【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题4.6 等差数列的前n项和公式（重难点题型检测） Word版含解析.docx，共(13)页，208.019 KB，由小赞的店铺上传

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专题4.6等差数列的前n项和公式（重难点题型检测）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·四川省模拟预测（文））已知𝑆𝑛是等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，若𝑆9=36，则𝑎5=（）A．3B．4

C．6D．8【解题思路】用等差数列前𝑛项和的公式展开，结合等差数列的性质，整体代入即可得到..【解答过程】因为数列{𝑎𝑛}为等差数列，∴𝑎1+𝑎9=2𝑎5，∴𝑆9=9(𝑎1+𝑎9)2=9�

�5=36，解得𝑎5=4.故选：B.2．（3分）（2022·陕西·高二阶段练习（理））已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛．若𝑆4=6，𝑆8=14，则𝑆12=（）A．35B．42C．24D．63【解题思路】根据等差数列{𝑎𝑛}的前n项和𝑆𝑛满足𝑆𝑚,

𝑆2𝑚−𝑆𝑚,𝑆3𝑚−𝑆2𝑚...𝑚∈N∗成等差数列求解即可.【解答过程】因为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，故𝑆4,𝑆8−𝑆4,𝑆12−𝑆8成等差数列，即2(14−6)

=6+(𝑆12−14)，解得𝑆12=24.故选：C.3．（3分）已知等差数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}的前n项和分别为𝑆𝑛，𝑇𝑛，且𝑆𝑛𝑇𝑛=2𝑛+34𝑛，则𝑎5𝑏5=（）A．12B．712C．58D．813【解题思路】根据等差数列的性质以及

等差数列的前𝑛项和公式求得正确答案.【解答过程】𝑎5𝑏5=2𝑎52𝑏5=𝑎1+𝑎9𝑏1+𝑏9=(𝑎1+𝑎9)⋅92(𝑏1+𝑏9)⋅92=𝑆9𝑇9，由题意可得𝑆9𝑇9=2×9+34×9=2136=712.故选：B.4．（3分）（2022·陕西咸阳·高二

期中（文））设等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，𝑎3+𝑎5=−18，𝑆9=−72，𝑆𝑛取最小值时，n的值为（）A．11或12B．12C．13D．12或13【解题思路】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，根据题意求得首项与公差，从而可求得数列的通项，令𝑎𝑛

≤0，求出𝑛的范围，从而可得出答案.【解答过程】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，因为𝑎3+𝑎5=−18，𝑆9=−72，则有{2𝑎1+6𝑑=−189𝑎1+36𝑑=−72，解得{𝑎1=−12𝑑=1，所以𝑎𝑛=𝑛−13，令𝑎𝑛=𝑛−13≤0，则𝑛≤13

，又𝑎13=0，所以当𝑛=12或13时，𝑆𝑛取最小值.故选：D.5．（3分）（2022·重庆·高一阶段练习）设{𝑎𝑛}是等差数列，𝑎1>0，𝑎2007+𝑎2008>0，𝑎2007⋅𝑎2008<0，则使𝑆𝑛

>0成立的最大自然数𝑛是（）A．4013B．4014C．4015D．4016【解题思路】由题意利用等差数列的性质可得𝑎2007>0，且𝑎2008<0，推出𝑆4013>0，𝑆4015<0，再根据𝑎2007+𝑎2008=𝑎

1+𝑎4014>0可得𝑆4014>0．【解答过程】因为首项为正数的等差数列𝑎𝑛满足：𝑎2007+𝑎2008>0，𝑎2007⋅𝑎2008<0，所以{𝑎𝑛}为首项大于零的递减的等差数列，所以𝑎2007>0，

且𝑎2008<0，所以𝑎1+𝑎4013=2𝑎2007>0，𝑎1+𝑎4015=2𝑎2008<0，由𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2得，𝑆4013>0，𝑆4015<0，又因为𝑎2007+𝑎2008=𝑎1+𝑎4

014>0，即𝑆4014>0，故选：B.6．（3分）（2022·全国·高三专题练习）等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，若𝑆20212021=𝑆20202020+1且𝑎1=3，则()A．𝑎𝑛=2𝑛+1B．𝑎𝑛=𝑛+1C．�

