【文档说明】《八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）》专题1.2 函数及其图象章末重难点题型（举一反三）（解析版）.docx，共(68)页，864.343 KB，由管理员店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

1专题1.2函数及其图象章末重难点题型【华东师大版】【考点1函数图象的识别】【方法点拨】首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象是解题的关键．【例1】（2020春•沙河口区期末）一天早上小明步行上学，他离开家后不远便发现有东西忘在了家里，马上以相同的速度回家去拿，到家

后因事耽误一会，忙完后才离开，为了不迟到，小明跑步到了学校，则小明离学校的距离y与离家的时间t之间的函数关系的大致图象是（）A．B．2C．D．【分析】根据题意和各个选项中函数图象可以判断哪个选项是正确的，本题得

以解决．【解答】解：由题意可得，小明步行上学时小明离学校的距离减小，而后离开家后不远便发现有东西忘在了家里，于是以相同的速度回家去拿时小明离学校的距离增大，到家后因事耽误一会，忙完后才离开，此时距离不变，小明跑步到

了学校时小明离学校的距离减小直至为0．故B选项符合，故选：B．【点评】此题考查函数图象，关键是根据题意得出距离先减小再增大，然后不变后减小为0进行判断．【变式1-1】（2020春•武侯区期末）成都市双流新城公园是亚洲最大的城市湿地公园，周末小李在这个公园里某笔直的道路

上骑车游玩，先前进了a千米，体息了一段时间，又原路返回b千米（b＜a），再前进c千米，则他离起点的距离s与时间t的关系的示意图是（）A．B．C．D．【分析】根据前进时路程增加，休息时路程不变，返回时路程减少，再前进时路程增加，可得答案．【解答】解

：由题意，得路程先增加，路程不变，路程减少，路程又增加，故D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了函数图象，理解题意掌握路程与时间的关系是解题的关键，注意B图象中时间没变路程无法减少．【变式1-2】（2020春•揭阳期中）小明观看了《中国诗闻大会》第三

期，主题为“人生自有诗意”，受此启发根据邻居家的故事写了一首小诗：“儿子学成今日返，老父早早到车站，儿子到后细端详，父子高兴把3家还”，如图用y轴表示父亲与儿子行进中离家的距离，用x轴表示父亲离家的时间，那么下面图象与上述诗的含义大致相吻合的是（）A．B．C．D．【分析

】开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间，而父亲早到，两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同．【解答】解：开始时，父亲离家的距离越来越远，而儿子离家的距离越来越近，车站在两人出发点之间

，而父亲早到，故A，B，D不符合题意；两人停一段时间以后，两人一起回家，则离家的距离与离家时间的关系相同，则选项D符合题意．故选：D．【点评】主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际

意义得到正确的结论．【变式1-3】（2020春•文圣区期末）如图，向一个半径为R、容积为V的球形容器内注水，则能反映容积内水的体积y与容器内水深x之间的关系的图象可能为（）A．B．C．D．4【分析】水深h越大，水的体积v就越大，故容器内水的体积

y与容器内水深x间的函数是增函数，根据球的特征进行判断分析即可．【解答】解：根据球形容器形状可知，函数y的变化趋势呈现出，当0＜x＜R时，y增量越来越大，当R＜x＜2R时，y增量越来越小，曲线上的点的切线斜率先是逐渐变大，后又逐渐变小，故y关于x的函数图象是先凹后凸．故选：A．【点评】

本题主要考查了函数图象的变化特征，解题的关键是利用数形结合的数学思想方法．解得此类试题时注意，如果水的体积随深度的增加而逐渐变快，对应图象是曲线从缓逐渐变陡．【考点2通过函数图象获取信息】【方法点拨】理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单

位的统一．【例2】（2020春•长葛市期末）甲、乙两同学从A地出发，骑自行车在同一条路上行驶到B地，他们离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：（1）他们都行驶了18千米；（2）

甲在途中停留了0.5小时；（3）乙比甲晚出发了0.5小时；（4）相遇后，甲的速度大于乙的速度；（5）甲、乙两人同时到达目的地．其中，符合图象描述的说法有（）A．2个B．4个C．3个D．5个【分析】通过观察图象可得到甲出发0.5小时后停留了0.5小时，然

后再用1.5小时到达离出发地18千米的目的地；乙比甲晚0.5小时出发，用1.5小时到达离出发地18千米的目的地，根据此信息分别对5种说法分别进行判断．5【解答】解：观察图象，甲、乙到达目的地时离出发地的距离，所以（1）正确；都为18千米，甲在0.5小时至1

小时之间，S没有变化，说明甲在途中停留了0.5小时，所以（2）正确；甲出发0.5小时后乙开始出发，说明（3）正确；两图象相交后乙的图象在甲的上方，说明甲的速度小于乙的速度，所以（4）不正确；甲出发2.5小时后到达目的地，而乙在甲出发2小时后到达目的地，所以（5）不正确．故选：C．【点评

】本题考查了函数图象：学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．【变式2-1】（2020春•门头沟区期末）甲、乙二人约好沿同一路线去某地集合进行宣传活动，如图，是甲、乙二人行走的图象，点O代表的是学校，x表示的是行走时间

（单位：分），y表示的是与学校的距离（单位：米），最后都到达了目的地，根据图中提供的信息，下面有四个推断：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了10分钟；②甲先到达的目的地；③甲在停留10分钟之后提高了行走速度；④甲行走的平均

速度要比乙行走的平均速度快．所有正确推断的序号是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②④【分析】根据函数图象中的数据得出路程、时间与速度，进而解答即可．【解答】解：①甲、乙二人第一次相遇后，停留了20﹣10＝10分钟，说法正确；②甲在35分时到达，乙在40分

时到达，所以甲先到达的目的地，说法正确；⑧甲在停留10分钟之后减慢了行走速度，说法错误；④甲行走的平均速度要比乙行走的平均速度快，说法正确；故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思6想解答．【变式2-2】（2020春

•莘县期末）已知A、B两地相距600米，甲、乙两人同时从A地出发前往B地，所走路程y（米）与行驶时间x（分）之间的函数关系如图所示，则下列说法中：①甲每分钟走100米；②两分钟后乙每分钟走50米；③甲比乙提前3分钟到达B地；④当x＝2或6时，甲乙两人相距10

0米．正确的有（在横线上填写正确的序号）．【分析】①根据函数图象中的数据，可知甲6分钟走了600米，从而可以计算出甲每分钟走的路程，从而可以判断该小题是否正确；②根据图象中的数据可知，乙2分钟到6分钟走的

路程是500﹣300＝200米，从而可以计算出两分钟后乙每分钟走的路程，从而可以判断该小题是否正确；③根据乙2分钟后的速度，可以计算出乙从A地到B地用的总的时间，然后与6作差，即可判断该小题是否正确；④根据图象，

可以分别计算出x＝2和x＝6时，甲乙两人的距离，从而可以判断该小题是否正确．【解答】解：由图象可得，甲每分钟走：600÷6＝100（米），故①正确；两分钟后乙每分钟走：（500﹣300）÷（6﹣2）＝200÷4＝50（米），故②正确；乙到达B地用的时间为：2+（600﹣300

）÷50＝2+300÷50＝2+6＝8（分钟），则甲比乙提前8﹣6＝2分钟达到B地，故③错误；当x＝2时，甲乙相距300﹣100×2＝300﹣200＝100（米），当x＝6时，甲乙相距600﹣500＝100米，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查函数的图象

，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．【变式2-3】（2019春•九龙坡区校级期中）重庆实验外国语学校运动会期间，小明和小欢两人打算匀速从教室跑到600米外的操场参加入场式，出发

时小明发现鞋带松了，停下来系鞋带，小欢继续跑往操场，小7明系好鞋带后立即沿同一路线开始追赶小欢小明在途中追上小欢后继续前行，小明到达操场时入场式还没有开始，于是小明站在操场等待，小欢继续前往操场．设小明和小欢

两人相距s（米），小欢行走的时间为t（分钟），s关于t的函数图象如图所示，则在整个运动过程中，小明和小欢第一次相距80米后，再过分钟两人再次相距80米．【分析】由题意小欢的速度为40米/分钟，小明的速度

为80米/分钟，设小明在途中追上小欢后需要x分钟两人相距80米，则：80x﹣40x＝80，解得x＝2分钟，推出小欢一共走了40×（2+2）＝160（米），由此即可解决问题．【解答】解：由题意小欢的速度为40米/分钟，小明的速度为80米/分钟，设小明在途中追上小欢后

需要x分钟两人相距80米，则有：80x﹣40x＝80，∴x＝2，此时小欢一共走了40×（2+2）＝160（米），（600﹣160﹣80）÷40＝9（分）．即小明和小欢第一次相距80米后，再过9分钟两人再次相距80米．故答案为：9【点评】本题考查一次函

数的应用，路程，速度，时间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．【考点3动点问题的函数图象】【例3】（2020春•青岛期末）如图，在长方形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．

设点P运动的路程为x，△PCD的面积为y，如果y与x之间的关系如图所示，那么长方形ABCD的面积为（）8A．12B．24C．20D．48【分析】根据题意结合图象得出AB、BC的长度，再求出面积即可．【

解答】解：由题意可知，当点P从点A运动到点B时，△PCD的面积不变，结合图象可知AB＝6，当点P从点B运动到点C时，△PCD的面积逐渐变小直到为0，结合图象可知BC＝4，∴长方形ABCD的面积为：AB•BC＝6×4＝24．故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质和函数图象，能根

据图形得出正确信息是解此题的关键．【变式3-1】（2020春•芝罘区期末）如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x，三角形ABP的面积为y，如果y关于x的图象如图2

所示，则长方形ABCD的周长是（）A．13B．17C．18D．26【分析】根据函数的图象、结合图形求出AB、BC的值，即可得出矩形ABCD的周长．【解答】解：∵动点P从点B出发，沿BC、CD、DA运动至点A停

止，而当点P运动到点C，D之间时，△ABP的面积不变，函数图象上横轴表示点P运动的路程，x＝4时，y开始不变，说明BC＝4，x＝9时，接着变化，说明CD＝9﹣4＝5，∴AB＝5，BC＝4，∴矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝18

．故选：C．9【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，在解题时要能根据函数的图象求出AB、BC的长度是解决问题的关键．【变式3-2】（2020•河南二模）如图①．在正方形ABCD的边BC上有一点E，连接AE．点P从正方形的顶点A出

发，沿A→D→C以1cm/s的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，△APE的面积y（cm2）随时间x（s）变化的函数图象．当x＝7时，y的值为（）A．7B．6C．132D．112【分析】①当点P在点D时

，y=12AB×AD=12×a×a＝8，解得：a＝4，②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，③当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△ABE+S△ECP+S△APD，即可求解．【解答】解：设正方形的边长为a，①当点P在点D时，y=12AB×

AD=12×a×a＝8，解得：a＝4，②当点P在点C时，y=12EP×AB=12×EP×4＝6，解得：EP＝3，即EC＝3，BE＝1，③当x＝7时，如下图所示：此时，PC＝1，PD＝7﹣4＝3，当x＝7时，y＝S正方形ABCD﹣（S△A

BE+S△ECP+S△APD）＝4×4−12（4×1+1×3+4×3）=132，故选：C．【点评】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．【变式3-3】（2020春•自贡期末）如图

，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A（6，0），C（0，4）10点D与坐标原点O重合，动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，连接OP、CP，设点P运动的时间为t秒，△CPO的面积为

