【文档说明】备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题14圆锥曲线经典小题（十二大题型） Word版含解析.docx，共(66)页，6.794 MB，由小赞的店铺上传

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专题14圆锥曲线经典小题求圆锥曲线的方程1．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学上学期期中）已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MHl⊥于H，若4,60MHHFM==，则抛物线C的方程为.【答案】

24yx=【分析】根据题意，得到4MFMH==，推出MHF△为正三角形，求出4HF=，记准线l与x轴交于点Q，根据sinpQFHFQHF==即可求出结果.【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以4MFMH==，又60HFM=，所以MH

F△为正三角形，所以4HF=，记准线l与x轴交于点Q，则30QHF=，所以osin4sin302pQFHFQHF====，所以该抛物线方程为：24yx=.故答案为：24yx=.2．（2022秋·辽宁·高三校联考期中

）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的标准方程为（）A．2213624xy+=B．2213620xy+=C．2213626xy+=D．2213632xy+=【答案】D【分析】根据长轴长为12，离心率为13，由212a=，13ca

=求解.【详解】由题意知，212a=，13ca=，所以6a=，2c=，所以22232bac=−=，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为2213632xy+=．故选：D．3．（山东省潍坊市临朐县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线2222:1xyCab−=过点(2,3)，且离心率为2

，则该双曲线的标准方程为（）A．2213yx−=B．2213xy−=C．2213yx−=D．2213xy−=【答案】A【详解】根据离心率可得2ca=，再由222bca=−可得曲线方程为222213xyaa−=，然后将点代入即可求解．【解答】解：双曲线离心率2cea==，故2

,3caba==，将点(2,3)代入双曲线方程可得，22223113aaa−==，故1,3ab==，双曲线的方程为2213yx−=，故选：A．4．（2022秋·山东日照·高三统考期中）已知抛物线22(0)ypxp=的焦点为F，准线为l，过点F且斜率为3的直线交抛

物线于点M(M在第一象限)，MNl⊥，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若||23MD=，则抛物线的方程是（）A．2yx=B．22yx=C．24yx=D．28yx=【答案】C【解析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形NMF是正三角形，结合已

知条件求出MN，结合F在MN上的射影是MN是中点，然后求解抛物线方程．【详解】由题意如图，过点F且斜率为3的直线交抛物线于点(MM在第一象限），可知，60NMF=，MNl⊥，垂足为N，直线NF交y轴于点D，准线与x轴的交点为A，所以MNF

M=，则三角形NMF是正三角形，因为O是AF的中点，//ANOD，所以D是NF的中点，所以MDNF⊥，30DMF=，||23MD=，所以||||4cos30MDMF==，则||4MN=，由三角形NMF是正三角形可知F在MN上的射影是MN是中点，所以2AFBN==，则(1,0

)F，可得2p=，所以抛物线方程为：24yx=．故选：C．【点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛

物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.5．（湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期期中）以椭圆23x＋24y＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是（）A．2213xy−=B．2213xy−=C．22162xy−=D．22126yx−=【答案】B

【分析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.【详解】∵椭圆的方程为23x＋24y＝1，∴椭圆的长轴端点坐标为(0,2)，(0,2)−，焦点坐标为(0,1)，(0,1

)−，∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线方程为2213xy−=，故选：B.6．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）过原点的直线l与双曲线2222:1(,0)xyCabab−=的左、右两支分别

交于M，N两点，()2,0F为C的右焦点，若0FMFN=，且25FMFN+=，则双曲线C的方程为.【答案】2213xy−=【分析】设双曲线的左焦点为1F，连接1FM，1FN，则14MNFF==，2216FMFN+=，解得32FMFN−=，得到3a=，1b=，得

到答案.【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为1F，连接1FM，1FN，0FMFN=，则FMFN⊥，四边形1MFNF为矩形，14MNFF==.故2216FMFN+=，25FMFN+=，则32FMFN−=，1223FNNFFMNFa−=−==，故3a=，1b=.双曲线C的

方程为2213xy−=.故答案为：2213xy−=根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围7．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）“()()22log2log21abxy+=表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分

不必要条件是（）A．0abB．1abC．2abD．1ba【答案】C【分析】由已知条件求得,ab之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.【详解】若()()22log2log21abxy+=表示焦点在y轴

上的椭圆，则需log2>0log2>0log2>log2abab，即>1>1abab，所以1ab，所以“()()22log2log21abxy+=表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2ab

，故选：C.【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.8．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知方程221622xymm+=++表示焦点在x轴的双曲线，则m的取值范围是（

）A．21m−−B．32m−−C．12mD．23m【答案】B【分析】根据双曲线方程的特点，即可列出不等式，从而求得参数范围.【详解】因为方程221622xymm+=++表示焦点在x轴的双曲线，故可得620,20mm++，解得32m−−.故选：B.

【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数范围的问题，属基础题.9．（海南华侨中学2023届高三上学期期中）（多选）已知方程221169xymm+=−+，则（）A．(9,16)m−时，方程表示椭圆B．0m=时，所表示的曲线离心率为74C．16(),m+时，方程表示焦点在y轴

上的双曲线D．11m=−时，所表示曲线的渐近线方程为66yx=【答案】BC【分析】根据椭圆、双曲线的简单几何性质计算可得；【详解】解：因为221169xymm+=−+，对于A：若方程表示椭圆，所以16090169mmmm−

+−+，解得792m−或7162m，故A错误；对于B：若0m=，则221169xy+=，所以216a=、29b=，所以2227cab=−=，所以离心率74cea==，故B正确；对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则90160mm+−，解得

16m，故16(),m+时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确；对于D：若11m=−，则曲线方程为221272xy−=，则渐近线方程为69yx=，故D错误；故选：BC10．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知曲线C的方程为()22126

xykRkk+=−−，则下列结论正确的是（）A．当k=4时，曲线C为圆B．当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为3yx=C．“56k<<”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件D．存在实数k使得曲线C为双

曲线，其离心率为2【答案】ABC【解析】A．将4k=，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状；B．将0k=，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状，若曲线为双曲线则分析其渐近线方程；C．先分析曲线C为焦点在x轴上的椭圆时对应的k的取值范围，再根据区间()

5,6与所求范围之间的集合关系判断出属于何种条件；D．根据离心率为2分析出双曲线方程中,ab的关系，由此求解出k的值并进行判断.【详解】对于A选项，当k=4时，曲线C的方程可化为222xy+=，为圆心在原点，半径为2的圆，所以选项A正确；对

于B选项，当k=0时，曲线C的方程可化为22162yx−=，6a=，2b=，焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为3ayxxb==，所以选项B正确；对于C选项，当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，要满足260kk−−，解得46k，则()5,6()4,6，所以“56k<<”

是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，所以选项C正确；对于D选项，当曲线C的方程22126xykk+=−−表示离心率为2的双曲线时，有2cea==，则a=b，即|k－2|=|6－k|，解得k=4，此时曲线C表示为圆

，即不存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为2，所以选项D错误；故选：ABC.【点睛】结论点睛：确定形如221xymn+=的方程所表示曲线的形状：（1）当0mn时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；（2）当0nm时

，方程表示焦点在y轴上的椭圆；（3）当0,0mn时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；（4）当0,0mn时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.11．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）设R，若22123

xy+=−−表示双曲线，则的取值范围是【答案】(2,3)【分析】将双曲线方程化简,根据双曲线解析式的特征,即可得的取值范围.【详解】因为22123xy+=−−,即22123xy−=−−根据双曲线性质可知()()230−−即()()230−−解不等式可得23,

即的取值范围是()2,3故答案为:()2,3【点睛】本题考查了双曲线方程及其性质,属于基础题.焦点三角形12．（山东省济宁市邹城市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）如图，已知双曲线222(0)xya

a−=的左，右焦点分别为12,FF，过2F的直线与双曲线的右支交于,PQ两点.若1QFQP=，且22PFFQ=，则的值为（）A．3B．2C．83D．52【答案】A【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得22PFa=，从而再

得14PFa=，由余弦定理求得21cosPFF，由诱导公式得21cosQFF，设2QFm=，则12QFma=+，再由余弦定理求得23ma=，从而可得．【详解】由已知2ca=，1222FFa=，12222QFQFQPQFPFa−=−==，则1224PFPFa

a=+=，在12PFF△中，22212(22)(2)(4)2cos42222aaaFFPaa+−==−，在12QFF中，12122coscos4FFQFFP=−=，设2QFm=，则12QFma=+，由22211

22122122cosQFFFQFFFQFFFQ=+−得2222(2)(22)2224amamam+=+−，解得23ma=，22PFFQ=，所以222323PFaQFa===．故选：A．13．（2022秋·江苏南通·高三期中）（多选）已知椭

圆22:184xyC+=上有一点P，F1、F2分别为其左右焦点，12FPF=，12FPF△的面积为S，则下列说法正确的是（）A．若2S=，则满足题意的点P有4个B．若60=，则433S=C．的最大值为90

