【文档说明】《八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）》专题1.3 全等三角形章末重难点题型（举一反三）（原卷版）.docx，共(22)页，792.188 KB，由管理员店铺上传

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1专题1.3全等三角形章末重难点题型【华东师大版】【考点1全等三角形的性质（线段的和差）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，利用线段相等进行等量代换即可求解.【例1】（2020春•万州区

期末）如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．14【变式1-1】（2019秋•秦淮区期末）如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C

、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（）2A．2B．3C．5D．7【变式1-2】（2019秋•邳州市期中）如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长

是（）A．4B．5C．6D．7【变式1-3】（2019秋•拱墅区校级期中）若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（）A．3B．4C．1或3D．3或5【考点2全等三角形的性质（角的计算）】【方法点拨】解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等，利用角度之间的关系

进行等量代换即可求解.【例2】（2019秋•江北区期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（）A．20°B．30°C．40°D．50°【变式2-1】（202

0春•南岗区校级期中）如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（）3A．40°B．50°C．55°D．60°【变式2

-2】（2019秋•洛阳期中）如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA的度数为（）A．54°B．63°C．64°D．68°【变式2-3】（2020春•沙坪

坝区校级期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为．【考点3全等三角形的判定（选择条件）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角

形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例3】（2020春•常熟市期末）如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的

是（）A．∠A＝∠BB．AC＝BDC．∠ADE＝∠BCED．AD＝BC【变式3-1】（2020春•崇川区期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能4使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（）A．BC＝EC，∠B＝∠EB．

BC＝EC，AC＝DCC．∠B＝∠E，∠A＝∠DD．BC＝DC，∠A＝∠D【变式3-2】（2020春•竞秀区校级期末）如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A

＝∠D，其中正确的是（）A．①③B．①②C．①②③D．①②③④【变式3-3】（2020春•金牛区期末）如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF

∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有（）组．A．4B．3C．2D．1【考点4全等三角形的判定（判定依据）】【方法点拨】判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对

应相等时，角必须是两边的夹角．【例4】（2019秋•广安期末）如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（）5A．SSSB．SASC．

AASD．HL【变式4-1】（2019秋•江津区期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（）A．SSSB．

SASC．ASAD．AAS【变式4-2】（2019秋•西宁期末）如图，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB．则△OAP≌△OBP的依据不可能是（）A．SSSB．SASC．AASD．HL【变式4-

3】（2019秋•正定县期中）一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（）A．带其中的任意两块B．带1，4或3，4就可以了C．带1，4或2

，4就可以了D．带1，4或2，4或3，4均可6【考点5全等三角形的判定与性质（基础证明）】【方法点拨】全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹

边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．【例5】（2020春•工业园区期末）已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：BE＝DE．【变式5-1】（2020•鞍山）如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90

°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．【变式5-2】（2020春•雨花区期末）如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．（1）求证：△ABH≌△DEG；（2）求证：CE＝FB．【变式5-3】（2020春•

历下区期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．（1）求证：∠ABE＝∠ACE；7（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，CE的延长线交AB于点G．求证：EF＝EG．【考点6全等三角形的判定与性质（多结论）】【例6】（2020春•高明区期末）如图，AD

是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【变式6-1】（2019秋•潜山市期末）如

图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，那么下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④BR＝QS，其中一定正确的是（填写编号）．【变

式6-2】（2020春•平阴县期末）如图，EB交AC于点M，交C于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE＝CF．其中正确的结论有．（填序号）8【变式6-3】（2

020春•雨花区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是．（填写正确的序号）①DF＝BE，②△

ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．【考点7全等三角形的判定与性质（动点问题）】【例7】（2019春•平阴县期末）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以

2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）用含t的式子表示PC的长为；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由；（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等

，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等？9【变式7-1】（2019秋•德惠市期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速

度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QF

C全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【变式7-2】（2019秋•花都区期末）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间

为ts．（1）如图（1），当t＝112或192时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程1

0中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．【变式7-3】（2019秋•内乡县期末）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线

BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明

理由；（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．【考点8全等三角形的判定与性质（添辅助线）】【例8】（2020•