S，下列图象能表示t与S之间函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据动点运动的起点位置、关键转折点，结合排除法，可得答案．【解答】解：∵动点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿O﹣A﹣B﹣C的路线向终点C运动，△CPO的面积为S11∴当t＝0时，OP＝0，故

S＝0∴选项C、D错误；当t＝3时，点P和点A重合，∴当点P在从点A运动到点B的过程中，S的值不变，均为12，故排除A，只有选项B符合题意．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合及正确运用排除法，是解题的关键．【考点4平面直角坐标系中的点的特征】【方法点拨

】掌握第1～4象限内点的坐标符号特点分别是：（＋，＋）、（－，＋）、（－，－）、（＋，－）；坐标系内点的坐标特点：坐标原点（0，0）、x轴（x，0）、y轴（0，y）.注意若点在坐标轴上，则要分成在x轴、y轴上两种情况来讨论；点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横

坐标的绝对值；象限角平分线上点的坐标特点：第1、3象限中x＝y，第二、四象限中x＋y＝0．【例4】（2020春•焦作期末）如果P（ab，a+b）在第四象限，那么Q（a，﹣b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用各象限内点

的坐标特点得出a，b的符号进而得出答案．【答案】解：∵P（ab，a+b）在第四象限，∴ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴﹣b＞0，∴Q（a，﹣b）在第二象限．故选：B．【点睛】此题主要考查了点

的坐标，正确掌握各象限内点的坐标特点是解题关键．【变式4-1】（2020春•雨花区校级期末）已知A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，则C（a，b）的坐标为．【分析】直接利用x，y轴上点的坐标特点得出a，b的值进而得出答

案．【答案】解：∵A（a﹣5，2b﹣1）在y轴上，B（3a+2，b+3）在x轴上，∴a﹣5＝0，b+3＝0，解得：a＝5，b＝﹣3，∴C（a，b）的坐标为：（5，﹣3）．故答案为：（5，﹣3）．12【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出a

，b的值是解题关键．【变式4-2】（2020春•越秀区校级月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标是（3a﹣5，a+1）．若点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，且点A在y轴的右侧，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1或3【分析】根据点A到x轴的距离与到y轴的距离相等可得3a﹣5＝a+1或

3a﹣5＝﹣（a+1），解出a的值，再由点A在y轴的右侧可得3a﹣5＞0，进而可确定a的值．【答案】解：∵点A到x轴的距离与到y轴的距离相等，∴3a﹣5＝a+1或3a﹣5＝﹣（a+1），解得：a＝3或1，∵点A在y轴的右侧，∴点A的横坐标为正数，∴3a

﹣5＞0，∴a＞53，∴a＝3，故选：C．【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值．【变式4-3】（2020秋•高邮市期中）在平面直角坐标系xOy中，有一点P

（a，b），实数a，b，m满足以下两个等式：2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0．（1）当a＝1时，点P到x轴的距离为；（2）若点P在第一、三象限的角平分线上，求点P的坐标；（3）当a＜b时，则m的取值范围是．【分析】（1）把a＝1代入2a﹣6m+4＝0中求出m值，再把m值代入b

+2m﹣8＝0中即可求出b的值，再根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值即可求解；（2）借助两个等式，用m把a、b分别表示出来，再根据题意可知P点的横、纵坐标相等，列关于m的方程求出m的值，最后求出a、b值．（3）把a、b用m表示出来，代入a＜

b，则m的取值范围可求．【答案】解：（1）当a＝1时，则2×1﹣6m+4＝0，解得m＝1．把m＝1代入b+2m﹣8＝0中，得b＝6．所以P点坐标为（1，6），13所以点P到x轴的距离为6．故答案为6．（2）当点

P在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、纵坐标相等，可得a＝b．由2a﹣6m+4＝0，可得a＝3m﹣2；由b+2m﹣8＝0，可得b＝﹣2m+8．则3m﹣2＝﹣2m+8，解得m＝2．把m＝2分别代入2a﹣6m+4＝0，b+2m﹣8＝0中，解得a＝b＝4，所以P点坐标为（4，4）．（3

）由（2）中解答过程可知a＝3m﹣2，b＝﹣2m+8．若a＜b，即3m﹣2＜﹣2m+8，解得m＜2．故答案为m＜2．【点睛】本题主要考察了点的坐标特征及解不等式，熟知特殊点的坐标特征是解题的关键．【考点5坐标与图形的变化】【方法点拨】与坐标轴平行的直线上点的坐标特

点：与x轴平行，纵坐标y相等；与y轴平行，横坐标x相等．坐标与图形变化：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个

单位长度．【例5】（2020春•江岸区校级月考）已知点A（3a﹣6，a+4），B（﹣3，2），AB∥y轴，点P为直线AB上一点，且PA＝2PB，则点P的坐标为．【分析】由AB∥y轴可知AB的横坐标相等，故3a﹣6＝﹣3，即可求出a＝1，得AB＝3

，根据已知PA＝2PB，分P在线段AB上和在线段AB延长线两种情况求出PA，即可得到两种情况下P的坐标．【答案】解：∵AB∥y轴，∴3a﹣6＝﹣3，解得a＝1，∴A（﹣3，5），∵B点坐标为（﹣3，2），

∴AB＝3，B在A的下方，①当P在线段AB上时，∵PA＝2PB∴PA=23AB＝2，∴此时P坐标为（﹣3，3），②当P在AB延长线时，∵PA＝2PB，即AB＝PB，∴PA＝2AB，14∴此时P坐标为（﹣3，﹣1）；故答案为（﹣3，3）或（﹣3，﹣1）．【点睛】本题主

要考查了坐标与图形的性质，掌握平行于y轴的直线上所有点横坐标相等是解题的关键，并根据A、B两点的距离及相对位置，分类求解．【变式5-1】（2020春•舞钢市期末）已知A（3，﹣2），B（1，0），把线段AB平移至线段CD，其中点A

、B分别对应点C、D，若C（5，x），D（y，0），则x+y的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【分析】根据A、B两点平移后对应点的位置可得图形的平移方法，进而可得x、y的值，然后再计算出x+y即可．【答案】解：∵A（3，﹣2），B（1，0）平移后的对应点C（5，x），D（y，0），

∴平移方法为向右平移2个单位，∴x＝﹣2，y＝3，∴x+y＝1，故选：C．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化﹣﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．【变式5-2】（2019春•和平区期中）如图，三角形A'B'C'是由三角形ABC经过某种

平移得到的，点A与点A'，点B与点B'，点C与点C'分别对应，观察点与点坐标之间的关系，解答下列问题．（1）分别写出点A、点B、点C、点A'、点B'、点C'的坐标，并说明三角形A'B'C'是由三角形ABC经过怎样的平移得到的．（2）若点M（a+2，4﹣b）是点N（

2a﹣3，2b﹣5）通过（1）中的平移变换得到的，求（b﹣a）2的值．【分析】（1）由图形可得出点的坐标和平移方向及距离；15（2）根据以上所得平移方式，利用“横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减”的规律列

出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，代入计算可得．【答案】解：（1）由图知，A（0，3），B（2，1），C（3，4），A′（﹣3，0），B′（﹣1，﹣2），C′（0，1），且△ABC向左平移3个单

位，向下平移3个单位可以得到△A′B′C′；（2）由（1）中的平移变换的2a﹣3﹣3＝a+2，2b﹣5﹣3＝4﹣b，解得a＝8，b＝4，则（b﹣a）2＝（4﹣8）2＝（﹣4）2＝16．【点睛】本题主要考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握在平面直角坐标系

内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即

：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）【变式5-3】（2020春•海淀区校级期末）已知：在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）（1）求△ABC的面积；（2）设点P在x轴上，且

△ABP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．【分析】（1）过点C向x、y轴作垂线，垂足分别为D、E，然后依据S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD求解即可．（2）设点P的坐标为（x，0），于是得

到BP＝|x﹣2|，然后依据三角形的面积公式求解即可．【答案】解：（1）过点C作CD⊥x轴，CE⊥y，垂足分别为D、E．16S△ABC＝S四边形CDEO﹣S△AEC﹣S△ABO﹣S△BCD＝3×4−12×2×4−12×1×2−12×2×3＝12﹣4

﹣1﹣3＝4．（2）设点P的坐标为（x，0），则BP＝|x﹣2|．∵△ABP与△ABC的面积相等，∴12×1×|x﹣2|＝4．解得：x＝10或x＝﹣6．所以点P的坐标为（10，0）或（﹣6，0）．【点睛

】本题主要考查的是坐标与图形的性质，利用割补法求得△ABC的面积是解题的关键．【考点6点的坐标规律问题】【例6】（2020春•临高县期末）如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（﹣

1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，﹣2），…按这样的运动规律，动点P第2020次运动到点（）A．（2020，﹣2）B．（2020，0）C．（2019，1）D．（2019，0）【分析】观察图形可知，每4

次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2020除以4，然后根据商和余数的情况确定运动后点的坐标即可．【答案】解：∵2020÷4＝505，∴动点P第2020次运动为第505个循环组的第4次运动，17横坐标505×4﹣1＝2019，纵坐标为0，∴点P

此时坐标为（2019，0）．故选：D．【点睛】考查了规律型：点的坐标，本题为平面直角坐标系下的规律探究题，解答时注意探究动点的运动规律，又要注意动点的坐标的象限符号．【变式6-1】（2020春•潼南区期末）如

图，在平面直角坐标系中，OA1＝1，将边长为1的正方形一边与x轴重合按图中规律摆放，其中相邻两个正方形的间距都是1，则点A2022的坐标为（）A．（1009，1）B．（1010，1）C．（1011，0）D．（1011，﹣1）【分析】根据横坐标，纵坐标的变化规律，每8个点

看作一次循环，再根据点A2022在第253个循环中的第6个点的位置，即可得出点A2022的坐标．【答案】解：由图可得，第一个正方形中，A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），各点的横坐标依次为1，1，2，2，纵坐标依次为0，1，1，0；第二个正方形中，A5（3

，0），A6（3，﹣1），A7（4，﹣1），A8（4，0），各点的横坐标依次为3，3，4，4，纵坐标依次为0，﹣1，﹣1，0；根据纵坐标的变化规律可知，每8个点一次循环，∵2016÷8＝252，∴点A2022在第253个循环中

的第6个点的位置，故其纵坐标为﹣1，又∵A6的横坐标为3，A14的横坐标为7，A22的横坐标为11，…∴A2022的横坐标为1011，∴点A2022的坐标为（1011，﹣1），故选：D．【点睛】本题主要考查了点的坐标变化规律问题以及

正方形的性质的运用，解决问题的关键是判断点A2022在第253个循环中的第6个点的位置．【变式6-2】（2020春•崇川区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），

第3次向上跳动1个单位18至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…．照此规律，点P第100次跳动至点P100的坐标是（）A．（﹣26，50）B．（﹣25，50）C．（26，50）D．（25，50）【分析】解决本题的关键是

分析出题目的规律，以奇数开头的相邻两个坐标的纵坐标是相同的，所以第100次跳动后，纵坐标为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横

坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到P100的横坐标．【答案】解：经过观察可得：P1和P2的纵坐标均为1，P3和P4的纵坐标均为2，P5和P6的纵坐标均为3，因此可以推知P99和P100的纵坐标均为100÷2＝50；其中4的倍数的跳动都在y轴的右侧，那么第100次跳动得到的