D．若12FPF△是钝角三角形，则S的取值范围是(0,2)【答案】ABC【分析】根据面积求出点P纵坐标的范围即可判断A；结合椭圆的定义、余弦定理和面积公式可以求出三角形面积，进而判断B；根据B中的推理，结合基本不等式可以判断C；根据C中的推理可以判断12FPF

不可能为钝角，根据椭圆的对称性仅考虑P点在第一象限的情形，根据角的变化情况先考虑212PFFF⊥的情况，进而求得答案判断D.【详解】由题意，22,2abc===，对A，设(),Pxy，则1211||||4||2||122SFFyyyb====，由椭圆的范围可知A

正确；对B，如图，设12||,||PFmPFn==，因为242mna+==，所以在12FPF△中，()22222244322168cos1222mnmncmncmnmnmnmnmn+−−+−−−====−而1sin2Smn=，因为60=，所以81

143231322mnSSmn−===，故B正确；对C，由()22888cos1110222mnmn=−−=−=+，当且仅当22mn==时取“=”，即的最大值为90，C正确；对D，根据C可知，12FP

F最大值为90，即不可能为钝角，根据椭圆的对称性，现仅考虑点P在第一象限的情况，根据角的变化情况，若212PFFF⊥，将x=2代入椭圆方程解得：||2y=，此时142222S==，则12FPF

△是钝角三角形，S的取值范围是(0,22)，D错误.故选：ABC.14．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知1F、2F是椭圆221169xy+=的两焦点，过点2F的直线交椭圆于A、B两点．在1AFB△中，若有两边之和是

9，则第三边的长度为（）A．6B．7C．8D．4【答案】B【分析】根据椭圆的定义即可求出1AFB△的周长，进而可得第三边的长度.【详解】由221169xy+=可得216a=，所以4a=，由椭圆的定义可得：1228AFAFa+==，1228BFBFa+==，所以1AFB△的周长1111228

816AFBFABAFBFAFBF++=+++=+=，因为有两边之和是9，所以第三边的长度为1697−=，故选：B.15．（河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期期中）已知1F，2F分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点，M是椭圆短轴的端点，点

N在椭圆上，且223MFFN=.若1MNF的面积为2，则=a.【答案】3【分析】由题意可知M，2F，N三点共线和21MFMFa==，再根据椭圆的定义，和勾股定理可证22211MNMFNF+=，即可求出1

2223MNFSa==，由此即可求出结果.【详解】因为223MFFN=，所以M，2F，N三点共线.又M是椭圆短轴的端点，所以21MFMFa==，所以213NFa=，43MNa=，则12523NFaNFa=−=，所以

22211MNMFNF+=，所以121422233MNFSaaa===，解得3a=（负值舍去）.故答案为：3.16．（2023届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中）已知椭圆C：22221xyab+=（a>b>0）和双曲线

E：x2－y2＝1有相同的焦点F1，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】B【解析】根据题意可求得椭圆的方程,再根据椭圆与双曲线的定义求得|PF1|,|F1F2|和|PF

2|.再判断三边的关系进行分析即可.【详解】由题意可知,212caca==,因为2c=,所以a＝2,b2＝a2－c2＝2,不妨设P与F2在y轴右侧,则121242PFPFPFPF+=−=,故13PF=,21PF=,又1222FF=

得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2,所以△F1PF2为直角三角形,故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的焦点与离心率,同时也考查了椭圆与双曲线的定义等.属于基础题型.17．（2022秋·江苏扬州·高三校考期中）若双曲线2213xy−=的左、右焦点分别为1F，2F，点

P为圆224xy+=与此双曲线的一个公共点，则12PFF△的面积为（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【分析】确定线段12FF是圆224xy+=的直径，得12PFPF⊥，然后利用双曲线的定义、勾股定理得出12,PFPF的

关系式，变形求得12PFPF后可得三角形面积．【详解】由题意3a=，1b=，312c=+=，所以线段12FF是圆224xy+=的直径，因此12PFPF⊥，所以222121212+==16=2=23PFPFFFPFPFa−

，所以122PFPF=，1212112PFFSPFPF==!．故选：D．距离的最值问题18．（广东省深圳市龙岗区2023届高三上学期期中）已知椭圆：2221(02)4xybb+=，左、右焦点分别为12,FF，过1F的直线l交椭

圆于,AB两点，若22BFAF+的最大值为5，则b的值是A．1B．2C．32D．3【答案】D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最

短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直

线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣

b2，解得b3=，故选D．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．19．（江苏省常州市华罗庚中学2022-2023学年高三上学期期中）已知1F，2F分别是双曲线22

:143xyC−=的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，点B为圆22:(3)1Exy++=上一动点，则2ABAF+的最小值为（）A．7B．8C．63+D．233+【答案】A【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦

点坐标，求得圆E的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.【详解】双曲线22143xy−=中2a=，3b=，437c=+=，1(7,0)F−，2(7F，0)，圆E半径为1r=

，(0,3)−E，21124AFAFaAF=+=+，1ABAEBEAE−=−…(当且仅当A，E，B共线且B在A，E之间时取等号)，21111433ABAFAEAFAFAEEF+−++=+++厖22(7)337=−++=，当且仅当A是线段1E

F与双曲线的交点时取等号.2ABAF+的最小值是7.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.20．（广东省深圳市深圳实验学校光明部20

23届高三上学期期中）设P为椭圆M：22110xy+=和双曲线N：2218yx−=的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则PF=.【答案】101+/110+【分析】先求出F点坐标，再联立椭圆和双曲线方程，求出P点

坐标，运用两点距离公式即可.【详解】对于椭圆M，()2222210,1,9,3,0abcabF===−=−；联立方程222211018xyyx+=−=，解得22108,99xy==，因为P在第一象限，1022,33P，22102230

1121010133PF=++−=+=+；故答案为：101+.21．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知F是双曲线22:18yCx−=的右焦点，P是C左支上一点，()0,66A

，当APF周长最小时，该三角形的面积为．【答案】126【分析】根据题意，根据1,,PAF三点共线，求出直线1AF的方程，联立双曲线方程，即可求得P点坐标，则由11APFAFFPFFSSS=−即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为

1F，由双曲线定义知，12PFaPF=+，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12aPF++|AF|=|PA|+1PF+|AF|+2a，由于2||aAF+是定值，要使△APF的周长最小，

则|PA|+1PF最小，即P、A、1F共线，∵()0,66A，()13,0F−∴直线1AF的方程为1366xy+=−，即326yx=−代入2218yx−=整理得266960yy+−=，解得26y=或86y=−(舍)，所以P点的纵坐标为26，

∴111166662622APFAFFPFFSSS=−−=126.故答案为：126.【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.22．（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期期中）

已知双曲线2213xymm−=的一个焦点是()0,2，椭圆221yxnm−=的焦距等于4，则n=．【答案】5【分析】根据双曲线和椭圆的几何性质计算可得.【详解】因为双曲线2213xymm−=的一个焦点是(02)，，所以34mm−−=，得1m=−，又椭圆221

yxn+=的焦距等于4，所以2412n−=，得5n=.故答案为：523．（2022秋·山西朔州·高三统考期中）P是双曲线221916xy－＝的右支上一点，M、N分别是圆22(5)1xy++=和22(5)1xy−+=上的点

，则PMPN−的最大值为A．6B．7C．8D．9【答案】C【详解】maxmaxmin12()||1(1)PMPNPMPNPFPF−=−=+−−122628PFPF=−+=+=.圆锥曲线的简单几何性质24．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知,AB是圆22:680Cxyx+−

+=上的两个动点，90ACB=，点M为线段AB的中点，点P为抛物线24yx=上的动点，则PM的最小值为（）A．522B．32C．322D．22【答案】C【分析】求出C点坐标，由几何关系得点M的轨迹是以点()3,0C为圆心，22为

半径的圆，点P为抛物线24yx=上的动点，所以设00(,)Pxy，先求出min||PC，所以PM的最小值为min232||22PC−=【详解】圆22:680Cxyx+−+=可化为22(3)1xy−+=

，所以点()3,0C.又因为点M为线段AB的中点，且90,1ACBCACB===，所以22CM=，所以点M的轨迹是以点()3,0C为圆心，22为半径的圆.因为点P为抛物线24yx=上的动点，所以设00(,)Pxy，则()()()22220000033

418PCxyxxx=−+=−+=−+，所以当01x=时，min||22PC=，所以PM的最小值为min232||22PC−=.故选：C.25．（山东省潍坊市临朐县实验中学2022-2023学年高三上学期期中）设点P是抛物线1C:24xy=上的动点,点M是圆2C:22(5)(4)4

xy−++=上的动点,d是点P到直线=2y−的距离,则||dPM+的最小值是（）A．522−B．521−C．52D．521+【答案】B【分析】根据题意画出图像,将d转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求||dPM+的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆

上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当112,,,FPMC共线时,||dPM+取最小值为21FCr+−,算出结果即可.【详解】解:由题知圆2C:22(5)(4)4xy−++=,()25,4,2Cr−=()0,1F为抛物线焦点,1y=−为抛物线准线,则过点P向1y=−作垂线垂

足为D,如图所示:则1dPD=+,根据抛物线定义可知=PDPF,1dPF=+,||dPM+=1PFPM++,若求||dPM+的最小值,只需求PFPM+的最小值即可,连接2FC与抛物线交于点1P,与圆交于点1M,如图所示,此时PFPM+最小,为2FCr−,()2min1dPMFCr+

=+−,()()220,1,5,4,52FCFC−=,()2min1521dPMFCr+=+−=−.故选:B26．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄二中校考期中）已知圆221xy+=与抛物线()220ypxp=交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则

p等于（）A．52B．25C．522D．255【答案】D【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦AB为抛物线()220ypxp=的通径，进而有2212pp+=，解方程即可得答案.【详解】解：因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知：弦AB为抛

物线()220ypxp=的通径，因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，所以有：2212pp+=，解得255p=故选：D27．（江苏省镇江中学2022-2023学年高三上学期期中）抛物线28yx=的准线过双曲线()22210yxbb−=的左焦点，则双曲线的虚轴长为（

）A．8B．23C．2D．43【答案】B【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的c，根据,,abc的关系可得答案.【详解】因为抛物线28yx=的准线为2x=−，所以由题意可知双曲线的左焦点为()2,0−，因

为214b+=，所以3b=，所以双曲线的虚轴长为23.故选：B.28．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中考）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左，右焦点分别为12,FF，上顶点为B，且12

tan15BFF=，点P在椭圆C上，线段1PF与2BF交于Q，22BQQF=，则直线1PF的斜率为.【答案】155【分析】根据椭圆的性质，利用锐角正切函数的定义，求得15bc=，根据向量的坐标运算，求得点Q的坐标，结合斜率坐标公式，

可得答案.【详解】由题意，作图如下：由题意，则()1,0Fc−，()2,0Fc，()0,Bb，设(),Qxy，在12RtBFF中，121tan15OBbBFFOFc===，则(),BQxyb=−，()2,QFcxy=−−

，由22BQQF=，则()22xcxyby=−−=−，解得233cxby==，则2,33cbQ，直线1PF的斜率011531525553bbkccc−====+.故答案为：155.29．（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学2022-2023学年高三上

学期期中）已知椭圆22:12516xyC+=，则此椭圆的焦距长为，设12,FF为椭圆的两个焦点，过1F的直线交椭圆于,AB两点，若2212AFBF+=，则AB=.【答案】68【分析】根据椭圆方程求出,ab的值，由22cab=−可得c的值，进而可得焦距2c，根据椭圆的定义即可求得AB的长

.【详解】由椭圆22:12516xyC+=可得5a=，4b=，所以2225163cab=−=−=，所以椭圆的焦距长为26c=，由椭圆的定义可知：12210AFAFa+==，12210BFBFa+==，两式相加可得：121220AFAFBFBF+++

=，因为2212AFBF+=，所以118AFBF+=，即8AB=，故答案为：6；8.求离心率30．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）设椭圆C：22221xyab+=(0)ab的左、右焦点分别为1F，2F，直线l过点1F.若点2F关

于l的对称点P恰好在椭圆C上，且211212FFFPa=，则C的离心率为（）A．13B．23C．12D．25【答案】C【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得12PFc=，222PFac=−.然后根据211212FFFPa=，可推得2214cos2ca=

.最后根据余弦定理，即可得到关于,ac的齐次方程，即可得出离心率.【详解】设12PFF=，由已知可得，1122PFFFc==，根据椭圆的定义有21222PFaPFac=−=−.又211212FFFPa=，所以22

14cos2ca=.在12PFF△中，由余弦定理可得，22221121122cosPFPFFFPFFF=+−，即()222222288cos8acccca−=−=−，整理可得224850caca+−=，等式两边同时除以2a可得，24

850ee+−=，解得，12e=或52e=−（舍去），所以12e=.故选：C.31．（2022秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经

椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，若从椭圆右焦点2F发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，满足ABAD⊥，且3cos5ABC=，则该椭圆的离心率为（）．A．1

2B．22C．32D．53【答案】D【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：则113cos5ABABFBF==，211114sin1cos5AFABFABFBF=−==，即11::3:4:5ABAFBF=，可设

3ABk=，14AFk=，15BFk=，由1122114ABAFBFAFBFAFBFa++=+++=，则4354kkka++=，即3ka=，2122AFaAFk=−=，在12RtAFF中，221212252FFAFAFkc=+==，则2255263ckeak===.故选：

D.32．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）已知双曲线()222210,0:xyCabab−=的左焦点为()0Fc−,，点M在双曲线C的右支上，()0,Ab，若AMF周长的最小值是24ca+，则双曲线C的离心率是（）A．312+B．31+C．52D．5【答案

】B【分析】设双曲线C的右焦点为F，连接AF，线段AF交双曲线C于点M，由三角形两边之和大于第三边得AMMFAF+，再由双曲线的定义得2MFMFa−=，从而得到2AMMFAFa++，所以AM

F周长的最小值可表示为22AFa+，结合条件可求出关于,ac的方程，即可解出离心率.【详解】如图，设双曲线C的右焦点为F，连接AF，线段AF交双曲线C于点M，则AMMFAF+．由双曲线的定义可

得2MFMFa−=，则22AMMFAMMFaAFa+=+++．因为()0,Ab，所以22AFAFbc==+，则AMF周长的最小值为22222224AFabcaca+=++=+，整理得22220caca−−=

，即2220ee−−=，解得31e=+．故选：B33．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学上学期期中）如图，圆柱1OO的轴截面11ABBA是正方形，D、E分别是边1AA和1BB的中点，C是AB的中点，则经过点C、

D、E的平面与圆柱1OO侧面相交所得到曲线的离心率是．【答案】22/122【分析】根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭圆的离心率定义求解即可.【详解】设圆柱1OO的轴截面，即正方形的边长为2，设1C是弧11BA的中点，且

与C关于圆柱的中心对称，由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴2212222CC=+=,所以长半轴长2,a=短半轴长1b=，故半焦距为221cab=−=,所以椭圆的离心率为22cea==，故答案为：22．34．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一

中学校联考期中）已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左､右焦点分别为1F，2F，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四边形12MFNF为矩形，且3π4MAN=，则双曲线C的离心率为（）A．13B．5C．213D．3【答案】B

【分析】先求出,MN的坐标，再根据3π4MAN=得到一个关于a，b的等式，最后根据a，b，c的关系求出离心率即可．【详解】依题意，易得以12FF为直径的圆的方程为222xyc+=，设0(Mx,0)y，则0(Nx−,0)y−，又由双曲线2222:1xyCab−=易得双曲线C的渐近线为byx

a=，如图，联立222byxaxyc=+=，解得xayb==或xayb=−=−，(,)Mab，(,)Nab−−，又(,0)Aa，AMx⊥轴，由得1π4NAF=，1tan1NANAFkaab===+，2ba=，即22224

caba−==，225ca=，5cea==．故选：B35．（山东省青岛市4区县2022-2023学年高三上学期期中）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与圆222:Oxya+=在第二象限的交点为M，圆O在点M处的切线

与x轴的交点为N，若sin7sinMNFMFN=，则双曲线C的离心率为.【答案】()()()222111.8?1211.7?12???11.9?1220+++/1153【分析】依题意得：(c,0)F，渐近线的方程为byxa=−

，联立渐近线方程和圆的方程求得2,aabMcc−，根据MNOM⊥求得直线MN的斜率，进而得到其方程，从而求得(,0)Nc−.由sin7sinMNFMFN=，结合正弦定理可得，||7||MFMN=，从而利用两点距离公式代入可得2253a

c=，进而求得双曲线C的离心率.【详解】依题意得：(c,0)F，渐近线的方程为byxa=−，联立222byxaxya=−+=，解得2axcabyc=−=，2,aabMcc−.,.MNaMNOMkb⊥=MN的方程为2abaayxcbc−

=+，令0y=，得xc=−.(,0)Nc−222222||,||aabaabMFcMNccccc=++=−+sin7sinMNFMFN=，根据正弦定理可得，||7

||MFMN=则2222227aabaabcccccc++=−+，即2253ac=.2253ca=，即2515..33ee==故答案为：

153【点睛】关键点睛：这道题的关键是能根据正弦定理把sin7sinMNFMFN=，转化为||7||MFMN=，从而借助两点距离公式构造齐次方程求离心率.求离心率的取值范围36．（辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中）已知点F是双曲线22221xyab−=（00ab

,）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．(1),+B．(1,2)C．(2,12)+D．(1,12)+【答案】B【分析

】根据双曲线的对称性结合题意可得ABE为等腰三角形，由此可得||||AFFE，进而得到关于,,abc的齐次式，即可求解离心率.【详解】由题意可知AEBE=即ABE为等腰三角形，故ABE是锐角三角形，只需45AEF，将xc=

−代入22221xyab−=可得2bya=，故在RtAFE中，2||bAFa=，||FEac=+，则2||||,bAFFEaca+，化简整理，得2220acac−+，∴220ee−−，∴12e−，又1e，∴12e，故选：B.