�𝑛=2𝑛2+𝑛D．𝑆𝑛=4𝑛2−𝑛【解题思路】等差数列前n项和𝑆𝑛构成的数列{𝑆𝑛𝑛}为等差数列，公差为原数列公差的一半﹒【解答过程】设{𝑎𝑛}的公差为d，∵𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2𝑑∴𝑆𝑛𝑛=𝑎1+𝑛−12⋅𝑑=

𝑑2⋅𝑛+𝑎1−𝑑2，即{𝑆𝑛𝑛}为等差数列，公差为𝑑2，由𝑆20212021−𝑆20202020=1知𝑑2=1⇒𝑑=2，故𝑎𝑛=2𝑛+1，𝑆𝑛=𝑛(3+2𝑛+1)2=𝑛2+2𝑛﹒故选：

A.7．（3分）（2022·四川·高二阶段练习（文））已知等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则（）A．若𝑆9>𝑆8，𝑆9>𝑆10，则𝑆17>0，𝑆18<0B．若𝑆17>0，𝑆18<0，则𝑆9>𝑆8，𝑆9>𝑆10C．若𝑆17>

0，𝑆18<0，则𝑎17>0，𝑎18<0D．若𝑎17>0，𝑎18<0，则𝑆17>0，𝑆18<0【解题思路】根据等差数列前𝑛项和、通项公式的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【解答过程】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，A选项，若𝑆9>𝑆8，�

�9>𝑆10，𝑆8+𝑎9>𝑆8,𝑎9>0，𝑆9>𝑆9+𝑎10,𝑎10<0，则𝑑<0，𝑆17=𝑎1+𝑎172×17=2𝑎92×17=17𝑎9>0，则𝑎9>0，𝑆18=𝑎1+𝑎182×18=9(𝑎9+𝑎10)，无法判断符号，A选项错误.B选

项，𝑆17=𝑎1+𝑎172×17=2𝑎92×17=17𝑎9>0，则𝑎9>0，所以𝑆8+𝑎9>𝑆8，所以𝑆9>𝑆8.𝑆18=𝑎1+𝑎182×18=9(𝑎9+𝑎10)<0，则𝑎10<0，所以𝑆9>𝑆9+𝑎10，𝑆9>𝑆1

0，B选项正确.C选项，若𝑆17>0，𝑆18<0，𝑆18=𝑆17+𝑎18<0,𝑎18<0，𝑆17=𝑎1+𝑎172×17=2𝑎92×17=17𝑎9>0，则𝑎9>0，𝑆18=𝑎1+𝑎182×18=9(𝑎9+𝑎10)<0，则𝑎10<0，则𝑎1>0,𝑑<0，�

�17<0，C选项错误.D选项，若𝑎17>0，𝑎18<0，则𝑎1>0,𝑑<0，当1≤𝑛≤17,𝑛∈N*时𝑎𝑛>0，所以𝑆17>0，但𝑆18=𝑎1+𝑎182×18=9(𝑎9+𝑎10)>0，所以D选项错误.故选：B.8．（3分）（20

22·江苏·高二期末）风雨桥(如图1所示)是侗族最具特色的民间建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其中亭、塔的俯视图通常是正方形、正六边形或正八边形．图2是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法如下：𝐴1𝐵1=�

�0𝐵0−𝐵0𝐵1，𝐴2𝐵2=𝐴1𝐵1−𝐵1𝐵2，…，𝐴𝑛𝐵𝑛=𝐴𝑛−1𝐵𝑛−1−𝐵𝑛−1𝐵𝑛，其中𝐵3𝐵4=𝐵2𝐵3=𝐵1𝐵2=𝐵0𝐵1，𝑛∈𝑁∗.