横坐标也在y轴右侧．P1横坐标为1，P4横坐标为2，P8横坐标为3，依此类推可得到：Pn的横坐标为n÷4+1（n是4的倍数）．故点P100的横坐标为：100÷4+1＝26，纵坐标为：100÷2＝50，点P第100次跳动至点P100的坐标是（26

，50）．故选：C．【点睛】本题考查规律型：点的坐标，解题的关键是分析出题目的规律，找出题目中点的坐标的规律，属于中考常考题型．【变式6-3】（2020春•武川县期中）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序为（1，0）、（2，

0）、（2，1）、（1，1）、（1，2）、（2，2）…根据这个规律，第2019个点的坐标为（）19A．（45，6）B．（45，13）C．（45，22）D．（45，0）【分析】到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该

数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减1结束，横坐标以n结束的有n2个点，【答案】解：观察图形可知，到每一个横坐标结束，经过整数点的个数等于最后横坐标的平方，横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0结束，横坐标为偶数时以横坐标为1，纵坐标以横坐标减

1结束，∴横坐标以n结束的有n2个点，第2025个点是（45，0），∴2019个点的坐标是（45，6）；故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标，观察出点的个数与横坐标存在平方关系是解题的关键．【考点7一次函数及与比例函数的定义】【方法点拨】一

次函数的定义，一次函数y＝kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．注意一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数．掌握一般地，形如y=𝑘𝑥（k≠0）的函数称为反比例函数，反比例函数的等价形式：①y=𝑘𝑥（k≠0）②y＝kx﹣1（k≠0）③xy=k（k≠0

）【例7】（2020秋•长清区校级月考）下列函数中，是一次函数的是，是正比例函数的是．（填序号）（1）y=−𝑥2；（2）y=−2𝑥；（3）y＝3﹣5x；（4）y＝﹣5x2；（5）y＝6x−12；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2；（7）y＝x﹣6．【分析】根据一次函数与正比例

函数的定义解答即可．【解答】解：（1）y=−𝑥2是一次函数，也是正比例函数；（2）y=−2𝑥是反比例函数；（3）y＝3﹣5x是一次函数；（4）y＝﹣5x2是二次函数；（5）y＝6x−12是一次函数；（6）y＝x（x﹣4）﹣x2＝﹣4x是正比例函数，也是一次

函数；（7）y＝x﹣6是一次函数．故答案为：（1）（3）（5）（6）（7）；（1）（6）【点评】本题主要考查了正比例函数与一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数与正比例函数的定20义及关系：一次函数不一定是正比例函数，正比例函数是特殊的一

次函数．【变式7-1】（2020春•金山区期中）若函数y＝（m﹣2）𝑥𝑚2−3+2是一次函数，那么m＝．【分析】根据一次函数的定义，列出关于m的方程和不等式进行求解即可．【解答】解：由题意得，m2﹣3＝1且m

﹣2≠0，解得：m＝±2且m≠2，∴m＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．【变式7-2】下列函数中，y是x的反比例函数有（）（1）y＝3x；

（2）y=−2𝑥；（3）𝑦=𝑥3；（4）﹣xy＝3；（5）𝑦=2𝑥+1；（6）𝑦=1𝑥2；（7）y＝2x﹣2；（8）𝑦=𝑘𝑥．A．（2）（4）B．（2）（3）（5）（8）C．（2）（7）（8）D．（

1）（3）（4）（6）【分析】分别利用正比例函数以及反比例函数的定义分析得出答案．【答案】解：（1）y＝3x，是正比例函数，故此选项错误；（2）y=−2𝑥，是反比例函数，故此选项正确；（3）𝑦=𝑥3是正比例函数，故此选项错误；（4）﹣xy＝3是反比例函数，故此选项正确

；（5）𝑦=2𝑥+1，y是x+1的反比例函数，故此选项错误；（6）𝑦=1𝑥2，y是x2的反比例函数，故此选项错误；（7）y＝2x﹣2，y是x2的反比例函数，故此选项错误；（8）𝑦=𝑘𝑥，k≠0时，y是x的反比例函数，故此选项错

误．故选：A．【点睛】此题主要考查了正比例函数以及反比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．【变式7-3】（2020秋•罗庄区期末）若函数y＝（m2﹣3m+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值是

（）A．1B．﹣2C．±2D．2【分析】根据反比例函数的定义列出方程求解即可．21【答案】解：由题意得，|m|﹣3＝﹣1，解得m＝±2，当m＝2时，m2﹣3m+2＝22﹣3×2+2＝0，当m＝﹣2时，m2﹣3m+2＝（﹣2）2﹣3×（﹣

2）+2＝4+6+2＝12，∴m的值是﹣2．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的定义，熟记一般式y=𝑘𝑥（k≠0）是解题的关键，要注意比例系数不等于0．【考点8一次函数与反比例函数的图象】【方法点拨】一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx

+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．【例8】（

2020春•孝义市期末）一次函数y＝mx+n与y＝mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（）A．B．C．D．【分析】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，一次函数y＝mx+n的图象一、二、三象限，正比

例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，一次函数y＝mx+n的图象一、三、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，C选项符合；（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，一次

函数y＝mx+n的图象二、三、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过一、三象限，无符合项；22（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，一次函数y＝mx+n的图象一、二、四象限，正比例函数y＝mnx的图象过二、四象限，无符合项．故选：C．【点评】一次函数y＝

kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+

b的图象经过第二、三、四象限．【变式8-1】（2019秋•沙坪坝区校级月考）如图所示，直线l1：y＝ax+b和l2：y＝﹣bx+a在同一坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据各选项中的函数图象判断出a、b异号

，然后分别确定出两直线经过的象限以及与y轴的交点位置，即可得解．【解答】解：∵直线l1：经过第一、三象限，∴a＞0，又∵该直线与y轴交于负半轴，∴b＜0．∴﹣b0，∴直线l2经过第一、二、三象限．故选：B．23【点评】本

题考查了一次函数的图象，一次函数y＝kx+b（k≠0），k＞0时，一次函数图象经过第一三象限，k＜0时，一次函数图象经过第二四象限，b＞0时与y轴正半轴相交，b＜0时与y轴负半轴相交．【变式8-2】（2020秋•金塔县期末）如图，关于x的函数y＝kx﹣k和y=−𝑘𝑥（k≠0），它

们在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据反比例函数判断出k的取值，进而判断出一次函数所在象限即可．【解答】解：A、由反比例函数图象可得k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k应经过一二四象限，故A选项错误；B、由反比

例函数图象可得k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k应经过一三四象限，故B选项正确；C、由反比例函数图象可得k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k应经过一二四象限，故C选项错误；D、由反比例函数图象可得k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k应经过一三四象限，故D选项错误；故选：B．【点评】综合考查了反比例函数和一次函数

的图象特征；用到的知识点为：一次函数的比例系数大于0，一次函数经过一三象限，常数项大于0，还经过第二象限；常数项小于0，还经过第四象限；比例系数小于0，一次函数经过二四象限，常数项大于0，还经过第一象限，常数项小于0，还经过第三象限；反比例函数的比例系数大于0，图象的两个分支在一三象限；比例系

数小于0，图象的2个分支在二四象限．【变式8-3】（2020•玉林模拟）已知一次函数y＝mx+n与反比例函数y=𝑛−𝑚𝑥其中m、n为常数，且mn＜0，则它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．24C．D．【分析】根据一次函数的位置确定m、n的大小，看是

否符合mn＜0，计算m﹣n确定符号，即可确定双曲线的位置．【解答】解：A、由一次函数图象过二、三、四象限，得m＜0，交y轴负半轴，则n＜0，此时mn＞0，不合题意；故本选项错误；B、由一次函数图象过一、二、四象限，得m

＜0，交y轴正半轴，则n＞0，满足mn＜0，∵m＜0，n＞0，∴n﹣m＞0，∴反比例函数y=𝑛−𝑚𝑥的图象过一、三象限，故本选项正确；C、由一次函数图象过一、二、三象限，得m＞0，交y轴正半轴，则n＞0，此时，mn＞0，不合题意；故本选项错误；D、由一次函

数图象过一、二、三象限，得m＞0，交y轴正半轴，则n＞0，此时，mn＞0，不合题意；故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数图象与系数的关系，熟练掌握两个函数的图象的性质是关键．【考点9一次函数与反比例函数的性质】【例9】（2020秋•句容市月考）

已知一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1，当m为何值时，（1）y随x的增大而增大？（2）图象经过第一、二、四象限？（3）图象与y轴的交点在x轴的上方？（4）经过直角坐标系原点？此时图象经过那个象限？【分析】（1

）由y随x的增大而增大，利用一次函数的性质即可得出1﹣2m＞0，解之即可得出结论；（2）由一次函数图象经过第一、二、四象限，利用一次函数图象与系数的关系即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论；（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即

可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论；25（4）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式及一元一次方程，解之即可得出m的值，再利用一次函数图象与系数的关系，即可得出此

时一次函数图象经过的象限．【解答】解：（1）∵y随x的增大而增大，∴1﹣2m＞0，∴m＜12，∴当m＜12时，y随x的增大而增大；（2）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、四象限，∴{1−2𝑚＜0𝑚+1＞0，解得：m＞1

2，∴当m＞12时，一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过第一、二、四象限；（3）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象与y轴的交点在x轴的上方，∴{1−2𝑚≠0𝑚+1＞0，解得：m＞﹣1且m≠12，∴当m＞﹣1且m≠12时，一次

函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象与y轴的交点在x轴的上方；（4）∵一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过直角坐标系原点，∴{1−2𝑚≠0𝑚+1=0，解得：m＝﹣1，∴1﹣2m＝3＞0，∴当m＝﹣1时，一次函数y＝（1﹣2m）x+m+1的图象经过原点，此时图象经过第一、三象限．【点

评】本题考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数的性质、一次函数的定义以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）利用一次函数的性质找出1﹣2m＞0；（2）利用一次函数图象与系数的关系找出关于m的一元一次不等式组；（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，找出关于m的一

元一次不等式；（4）利用一次函数图象上点的坐标特征求出m值．【变式9-1】（2020秋•南明区校级期中）已知一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣4）．求：26（1）m为何值时，y随x的增大而减小；（2）m，n满足什么条件时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；（3）m，n

分别取何值时，函数图象经过原点；（4）m，n满足什么条件时，函数图象不经过第二象限．【分析】（1）由y随x的增大而减小利用一次函数的性质可得出6+3m＜0，解之即可得出结论；（2）根据一次函数的定义结合一次函数图象与y轴的交点在x轴下方，即可分别得

出关于m、n的一元一次不等式，解之即可得出结论；（3）根据一次函数的定义结合一次函数图象上点的坐标特征，即可得出关于m的一元一次不等式以及关于n的一元一次方程，解之即可得出结论；（4）根据一次函数的图象不经过第二象限利用一次函数图象与系数的关系，即可分

别得出关于m、n的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）∵y随x的增大而减小，∴6+3m＜0，∴m＜﹣2，∴当m＜﹣2时，y随x的增大而减小；（2）∵一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象与y轴的交点在x轴下方，∴6+3m≠0，n﹣4＜0，∴m≠﹣2，n＜

4．∴当m≠﹣2、n＜4时，函数图象与y轴的交点在x轴下方；（3）∵一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过原点，∴6+3m≠0，n﹣4＝0，∴m≠﹣2，n＝4．∴当m≠﹣2、n＝4时，函数图象经过原点；（4）∵一次函数y＝（6+3m）x