37．（湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆()222:109xyCbb+=与圆22:4Oxy+=有四个交点，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．50,3B．20,3

C．5,13D．2,13【答案】C【分析】先通过椭圆与圆的交点个数得到b的范围，进而可得离心率的取值范围.【详解】椭圆()222:109xyCbb+=与圆22:4Oxy+=有四个交点，则椭圆C的焦点必在x轴上，且必有2b则椭圆C的离心率

22245111993cbbeaa==−=−−=，又1e，离心率的取值范围是5,13故选：C38．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）已知0ab，1F，2F，是双曲线22122:1

xyCab−=的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1xyCab+=上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，12FPF取最小值，则椭圆2C离心率的取值范围为（）A．20,2B．2,12C．20,3D．2,13【答案】A【分析】设()cos,s

inPab，利用12FPF与直线1PF倾斜角以及直线2PF倾斜角的关系构建关于sin的函数关系式，最后利用对勾函数的性质求解即可.【详解】假设点P在x轴上方，设()cos,sinPab，则

()0,π，由已知得()221,0Fab−+，()222,0Fab+，设直线1PF的倾斜角为，直线2PF的倾斜角为，∴122sintancosPFbkaab==++，222sintancosPF

bkaab==−+，∴()12tantanFPF=−tantan1tantan−=+()2222222sinsinbabbab+=−+−()222222sinsinbabbab+=−+−()

22222222sinsinbabbabab+=−−−+考虑对勾函数()222sin0sin1sinbaby−=+，由于P为椭圆的短轴端点时，π2=，12FPF取最小值，即12tanFPF取最小值，()222sin0sin1sinbaby−

=+也取最小值，此时sin1=，∵函数在2220,bab−上单调递减，∴2221bab−，即222ab，解得202e.即椭圆2C离心率的取值范围为20,2.故选：A.39．（2022秋

·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）过双曲线()222210,0xyabab−=的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为．【答案】(2,10

)【分析】由双曲线的性质求解，【详解】双曲线的渐近线为byxa=，由题意得13ba，则221(2,10)cbeaa==+，故答案为：(2,10)40．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）设双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点分别为1F，2

F，若过点2F且斜率为3的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则该双曲线的离心率的取值范围为.【答案】(1,2)【分析】根据已知条件可得出ba与3的大小关系，再利用公式21bea=+即得.【详解】由题可知双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程为byx

a=，由于过点2F且斜率为3的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则3ba，因此，22222212ccabbeaaaa+====+，又1e，所以，该双曲线的离心率为取值范围是()1,2.故答案为：()1,2.41．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学

校联考期中）已知点F为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足526cos26OPF=，则椭圆C的离心率的取值范围为．【答案】22

26,125+【分析】设(,0),(,)FcPam，由526cos26OPF=求出1tan5OPF=，结合正切的差角公式及基本不等式求得2tan2cOPFaac+，解不等式即可求得离心率的取值范围.【详解】设(,0),(,)FcPam，其中

0m，右顶点为A，由5cos26OPF=，则sin261OPF=，1tan5OPF=，又由tan,tanmmPOAPFAaac==+，有2222tantan()1mmmcaacOPFPOAPFAmaacmaac−+

=−==++++，又由()222222222mcmcmccaacmmaacaacaacm==+++++，有2152caac+，当且仅当22aacm+=时取等，整理为2225440caca−−，可得225440ee−−，解得

2226125e+．故答案为：2226,125+.双曲线的渐近线42．（河北省唐山市开滦第二中学2022-2023学年高三上学期期中）若双曲线1C与双曲线2C：22143xy−=有相同渐近线，且1C过点()2,3，则双曲线1C的标准方程为（）A．2213yx−=B

．22168yx−=C．22168xy−=或22168yx−=D．2213yx−=或2213xy−=【答案】B【分析】根据共渐近线的双曲线方程为()221043xy−=.代入点的坐标即可求解.【详解】因为1C和2

C有相同的渐近线，所以设双曲线1C的方程为()221043xy−=，将()2,3代入得241493−==−，所以双曲线1C的方程为22168yx−=，故选：B43．（江苏省徐州市第七中学20

22-2023学年高三上学期期中）若点()2,3−在双曲线C：22221yxba−=（0a，0b）的一条渐近线上，则=ba（）A．2B．12C．32D．23【答案】C【分析】根据条件可得点()2,3−在直线byxa=−上，即得.【详解】

依题意得点()2,3−在直线byxa=−上，所以32ba=.故选：C.44．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）设1F、2F是双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的两个焦点，P是C上一

点，若126PFPFa+=，∠12PFF是△12PFF的最小内角，且1230PFF=，则双曲线C的渐近线方程是（）A．20xy=B．20xy=C．20xy=D．20xy=【答案】B【分析】由已知及双曲线的性质可得12

4,2PFaPFa==，在焦点三角形中应用余弦定理得到参数a、c的齐次方程，进而可得a、b、c的数量关系，写出渐近线方程.【详解】由∠12PFF是△12PFF的最小内角，根据双曲线性质知：12PFPF，则122PFPFa−=

，又126PFPFa+=，可得124,2PFaPFa==，而122FFc=，1230PFF=，所以22222416416cos3016483aacacacac=+−=+−，则222323(3)0aaccac−+=−=，所以3ac=，故22222bcaa=−=，则渐近线为2byxxa==

.故选：B45．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中考）（多选）已知双曲线C过点(3,2)且渐近线方程为33yx=，则下列结论正确的是（）A．双曲线C的方程为2213xy−=B．双曲线C的离心率为3C．曲线2e1xy−=−经过双曲线C的一个焦点D．焦点到渐

近线的距离为1【答案】ACD【分析】根据已知条件求得,,abc，由此对选项逐一分析，从而确定选项.【详解】设双曲线方程为221AxBy+=，将点(3,2)代入可得921AB+=，又因为双曲线的渐近线方程为33AyB=−=，所以13AB=−.由92113ABAB+=

=−解得1,13AB==−，故选项A正确；由上可知，3,1,2abc===,所以双曲线的离心率为22333ca==，故选项B错误；双曲线的焦点坐标为(20)?，其中(2,0)满足2e1xy−=−，故选项C正确；双曲线的一个焦点坐标为(2,0)，渐近线方程为33yx=

，即330xy=，焦点到渐近线的距离为23139=+，故选项D正确，故选：ACD.46．（2022秋·浙江·高三浙江省三门中学校联考期中）双曲线2213yx−=两条渐近线的夹角大小是【答案】60°/3【分析】求得双曲线的两条渐近线方

程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.【详解】双曲线2213yx−=的两条渐近线的方程为3yx=，由直线3yx=的斜率为3，可得倾斜角为π3，3yx=−的斜率为3−，可得倾斜角为2π3，所以两条渐近线的夹角的

大小为π3，故答案为：π3.47．（山东省青岛市莱西市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知双曲线()222210,0xyabab−=的两条渐近线均与圆F：()2259xy−+=相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为.【答案】221169xy−=

【分析】先求得双曲线的渐近线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得b，进而求得a，从而求得双曲线的标准方程.【详解】由题意可知，双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程为byxa=，即0bxay=.由圆F的方程为()22

59xy−+=，得圆心为()5,0F，半径为3r=.因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为()5,0.5c=又因为双曲线()222210,0xyabab−=的两条渐近线均与圆()22:59Cx

y−+=相切，所以22503baab=+，即253bbc==，解得3b=.所以22225916acb=−=−=，4a=，所以该双曲线的标准方程为221169xy−=.故答案为：221169xy−=直线与圆锥曲线的位置关系48．（河北省保定市重点高中20

22-2023学年高三上学期11月期中）若曲线||2yx=+与曲线22:144xyC+=恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．(1,)+B．(,1]−C．((),11,−−+D．[1,0)(1,)−+U【答案】C【分析】先分析出||2yx=+表示起点为()2,0A−

的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线22:144xyC+=为椭圆，只需点()2,0A−落在椭圆内，列不等式求出的范围；若当曲线22:144xyC+=为双曲线时，只需把||2yx=+表示的射线与渐近线比较，列不等式求出的范围.【详解】如图示：||2yx=+表示起点为()2,0A

−的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线22:144xyC+=为椭圆时，即0，只需点()2,0A−落在椭圆内，即240144+，解得：1；当曲线22:144xyC+=为双曲线时，即0，渐近线方程：1yx

=−要使曲线||2yx=+与曲线22:144xyC+=恰有两个不同的交点，只需11−，解得：1−.所以实数的取值范围是(,1(1,)−−+故选：C49．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知斜率为k的直线l平分圆22230xyxy+−+=且与曲线2y

x=恰有一个公共点，则满足条件的k值有个.A．1B．2C．3D．0【答案】C【分析】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k的值.【详解】圆22230xyxy+−+=的圆心为3(1,)2−，所以设直线为3(1)2ykx+=−.联立23(1

)2ykxyx+=−=，得2302kyyk−−−=.因为恰有一个公共点，所以0k=或者0314()02kkk−−−=，解得354k−=.综上可得，k的值有3个，故选C.【点睛】本题主要

考查直线和抛物线的位置关系，利用公共点的个数确定参数，一般是联立方程后，根据方程解得情况来求解.50．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而

是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()1,0F，直线:4lx=，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点

P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A．点P的轨迹方程是2214xy+=B．直线1:240lxy+−=是“最远距离直线”C．平面上有一点()1,1A−，则2PAPF+的最小值为5D．点P所在的曲线与圆22:20Cxyx+−=

没有交点【答案】BC【分析】对于A，设(),Pxy，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求PAPB+即可；对于D，易判断()2,0为交点.