已知该风雨桥亭共5层，若𝐴0𝐵0=8m，𝐵0𝐵1=0.5m，则图2中的五个正六边形的周长总和为（）A．120mB．210mC．130mD．310m【解题思路】由题意得图2中五个正六边形的边长(单位：m)构成以𝑎1=8为首项，𝑑=−0.5为公差的等差数列

{𝑎𝑘}，根据等差数列求和公式得到𝑆5=35，再根据共有六个边，则得到周长总和.【解答过程】由已知得𝐴𝑛𝐵𝑛=𝐴𝑛−1𝐵𝑛−1−𝐵𝑛−1𝐵𝑛(𝑛≤4且𝑛∈𝑁∗)，𝐵3𝐵4=𝐵2𝐵3=𝐵1𝐵2=𝐵0𝐵1=0.5m，易知图2中五个正六

边形的边长(单位：m)构成以𝑎1=8为首项，𝑑=−0.5为公差的等差数列{𝑎𝑘}．设数列{𝑎𝑘}(𝑘∈𝑁∗,1≤𝑘≤5)的前5项和为𝑆5，则𝑆5=5𝑎1+12×5×4×𝑑=5×8−12×5×4×0.5=35，所

以图2中的五个正六边形的周长总和为6𝑆5=6×35=210m.故选：B.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·福建省高二阶段练习）等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1>0，公差𝑑<0，𝑆𝑛为其前n项和，对任

意正整数n，若点(𝑛,𝑆𝑛)在以下4条曲线中的某一条上，则这条曲线不可能是（）A．B．C．D．【解题思路】等差数列的前𝑛项和关于n的二次函数，根据二次函数的图象和性质,判断图象的开口方向，可判断A，B；判断图象对称轴位置，判断C，D，即可到答案．【解答过程】∵等差数列

{𝑎𝑛}中，𝑎1>0，公差𝑑<0，𝑆𝑛为其前𝑛项和，∴𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)2×𝑑=𝑑2𝑛2+(𝑎1−𝑑2)𝑛，∴点(𝑛,𝑆𝑛)在曲线𝑦=𝑑2𝑥2+(𝑎1−𝑑2)𝑥上，∵𝑑<0，∴二次函数开口向下，故A，B不可能；∵对称轴𝑥

=−𝑎1−𝑑2𝑑>0，∴对称轴在𝑦轴的右侧，故C可能，D不可能.故选：ABD.10．（4分）（2022·全国·高二课时练习）(多选)已知两个等差数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的前𝑛项和分别为𝑆𝑛，𝑇𝑛，且(�

�+1)𝑆𝑛=(7𝑛+23)𝑇𝑛，则使得𝑎𝑛𝑏𝑛为整数的正整数𝑛可能是（）A．2B．3C．4D．5【解题思路】首先利用等差数列前𝑛项和公式，求出𝑎𝑛与𝑆2𝑛−1之间的关系，进而可求出𝑎𝑛𝑏𝑛=𝑆2𝑛−1𝑇

2𝑛−1，然后根据已知求解即可.【解答过程】由题意，可得𝑆𝑛𝑇𝑛=7𝑛+23𝑛+1，∵{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}均为等差数列，∴𝑆2𝑛−1=(2𝑛−1)(𝑎1+𝑎2𝑛−1)2=(2𝑛−1)𝑎𝑛，同理，𝑇2𝑛−1=(2𝑛

−1)𝑏𝑛，∴𝑎𝑛𝑏𝑛=𝑆2𝑛−1𝑇2𝑛−1=7(2𝑛−1)+232𝑛−1+1=7+8𝑛，若𝑎𝑛𝑏𝑛为整数，则只需𝑛=1，2，4，8.故选：AC.11．（4分）（2023·全国·高三专题练习）在等差数列{𝑎𝑛}中，其前𝑛的和是𝑆𝑛，若𝑎1=−9

，𝑑=3，则（）A．{𝑎𝑛}是递增数列B．其通项公式是𝑎𝑛=3𝑛−12C．当𝑆𝑛取最小值时，𝑛的值只能是3D．𝑆𝑛的最小值是−18【解题思路】由公差的正负性判断等差数列的单调性，由首项、公差写出等差数列通项公式，进而可得前n项和公式，即

可判断各选项的正误.【解答过程】由𝑑=3>0，可知等差数列{𝑎𝑛}为递增数列，A正确；由题设，𝑎𝑛=𝑎1+(𝑛−1)𝑑=−9+3(𝑛−1)=3𝑛−12，B正确；𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=3𝑛2−21�

�2=3(𝑛−72)2−14742，故当𝑛=3或4时，𝑆𝑛取最小值且为−18，故C错误，D正确.故选：ABD.12．（4分）（2022·全国·高二专题练习）已知数列{𝑎𝑛}满足：𝑎1=1，𝑎𝑛+2=2𝑎𝑛+1−𝑎𝑛(𝑛∈�

�∗)，其前𝑛项和为𝑆𝑛，则（）A．{𝑆𝑛}的通项公式可以是𝑆𝑛=𝑛2−𝑛+1B．若𝑎3，𝑎7为方程𝑥2+6𝑥+5=0的两根，则𝑎6−12𝑎7=−32C．若𝑆4𝑆2=2，则𝑆8𝑆4=4D．若𝑆4=𝑆8，则使得𝑆𝑛>0的正整数n的

最大值为11【解题思路】根据𝑎𝑛+2=2𝑎𝑛+1−𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)，得数列{𝑎𝑛}是等差数列，设公差为𝑑，则𝑆𝑛=𝑑𝑛2+(2−𝑑)𝑛2，求出𝑎1,𝑎2,𝑎3，即可判断A；利用韦达定理可得𝑎3+𝑎7

，从而可求得公差，求得𝑎6,𝑎7即可判断B；根据𝑆4𝑆2=2求得公差，从而可求得𝑆8𝑆4，即可判断C；根据𝑆4=𝑆8求得公差，从而可求得𝑆𝑛，解不等式𝑆𝑛>0，从而可判断D.【解答过程】解：因为𝑎𝑛+2=2𝑎𝑛+1−𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗)，则𝑎𝑛+

2+𝑎𝑛=2𝑎𝑛+1，所以数列{𝑎𝑛}是等差数列，设公差为𝑑，则𝑆𝑛=𝑑𝑛2+(2−𝑑)𝑛2，对于A，若𝑆𝑛=𝑛2−𝑛+1，则𝑎2=𝑆2−𝑆1=3−1=2，𝑎3=𝑆3−𝑆2=7−3=4，所以𝑎3−𝑎2=2≠𝑎2−

𝑎1=1，所以数列{𝑎𝑛}不是等差数列，与题意矛盾，故A错误；对于B，若𝑎3，𝑎7为方程𝑥2+6𝑥+5=0的两根，则𝑎3+𝑎7=−6，即2𝑎1+8𝑑=−6，解得𝑑=−1，则𝑎𝑛=−𝑛+2，所以𝑎6=−4,𝑎7=−5，所以𝑎6−12𝑎7=−4+5

2=−32，故B正确；对于C，𝑆4𝑆2=16𝑑+4(2−𝑑)4𝑑+2(2−𝑑)=2，解得𝑑=0，所以𝑆8𝑆4=8𝑎14𝑎1=2，故C错误；对于D，由𝑆4=𝑆8，得64𝑑+8(2−𝑑)2=16𝑑+4(2−𝑑)2，解得𝑑=−211，所以

𝑆𝑛=−111𝑛2+1211𝑛，由𝑆𝑛>0，即−111𝑛2+1211𝑛>0，解得0<𝑛<12，所以正整数n的最大值为11，故D正确.故选：BD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·上海市高三开

学考试）若𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和，且𝑎1+𝑎5=22,𝑆𝑛=𝑛(𝑎𝑛−2𝑛+2)，则数列{𝑎𝑛}的通项公式是𝑎𝑛=4𝑛−1，𝑛∈N∗．【解题思路】根据已知，利用等差数列的性质以及

通项公式求解.【解答过程】因为等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎1+𝑎5=22，所以2𝑎3=22，所以𝑎3=11，又因为𝑆𝑛=𝑛(𝑎𝑛−2𝑛+2)，所以𝑆2=𝑎1+𝑎2=2(𝑎2−2)，即𝑎2=𝑎1+4，所以𝑑=4，所以𝑎𝑛=𝑎3+(𝑛−3)𝑑=11+(

𝑛−3)⋅4=4𝑛−1，𝑛∈N∗.故答案为：𝑎𝑛=4𝑛−1，𝑛∈N∗.14．（4分）（2021·天津市高二期末）已知等差数列{𝑎𝑛}的通项公式为𝑎𝑛=-2𝑛+11，其前𝑛项和为𝑆𝑛，则当𝑆𝑛取得最大值时𝑛的值为5．【解题思路