+（n﹣4）的图象不经过第二象限，∴一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过第一、三、四象限或第一、三象限．当一次函数y＝（6+3m）x+（n﹣4）的图象经过第一、三、四象限时，6+3m＞0，n﹣4＜0，∴m＞﹣2，n＜4；当一次函数y＝（6+

3m）x+（n﹣4）的图象经过第一、三象限时，6+3m＞0，n﹣4＝0，∴m＞﹣2，n＝4．27综上所述：当m＞﹣2、n≤4时，函数图象不经过第二象限．【点评】本题考查了一次函数的性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的定义

，解题的关键是：（1）利用一次函数的性质找出6+3m＜0；（2）根据题意，找出关于m、n的一元一次不等式；（3）根据题意，找出关于m的一元一次方程及关于n的一元一次不等式；（4）分一次函数图象经过第一、三、四象限或第一、三象限两种情况考虑．【变式9-2】关于反比例函数y

=8𝑥，下列说法不正确的是（）A．函数图象分别位于第一、第三象限B．函数图象关于原点中心对称C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当﹣8＜x＜﹣1时，﹣8＜y＜﹣1【分析】直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案．【解答】解：A、反比例函数y=8𝑥，图象位于第一、三象限，原说法

正确，不合题意；B、反比例函数y=8𝑥，图象关于原点成中心对称，正确，不合题意；C、反比例函数y=8𝑥，当x＞0时，y随x的增大而减小，原说法错误，符合题意；D、反比例函数y=8𝑥，当﹣8＜x＜﹣1时，﹣8＜y＜﹣1，正确，不合题

意；故选：C．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．【变式9-3】（2020秋•江北区期中）若数a使关于x的不等式组{𝑥2−32≤13(𝑥−3)6𝑥−2𝑎＞5(1−𝑥)有且仅有

三个整数解，且使关于x的反比例函数y=3−2𝑎𝑥经过一，三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．1【分析】解关于x的不等式组，根据整数解得个数确定a的取值范围，再根据反比例函数的性质，进一步确定a的取值范围

，得出整数a的值，进而计算其和即可．【解答】解：解不等式组得，5+2𝑎11＜x≤3，又∵不等式组仅有三个整数解，28∴0≤5+2𝑎11＜1，∴−52≤a＜3，又∵反比例函数y=3−2𝑎𝑥经过一，三象限，∴3﹣2a＞0，∴a＜32

，∴−52≤a＜32，因此整数a为﹣2，﹣1，0，1，所以所有满足条件的整数a的值之和为﹣2，故选：B．【点评】本题考查一元一次不等式组，反比例函数的性质，掌握一元一次不等式组的整数解的确定和反比例函数的性质是正确解答的关键．【考点10一次函数与反比例函数图象上点的坐标

特征】【例10】（2020春•黄陂区期末）若点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函数y＝3x﹣b的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x2＜x1D．x1＜x3＜x2【分析】根据k＝3＞0时，y随x的增大而增

大，从而可知x1、x2、x3的大小．【解答】解：∵一次函数y＝3x﹣b中，k＝3＞0，∴y随x的增大而增大；∵点A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1），∴x1＜x2＜x3；故选：A．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是当k＞0时，函数y随x的

增大而增大．【变式10-1】（2020春•青川县期末）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（2，﹣1）四点在直线y＝kx+4的图象上，且x1＞x2＞x3，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞2y3B．y3＞y2＞y1C．y3＜y1＜y2D．y1＜y3

＜y2【分析】根据待定系数法求得k，然后根据一次函数的性质即可判断．29【解答】解：∵点D（2，﹣1）在直线y＝kx+4的图象上，∴﹣1＝2k+4，解得k=−52，∵k＜0，∴函数y随x的增大而减小，∵

x1＞x2＞x3，∴y3＞y2＞y1，故选：B．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．【变式10-2】（2020春•相城区期末）函数y=−𝑘2−1𝑥（

k为常数）的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），若x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3【分析

】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据A、B、C三点横坐标的特点判断出三点所在的象限，由函数的增减性及四个象限内点的横纵坐标的特点即可解答．【答案】解：∵反比例函数y=−𝑘2−1𝑥（k为常数）中，则﹣k2﹣1＜0，∴此函数的图象在二、四象限，在每一象限内y

随x的增大而增大，∵x1＜x2＜0＜x3，∴y1＞0、y2＞0，y3＜0，∵x1＜x2，∴y1＜y2，∴y2＞y1＞y3．故选：C．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性．【

变式10-3】（2020•昆山市二模）已知点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函数y=𝑘𝑥（k＜0）的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x3＜x1＜x2B．x2＜x1＜x3C．x1＜x3＜x2D．

x1＜x2＜x3【分析】利用反比例函数的图象，标出点A，B，C的位置，即可得出结论．30【答案】解：如图，∵点A（x1，2），B（x2，4），C（x3，﹣1）都在反比例函数y=𝑘𝑥（k＜0）的图象上，∴x1＜x2＜x3，故选：D．【点睛】本

题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．【考点11一次函数图象与几何变换】【方法点拨】解决此类问题的关键是记住一次函数图象平移的口诀：上加下减，左加右减，并且一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是关键.【例11】（2020•莲湖区

模拟）在平面直角坐标系中，若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度后恰好经过点（﹣1，﹣2），则n的值为（）A．10B．8C．5D．3【分析】根据一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移k不变，可设

平移后的函数解析式为：y＝﹣2x+6﹣n，把点（﹣1，﹣2）代入即可求得n．【解答】解：∵若将一次函数y＝﹣2x+6的图象向下平移n（n＞0）个单位长度，∴平移后的函数解析式为：y＝﹣2x+6﹣n，∵函数解y＝﹣2x+6﹣n的图象经过点（﹣1，﹣2），∴﹣2＝﹣

2×（﹣1）+6﹣n，解得：n＝10，故选：A．【点评】本题主要考查了一次函数的图象和性质，掌握一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象平移后k不变是解决问题的关键，【变式11-1】（2020•陕西四模）直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，经过点A（﹣2，0）和y

轴上的一点B，若△ABO（O为坐标原点）的面积为4，则b的值为（）31A．4B．2C．3D．1【分析】由直线y＝kx+b+1经过点A（﹣2，0）和y轴正半轴上的一点B，可得B点的坐标，根据三角形面积公式即可得出答案．【解答】解：直线y＝kx+1沿着y轴向上平移b个单位后，得到y＝

kx+b+1，∵直线y＝kx+b+1经过点A（﹣2，0）和y轴正半轴上的一点B，∴B（0，b+1），∵△ABO的面积是：12×2×（b+1）＝4，解得b＝3．故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上与几何变换，属于基础题，关键是表示出三角形的面积，然后求解．【变

式11-2】（2020春•碑林区校级期末）在平面直角坐标系中，将函数y＝2x的图象向上平移m（m＞0）个单位长度，使其与直线y＝﹣x+4的交点位于第二象限，则m的取值范围为（）A．0＜m＜2B．2＜m＜4C．m≥4D．m＞4【分析】将直线y＝2x的图象向上平移m个单位可

得：y＝2x+m，求出直线y＝2x+m，与直线y＝﹣x+4的交点，再由此点在第二象限可得出m的取值范围．【解答】解：将直线y＝2x的图象向上平移m个单位可得：y＝2x+m联立两直线解析式得：{𝑦=2𝑥+𝑚𝑦=−𝑥+4

，解得：{𝑥=4−𝑚3𝑦=8+𝑚3，即交点坐标为（4−𝑚3，8+𝑚3），∵交点在第二象限，∴{4−𝑚3＜08+𝑚3＞0，解得：m＞4．故选：D．【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，注意第二象限的点的横坐标小于0、纵坐标大于

0．【变式11-3】（2020•海淀区校级一模）把直线y＝﹣2x向上平移后得到直线AB，若直线AB经过点（m，n），32且2m+n＝8，则直线AB的表达式为（）A．y＝﹣2x+4B．y＝﹣2x+8C．y＝﹣2x﹣4D．y＝﹣2x﹣8【分析】由题意知，直线AB的k是﹣2，又已知直线AB上的

一点（m，n），所以用直线的解析式方程y﹣y0＝k（x﹣x0）求得解析式即可．【解答】解：∵直线AB是直线y＝﹣2x平移后得到的，∴直线AB的k是﹣2（直线平移后，其K不变）∴设直线AB的方程为y﹣y0＝﹣2（x﹣x0）①把点（m，n）代入①并整理，得y＝﹣2x+（2m+n）②∵2m+n＝8③把

③代入②，解得y＝﹣2x+8，即直线AB的解析式为y＝﹣2x+8．故选：B．【点评】本题是关于一次函数的图象与它平移后图象的转变的题目，在解题时，紧紧抓住直线平移后，K不变这一性质，再根据题意中的已知条件，来确定用哪种方

程来解答．【考点12求一次函数与反比例函数解析式】【方法点拨】待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数

的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．【例12】（2019秋•建湖县期末）已知：y+4

与x+3成正比例，且x＝﹣4时y＝﹣2；（1）求y与x之间的函数表达式（2）点P1（m，y1）、P2（m+1，y2）在（1）中所得函数的图象上，比较y1与y2的大小．【分析】（1）根据题意，设出函数关系式，把x＝

﹣4，y＝﹣2代入求出待定系数，确定函数关系式；（2）根据函数的增减性，做出判断即可．【解答】解：（1）因为y+4与x+3成正比例，因此设y+4＝k（x+3）（k≠0），把x＝﹣4，y＝﹣2代入得，﹣2+4＝k（﹣4+3），解得，k＝﹣2，33∴y

+4＝﹣2（x+3），即：y＝﹣2x﹣10，（2）由（1）知，y＝﹣2x+10，∴k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，又∵m＜m+1，∴y1＞y2．【点评】考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数的关系式，把点的坐标代入是常用的方法．【变式12-1】（2020春•赫山区期末）在平面

直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx+b（k≠0经过点A（﹣4，0），与y轴交于点B，如果△AOB的面积为4，求直线l的表达式．【分析】先把A点坐标代入y＝kx+b得到b＝4k，则y＝kx+4k，所以B（0，4k），利用三角形面积公式得到12×4×|4k|＝4，解得k=12或−1

2，从而得到直线l的表达式．【解答】解：把A（﹣4，0）代入y＝kx+b得﹣4k+b＝0，解得b＝4k，∴y＝kx+4k，当x＝0时，y＝kx+4k+4k，则B（0，4k），∵△AOB的面积为4，∴12×4×|4k|＝4，解得k=12或−

12，∴直线l的表达式为y=12x+2或y=−12x﹣2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；解方程或方程组，求出待定系数

的值，进而写出函数解析式．【变式12-2】（2020春•齐齐哈尔期末）某一次函数，当其自变量x的取值范围是﹣3≤x≤﹣1，它对应的函数值y的取值范围是4≤y≤6，求这个一次函数解析式？【分析】设一次函数的解析式为y＝kx+

b（k≠0），再根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当k＞0时，y随x的增大而增大，把x＝﹣3，y＝4；x＝﹣1，y＝6代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当k＜0时，y随x的

增大而减小，把x＝﹣3，y＝6；x＝﹣1，y＝4代入一次函数的解析式y＝kx+b，运用待定系数法即可求出函数的解析式．【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．34①当k＞0时，把x＝﹣3，y＝4；x＝﹣1，y＝6代入一次函数