【详解】对于A项：设(),Pxy，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，所以()22214xyx−+=−，化简得22143xy+=，故A错误；对于B项：联立方程22240143xyxy+−=+=可得()210x−=，解得1x=，故存在31,2P

，所以直线1l：240xy+−=是“最远距离直线”，故B正确；对于C项：过P作PB垂直直线:4lx=，垂足为B，则由题可得2PBPF=，则2PAPFPAPB+=+，则由图可知，PAPB+的最

小值即为点A到直线:4lx=的距离5，故C正确；对于D项：由2220xyx+−=可得()2211xy−+=，即圆心为()1,0，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点()2,0，故D错误.故选：BC.51．（湖北省荆荆宜三校2022-2023学年高

三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，()1,1A、()11,0F−、()21,0F，动点P满足124PFPF+=，则（）A．15PAPF+B．21PAPF+C．有且仅有3个点P，使得1PAFV的面积为32D．有且仅有4

个点P，使得2PAF△的面积为12【答案】BC【分析】利用椭圆的定义以及三点共线可判断AB选项的正误；利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，进而可判断CD选项的正误.【详解】因为121242PFPFFF+==，所

以，点P的轨迹是以点1F、2F为焦点，4为长轴长的椭圆，所以，2422ac==，可得2a=，1c=，则3b=，故点P的轨迹方程为22143xy+=.设直线1AF交椭圆22143xy+=于点3P、4P，直线2AF

交椭圆22143xy+=于点1P、2P.对于A选项，122445PAPFPAPFAF+=+−+=，当点P与点2P重合时，等号成立，A错；对于B选项，21144451PAPFPAPFAF+=+−−=−，当点P与

点3P重合时，2PAPF+取最小值45−，B对；对于C选项，设点P到直线1AF的距离为1d，1111153222PAFSAFdd===△，所以，1355d=.直线1AF的斜率为111112AFk==+，直线1AF的方程为()112yx=+，即210xy−+=，设与直线1AF平行且距

离为355的直线的方程为20xym−+=，则()22135512m−=+−，可得2m=−或4m=，所以，点P在直线220xy−−=或240xy−+=上.联立222203412xyxy−−=+=，消去y可得220xx−−=，

解得=1x−或2，联立222403412xyxy−+=+=，消去y可得2210xx++=，解得=1x−.综上所述，有且仅有3个点P，使得1PAFV的面积为32，C对；对于D选项，设点P到直线2AF的距离为2d，则2222111222

PAFSAFdd===△，可得21d=，与直线2:1AFx=平行且距离为1的直线的方程为2x=或0x=，所以点P在直线2x=或0x=上，直线0x=与椭圆22143xy+=相交，直线2x=与椭圆22143xy+=相切，综上所述，有且仅

有3个点P，使得2PAF△的面积为12，D错.故选：BC.52．（安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高三上学期11月期中）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点()13,0F−和()23,0F连

线的斜率之积等于13，记点P的轨迹为曲线E，直线l：()2ykx=−与E交于A，B两点，则（）A．E的方程为()22133xyx−=B．E与直线310xy−−=有两个交点C．满足23AB=的直线l有2条D．E的渐近线与圆(

)2221xy−+=相切【答案】ACD【分析】对于A：利用直接法求P点的轨迹即可；对于B：利用渐近线与已知直线的位置关系以及渐近线性质即可判断；对于C：联立直线l与曲线E的方程，并结合韦达定理用k表示出||AB，进而求出k，通过检验即可求解；对于D：利用圆心到渐近线的距离与圆的半径进行比较即

可判断.【详解】对于A：设点(),Pxy，由已知得1333yyxx=+−，整理得2213xy−=，所以点P的轨迹曲线E的方程为()22133xyx−=，故A正确；对于B：曲线E的渐近线为33yx=，直线310xy−−=与渐近线平行，且不经过()3,0，则有一

个交点，故B不正确；对于C：直线l与曲线E的方程联立()()222133ykxxyx=−−=，整理得()222213121230kxkxk−+−−=，设()11,Axy，()22,Bxy，()()()4222Δ1444131231210kkkk=−−−−=+，且2130k−则有2

1221213kxxk−+=−，212212313kxxk−−=−，所以()()222221212222312311411313kkABkxxxxkkk++=++−=+=−−，要满足23AB=，则需

()222312313kk+=−，解得0k=或1k=，当0k=时，()3,0A，()3,0B-，而曲线E上：3x，从而0k=不满足题意，当1k=时，直线l不过()13,0F−和()23,0F两点，故满足题意，所以满足条件的直线有2条，

故C正确；对于D：圆()2221xy−+=的圆心()2,0到曲线E的渐近线30xy=的距离为()222113d==+，又圆()2221xy−+=的半径为1，故D正确.故选：ACD.53．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期中）设抛物线21:4Cyx=与直线

:10lxy+−=相交于A、B两点，点F是抛物线的焦点，则FAFB=【答案】8−【分析】设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，结合平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得FAF

B的值.【详解】设点()11,Axy、()22,Bxy，联立21410yxxy=+−=可得2440xx+−=，24160=+，由韦达定理可得124xx+=−，124xx=−.抛物线C的标准方程为24xy=，其焦点为()0,1F，()()1111,1,FAxyxx=−=

−，同理可得()22,FBxx=−，所以，1228FAFBxx==−.故答案为：8−.弦长问题54．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）已知ABC的三个顶点都在抛物线24yx=上，点()2,0M为ABC的重心，直线AB经过该抛

物线的焦点，则线段AB的长为（）A．8B．6C．5D．4.【答案】B【分析】判断直线AB的斜率存在，设出直线方程，联立抛物线方程可得根与系数的关系式，利用三角形的重心即可求得参数k的值，根据抛物线的弦长公式即可求得答案.【详解】设抛物线24yx=的焦点为F，则

()1,0F.根据题意可知，点()2,0M为ABC的重心，若直线AB的斜率不存在，则不妨取(1,2),(1,2)AB−,则结合重心可得C为()4,0，不合题意；故直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为()1ykx=−，0k，()11,Axy，()22,Bxy，(),Cmn，则有2114yx=，2

224yx=，24nm=，联立方程()24,1,yxykx==−得2440kyyk−−=，216(1)0k=+，则124yyk+=，124yy=−，因为点()2,0M为ABC的重心，所以1203nyy++=，即()12nyy=−+，所以()2222

12121212122,634242ymxxmxyyynyyx+++=++=++==−，即232824k+=，解得22k=，则()21212122242464yyyyABxxpk+−=++=+=+=，故线段AB的长为6，故选：B.【点睛】方法点睛：求

解此类直线和圆锥曲线相交时的弦长问题，一般方法是设直线方程，联立圆锥曲线方程，利用根与系数的关系去化简求值；解答本题时要注意利用三角形重心的坐标公式并结合抛物线的性质，以及利用抛物线定义表示出弦长可使得计算简便.55．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）

已知12,FF为椭圆C：221164xy+=的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF=，则四边形12PFQF的面积为．【答案】8【分析】根据已知可得12PFPF⊥，设12||,||PFmPFn==，利用勾股定理结合8mn+=，求出mn，四边形12PF

QF面积等于mn，即可求解.【详解】因为,PQ为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF=，所以四边形12PFQF为矩形，设12||,||PFmPFn==，则228,48mnmn+=+=，所以22264()2482mnmmnnmn=+=++=+，8mn=，即四边形1

2PFQF面积等于8.故答案为：8.56．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中）设F是双曲线22:145xyC-=的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，OPOF=，则△OPF的面积为.【答案】52/2.5【分析】由题意画出图形，不

妨设F为双曲线22:145xyC-=的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：如图，不妨设F为双曲线22:145xyC-=的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，24a=，25b=，则3c=，则以O为圆心，以3为半径的圆的方

程为229xy+=．联立22229145xyxy+=−=，解得2145,33P，1553232OPFS==．故答案为：52．57．（辽宁省朝阳市建平县2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆22:195xyE+=的左焦点为F，过F的直线l与E交于