黄州区校级模拟）如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．【变式8-1】（2020春•青羊区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═12∠BAC，BF⊥

AE于E交AF于点F，连结CF．（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．11

【变式8-2】（2020春•南岸区期末）在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；（2）如图2，若∠

BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【变式8-3】（2019春•成都期末）已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC．（1）如图1，连接BD，若∠ABD＝∠CBD

，则AB与AD有什么位置关系，请说明理由？（2）如图2，若P，Q两点分别在线段AD，DC上，且满足PQ＝AP+CQ，请猜想∠PBQ与∠ABP+∠QBC是否相等，并说明理由．（3）如图3，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，且仍然满足PQ＝AP+CQ，

请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并加以说明．【考点9等腰三角形的性质（分类讨论思想）】12【方法点拨】解决此类问题的关键要注意分类讨论思想．【例9】（2019秋•谢家集区期末）等腰三角形的周长为14cm，其中一边长为4c

m，则该等腰三角形的腰长为（）A．4cmB．5cmC．4cm或5cmD．4cm或6cm【变式9-1】（2019春•郑州期末）等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50°，则这个等腰三角形顶角的度数为（）A．40°B．70°C．40°或70

°D．40°或140°【变式9-2】（2020春•东城区校级期末）等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm．则等腰三角形的腰长为（）A．2cmB．8cmC．2cm或8cmD．以上答案都不对【变式9-3】（2019秋•殷都区期中）等腰三角形一腰上的高等

于该三角形另一边长的一半．则其顶角等于（）A．30°B．30°或150°C．120°或150°D．120°、30°或150°【考点10等腰三角形的性质（求角度综合）】【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结合运用．【例1

0】（2019秋•高州市期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝EB，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．50°【变式10-1】（2020春•历下区期末）如图，已知∠AOB＝10°，且OC＝CD＝D

E＝EF＝FG＝GH，则∠BGH＝（）13A．50°B．60°C．70°D．80°【变式10-2】（2020春•广饶县期末）如图，△AA1B中，AB＝A1B，∠B＝20°，A2，A3，A4，A5，…An都在AA1的

延长线上，B1，B2，B3，B4…分别在A1B，A2B1，A3B2，A4B3，…上，且满足A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，A4B4＝A4A5，…，依此类推，∠B2019A2020A2019＝．【

变式10-3】（2020春•叙州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，E为BC边上一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC于点F，使∠AEF＝∠B．（1）如果∠ABC＝40°，则∠BAC＝；（2）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理由；

（3）当△AEF为直角三角形时，求∠AEF与∠BAE的数量关系．【考点11等腰三角形的性质（三线合一）】【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等（简称等边对等角），常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结

合运用．【例11】（2019秋•江油市期末）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）14A．5B．4C．3D．2【变式11-1】（2019秋•丰城市期末）如图：已知等边△A

BC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M．（1）求∠E的度数．（2）求证：M是BE的中点．【变式11-2】（2019秋•宁都县期末）如图所示，△ABC中，AB＝B

C，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．（1）若∠AFD＝155°，求∠EDF的度数；（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=12∠B．【变式11-3】如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC．（1）若D为BC的中点，过D作DM⊥DN分别交AB、A

C于M、N，求证：DM＝DN；（2）若D为BC的中点，DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N，问DM和DN有何数量关系，并证明．【考点12等腰三角形的性质（作等腰三角形）】【例12】（2018秋•随县期末）已

知：如图，下列三角形中，AB＝AC，则经过三角形的一个顶点的一条直15线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A．①③④B．①②③④C．①②④D．①③【变式12-1】（2020•海门市一模）线段AB在如图所示的8×8网格中（点A、B均在格点上），在格点上

找一点C，使△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，则所有符合条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．7【变式12-2】（2019秋•安陆市期末）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线

，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．4条C．3条D．2条【变式12-3】（2019秋•鼓楼区月考）如图，直线PQ上有一点O，点A为直线外一点，连接OA，在直线PQ上找一点B，使得△AOB是等腰三角形，

这样的点B最多有个．16【考点13等边三角形的判定与性质综合】【例13】（2019秋•雨花区校级月考）已知如图等腰△ABC，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD

上一点，OP＝OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO＝30°；②∠APO＝∠DCO；③△OPC是等边三角形；④AB＝AO+AP．其中正确的是（）A．①③④B．①②③C．①③D．①②③④【变式13-1】（2020春•龙泉驿区期末）如图，C为线段AE上一动点，（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正

△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．求证：（1）AD＝BE（2）△APC≌△BQC（3）△PCQ是等边三角形．【变式13-2】（2020•烟台）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等

边三角形DEF，连接CF．【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．17【变式13-3】（2019秋•东台市期

末）在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数

量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．（1）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时𝑄𝐿=；（2）如图2，点M、N在边AB、AC上，且当DM≠DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？若成立请直接写出你的结

论；若不成立请说明理由．（3）如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，探索BM、NC、MN之间的数量关系如何？并给出证明．【考点14共点等腰（手拉手模型）】【例14】（2019秋•垦利区期中）已知：如图

，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD＝CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC＝45°；④∠ACE＝∠DBC．其中结论正

确的个数有（）A．1B．2C．3D．4【变式14-1】（2019•滨州）如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠18B

OC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1【变式14-2】（2019秋•常德期末）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE，求∠AEB的度数．（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠AC

B＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请求∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．【变式14-3】（2020秋•上蔡县校级期中）已知Rt△AB

C中，AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，点D为直线BC上的一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，连接CF．（1）发现问题如图①，当点D在边BC上时．

①请写出BD和CE之间的数量关系为，位置关系为；②求证：CE+CD＝BC（2）尝试探究19如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BC、CE、CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请证明；若不成立，请写出新的数量关系，不证明．（3）拓展延伸如图③，当点D在CB的延长

线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段CD的长．【考点15命题改写与互逆命题】【方法点拨】命题可看做由条件和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分

是结论．交换原命题的题设与结论即可得到其逆命题．【例15】（2019春•华蓥市期末）命题“同角的补角相等”的题设是，结论是．【变式15-1】（2019春•鞍山期末）把命题：“邻补角的平分线互相垂直”改写成“如果…那么…”的形式是．【变式15-2】（2019•海珠区一模

）命题“如果两个角是直角，那么它们相等”的逆命题是；逆命题是命题（填“真”或“假”）．【变式15-3】（2019春•南阳期末）命题“垂直于同一直线的两直线平行”的逆命题是，．【考点16线段垂直平分线的应用】【方法点拨】线段垂直平分线

的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键【例16】（2020春•沙坪坝区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点

F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（）A．4.5B．5C．5.5D．6【变式16-1】（2020春•太原期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交A

C于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）20A．15°B．20°C．25°D．30°【变式16-2】（2020春•郫都区期末）如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、

FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．【变式16-3】（2020春•福田区校级期中）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD

，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．【考点17角平分线性质的应用】【方法点拨】掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键【例17】（2020春•织金县期末

）如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2.5，则两平行线AD与BC间的距离为（）21A．3B．4C．5D．6【变式17-1】（2020春•崇川区校级期末）如图，△ABC的角平分线AE，

BF交于O点．（1）若∠ACB＝70°，则∠BOA＝；（2）求证：点O在∠ACB的角平分线上．（3）若OE＝OF，求∠ACB的度数．【变式17-2】（2019秋•百色期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）

说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【变式17-3】（2020春•萍乡期末）如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【考点

18尺规作图】【例18】（2020春•灯塔市期末）尺规作图题：已知：∠α、∠β，线段a．求作：△ABC，使∠B＝∠α，∠C＝∠β，BC＝a．22（注：不写作法，保留作图痕迹）【变式18-1】（2020春•莱州市期末）如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建设一个货物中转站

，要求它到三条公路的距离相等，请确定中转站P的位置．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，标注字母P，不写作法．【变式18-2】（2020春•靖远县期末）尺规作图．如图所示，已知A、B、C是三个新建的居民小区．现要在到三个小区距离相等的地

方修建一所学校D，试确定学校D的位置．（保留作图痕迹，不写作法）【变式18-3】（2020春•广饶县期末）如图，求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．