的解析式y＝kx+b，得{−3𝑘+𝑏=4−𝑘+𝑏=6，解得{𝑘=1𝑏=7，则这个函数的解析式是y＝x+7；②当k＜0时，把x＝﹣3，y＝6；x＝﹣1，y＝4代入一次函数的解析式y＝kx+b

，得{−3𝑘+𝑏=6−𝑘+𝑏=4，解得{𝑘=−1𝑏=3，则这个函数的解析式是y＝﹣x+3．综上，所求一次函数解析式为：y＝x+7或y＝﹣x+3．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的性质，进行分类讨论是解题的关键．【变式12-3】（2020春•泰兴市校级

月考）已知y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x+1成反比例，当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2．求y与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．【分析】直接利用根据正比例函数和反比例函数的定义，假设出y与x之间的关系，进而把已知数据代入得出

答案．【答案】解：∵y＝y1+y2，y1与x2成正比例，y2与x+1成反比例，∴设y1＝kx2，y2=𝑎𝑥+1，∴y＝kx2+𝑎𝑥+1，∵当x＝0时，y＝2；当x＝1时，y＝2，∴{2=𝑎2=𝑘

+𝑎2，解得：{𝑎=2𝑘=1，故y＝x2+2𝑥+1（x≠﹣1）．【点睛】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，正确假设出函数关系式是解题关键．【考点13反比例函数系数k的几何意义】【方法点拨

】反比例函数y=kx（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=kx（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．【例13】（2020春•新沂市期末）如图，两个反比例函数y=4𝑥和y=2𝑥在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点

P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）35A．1B．2C．4D．无法计算【分析】根据反比例函数y=𝑘𝑥（k≠0）系数k的几何意义得到S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，然后

利用S△POB＝S△POA﹣S△BOA进行计算即可．【答案】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA=12×4＝2，S△BOA=12×2＝1，∴S△POB＝2﹣1＝1．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数y=𝑘𝑥（k≠0）系数k的几

何意义：从反比例函数y=𝑘𝑥（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．【变式13-1】（2020•东阳市二模）如图直线y＝mx与双曲线𝑦=𝑘𝑥交于点A、B，过A作AM⊥x轴于M点，连接BM，若S

△AMB＝2，则k的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由S△ABM＝2S△AOM并结合反比例函数系数k的几何意义得到k的值．【答案】解

：由题意得：S△ABM＝2S△AOM＝2，S△AOM=12|k|＝1，则k＝±2．又由于反比例函数图象位于一三象限，k＞0，所以k＝2．36故选：B．【点睛】本题主要考查了反比例函数𝑦=𝑘𝑥中k的几何意义，

即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．【变式13-2】（2020•徐州模拟）如图，点A与点B分别在函数y=𝑘1𝑥(𝑘1＞0)与y=𝑘2𝑥(𝑘2＜0)的图象上，线段AB的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是（）A．2B．3

C．4D．5【分析】设A（a，b），B（﹣a，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝﹣ad，根据三角形的面积公式求出ad+ad＝4，即可得出答案．【答案】解：作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，∴AC∥BD∥y轴，∵M是AB的中

点，∴OC＝OD，设A（a，b），B（﹣a，d），代入得：k1＝ab，k2＝﹣ad，∵S△AOB＝2，∴12（b+d）•2a−12ab−12ad＝2，∴ab+ad＝4，∴k1﹣k2＝4，故选：C．37【点睛】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，

三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出ab+ad＝4是解此题的关键．【变式13-3】（2020•立山区二模）如图，是反比例函数y=𝑘1𝑥和y=𝑘2𝑥（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两

条曲线于A、B两点，若S△AOB＝2，则k2﹣k1的值为．【分析】设A（a，b），B（c，d），代入双曲线得到k1＝ab，k2＝cd，根据三角形的面积公式求出cd﹣ab＝4，即可得出答案．【答案】解：设A（a，b），B（c，d），代入得：k1＝ab，k2＝cd，∵S△AOB＝2，∴12cd

−12ab＝2，∴cd﹣ab＝4，∴k2﹣k1＝4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查对反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出cd﹣ab＝4是解此题的关键．【考点14一次函数与一

元一次方程、不等式】【方法点拨】一次函数与一元一次方程，关键是掌握求一元一次方程ax+b＝0（a，b为常数，a≠0）的解可以转化为：一次函数y＝ax+b的函数值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝a

x+b，确定它与x轴的交点的横坐标的值．一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【例14】（2020春•香

坊区期末）如图，一次函数y＝﹣2x和y＝kx+b的图象相交于点A（m，3），则关于x38的方程kx+b+2x＝0的解为．【分析】首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图象直接写出方程的解即可．【解答】解：∵函数y＝﹣2x经过点A（m，3），∴﹣2m＝3，解得

：m=−32，则关于x的方程kx+b+2x＝0可以变形为kx+b＝﹣2x，由图象得：kx+b＝﹣2x的解为x=−32．故答案为x=−32【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定方程的解．【变

式14-1】（2019秋•常州期末）如图，已知一次函数y＝kx﹣b与y=13x的图象相交于点A（a，1），则关于x的方程（k−13）x＝b的解x＝．【分析】把A（a，1）代入y=13𝑥求出a，根据A点的横坐标，即可求出答案．【解答】解：把A（a，1）代入y=13𝑥得：1=13a，解得a＝3，

∴A（3，1），39∴根据图象信息可得关于x的方程kx﹣b=13x的解为3，∴关于x的方程（k−13）x＝b的解为x＝3．故答案为3．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求反比例函数的解析式等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．【变式14-2】（2020春•寿

光市期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（0，3），B（4，﹣3），则关于x的不等式kx+b+3＜0的解集为（）A．x＞4B．x＜4C．x＞3D．x＜3【分析】由一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），以及y随x

的增大而减小，可得关于x的不等式kx+b+3＜0的解集．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过B（4，﹣3），∴x＝4时，kx+b＝﹣3，又y随x的增大而减小，∴关于x的不等式kx+b+3＜0的解

集是x＞4．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【变式14-3

】（2020春•东昌府区期末）如图所示，直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解有（）40A．1个B．2个C．3个D．无数个【分析】先

确定直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），再结合函数图象写出﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，然后找出其整数解即可．【解答】解：当y＝0时，nx+4n＝0，解得x＝﹣4，则直线y＝nx+4n与x轴的交点坐标为（﹣4，0），∵直线y＝﹣x+m与y＝nx+4n（n≠0）

的交点的横坐标为﹣2，∴当﹣4＜x＜﹣2时，﹣x+m＞nx+4n＞0，即﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为﹣4＜x＜﹣2，∴﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3．故选：A．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，就是确定直线y

＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．【考点15一次函数的应用（最大利润问题）】【例15】（2020春•裕华区校级期末）某商店销售A型和B型两种型号的电脑，获利情况如表格所示．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台（能够全部售出），设购进A型电脑x台，这100台电脑的销

售总利润为y元．型号每台获利（元）A型120B型140（1）求y与x的关系式；（2）若B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，则该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大？（3）因市场原因，每台A型电脑获利在原基础上增加了m元（m＞0）．此时，销售总利润随x的增大而减小，请直接写

出m的取值范围．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以写出y与x的关系式；（2）根据B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质，41即可得到该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售利润最大；（3）根据题意，可以写出销售总利润与x、m

的关系式，然后根据一次函数的性质，即可得到m的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得，y＝120x+140（100﹣x）＝﹣20x+14000，即y与x的函数关系式为y＝﹣20x+14000；（2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，∴100﹣x≤3x，解得，x

≥25，∵y＝﹣20x+14000，k＝﹣20，∴y随x的增大而减小，∴当x＝25时，y取得最大值，此时100﹣x＝75，答：商店购进A型、B型电脑分别为25台、75台时，才能使销售利润最大；（3）由题意可得，y＝（120+m）x+140（100﹣x）＝（120+m﹣

140）x+14000＝（m﹣20）x+14000，∵因市场原因，每台A型电脑获利在原基础上增加了m元（m＞0）．此时，销售总利润随x的增大而减小，∴m＞0且m﹣20＜0，解得，0＜m＜20，即m的取值范围是0

＜m＜20．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【变式15-1】（2020春•樊城区校级月考）某公司销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台利润为40

0元，B型电脑每台利润为500元．该公司计划一次性购进这两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．（1）求y关于x的函数

关系式；（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？（3）实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a（0＜a＜200）元，若该公司保持这两种型号电脑的售价不变，并且无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变

，求a的值．42【分析】（1）根据“总利润＝A型电脑每台利润×A电脑数量+B型电脑每台利润×B电脑数量”可得函数解析式；（2）根据“B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍且电脑数量为整数”求得x的范围，再结合（1）所求函数解析式及一次函数的性质求解可得；（3）据题意得y＝（400+a）x+50

0（100﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．【解答】解：（1）根据题意，y＝400x+500（100﹣x）＝﹣100x+50000；（2）∵100﹣x≤2x，∴x≥1003，∵y＝﹣100x+50000中k＝﹣100＜0，

∴y随x的增大而减小，∵x为整数，∴x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元；（3）据题意得，y＝（400+a）x+500（10

0﹣x），即y＝（a﹣100）x+50000，当a＝100时，无论该公司如何进货这100台电脑的销售利润不变．【点评】本题主要考查了一次函数的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．【

变式15-2】（2020•碑林区校级模拟）2020年4月20日，国家主席习近平在陕西柞水县考察，点赞当地特产﹣﹣柞水木耳，称赞到“小木耳、大产业”，要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶

持下种植了A、B两个品种的木耳共3亩，两种木耳的成本（包括种植成本和设备成本）和售价如表：品种种植成本（万元/亩）售价（万元/亩）设备成本（万元/亩）A1.53.50.243B24.30.3设种植A品种

木耳x亩，若3亩地全部种植两种木耳共获得利润y万元．（利润＝售价﹣种植成本﹣设备成本）（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，则种植A品种木耳种植多

少亩时利润最大？并求最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出y与x的函数关系式；（2）根据A品种木耳的种植亩数不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，可以求得x的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到种植A品种木耳种植多少亩时利润最

大，并求出此时的最大利润．【解答】解：（1）由题意可得，y＝（3.5﹣1.5﹣0.2）x+（4.3﹣2﹣0.3）×（3﹣x）＝﹣0.2x+6，即y与x的函数关系式为y＝﹣0.2x+6；（2）∵A品种木耳的种植亩数

不少于B品种木耳种植亩数的1.5倍，∴x≥1.5（3﹣x），解得，x≥1.8，∵y＝﹣0.2x+6，k＝﹣0.2，∴y随x的增大而减小，∴当x＝1.8时，y取得最大值，此时y＝5.64，答：种植A品种木耳种植1.8亩时利润最大，最大利润是5.64万元．【点评】本题考查一次函数的应用、

一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【变式15-3】（2020春•永城市期末）某商场销售10台A型和20台B型加湿器的利润为2500元，销售20台A型和10台B型加

湿器的利润为2000元．（1）求每台A型加湿器和每台B型加湿器的销售利润；（2）该商场计划一次购进两种型号的加湿器共100台，设购进A型加湿器x台，这100台加湿器的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②若B型加湿器的进货量不超过A型加湿器

的2倍，则该商场应怎样进货才能使销售总利润最大？【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可得到每台A型加湿器和每台B型加44湿器的销售利润；（2）①根据题意，可以写出y与x的函数关系式；②根据B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，可以得到x的取值范围，