A，B两点，则下列说法正确的是（）A．若直线l垂直于x轴，则103AB=B．10,63ABC．若5AB=，则直线l的斜率为33D．若2AFBF=，则154AB=【答案】ABD【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的

方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答.【详解】依题意，椭圆22:195xyE+=的左焦点为()2,0F−，设1122(,),(,)AxyBxy，对于A，lx⊥轴，直线:2lx=−，由22=2+=195xxy−得：5||3y=，则103AB=，A正确；对于B，l不垂直于x

轴时，设l的方程为(2)ykx=+，由22=(+2)5+9=45ykxxy消去y并整理得：2222(95)3636450kxkxk+++−=，则21223695kxxk−+=+，2122364595kxxk−=+，2222222121

2222364(3645)30(1)||1()41()959595kkkABkxxxxkkkk−−+=++−=+−=+++230491k=−+，显然22411,041kk++，于是得10||63

AB，由选项A知，当lx⊥轴时，103AB=，因此1063AB，B正确；对于C，当5AB=时，由选项B得2305491k=−+，解得33k=，C错误；对于D，因2AFBF=，有2FABF=，则()12222x

x+=−−，即1226xx+=−，而133x−，22222111111522(2)(2)5(3)3933FAxyxxxx=++=++−=+=+，同理2233FBx=+，则有122232(3)33xx+

=+，即12922xx−=，于是得2218x=−，因此215||||323)3||3(4ABAFBFBFx+=+===，D正确.故选：ABD58．（福建省诏安县桥东中学2023届高三上学期期中）倾斜角为4

的直线过双曲线22:13xCy−=的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则AB=.【答案】23【解析】设出直线方程方程与双曲线方程联立，利用弦长公式进行求解即可.【详解】由双曲线22:13xCy−=标准方程可知：3,1ab==，所以有22

312cab=+=+=，因此焦点的坐标为(20)?，由双曲线的对称性不妨设，直线AB过右焦点(2,0)，所以直线AB方程方程为0(tan)(2)24yxyx−=−=−，与双曲线联立得：222121215032xyxxyx−=−+=

=−，设11(,)Axy，22(,)Bxy，因此有：1212156,2xxxx+==，所以222121212151(tan)2()42642342ABxxxxxx=+−=+−=−=.故答案为：2359．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）过抛物线24xy=的焦点且倾斜角为3π4的直

线被抛物线截得的弦长为.【答案】8【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线24xy=的焦点为()0,1F，准线方程为1y=−，直线l的倾斜角为3π4

，设直线l与抛物线交于,MN两点，则直线l的方程为1yx=−+，代入24xy=得2610yy−+=，则1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，126yy+=，则1228MNMFNFyy=+=++=，故答案为：8三角形（四边形）问题60．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知四边形A

BCD是椭圆22:143xyC+=的内接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．43B．487C．3D．4226+【答案】A【分析】根据

椭圆的对称性，结合重要不等式，即可容易求得结果.【详解】根据题意，作图如下：根据椭圆的对称性，四边形ABCD的面积8AOHSS=，设点A的坐标为(),mn，故1842Smnmn==，又点A在椭圆上，故可得：2212?·4323mnmn+=，解得3mn，当且仅当23mn=，即

2232,2mn==时取得等号.故四边形ABCD的面积的最大值为43.故选：A.61．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）已知椭圆22:12xCy+=，直线():0lykxk=与椭圆C交于A，B两点，过

A作x轴的垂线，垂足为D，直线BD交椭圆于另一点M，则下列说法正确的是（）．A．若D为椭圆的一个焦点时，则ABD△的周长为226+B．若1k=，则ABD△的面积为23C．直线BM的斜率为2kD．0AMAB=【答案】ABD【分析】根据D为焦点，求得,AB坐标

，结合椭圆定义，即可求得判断A的正误；联立直线方程和椭圆方程，结合三角形面积公式即可判断B的正误；根据斜率的计算公式，即可直接判断C的正误；根据,MAMB斜率关系，结合C中所得结论，即可判断D的正误.【

详解】对A：如图，由对称性，不妨设D为椭圆的左焦点，则()1,0D−，故易得21,2A−−，则62OA=，则AB6=，又因为222ADBDa+==，所以ABD△的周长为226+，故A正确；对B：由2212xyyx+==，解得63x=，不妨设66,33A−−

，66,33B，6,03D−，则263AByy−=，63OD=，所以162622333ABDS==△．故B正确；对C：设()00,Axy，()00,Bxy−−，则()0,0Dx，所以

00122BMBDykkkx===，C错误；对D：设()00,Axy，则20012xy+=，(),Mmn，则2200022000MAMBnynynykkmxmxmx−+−==−+−，又点M和点A在椭圆C上，2212mn+=①，220012xy+=②，①－②得22022012n

ymx−=−−，因为12MBkk=，则1122MAkk=−，得1MAkk=−，∴11MAABkkkk=−=−，∴90MAB=，所以0AMAB=，D正确．故选：ABD．62．（江苏省淮安市高中校协作体2022

-2023学年高三上学期期中）（多选）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的焦点在圆:O2220xy+=上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点()0,3E满足MEON

⊥(O为坐标原点)，下列说法正确的有（）A．双曲线C的虚轴长为4B．双曲线的离心率为5C．双曲线C的一条渐近线方程为32yx=D．三角形OMN的面积为8【答案】BD【解析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为25c=，由双曲线方程可得，其渐近线方程为byxa=，设()00

,Mxy，则()00,Nxy−，根据MEON⊥，以及点()00,Mxy在圆2220xy+=上，求出M的坐标，得出2ba=，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0xyCaba

b−=的焦点在圆:O2220xy+=上，所以双曲线的半焦距为25c=，由()2222:10,0xyCabab−=可得其渐近线方程为byxa=，因为圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，不妨设()()0000,0,

0Mxyxy，则()00,Nxy−，又()0,3E，MEON⊥，所以1MEONkk=−，即000031yyxx−=−−，整理得220003yyx−=，又点()00,Mxy在圆O上，所以220020xy+=，由220002200003200,0yy

xxyxy−=+=解得0024xy==，即()2,4M，又点()2,4M在渐近线byxa=上，所以2ba=，由222220bacab==+=解得22416ab==，因此双曲线C的方程为221416xy−=；所以其虚轴长为28b=，故A错；离心率为2552c

ea===，故B正确；其渐近线方程为2yx=，故C错；三角形OMN的面积为000182OMNSMNyxy===，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以

及MEON⊥，求出交点坐标，得出,ab之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.63．（福建省莆田第一中学2023届高三上学期期中）（多选）已知抛物线C：24yx=与圆F：()22114xy−+=，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点

()1,0A−，则（）A．PQ的最小值为12B．FPQ最大值为45C．PFPA的最小值是22D．当PAQ最大时，四边形APFQ的面积为1528+【答案】ACD【分析】利用几何关系可得12PF−的最小值即为PQ的最小值；建立FPM的三角函数值与PF之间的关系，

讨论范围即可确定FPQ的最大角；利用基本不等式讨论PFPA的最值；根据四边形APFQ的面积等于PAFQAFSS+讨论解最大值.【详解】对于A,PQ的最小值为12PF−的最小值,因为PF的最小值为12p=,所以PQ的最小值为11122−=,

故A正确；对于B，设PM是圆F的切线，切点为M，则FPQFPM=,所以22114cos1,4PFPMFPMPFPFPF−===−因为11PPFx=+，所以2113cos11424FPMPF=−−=，所以30FPM=，所以30FPMFPQ=，所以FPQ最大值为30

，故B错误；对于C，设2(4,4)Ptt，222242(41)(4)1681PFtttt=−+=++，222242(41)(4)16241PAtttt=++=++所以24222424216811611624116241PFtttttttPA++==−+++

+22221616111121162421624tttt=−−=+++，当且仅当22116,tt=12t=时取得等号，所以PFPA的最小值是22，故C正确；对于D，当,PQ在x轴异侧，且AP与抛物线相切于点P,AQ与圆F相切于点Q,PAQ取得最大值，不妨设P在第一象限，则点

Q在第四象限，设直线:(1)(0)APykxk=+代入24yx=整理得2222(24)0kxkxk−++=，所以()2242440kk=−−=，则21k=，因为0k，所以1k=.所以2210xx−+=，解得1x=，所以2y=

，即(1,2)P,此时122,2PAFSAF==当AQ与圆F相切于点Q时，22115442AQAFFQ=−=−=,111511522228QAFSAQQF===,所以当PAQ最大时，四边形APFQ的面积为1528+，故D正确.故选:ACD.64．（2022秋·山东青岛

·高三青岛二中校考期中）已知双曲线22221xyab−=与双曲线号22221yxba−=（其中0a，0b），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为1S，连接它们的焦点构成的四边形的面积为2S，则12SS的最大值为．【答案】12【分析】易知两个双曲线的焦距相