】根据通项公式，设𝑛=𝑘时，𝑆𝑘≥𝑆𝑛，利用{𝑎𝑘≥0𝑎𝑘+1≤0，计算即可求解.【解答过程】𝑛∈𝑁*，设𝑛=𝑘时，𝑆𝑘≥𝑆𝑛，则{𝑎𝑘≥0𝑎𝑘+1≤0，得{-2𝑘+11≥0-2𝑘+9≤0，解得112≥𝑘≥92，得𝑘=5故当𝑛=𝑘

=5时，𝑆𝑛取最大值.故答案为：5.15．（4分）（2021·江西南昌·高一期中）各项不全为0的等差数列{𝑎𝑛}，前𝑛项和为𝑆𝑛．若𝑆100=𝑆104，𝑆𝑘=𝑆106，𝑘+𝑆204=98．【解题思路】根据等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和可看

成关于n的二次函数且无常数项，利用二次函数的对称性求解.【解答过程】因为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛=𝑛𝑎1+𝑛(𝑛−1)𝑑2=12𝑑𝑛2+(𝑎1−12𝑑)𝑛，可看成关于n的二次函数且无常数项，由二次函数的对称性及𝑆100=�

�104，𝑆𝑘=𝑆106，得100+1042=𝑘+1062=0+2042，所以𝑘=98,𝑆204=0，所以𝑘+𝑆204=98，故答案为：98.16．（4分）（2022·江苏·高二期末）我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：今有

竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少？在这个问题中，九节总容量是20122.【解题思路】设由下到上九节容量

分别记为𝑎1,𝑎2,...,𝑎9，则𝑎1,𝑎2,...,𝑎9成等差数列，设公差为𝑑，根据题意列方程解出基本量𝑎1、𝑑，即可利用公式求和.【解答过程】设由下到上九节容量分别记为𝑎1,𝑎2,...,𝑎9，则𝑎1,𝑎2,...,𝑎9成

等差数列，设公差为𝑑，则𝑎1+𝑎2+𝑎3=4，𝑎6+𝑎7+𝑎8+𝑎9=3，即𝑎1+𝑎2+𝑎3=3𝑎1+3𝑑=4，𝑎6+𝑎7+𝑎8+𝑎9=4𝑎1+26𝑑=3，解得𝑎1=9566，𝑑=−7

66，故𝑆9=9𝑎1+9×82𝑑=20122.故答案为：20122.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的前n项和分别为𝐴𝑛和𝐵𝑛，𝐴𝑛𝐵𝑛=3𝑛

+1𝑛+1，求𝑎2+𝑎5+𝑎8𝑏3+𝑏7的值．【解题思路】根据等差数列下标和性质得到𝑎2+𝑎5+𝑎8𝑏3+𝑏7=3𝑎52𝑏5，再根据等差数列前𝑛项和公式得到𝑎5𝑏5=𝐴9

𝐵9，再代入计算可得；【解答过程】解：∵数列{𝑎𝑛}，{𝑏𝑛}为等差数列，且前n项和分别为𝐴𝑛，𝐵𝑛，∴𝑎2+𝑎5+𝑎8𝑏3+𝑏7=3𝑎52𝑏5，且𝑎5𝑏5=9𝑎59𝑏5=9(𝑎1+𝑎9)29(�

�1+𝑏9)2=𝐴9𝐵9，又𝐴𝑛𝐵𝑛=3𝑛+1𝑛+1，∴𝑎5𝑏5=𝐴9𝐵9=3×9+19+1=145，∴𝑎2+𝑎5+𝑎8𝑏3+𝑏7=3𝑎52𝑏5=32×145=215．18

．（6分）（2022·广西·高二期中（文））等差数列{𝑎𝑛}，𝑆11=−11，公差𝑑=−3．(1)求通项公式和前𝑛项和公式；(2)当𝑛取何值时，前𝑛项和最大，最大值是多少．【解题思路】（1）根据等差中项可得𝑆11=11𝑎6=−