再根据一次函数的性质，即可求得该商场应怎样进货才能使销售总利润最大．【解答】解：（1）设每台A型加湿器的销售利润为a元，每台B型加湿器的销售利润为b元，{10𝑎+20𝑏=250020𝑎+10𝑏=2000，得{𝑎=50𝑏=100，

即每台A型加湿器的销售利润为50元，每台B型加湿器的销售利润为100元；（2）①由题意可得，y＝50x+100（100﹣x）＝﹣50x+10000，即y关于x的函数关系式是y＝﹣50x+10000；②∵B型加湿器的进货量不超过A型加湿器的2倍，∴100﹣x≤2x，解得，x≥3313，∵y＝﹣50x

+10000，﹣50＜0，∴y随x的增大而减小．∵x为正整数，∴当x＝34时，y取最大值，此时100﹣x＝66，答：商场购进34台A型加湿器和66台B型加湿器的销售总利润最大．【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一

次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【考点16一次函数的应用（调配问题）】【例16】（2020春•南岗区校级月考）A城有化肥200吨，B城有化肥300吨，现要把化肥运往牛家、红旗两农村，

如果从A城运往牛家村、红旗村运费分别是20元/吨与30元/吨，从B城运往牛家村、红旗村运费分别是15元/吨与22元/吨，现已知牛家村需要220吨化肥，红旗村需要280吨化肥．（1）如果设从A城运往牛家村x吨化肥，求此时所

需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量x的取值范围）．（2）如果你承包了这项运输任务，算一算怎样调运花钱最少，并求出最少运费．【分析】（1）设从A城运往牛家村x吨化肥，用含x的代数式分别表示出从A运往运往红旗村的肥料吨45数，从B城运往牛家村化肥吨数，及从B城

运往红旗村化肥吨数，然后根据：运费＝运输吨数×运输费用，即可得到所需的总运费y（元）与x（吨）之间的函数关系式；（2）根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，可以得到怎样调运花钱最少，然后再求出最少运费即可．【解答】解：（1）∵从A城运往牛

家村x吨化肥，∴从A城运往红旗村（200﹣x）吨化肥，从B城运往牛家村化肥（220﹣x）吨，则从B城运往红旗村280﹣（200﹣x）＝（80+x）吨，∴y＝20x+30（200﹣x）+15（220﹣x）+22（80+x）＝﹣3x+11060（0

≤x≤200）；（2）由于y＝﹣3x+11060是一次函数，k＝﹣3＜0，∴y随x的增大而减小．∵x≤200，∴当x＝200时，运费最少，最少运费是10460元，∴当从A城运往牛家村200吨，从B城运往牛家村肥料20吨，从B城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运

费是10460元，答：从A城运往牛家村200吨，从B城运往牛家村肥料20吨，从B城运往红旗村280吨时总运费最少，最少运费是10460元．【点评】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质解答．【变式

16-1】（2020春•海勃湾区期末）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液广宁需要6吨，怀柔需要8吨，正好端州储备有10吨，四会储备有4吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往广宁和怀柔，消毒液的运费价格如下表

（单位：元/吨）设从端州调运x吨到广宁．起点\终点广宁怀柔端州60100四会3570（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？【分析】（1）设从端州调运x吨到广

宁，则从端州调运（10﹣x）吨到怀柔，从四会调运（6﹣x）吨到广宁，从四会调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨到怀柔，根据总运费＝每吨的运费×运输重量，即可得出y关于x的函数关系式；46（2）由从四会调运到广宁及从四会调运到怀柔消毒液的重量非负，即可得出关于x的一元一

次不等式，解之即可得出x的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设从端州调运x吨到广宁，则从端州调运（10﹣x）吨到怀柔，从四会调运（6﹣x）吨到广宁，从四会调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨到怀柔，依题意，得：y

＝60x+100（10﹣x）+35（6﹣x）+70（x﹣2）＝﹣5x+1070．（2）依题意，得：{6−𝑥≥0𝑥−2≥0，解得：2≤x≤6．∵在一次函数y＝﹣5x+1070中，k＝﹣5＜0，∴y随x增大而减小，∴

当x＝6时，y取得最小值，最小值＝﹣5×6+1070＝1040，∴从端州调运6吨到广宁，从端州调运4吨到怀柔，从四会调运4吨到怀柔时，总运费最低，最低运费为1040元．【点评】本题考查了一次函数的性质以及一元一

次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．【变式16-2】（2020春•舒兰市期末）抗击新冠疫情期间，一方危急，八方支援．当吉林市疫情严重时，急需大量医

疗防护物资．现知A城有医疗防护物资200t，B城有医疗防护物资300t．现要把这些医疗物资全部运往C、D两市．从A城往C、D两市的运费分别为20元/t和25元/t；从B城往C、D两市的运费分别为15元/t和24元/t．现C市需要物资240t，D市需要物资260t

．若设从A城往C市运xt．请回答下列问题：（1）用含x的式子表示从A往D市运物资的数量为t，从B往C市运物资的数量为t，从B往D市运物资的数量为t（写化简后的式子）．（2）求出怎样调运物资可使总运费最少？最少运费是多

少？【分析】（1）从A城往C市运xt．根据题意则可得运往D市（200﹣x）吨；从B运往C、D市的分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨；（2）根据（1）中所求以及每吨运费从而可得出y与x大的函数关系；x可取0至200之间的任何数，利用函数增减性求出即可．【解答】解：（1）用含x的式子表示从

A往D市运（200﹣x）t，从B往C市运（240﹣x）t，从B往D市运（60+x）t，47（2）设总运费为W元，则有W＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，∵0≤x≤200，W随x的增大

而增大，∴当x＝0时，W有最小值，即从A往D调200t，从B往D调60t，从B往C调240t时，总运费最少为10040元．【点评】此题主要考查了一次函数应用，根据已知得出A城和B城运往各地的物资吨数是解题关键．【变式16-3】（2020春•防城港期末）预防

新型冠状病毒期间，某种消毒液甲城需要7吨，乙城需要8吨，正好A地储备有10吨，B地储备有5吨，市预防新型冠状病毒领导小组决定将A、B两地储备的这15吨消毒液全部调往甲城和乙城，消毒液的运费价格如下表（单位：元/吨），设从A地调运x吨消毒液给甲城．终点起点甲

城乙城A地100120B地11095（1）根据题意，应从B地调运吨消毒液给甲城，从B地调运吨消毒液给乙城；（结果请用含x的代数式表示）（2）求调运这15吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3

）求出总运费最低的调运方案，并算出最低运费．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以解答本题；（2）根据题意，可以得到y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）根据题意，可以得到x的取值范围，再根据一次函数

的性质，即可得到总运费最低的调运方案，然后计算出最低运费．【解答】解：（1）由题意可得，从A地调运x吨消毒液给甲城，则调运（10﹣x）吨消毒液给乙城，从B地调运（7﹣x）吨消毒液给甲城，调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨消

毒液给乙城，故答案为：（7﹣x），（x﹣2）；（2）由题意可得，y＝100x+120（10﹣x）+110（7﹣x）+95（x﹣2）＝﹣35x+1780，48∵{𝑥≤77−𝑥≤5，∴2≤x≤7，即总运费y关于x的函数关系式是y＝﹣35x+1780（2≤x

≤7）；（3）∵y＝﹣35x+1780，∴y随x的增大而减小，∵2≤x≤7，∴当x＝7时，y取得最小值，此时y＝1535，即从A地调运7吨消毒液给甲城时，总运费最低，运费最低为1535元．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组

应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【考点17一次函数的应用（行程问题）】【例17】（2020春•历下区期末）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车

离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：（1）客车的速度是千米/小时，出租车的速度是千米小时；（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式；（3）求两车相遇的时间．【分析】（1）根据速度＝路程÷时间，列式进行

计算即可得解；（2）根据两函数图象经过的点的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据y1＝y2列等式，求出即可．【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地间的距离为600km，所以，客车速度=60010=

60（km/h），出租车速度=6006=100（km/h），49故答案为：60，100；（2）设客车的函数关系式为y1＝k1x，则10k1＝600，解得k1＝60，所以，y1＝60x（0≤x≤10），设出租车的函数关系式为y2＝k2x+b，则{6𝑘2+�

�=0𝑏=600，解得{𝑘2=−100𝑏=600，所以，y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（3）当出租车与客车相遇时，60x+100x＝600，解得x=154．所以两车相遇的时间为145小时．【点评】本题考查了一次函数的应

用，一次函数解析式的求法；主要根据待定系数法求一次函数解析式，根据图象准确获取信息是解题的关键．【变式17-1】（2020春•海珠区期末）甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶．甲同学到达山顶休息1小时后再沿原路下山．他

们离山脚的距离S（千米）随时间t（小时）变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：（1）分别求出甲、乙两名同学上山过程中S与t的函数解析式；（2）若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山

顶的距离为0.75千米；①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；②相遇后甲、乙两名同学各自继续下山和上山，求当乙到山顶时，甲离乙的距离是多少千米？50【分析】（1）由图可知，甲、乙两同学登山过程中路程s与时间t都成正比例函数，分别设为S甲＝k1t，S乙＝k2t，用

待定系数法可求解．（2）①把y＝4﹣0.75代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出点F的横坐标，再利用待定系数法求解即可；②把y＝4代入（1）中乙同学上山过程中S与t的函数解析式，求出乙到山顶所用时间，再代入①的

关系式求解即可．【解答】解：（1）设甲、乙两同学登山过程中，路程s（千米）与时间t（时）的函数解析式分别为S甲＝k1t，S乙＝k2t由题意，得2＝4k1，2＝6k2∴k1=12，k2=13，∴解析式分别为S甲=12t，S乙=13t；（2）

①当y＝4﹣0.75时，13𝑡=4−0.75，解得t=394，∴点F（394，134），甲到山顶所用时间为：4÷12=8（小时）由题意可知，点D坐标为（9，4），设甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝kt+b，则：{9𝑘+𝑏=4394𝑘+𝑏=134，解答{𝑘=−1

𝑏=13，∴甲同学下山过程中S与t的函数解析式为s＝﹣t+13；②乙到山顶所用时间为：4÷4÷13=12（小时），当x＝12时，s＝﹣12+13＝1，当乙到山顶时，甲离乙的距离是：4﹣1＝3（千米）．【点评】本题意在考查学生利

用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从坐标系中提取信息的能力，是道综合性较强的代数应用题，有一定的能力要求．【变式17-2】（2020春•双流区期末）某景区的三个景点A，B，C在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A51出发，甲步行

到景点C；乙先乘景区观光车到景点B，在B处停留一段时间后，再步行到景点C，甲、乙两人同时到达最点C．甲、乙两人距景点A的路程y（米）与甲出发的时间x（分）之间的图象如图所示：（1）甲步行的速度为米/分，乙步行时的速度为米/分；（2）分别写出甲游客从景点

A出发步行到景点C和乙游客乘景区观光车时y与x之间的关系式；（3）问乙出发多长时间与甲在途中相遇？【分析】（1）由图象得相应的路程和时间，利用路程除以时间得速度；（2）利用待定系数法解答即可；（3）根据（2）的结论解答即可．【解答】解：（1）甲步行的速度为：5400÷90＝60（米/分）

