【文档说明】备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题14圆锥曲线经典小题（十二大题型） Word版含解析.docx，共(66)页，6.794 MB，由小赞的店铺上传

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专题14圆锥曲线经典小题求圆锥曲线的方程1．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学上学期期中）已知抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，准线为l，点M是抛物线C上一点，MHl⊥于H，若4,60MHHFM==，则抛物线C的方程为.【答案】

24yx=【分析】根据题意，得到4MFMH==，推出MHF△为正三角形，求出4HF=，记准线l与x轴交于点Q，根据sinpQFHFQHF==即可求出结果.【详解】因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以4MFMH==，又60HFM=，所以MHF△为正三角形，所以

4HF=，记准线l与x轴交于点Q，则30QHF=，所以osin4sin302pQFHFQHF====，所以该抛物线方程为：24yx=.故答案为：24yx=.2．（2022秋·辽宁·高三校联考期中）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离

心率为13，则椭圆的标准方程为（）A．2213624xy+=B．2213620xy+=C．2213626xy+=D．2213632xy+=【答案】D【分析】根据长轴长为12，离心率为13，由212a=，13ca=求解.【详解】由题意知，212a=

，13ca=，所以6a=，2c=，所以22232bac=−=，又焦点在x轴上，所以椭圆的标准方程为2213632xy+=．故选：D．3．（山东省潍坊市临朐县第一中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线2222:1xyCab−=过点(2,3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）A．2

213yx−=B．2213xy−=C．2213yx−=D．2213xy−=【答案】A【详解】根据离心率可得2ca=，再由222bca=−可得曲线方程为222213xyaa−=，然后将点代入即可求解．【解答】解：双曲线离心率2cea==，故2,3caba==

，将点(2,3)代入双曲线方程可得，22223113aaa−==，故1,3ab==，双曲线的方程为2213yx−=，故选：A．4．（2022秋·山东日照·高三统考期中）已知抛物线22(0)ypxp=的焦点为F，准线为l，过点F

且斜率为3的直线交抛物线于点M(M在第一象限)，MNl⊥，垂足为N，直线NF交y轴于点D，若||23MD=，则抛物线的方程是（）A．2yx=B．22yx=C．24yx=D．28yx=【答案】C【解析】画出图形，利用抛物线定义可判断三角形NMF是

正三角形，结合已知条件求出MN，结合F在MN上的射影是MN是中点，然后求解抛物线方程．【详解】由题意如图，过点F且斜率为3的直线交抛物线于点(MM在第一象限），可知，60NMF=，MNl⊥，垂足为N，直线NF交y轴于点D，准线与

x轴的交点为A，所以MNFM=，则三角形NMF是正三角形，因为O是AF的中点，//ANOD，所以D是NF的中点，所以MDNF⊥，30DMF=，||23MD=，所以||||4cos30MDMF==，则||4MN=，由三角形NMF是正三角形可知F在MN上的射影是MN是中

点，所以2AFBN==，则(1,0)F，可得2p=，所以抛物线方程为：24yx=．故选：C．【点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将

抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.5．（湖南省长沙市长郡中学2023届高三上学期期中）以椭圆23x＋24y＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的

双曲线方程是（）A．2213xy−=B．2213xy−=C．22162xy−=D．22126yx−=【答案】B【分析】根据椭圆的几何性质求椭圆的焦点坐标和长轴端点坐标，由此可得双曲线的a，b，c，再求双曲线的标准方程.【详解】∵椭圆的方程为23x＋24y＝1，

∴椭圆的长轴端点坐标为(0,2)，(0,2)−，焦点坐标为(0,1)，(0,1)−，∴双曲线的焦点在y轴上，且a＝1，c＝2，∴b2＝3，∴双曲线方程为2213xy−=，故选：B.6．（福建省泉州市晋江二中、鹏峰中学、广海

中学、泉港五中2023届高三上学期10月期中）过原点的直线l与双曲线2222:1(,0)xyCabab−=的左、右两支分别交于M，N两点，()2,0F为C的右焦点，若0FMFN=，且25FMFN+=，则双曲线C的方程为.【答案】2213xy−=【分析】设双曲线

的左焦点为1F，连接1FM，1FN，则14MNFF==，2216FMFN+=，解得32FMFN−=，得到3a=，1b=，得到答案.【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为1F，连接1FM，1FN，0FMFN=，则FMFN⊥，四边形1MFN

F为矩形，14MNFF==.故2216FMFN+=，25FMFN+=，则32FMFN−=，1223FNNFFMNFa−=−==，故3a=，1b=.双曲线C的方程为2213xy−=.故答案为：2213xy−=根据方程为圆、椭圆、双曲线进行求参数范围7．（2022秋·

山东淄博·高三统考期中）“()()22log2log21abxy+=表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是（）A．0abB．1abC．2abD．1ba【答案】C【分析】由已知条件

求得,ab之间的关系和范围，再根据充分不必要条件的判定，可得选项.【详解】若()()22log2log21abxy+=表示焦点在y轴上的椭圆，则需log2>0log2>0log2>log2abab，即>1>1abab，所以1ab，所以“()()

22log2log21abxy+=表示焦点在y轴上的椭圆”的一个充分不必要条件是2ab，故选：C.【点睛】本题考查方程表示椭圆的条件，以及命题的充分不必要条件的判定，属于中档题.8．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知方

程221622xymm+=++表示焦点在x轴的双曲线，则m的取值范围是（）A．21m−−B．32m−−C．12mD．23m【答案】B【分析】根据双曲线方程的特点，即可列出不等式，从而求得参数范围.【详解】因为方程221622xymm+=++表