等，分别求出四边形的面积，再利用基本不等式求12SS的最大值；【详解】易知两个双曲线的焦距相等．由题设得()122222141212242abSababSababab===++，当且仅当ab=时，不等式取“=”，故12SS的最大值为12．故答案为：1265．（湖北省鄂北六校202

2-2023学年高三上学期期中）已知直线4xmy=+与抛物线24yx=交于A，B两点，若20AOBS=（O为坐标原点），则实数m的值为．【答案】32【分析】联立方程后，用韦达定理表示出弦长，表示出O点到直线距离，即可得到关系式.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，

联立直线与抛物线的方程244xmyyx=+=消x可得24160ymy−−=，则124yym+=，1216yy=−，()()()22221212121214ABxxyymyyyy=−+−=++−()()()()222214

416414mmmm=+−−=++，O点到直线的距离241dm=+，则()()()()22221144148420221SABdmmmm==++=+=+解得，32m=故答案为：32.中点弦问题

66．（湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2022-2023学年高三上学期期中）若双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左右焦点分别为1F，2F，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQl⊥，垂足为Q．当2PFPQ+的最小值为

6时，1FQ的中点在双曲线C上，则C的方程为（）A．222xy−=B．224xy−=C．22116yx−=D．22124xy−=【答案】B【分析】由双曲线定义21||||2PFPFa−=得到21122PFPQPF

PQaFQa+=+++，再利用焦点到渐近线的距离为b求得26ba+=，设出渐近线方程求得1FQ的中点坐标代入双曲线方程联解求得ab、的解.【详解】212PFPFa−=，211||||22PFPQPFPQaFQa+=+++，又()1,0Fc=−，()2,0Fc=，双曲线的渐近线方程为：by

xa=，即0bxay=，焦点到渐近线的距离为22bcbcbcab==+，即1FQ的最小值为b，即26ba+=，不妨设直线OQ为：byxa=，1FQOQ⊥，点()1,0Fc−，2(,)aabQcc−−，1FQ的中点为22(,)22acabcc+−−，将其代入双曲线C的方程，得

：2222222()144acaacc+−=，即22222221144acaacc+−=，解得：2ca=又26ba+=，222+=abc，2ab==，故双曲线C的方程为224xy−=．故选：B.67．（2022秋·

黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知斜率为1的直线与双曲线()2222:10,0xyCabab−=相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，若直线OP的斜率为2，则双曲线C的离心率为（）A．3B．2C．5D．3【答案】A【分析】利用点差法可求得2

2ba的值，结合221bea=+可求得双曲线C的离心率的值.【详解】设()11,Axy、()22,Bxy、()00,Pxy，则22112222222211xyabxyab−=−=，两式相减得2222121222xxyyab−−=，所以2121221212yyxxbxxa

yy−+=−+．因为1202xxx+=，1202yyy+=，所以21202120−=−yybxxxay．因为12121AByykxx−==−，002==OPykx，所以2212ba=，故222ba=，故222222213

ccabbeaaaa+====+=．故选：A.68．（2022秋·江苏连云港·高三江苏省赣榆高级中学上学期期中）已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若10MN=，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A

．8B．6C．4D．2【答案】C【分析】由抛物线定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段MN的中点到准线的距离，再减去准线到y轴的距离，即可得到结果【详解】由图，MN中点为D，,,MAMBDC分别垂直准线于,,ABC，CD交y轴于E，易得CD为直角梯形

ABNM的中位线，则2MAMBCD+=，由抛物线定义易得，10MAMBMN+==，5CD=，又准线为=1x−，1CE=，故线段MN的中点到y轴的距离4DECDCE=−=，故选：C69．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学

期期中）（多选）已知1F，2F分别为椭圆22:12xCy+=的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（）A．椭圆C的离心率为22B．椭圆C的长轴长为2C．若点M是线段PQ的中点，则M

O的斜率为12−D．OPQ△的面积的最大值为22【答案】ACD【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C;根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D.【详解】因为22a=，21b=，所以21c=，所以1222cea===，故A正确;因为2a=，

所以222a=，故B错误;设1122(,),(,),PxyQxy因为l与椭圆C交于P，Q两点，所以221122221212xyxy+=+=，两式相减得12121212()()()()02xxxxyyyy+−++−=，即12121212()()1()()2yy

yyxxxx+−=−+−，即12OMPQkk=−，因为1PQlkk==，所以12OMk=−，故C正确;设直线:lyxm=+,由2212yxmxy=++=得2234220xmxm++−=,因为直线与圆相交,所以221612(22)0mm=−−,解得23m,根据

韦达定理得21212422,,33mmxxxx−+=−=()222121212412433QPkxxxxxxm=+−=+−=−,点O到直线l的距离2md=,所以()22211423322332OPQmSQPdmmm==−=−△,因为()()222233322mmmm+−

−=，当且仅当2332m=时，OPQS取最大值22，故D正确.故选：ACD70．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）已知O为坐标原点，不经过点O的直线l与椭圆2212xy+=交于A

，B两点，M为线段AB的中点，线段AB的中垂线与x轴的交点为N，则OMN的正切值的最大值为.【答案】24【分析】设直线l的方程为ykxb=+，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示OMk，求得1MNkk=−，利用到角公式可得答案.【详解】由已知得直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为yk

xb=+所以2212xyykxb+==+得()222212420kxbkxb+−++=，设()()1122,,,AxyBxy，则1221,22xxyyM骣++琪琪琪桫，所以122412bkxxk−++=，21222212bxxk−=+，()11222222242

1212bkbkyykxxbbk+=++=++=−+，则21122142OMyybkxxbkk+===+--，1MNkk=−，由11tan112121112OMNMOMNMkkkkOMNkkkkkk===++−++−，当0k时，11

112111122tan141222OMNMOMNMkkkkkkkkNkkkOMk+====+−+−+，当且仅当12kk=即22k=等号成立.当0k时，1tan021OMNkk=+，不合

题意故答案为：24.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理表示OMk，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.71．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）ABC的三个顶点都在抛

物线E：232yx=上，其中A(2，8)，ABC的重心G是抛物线E的焦点，则BC所在直线的方程为．【答案】4400+−=xy【解析】根据重心坐标公式可得1222xx+=，128yy+=−，由此得到BC的中点

坐标，再根据点差法得到BC的斜率，然后点斜式写出直线方程.【详解】设()11Bxy，，()22Cxy，，由重心坐标公式，12122833xxyyG++++，，又()80G，，所以1222xx+=，128yy+=−，所以BC中点坐标为()

11,4−，因为21132yx=，22232yx=，两式相减得12124yyxx−=−−，所以直线BC的斜率为4−，所以BC所在直线的方程为()4411yx+=−−，即4400+−=xy.故答案为：4400+−=xy【点睛】方法总结：涉及中点弦

或者斜率问题时考虑使用点差法，即设点作差.1．（湖南省株洲市五雅中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线C：()222210,0xyabab−=的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点P为双曲线C左支上一点，

若APF周长的最小值为6b，则双曲线C的离心率为（）A．568B．857C．856D．133【答案】B【分析】由题意求得A，F的坐标，设出F，运用双曲线的定义可得2PFPFa=+，则APF的周长为222PAPFAFPAPFabc++=++++，运

用三点共线取得最小值，可得67ab=，由a，b，c的关系，结合离心率公式，计算即可得到所求值.【详解】解：由题意可得()0,Ab，(),0Fc，设(),0Fc−，由双曲线的定义可得2PFPFa−=，2PFPFa=+，22AFAFbc==+，则APF的

周长为2PAPFAFPAPFaAF++=+++22AFa+，当且仅当A，P，F共线，取得最小值，且为2222abc++，由题意可得22622babc=++，即67ba=，22857caba=+=，则857cea==，故选：B.2．（河北省保定市安新县第二中学2023届高三上学期期中）已知

椭圆2211612xy+=的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则MAMF的取值范围为（）A．16,0−B．8,0−C．0,8D．0,16【答案】D【分析】解法一：由题意可得，()4,0A−，()2,0F，设()00,Mxy.表示出()20144MAMFx=+，然后根据

椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，()4,0A−，()2,0F，设()00,Mxy，取线段AF的中点()1,0N−，可推得()2201944MAAFMNx=−=+，然后根据椭圆的范围即可求出范围.【详解】解法一：由题意知()4,0A−，()2,0F，设()00,Mxy.则()()00

004,2,MAMFxyxy=−−−−−()()200024xxy=−++22000328124xxx=+−+−()220001124444xxx=++=+.因为220011612xy+=，所以2200111612xy=−，所以044x−，所以016MA

MF．解法二：由题意知()4,0A−，()2,0F．设()00,Mxy，取线段AF的中点N，则()1,0N−，连接MN.则()()224MAMFMAMFMAMF+−−=222494MNFAMN−==−()220019xy=++−220003211294x

xx=+++−−()220001124444xxx=++=+.因为220011612xy+=，所以2200111612xy=−，所以044x−，所以016MAMF．故选：D．3．（江苏省淮安市涟