；乙步行的速度为：（5400﹣3000）÷（90﹣60）＝80（米/分）．故答案为：60，80；（2）设甲的函数解析式为：y＝kx，将（90，5400）代入得k＝60，∴y＝60x．根据题意，设乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b

（k≠0），将（20，0），（30，3000）代入得：{20𝑘+𝑏=030𝑘+𝑏=3000，解得：{𝑘=300𝑏=−6000，∴乙乘景区观光车时y与x之间的函数关系式为y＝300x﹣6000（20≤x≤30）；（3）由{𝑦=

60𝑥𝑦=300𝑥−6000得x＝25，即甲出发25分钟与乙第一次相遇，即乙发5分钟与乙第一次相遇；在y＝60x中，令y＝3000得：x＝50，此时甲与乙第二次相遇．∴乙发5分钟和30分钟与乙两次在途中相

遇．52【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，以及行程问题的基本关系．本题难度中等．【变式17-3】（2020•鸡西）A，B两城市之间有一条公路相连，公路中途穿过C市，甲车从A市到B市，乙车从C市到A市，甲车的速度比

乙车的速度慢20千米/时，两车距离C市的路程y（单位：千米）与驶的时间t（单位：小时）的函数图象如图所示，结合图象信息，解答下列问题：（1）甲车的速度是千米/时，在图中括号内填入正确的数；（2）求图象中线段MN所在直线的函数解析式，不需要写出

自变量的取值范围；（3）直接写出甲车出发后几小时，两车距C市的路程之和是460千米．【分析】（1）利用图中信息解决问题即可．（2）利用待定系数法解决问题即可．（3）分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：（1）由题意，甲的速度为4808=60千米/小时．乙的速度为80千米

/小时，48080=6（小时），4+6＝10（小时），∴图中括号内的数为10．故答案为：60．（2）设线段MN所在直线的解析式为y＝kt+b（k≠0）．把点M（4，0），N（10，480）代入y＝kt+b，得：{4𝑘+𝑏=010𝑘+𝑏=480，解得：{𝑘=80𝑏=−320．∴线段

MN所在直线的函数解析式为y＝80t﹣320．53（3）（480﹣460）＝20，20÷60=13（小时），或60t﹣480+80（t﹣4）＝460，解得t＝9，答：甲车出发13小时或9小时时，两车距C市的路程之和是460千米．【点评】本题考查一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是读

懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．【考点18一次函数的应用（方案选择问题）】【例18】（2019秋•宿松县校级期末）2017年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．根据以上信息，解答下列问题：（1）设通话时间为x分钟，方案一的

通讯费用为y1元，方案二的通讯费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．（2）请你通过计算说明如何选用通讯收费方案更合算．（3）小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，应选用哪种通讯收费方案．【分析】（1）根据收费标准写出函数表达

式；（2）利用（1）中的函数表达式，代入相关的x的值；（3）利用（2）中的结论进行解答．【解答】解：（1）根据题意知，y1={40(0≤𝑥≤50)0.1𝑥+40(𝑥＞50)．y2＝0.2x（x≥0）；（2）当0≤x≤

50时，y1＝40＞y2，选择方案二合算；54当x＞50时：①y1＞y2，即0.1x+45＞0.2x，解得x＜450，选择方案二合算；②y1＝y2，即0.1x+40＝0.2x，解得x＝400，选择两种方案一样合算；③y1＜y2，即0.1x+40＜0.2x，解

得x＞450，选择方案一合算．综上所述，当通话时间小于400分钟，选择方案二合算；当通话时间为400分钟，选择两种方案一样合算；当通话时间大于400分钟，选择方案一合算；（3）由于500＞400，所以小明的爸爸选用通

讯收费方案一合算．【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题，解题的关键是掌握两种不同的收费标准．【变式18-1】（2020春•河北期末）甲、乙两家采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克40

元，两家均推出了“周末”优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买50元的门票，采摘的草莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓超过10千克后，超过部分五折优惠．优惠期间，设某游客的草莓采摘量为x（x＞10）千克，在甲采摘园所需总费

用为y1元，在乙采摘园所需总费用为y2元．（1）求y1、y2关于x的函数解析式；（2）当采摘多少千克草莓时，在甲、乙两采摘园所需费用相同？如果你是游客你会如何选择采摘园？【分析】（1）根据题意，可以写出y1、y2关于x的函数解析式；（2）根据题意，

可以列出相应的方程和不等式，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，y1＝50+40x×0.6＝24x+50，y2＝40×10+（x﹣10）×40×0.5＝20x+200，即y1关于x的函数解析式是y1＝24x+

50，y2关于x的函数解析式是y2＝20x+200；（2）当24x+50＝20x+200时，得x＝37.5，即当采摘量等于37.5千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；当24x+50＞20x+200时，得x＞37.5，即当采摘量超过37.5千克时，选择乙采摘园；55

当24x+50＜20x+200时，得x＜37.5，即当采摘量超过10千克且少于37.5千克时，选择甲采摘园；由上可得，当采摘量等于37.5千克时，在甲、乙两采摘园所需费用相同；当采摘量超过37.5千克时，选择乙采摘园；当采摘量超过1

0千克且少于37.5千克时，选择甲采摘园．【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．【变式18-2】（2020•陕西四模）习

近平在决战决胜脱贫攻坚座谈会上强调：坚决克服新冠肺炎疫情影响，坚决夺取脱贫攻坚战全面胜利.2020年是脱贫攻坚战最后一年，收官之年又遭遇疫情影响，各项工作任务更重，要求更高．某地的苹果产业成为该地农民打赢脱贫攻坚战的利器，已知该地有甲、乙两个苹果园，盛产的苹果品质相同，现两个

苹果园推出了不同的销售方案，甲苹果园：不论一次购买数量是多少，价格均为6元/kg；乙苹果园：一次购买数量不超过50kg时，价格均为7元/kg，超过50kg，则超出部分的价格按5元/kg计．设某水果店在同一个苹果园一次购买苹果的数量为xkg（x＞0）．（1）设

在甲苹果园花费y1元，在乙苹果园花费y2元，分别求y1，y2关于x的函数关系式；（2）若该水果店计划用360元来购进苹果，则它在甲、乙哪个苹果园中购买苹果的数量较多？【分析】（1）根据题意，可以分别写出y1，y2关于x的函数关系式；（2）根据题意和（

1）中的函数关系式，可以分别求得该水果店计划用360元在两个苹果园购买的苹果数量，然后比较大小即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，y1＝6x，当0＜x≤50，y2＝7x，当x＞50时，y2＝50×7+（x﹣50）×5＝5x+100，即y1关于x的函数关

系式是y1＝6x，y2关于x的函数关系式是y2={7𝑥(0＜𝑥≤50)5𝑥+100(𝑥＞50)；（2）当y1＝360时，360＝6x，解得，x＝60；当y2＝360时，∵360＞50×7，∴360＝5x+100，解得，x＝52

；∵60＞52，56∴该水果店在甲苹果园中购买苹果的数量较多，答：该水果店在甲苹果园中购买苹果的数量较多．【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．【变式18-3】（2020春•陆川县期末）为改善生态环境，防止水土流

失，某村计划在九洲江堤坡种植白杨树，现甲、乙两家林场有相同的白杨树苗可供选择，其具体销售方案如下：甲林场乙林场购树苗数量销售单价购树苗数量销售单价不超过1000棵时4元/棵不超过2000棵时4元/棵超过1000棵的部分3

.8元/棵超过2000棵的部分3.6元/棵购买白杨树苗x棵，到两家林场购买所需费用分别为y甲（元），y乙（元）．（1）该村需要购买1800棵白杨树苗，如果都在甲林场购买所需费用为元，如果都在乙林场购买所需费用为元；（2

）分别求出y甲，y乙与x之间的函数关系式；（3）如果你是该村的负责人，应该选择到哪家林场购买树苗合算，为什么？【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以计算出购买1800棵白杨树苗时，在两家林场的花费；（2）根据题意和表格中的数据，可以分别写出y甲，y乙与x之

间的函数关系式；（3）根据题意，利用分类讨论的方法，可以得到应该选择到哪家林场购买树苗合算．【解答】解：（1）由题意可得，当购买1800棵白杨树苗时，在甲林场需要花费：1000×4+（1800﹣1000）×3.8＝7040（元），在乙林场需要花费：1800×4＝7200（元），故答案

为：7040，7200；（2）由题意可得，当0≤x≤1000时，y甲＝4x，y乙＝4x，当1000＜x≤2000时，y甲＝1000×4+（x﹣1000）×3.8＝3.8x+200，y乙＝4x，57当x＞2000时，y甲＝1000×4+（x﹣1000）×3.8＝

3.8x+200，y乙＝2000×4+（x﹣2000）×3.6＝3.6x+800，由上可得，y甲={4𝑥(0≤𝑥≤1000且𝑥为整数)3.8𝑥+200(𝑥＞1000且𝑥为整数)；y乙={4𝑥(0≤𝑥≤2000且𝑥为整数)3.6𝑥+800(𝑥＞2000且

𝑥为整数)；（3）①当0≤x≤1000时，两家林场单价一样，因此到两林场购买所需要费用都一样；②当1000＜x≤2000时，甲林场有优惠而乙林场无优惠，故当1000＜x≤2000时，到甲林场购买合算；③当x＞2000时，y甲＝3.8x+200，y乙＝3.6x+800，y甲﹣y乙＝

3.8x+200﹣（3.6x+800）＝0.2x﹣600，当y甲＝y乙时，0.2x﹣600＝0，解得x＝3000．∴当x＝3000时，到两林场购买所需要费用都一样；当y甲＜y乙时，0.2x﹣600＜0，解得x＜3000．∴当2000＜x＜3000时，到甲林场购买

合算；当y甲＞y乙时，0.2x﹣600＞0，解得x＞3000，∴当x＞3000时，到乙林场购买合算；综上所述，当0≤x≤1000或x＝3000时，到两林场购买所需要费用都一样；当1000＜x＜3000时，到甲林场购买合算；当x＞3000时，到乙林场购买合算．【点评】本题考查一次函

数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分类讨论的思想解答．【考点9反比例与一次函数综合】【例19】（2020春•盐城期末）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y=𝑚𝑥的图象交于点A（1，4）、B（4，n）．（1）求这两个函数的表达式；（2）请结合图象直接

写出不等式kx+b≤𝑚𝑥的解集；（3）若点P为x轴上一点，△ABP的面积为6，求点P的坐标．58【分析】（1）将点A（1，4）代入y=𝑚𝑥可得m的值，求得反比例函数的解析式；根据反比例函数解析式求得点B坐标，再由A、B两点的坐标可得一次函数的解析式；（2）根据图象得出不等式kx+b≤�

�𝑥的解集即可；（3）利用面积的和差关系可求解．【答案】解：（1）把A（1，4）代入y=𝑚𝑥，得：m＝4，∴反比例函数的解析式为y=4𝑥；把B（4，n）代入y=4𝑥，得：n＝1，∴B（4，1），把A（1，4）、（4，1）代入y＝kx+b，得：{𝑘+𝑏=44�

�+𝑏=1，解得：{𝑘=−1𝑏=5，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5；（2）根据图象得：当0＜x≤1或x≥4时，kx+b≤𝑚𝑥；∴不等式kx+b≤𝑚𝑥的解集为0＜x≤1或x≥4；（3）如图，设直线AB与x轴交于点C，59∵直线AB与x轴交于点C，