11，从而得𝑎6=−1，从而求通项公式和前𝑛项和公式；（2）𝑎6=−1，𝑎5=2知当𝑛=5时，前𝑛项和最大，利用前𝑛项和公式求最值即可．【解答过程】（1）由𝑆𝑛为等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和，则𝑆11=11×

(𝑎1+𝑎11)2=11×2𝑎62=11𝑎6=−11，解得𝑎6=−1，𝑎𝑛=𝑎6+(𝑛−6)𝑑=−1+(𝑛−6)×(−3)=17−3𝑛，则𝑎1=17−3=14，𝑆𝑛=𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)2=𝑛(14+17

−3𝑛)2=−32𝑛2+312𝑛.（2）由𝑎𝑛=17−3𝑛，则数列{𝑎𝑛}为递减数列，由𝑎6=−1<0，𝑎5=2>0，则当𝑛=5时，𝑆𝑛取得最大值，即最大值为𝑆5=5×(14+2)2=40.19．（8分）

（2022·上海市高三阶段练习）公差不为零的等差数列{𝑎𝑛}满足𝑎15=𝑎3𝑎5,𝑎1=−2.(1)求{𝑎𝑛}的通项公式；(2)记{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，求使𝑆𝑛<𝑎

𝑛成立的最大正整数𝑛.【解题思路】（1）根据等差数列公式，代入计算得到答案.（2）根据等差数列求和公式，考虑两种情况，代入数据得到不等式，解得答案.【解答过程】（1）𝑎15=𝑎3𝑎5，即−2+14𝑑=(−2+2𝑑)(−2+4�

�)，解得𝑑=3或𝑑=14.故𝑎𝑛=3𝑛−5或𝑎𝑛=14𝑛−94（2）当𝑎𝑛=3𝑛−5时，𝑆𝑛=(3𝑛−5−2)⋅𝑛2=3𝑛2−7𝑛2，𝑆𝑛<𝑎𝑛，即3𝑛2−7𝑛2<

3𝑛−5，解得1<𝑛<103，故最大正整数𝑛=3；当𝑎𝑛=14𝑛−94时，𝑆𝑛=(14𝑛−94−2)⋅𝑛2=18𝑛2−178𝑛，𝑆𝑛<𝑎𝑛，即18𝑛2−178𝑛<14𝑛−

94，解得1<𝑛<18，故最大正整数𝑛=17.综上所述：当𝑎𝑛=3𝑛−5时，𝑛=3；当𝑎𝑛=14𝑛−94时，𝑛=17.20．（8分）（2022·全国·高二课时练习）已知一个等差数列{𝑎𝑛}的前4项和

为32，前8项和为56．(1)求𝑆12、𝑆16的值；(2)通过计算观察，寻找𝑆4、𝑆8、𝑆12、𝑆16之间的关系，你发现什么结论？(3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明

．【解题思路】（1）设{𝑎𝑛}公差为𝑑，由等差数列前𝑛项和公式列方程组求得𝑎1和𝑑，再计算出𝑆12，𝑆16；（2）由（1）求出𝑆4，𝑆8−𝑆4，𝑆12−𝑆8，𝑆16−𝑆12后

可得结论；（3）根据等差数列的定义证明．【解答过程】（1）设{𝑎𝑛}公差为𝑑，则{𝑆4=4𝑎1+6𝑑=32𝑆8=8𝑎1+28𝑑=56，解得{𝑎1=354𝑑=−12，𝑆12=12𝑎1+66𝑑=12×354+66×(−12)=72，𝑆16=16�

�1+120𝑑=16×354+120×(−12)=80；（2）由（1）得𝑆4=32，𝑆8−𝑆4=24，𝑆12−𝑆8=16，𝑆16−𝑆12=8，所以𝑆4，𝑆8−𝑆4，𝑆12−𝑆8，𝑆16−�

�12成等差数列；（3）设{𝑎𝑛}公差为𝑑，则𝑆𝑘𝑡−𝑆(𝑘−1)𝑡=(𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎𝑘𝑡)−(𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎(𝑘−1)𝑡)=𝑎(𝑘−1)𝑡+1+𝑎(𝑘