水县第一中学2023届高三上学期期中）已知A，B均为抛物线C1：22(0)xpyp=上的点，F为C的焦点，37AFFB=uuuruur.则直线AB的斜率为（）A．55B．259C．22121D

．1010【答案】C【分析】根据直线AB的斜率进行分类讨论，根据37AFFB=uuuruur求得直线AB的斜率.【详解】当直线AB的斜率为0时，不符合37AFFB=uuuruur，当直线AB的斜率大于0时，如图，过A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E，过B作BG⊥AD，G为垂

足.因为37AFFB=uuuruur，所以可设|AF|=7x，|BF|=3x，因为A，B均在C上，所以7ADAFx==，3BFBEx==，4AGADBEx=−=，10ABx=，所以()()22104221BGxxx=−=，则4221t

an21221ABAGxkABGBGx====.当直线AB的斜率小于0时，同理可得22121ABk=−.综上，直线AB的斜率为22121.故选：C4．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中）（多选

）过点()(),00Aaa向抛物线24yx=作一条切线，切点为B，F为抛物线的焦点，FCAB⊥，C为垂足，则（）A．2ABBF=B．AFBF=C．ACBF=D．C在y轴上【答案】BD【分析】分析可知切线不与x轴重合，设切线方程为xtya=+，将该直线方程与抛物线方程联立，由Δ0=可得出2at

=−，求出点B、C的坐标，逐项判断，可得出合适的选项.【详解】易知点()1,0F，过点A的直线与x轴重合，此时直线与抛物线24yx=相交于原点，不合乎题意；设过点()(),00Aaa的抛物线24yx=的切线方程为xtya=+，联立24xtyayx=+=可得2440y

tya−−=，因为()2Δ160ta=+=，所以2at=−.又因为B为切点，所以2Byt=，得点B的坐标为()2,2tt.对于A选项，()2,0At−，所以，24244ABtt=+，()()2422221BFtt=++，则2ABBF，A错；对于B选项，2

1AFtBF=+=，B对；对于CD选项，线段AB的中点的坐标为()0,t，因为AFBF=，且FCAB⊥，所以，点C为线段AB的中点，则()0,Ct，ACAFBF=，C错D对.故选：BD.5．（福建省宁德市高级中学2023届高三上学期期中）（多选）已知1F，2F是

双曲线E：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，过1F作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，1PMMF=，下列判断正确的是（）A．21π3PFF?B．2112MFPF=C．E的离心率等于2D．E的渐近线

方程为2yx=【答案】BD【分析】根据题意得2//OMPF，212PFFF⊥，2112MFPF=；由212PFFF⊥知：22bPFa=，又122FFc=，1230PFF=，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.【

详解】如下图所示，因为1PMMF=，即M为1PF中点，O为12FF中点，所以2//OMPF，因为12OMFF⊥，所以212PFFF⊥，所以21π2PFF=，2112MFPF=，A错误，B正确；由212PFFF⊥知222221PFcab−=，所以22bPFa=，又122FFc=，1230P

FF=，所以232bca=，即()2232caac−=，所以23230ee−−=，解得：3e=，C错误；所以3==cea，所以223ca=，所以22222bcaa=−=，所以2ba=，所以E的渐近线方程为2yx=，D正

确．故选：BD．6．（2022秋·山西临汾·高三统考期中）已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，直线lyxm=+:与抛物线C交于A、B两点，若18AFBF+=，则m=.【答案】3−【分析】设()12,Axx、()12,Byy，将直线l的方程与抛物

线的方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦半径公式结合已知条件可求得m的值.【详解】设()12,Axx、()12,Byy，联立28yxmyx=+=整理得()22280xmxm+−+=，则()()222843220

mmm=−−=−，可得2m，由韦达定理可得1282xxm+=−．由抛物线的定义可得124AFBFxx+=++，则82418m−+=，解得3m=−．故答案为：3−.7．（山西省运城市2023届高三上学期期中）已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F

，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为,AB，且满足3,AFFBE=为AB的中点，则EF的长为.【答案】43/113【分析】求出焦点坐标和准线方程，设直线AB的方程为：1xty=+，代入24yx=，利用韦达定理结合向量知识求出213t=，再根

据中点公式，利用抛物线的定义可求得结果.【详解】依题意可得(1,0)F，准线为=1x−，当直线AB的斜率为0时，显然不合题意，故可设直线AB的方程为：1xty=+，代入24yx=，得2440yty−−=，设11(,)A

xy，22(,)Bxy，所以1212(,)22xxyyE++，则124yyt+=，124yy=−，216160t=+，因为3AFFB=，所以1122(1,)3(1,)xyxy−−=−，所以123yy−=，即123yy=−，所以2234yy

t−+=，所以22yt=−，16yt=，所以(2)64tt−=−，所以213t=，所以1212()2xxtyy+=++=242t+410233=+=，所以121016233ABxxp=++=+=，31,42AFABAEAB==，3111164424433EFABABAB=−===

.故答案为：43.8．（2022秋·福建龙岩·高三校联考期中）历史上第一位研究圆锥曲线的数学家是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭圆反射后，

反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，12,FF分别为其左、右焦点，直线l与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过点P且与切线l垂直的法线l与x轴

交于点Q，若直线2PF的斜率为2−，2PQQF=，则椭圆C的离心率为.【答案】32【分析】由离心率公式结合定义得出1212FFePFPF=+，再由正弦定理的边角互化得出椭圆C的离心率.【详解】设2PFQ=，则21QPFQPF==，12PQF=，13PFQ=−，其中1tan2c

os3==，，所以椭圆C的离心率为()()()1212sin2sin2sin213sinsin3sinsin3sin2sin22cos2FFPFPF=====++−+−++.故答案为：329．（福建省泉州市安溪一中、养正中学、惠安一中、

泉州实验中学2023届高三期中）已知椭圆()222210xyabab+=与抛物线()240ypxp=有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx⊥轴，则椭圆的离心率是.【答案】21−/12−+【分析】由(),0Fp

可得222abp=+，结合抛物线方程可得A点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关于离心率e的方程，结合()0,1e可解方程求得结果.【详解】由题意知：(),0Fp是椭圆()222210xyabab+=的焦点，222abp=+；AFx⊥

轴，(),2App或(),2App−，代入椭圆方程得：222241ppab+=，2222241ppaap+=−，又椭圆的离心率pea=，222222224411ppeeaape+=+=−−，解得：()2232212e==，又()0,1e，21e

=−.故答案为：21−.10．（山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高三上学期期中）P为椭圆22154xy+=上的点，12FF，是其两个焦点，若1230FPF=，则12FPF△的面积是．【答案】843−【分析】利用椭圆定义及余弦定理求得12||||PFPF的值，代入

三角形面积公式得答案．【详解】由椭圆22154yx+=，得5a=，2b=，则225a=，221cab=−=，12||||225PFPFa+==，12||22FFc==由余弦定理可得：222121212||||||2||||cos30FFPFPFPF

PF=+−，221212124(||||)2||||3||||cPFPFPFPFPFPF=+−−，即()1216||||162323PFPF==−+，12FPF△的面积()()12111||||sin30162342

3843222SPFPF==−=−=−．故答案为：843−．11．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知抛物线()2:20Cxpyp=的焦点为F，过F且被C截得的弦长为4的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线C的方程：，此时该

弦的中点到x轴的距离为.【答案】22xy=32（答案不唯一，只要02p，且所求距离为422p−即可）【分析】利用抛物线定义及焦点弦的性质写出一个结果即可.【详解】易知过焦点的弦中，通径最短，所以24p，解得02p.设该弦所在的直线与C的交点分别为A，B，弦AB的中点为D，则

A，B，D到准线的距离分别为：222ABDpppy,y,y+++，则由梯形的中位线性质可知D到x轴的距离为222222ABAByypppp++−=−=−.不妨取1p=，则抛物线C的方程为22xy=，此时弦AB的中点到x轴的距离为32.故答案为：22xy=；32（答案不唯一，只要

02p，且所求距离为422p−即可）12．（重庆市涪陵实验中学校2022届高三上学期期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直

角坐标系xOy中，12,3A−，()2,3B−，点P是满足13=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E：243yx=上的动点，Q在y轴上的射影为H，则PAPQQH++的取小值为.【答案

】()2221xy++=5213−【分析】设点(,)Pxy，根据距离公式得到方程化简即可得到阿氏圆方程，求出抛物线的焦点坐标，则13QHQF=−，化折为直得到()min13PAPQQHAF++=−，即可得解.【详解】解：设点(,)Pxy，13=∵，()

()()22221231323xyxy++−=++−，()2221xy++=，即阿氏圆的方程为()2221xy++=；抛物线243yx=的焦点为1,03F，准线为13x=-，所以13QHQF=−，()

minmin13PAPQQHPAPQQH++=++−221111521233333AF−=−=−−+−=，当且仅当A、P、Q、F四点共线时取等号.故答案为：()2221xy++=；5213−．