∴点C坐标为（5，0），∵△ABP的面积为6，∴12×PC×4−12PC×1＝6∴PC＝4，∴点P的坐标为（1，0）或（9，0）．【点睛】本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解

题的关键．【变式19-1】（2020春•东城区校级期末）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y=𝑚𝑥的图象交于点A（1，6），B（3，n）两点．与x轴交于点C．（1）求一次函数的表达式；（2）若点M在x轴上，且△AMC的面积为6，求点M的坐标．（3）在y轴上找一点P，使PA+PB

的值最小，直接写出满足条件的点P的坐标是．【分析】（1）把A（1，6）代入y=𝑚𝑥即可求出反比例函数的表达式，把B（3，n）代入y=6𝑥即可求出B的坐标，把A、B的坐标代入y＝kx+b，求出a、b，即可求出一次函数的表达式；（2）根据△AMC的面积为6，求得CM＝2，根据

C的坐标即可求得M的坐标；60（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，此时点P是使得PA+PB的值最小的点，由A点的坐标找出点A′的坐标，由待定系数法可求出直线A′B的函数表达式，令x＝0即可得出P点的坐标．【答案】解：（1）把A（1，6）代入y=𝑚𝑥得：m＝6，即反比

例函数的表达式为y=6𝑥，把B（3，n）代入y=6𝑥得：n＝2，即B的坐标为（3，2），把A、B的坐标代入y＝kx+b得：{𝑘+𝑏=63𝑘+𝑏=2，解得：k＝﹣2，b＝8，即一次函数的表达式为y＝﹣2x+8；（2）∵一次函数y＝﹣2x+8与x轴交于点C，∴C（4，0），∵A（

1，6），点M在x轴上，且△AMC的面积为6，∴CM＝2，∴M（6，0）或（2，0）；（3）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，如图所示．在y轴上任取一点P′（不同于点P），∵A、A′关于y轴对

称，∴AP＝A′P，AP′＝A′P′，在△P′A′B中，有A′P′+BP′＝AP′+BP′＞A′B＝A′P+BP＝AP+BP，∴当A′、P、B三点共线时，PA+PB最小．61∵点A的坐标为（1，6），∴点A′的坐标为（﹣1，6）．设直线A′B的解析式为y＝ax+b，

将点A′（﹣1，6）、点B（3，2）代入到y＝ax+b中，得{−𝑎+𝑏=63𝑎+𝑏=2，解得：{𝑎=−1𝑏=5，∴直线A′B的解析式为y＝﹣x+5，令x＝0，则有y＝5．即点P的坐标为（0，5），故答案

为（0，5）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式、解一元二次不等式、点到直线的距离以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）算出B点的坐标；（2）求得CM＝2；（3）找到P点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根

据点在函数图象上求出点的坐标是关键．【变式19-2】（2020秋•槐荫区期末）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2=𝑘𝑥的图象相交于A（2，8），B（8，n）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．（1）求一次函数y1与反比例函数y2

的表达式；（2）当y1＜y2，时，自变量x的取值范围为；（3）点P是x轴上一点，当S△PAC=45S△AOB时，请求出点P的坐标．【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；62（3）先求得D的坐标，然后

根据S△AOB＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面积，即可求得S△PAC=45S△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×12OP×8＝24，求得OP，即可求得P的坐标．【解答】解：（1）将A（2，8）代

入𝑦2=𝑘𝑥得8=𝑘2，解得k＝16，∴反比例函数的解析式为𝑦=16𝑥，把B（8，n）代入得，n=168=2，∴B（8，2），将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得{2𝑎+𝑏=88𝑎+𝑏=2，解

得{𝑎=−1𝑏=10，∴一次函数为y＝﹣x+10；（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，故答案为x＞8或0＜x＜2；（3）由题意可知OA＝OC，∴S△APC＝2S△AOP，

把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，∴D（10，0），∴𝑆△𝐴𝑂𝐵=𝑆△𝐴𝑂𝐷−𝑆△𝐵𝑂𝐷=12×10×8−12×10×2=30，∵𝑆△𝑃𝐴𝐶=45𝑆△𝐴𝑂𝐵=45×30=24，∴

2S△AOP＝24，∴2×12𝑂𝑃×𝑦𝐴=24，即2×12𝑂𝑃×8=24，∴OP＝3，∴P（3，0）或P（﹣3，0）．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．【变式19-3】（2020春•淅川县期末）如

图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数63y2=𝑚𝑥（m≠0）的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a，﹣3）两点，与x轴交于点C．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB﹣P

C最大，求PB﹣PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出不等式kx+b＞𝑚𝑥的解集．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）求得直线y1与y轴的交点即为P点，此时，PB﹣PC＝BC最大，利用勾股定理即可求得最大值；（3）根据图象即可求得．【答案】解：（1）把A（3，5）代入y2=�

�𝑥（m≠0），可得m＝3×5＝15，∴反比例函数的解析式为y2=15𝑥，把点B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，∴B（﹣5，﹣3）．把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得{3𝑘+𝑏=5−5𝑘+𝑏=3，解得{𝑘=1𝑏=2，∴一

次函数的解析式为y1＝x+2；（2）一次函数的解析式为y1＝x+2，令x＝0，则y＝2，∴一次函数与y轴的交点为P（0，2），此时，PB﹣PC＝BC最大，P即为所求，令y＝0，则x＝﹣2，∴C（﹣2，0），过B点向x轴作垂线，由勾股定理可得：BC=√(−5

+2)2+32=3√2；（3）当y1＞y2时，﹣5＜x＜0或x＞3．64【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键．【考点20反比例函数的应用】【例20】

（2020•昆明）为了做好校园疫情防控工作，校医每天早上对全校办公室和教室进行药物喷洒消毒，她完成3间办公室和2间教室的药物喷洒要19min；完成2间办公室和1间教室的药物喷洒要11min．（1）校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要多少时间？（2

）消毒药物在一间教室内空气中的浓度y（单位：mg/m3）与时间x（单位：min）的函数关系如图所示：校医进行药物喷洒时y与x的函数关系式为y＝2x，药物喷洒完成后y与x成反比例函数关系，两个函数图象的交点为A（m，n）．当教室空气中的药物浓度不高于1mg/m3时，

对人体健康无危害，校医依次对一班至十一班教室（共11间）进行药物喷洒消毒，当她把最后一间教室药物喷洒完成后，一班学生能否进入教室？请通过计算说明．【分析】（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则{3𝑥+2𝑦=192𝑥+𝑦=11，即

可求解；（2）点A（5，10），则反比例函数表达式为y=50𝑥，当x＝55时，y=5055＜1，即可求解．【答案】解：（1）设完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要xmin和ymin，则{3𝑥+2𝑦=192𝑥+𝑦=

11，解得{𝑥=3𝑦=5，故校医完成一间办公室和一间教室的药物喷洒各要3min和5min；65（2）一间教室的药物喷洒时间为5min，则11个房间需要55min，当x＝5时，y＝2x＝10，故点A（5，10），设反比例函数表达式为：y=𝑘𝑥，将点A的坐标代入上式并解得：k＝50，

故反比例函数表达式为y=50𝑥，当x＝55时，y=5055＜1，故一班学生能安全进入教室．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利

用待定系数法求出它们的关系式．【变式20-1】（2020•江西一模）学校的学生专用智能饮水机里水的温度y（℃）与时间x（分）之间的函数关系如图所示，当水的温度为20℃时，饮水机自动开始加热，当加热到100℃时自动停止加热（线段AB），随后水温开始下降，当水温降至20℃时（BC为双曲线

的一部分），饮水机又自动开始加热……根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）分别求出饮水机里水的温度上升和下降阶段y与x之间的函数表达式．（2）下课时，同学们纷纷用水杯去盛水喝．此时，饮水机里水的温度刚好达到100℃

．据了解，饮水机1分钟可以满足12位同学的盛水要求，学生喝水的最佳温度在30℃～45℃，请问在大课间30分钟时间里有多少位同学可以盛到最佳温度的水？【分析】（1）由点A、B的坐标可以求出AB段的函数表达式，由点B的坐标可以求出BC段函数的表

达式；（2）对于反比例函数y=900𝑥（x≥9），当y＝30时，x＝30，当y＝45时，x＝20，即可求解．【答案】解：（1）设直线AB解析式为：y＝kx+b，则{100=9𝑘+𝑏𝑏=20，解得：{𝑘=809𝑏=20，∴温度上升段（A

B）的解析式为：y=809x+20（x＜9）；66设反比例函数的表达式为：y=𝑘𝑥（x≥9），将点B（9，100）的坐标代入上式得：100=𝑘9，解得：k＝900，故温度下降段（BC段）函数表达式：y=900𝑥（x≥9）；（2）对于反比

例函数y=900𝑥（x≥9），当y＝30时，即y=900𝑥=30，解得：x＝30，同理可得：当y＝45时，x＝20，水温在30℃～45℃，此时x为20～30分．故大课间30分钟，可以盛到最佳温度水的时间为10分钟，故有12×10＝12

0个同学可以盛到最佳温度的水．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的运用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，进而求解实际问题．【变式20-2】（2

020•莆田二模）实验数据显示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百亳升）与时间x（时）变化的图象，如图（图象由线段OA与部分双曲线AB组成）．国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）时属

于“酒后驾驶”，不能驾车上路．（1）求部分双曲线AB的函数解析式；（2）参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上22：30在家喝完50毫升该品牌白酒，第二天早上7：00能否驾车去上班？请说明理由．【分析】（1）首先求得线段OA所在

直线的解析式，然后求得点A的坐标，代入反比例函数的解析式即可求解；（2）把x＝20代入反比例函数解析式可求得时间，结合规定可进行判断．【答案】解：（1）依题意，直线OA过（14，20），则直线OA的解析式为y＝80x，67当x=32时，y＝120，即A（

32，120），设双曲线的解析式为y=𝑘𝑥，将点A（32，120）代入得：k＝180，∴y=180𝑥（x≥32）；由y=180𝑥得当y＝20时，x＝9，从晚上22：30到第二天早上7：00时间间距为8.5小时，∵8.5＜

9，∴第二天早上7：00不能驾车去上班．【点睛】本题为一次次函数和反比例函数的应用，涉及待定系数法等知识点．掌握自变量、函数值等知识是解题的关键．本题难度不大，较易得分．【变式20-3】（2020春•海州区期末）饮水机中原有水的

温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热……，重

复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：（1）当0≤x＜8时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式．（2）求图中t的值；（3）若在通电开机后即外出散步，请你预测散步42分钟回到家时

，饮水机内水的温度约为多少℃？【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可；（2）首先求出反比例函数解析式进而得出t的值；（3）利用已知由x＝7代入求出饮水机内水的温度即可．【答案】（1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（

分）的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），将（0，20）、（8，100）代入y＝kx+b中，{𝑏=208𝑘+𝑏=100，解得：{𝑘=10𝑏=20，∴当0≤x≤8时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函

数关系式为y＝10x+20．68（2）当8≤x≤t时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=𝑚𝑥（m≠0），将（8，100）代入y=𝑚𝑥中，100=𝑚8，解得：m＝800，∴当8≤x≤t时，水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为y=800𝑥．当y=800𝑥=2

0时，x＝40，∴图中t的值为40．（3）∵42﹣40＝2≤8，∴当x＝2时，y＝2×10+20＝40，答：散步42分钟回到家时，饮水机内水的温度约为40℃．【点睛】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析

式是解题关键．