−1)𝑡+2+⋯+𝑎𝑘𝑡，同理𝑆(𝑘+1)𝑡−𝑆𝑘𝑡=𝑎𝑘𝑡+1+𝑎𝑘𝑡+2+⋯+𝑎(𝑘+1)𝑡，所以(𝑆(𝑘+1)𝑡−𝑆𝑘𝑡)−(𝑆𝑘𝑡−𝑆(𝑘−1)𝑡)=(𝑎𝑘𝑡+1−𝑎(𝑘−1)�

�+1)+(𝑎𝑘𝑡+2−𝑎(𝑘−1)𝑡+2)+⋯+(𝑎(𝑘+1)𝑡−𝑎𝑘𝑡)=𝑡𝑑+𝑡𝑑+⋯+𝑡𝑑=𝑡2𝑑为常数，所以𝑆𝑡，𝑆2𝑡−𝑆𝑡，𝑆3𝑡−𝑆2𝑡，…，𝑆𝑘𝑡−𝑆(𝑘−1)𝑡，…(𝑘,𝑡∈𝑁∗

)成等差数列．21．（8分）（2021·全国·高二课时练习）已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为等差数列，a1＝12，d＝－2.（1）求Sn，并画出{Sn}(1≤n≤13)的图象；（2）分别求{Sn}单调递增、单调递减的n的取值范围，并求{Sn}的最大(或最小)的项；（3）{Sn}有

多少项大于零？【解题思路】（1）利用等差数列的求和公式得到Sn关于𝑛的二次函数表达式Sn＝－n2＋13n，画出二次函数的图象上对应的横坐标为正整数值的点即为所求图像；（2）利用配方法，利用二次函数的性质可以得到单调性，根据单调性和对称性

可以得到最大项及最大值；（3）由（1）中的图象可以做出判定.【解答过程】（1）Sn＝na1＋𝑛(𝑛−1)2d＝12n＋𝑛(𝑛−1)2×(－2)＝－n2＋13n.图象如图:（2）Sn＝－n2＋13n＝－(𝑛−132)2＋1694，n∈N*，∴当n＝6或n＝7时，Sn

最大；当1≤n≤6时，{Sn}单调递增；当n≥7时，{Sn}单调递减.{Sn}有最大值，最大项是S6，S7，S6＝S7＝42;（3）由图象得{Sn}中有12项大于零.22．（8分）（2022·浙江·高三期中）流感是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病

，秋冬季节是其高发期，其所引起的并发症和死亡现象非常严重.我国北方某市去年12月份曾发生大面积流感，据资料统计，12月1日该市新增患者有20人，此后12月的某一段时间内，每天的新增患者比前一天的新增患者多50人.为此，该市医疗部门紧急采取措施，有效控制了病

毒传播.从12月的某天起，每天的新增患者比前一天的新增患者少30人.设12月第n天，该市新增患者人数最多.(1)求第n天的新增患者人数（结果用n表示）；(2)求前n天的新增患者的人数之和（结果用n表示）；(3)若截止12月30日，该市30

天内新增患者总共有8670人，求n的值.【解题思路】(１)根据等差数列即可求解通项得解，（2）由等差数列的求和公式即可求解，（3）根据等差数列的求和可解.【解答过程】（1）12月1~n日，每天新增患者人数构成等差数列.其首项为20，公差为50

，第n天的新增患者人数为𝑎𝑛=50𝑛-30（𝑛∈N+且1≤𝑛≤30）.（2）前n天的新增患者总人数为𝑆𝑛=20𝑛+𝑛(𝑛-1)2×50=25𝑛2-5𝑛（1≤𝑛≤30且𝑛∈N+）.（3）12月𝑛+1∼30日，每日新增患者

人数构成另一个等差数列.首项为20+(𝑛-1)⋅50-30=50𝑛-60，公差为-30，项数为(30-𝑛)，∴第𝑛+1∼30日新增患者总人数为𝑇30-𝑛=(50𝑛-60)(30-𝑛)+(30-𝑛)(29-𝑛)2⋅(-30)=-65𝑛2+2445𝑛-14850.由题意得𝑆�

�+𝑇30-𝑛=8670，整理得𝑛2-61𝑛+588=0，解得𝑛=12或49.∵1≤𝑛≤30且𝑛∈N+，∴𝑛=12.