,∴y1y2=-20或y1y2=4(舍去).即-4n=-20,∴n=5,∴直线AB过定点(5,0).②解由①得|AB|=√1+𝑚2|y2-y1|=√1+𝑚2·√16𝑚2

+80,同理得|CD|=√1+1𝑚2·√16𝑚2+80,则四边形ACBD的面积S=12|AB|·|CD|=12√1+𝑚2·√16𝑚2+80·√1+1𝑚2·√16𝑚2+80=8√[2+(𝑚2+1𝑚2)][26+5(𝑚2+1𝑚2)],令m2+1m2=μ(μ≥2),则S=8

√5μ2+36μ+52,是关于μ的增函数,故Smin=96.当且仅当m=±1时取到最小值96.