示焦点在x轴的双曲线，故可得620,20mm++，解得32m−−.故选：B.【点睛】本题考查由方程表示双曲线求参数范围的问题，属基础题.9．（海南华侨中学2023届高三上学期期中）（多选）已知方程221169xymm+=−+，则（）A．(9,16)m−时，方程表

示椭圆B．0m=时，所表示的曲线离心率为74C．16(),m+时，方程表示焦点在y轴上的双曲线D．11m=−时，所表示曲线的渐近线方程为66yx=【答案】BC【分析】根据椭圆、双曲线的简单几何性质计算可得；【详解】解：

因为221169xymm+=−+，对于A：若方程表示椭圆，所以16090169mmmm−+−+，解得792m−或7162m，故A错误；对于B：若0m=，则221169xy+=，所以216a=、29b=，所以2227cab=−=，所以离心率74c

ea==，故B正确；对于C：若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则90160mm+−，解得16m，故16(),m+时，方程表示焦点在y轴上的双曲线，即C正确；对于D：若11m=−，则曲线方程

为221272xy−=，则渐近线方程为69yx=，故D错误；故选：BC10．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）（多选）已知曲线C的方程为()22126xykRkk+=−−，则下列结论正确的是（）A．当k=4时，曲线C为圆B．当k=0时，

曲线C为双曲线，其渐近线方程为3yx=C．“56k<<”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件D．存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为2【答案】ABC【解析】A．将4k=，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状；B．将0k

=，代入方程中并判断方程对应的曲线的形状，若曲线为双曲线则分析其渐近线方程；C．先分析曲线C为焦点在x轴上的椭圆时对应的k的取值范围，再根据区间()5,6与所求范围之间的集合关系判断出属于何种条件；D．根据离心率为2分析出双曲线方程中,ab的关系，由此求解出k的值并进

行判断.【详解】对于A选项，当k=4时，曲线C的方程可化为222xy+=，为圆心在原点，半径为2的圆，所以选项A正确；对于B选项，当k=0时，曲线C的方程可化为22162yx−=，6a=，2b=，焦点在y轴上的双曲线，其渐近线方程为3ayxxb==，所以选项B正确；对于C选项，

当曲线C表示焦点在x轴上的椭圆时，要满足260kk−−，解得46k，则()5,6()4,6，所以“56k<<”是“曲线C为焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，所以选项C正确；对于D选项，当曲线C的方程22126xykk+=−−表示离

心率为2的双曲线时，有2cea==，则a=b，即|k－2|=|6－k|，解得k=4，此时曲线C表示为圆，即不存在实数k使得曲线C为双曲线，其离心率为2，所以选项D错误；故选：ABC.【点睛】结论点睛：确定形如221xymn+=的方程所表示曲线

的形状：（1）当0mn时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；（2）当0nm时，方程表示焦点在y轴上的椭圆；（3）当0,0mn时，方程表示焦点在x轴上的双曲线；（4）当0,0mn时，方程表示焦点在y轴上的双曲线.11．（2022秋·

黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校考期中）设R，若22123xy+=−−表示双曲线，则的取值范围是【答案】(2,3)【分析】将双曲线方程化简,根据双曲线解析式的特征,即可得的取值范围.【详解】因为22123xy+=−−,即22123xy−

=−−根据双曲线性质可知()()230−−即()()230−−解不等式可得23,即的取值范围是()2,3故答案为:()2,3【点睛】本题考查了双曲线方程及其性质,属于基础题.焦点三角形12．（山东省济宁市邹城市2022-2023学

年高三上学期期中数学试题）如图，已知双曲线222(0)xyaa−=的左，右焦点分别为12,FF，过2F的直线与双曲线的右支交于,PQ两点.若1QFQP=，且22PFFQ=，则的值为（）A．3B．2C．83D．52【答案】A【分析】由双曲线的定义

结合已知条件求得22PFa=，从而再得14PFa=，由余弦定理求得21cosPFF，由诱导公式得21cosQFF，设2QFm=，则12QFma=+，再由余弦定理求得23ma=，从而可得．【详解】由已知2ca=，1222FFa=，12222QFQFQPQFPFa

−=−==，则1224PFPFaa=+=，在12PFF△中，22212(22)(2)(4)2cos42222aaaFFPaa+−==−，在12QFF中，12122coscos4FFQFFP=−=，设2QFm=，则12QFma=+，由22211221221

22cosQFFFQFFFQFFFQ=+−得2222(2)(22)2224amamam+=+−，解得23ma=，22PFFQ=，所以222323PFaQFa===．故选：A．13．（2022秋·江苏南通·高三期中）（多选）已知椭圆22:184xyC+=上有一点P，F1、F2分别为其左右

焦点，12FPF=，12FPF△的面积为S，则下列说法正确的是（）A．若2S=，则满足题意的点P有4个B．若60=，则433S=C．的最大值为90D．若12FPF△是钝角三角形，则S的取值范围是(0,

2)【答案】ABC【分析】根据面积求出点P纵坐标的范围即可判断A；结合椭圆的定义、余弦定理和面积公式可以求出三角形面积，进而判断B；根据B中的推理，结合基本不等式可以判断C；根据C中的推理可以判断12FPF不可能为钝角，根据椭圆的对称性仅考虑P点在第一象限的情形，根据

角的变化情况先考虑212PFFF⊥的情况，进而求得答案判断D.【详解】由题意，22,2abc===，对A，设(),Pxy，则1211||||4||2||122SFFyyyb====，由椭圆的范围可知A

正确；对B，如图，设12||,||PFmPFn==，因为242mna+==，所以在12FPF△中，()22222244322168cos1222mnmncmncmnmnmnmnmn+−−+−−−====−而1sin2Smn=，因为60=，所以8114323

1322mnSSmn−===，故B正确；对C，由()22888cos1110222mnmn=−−=−=+，当且仅当22mn==时取“=”，即的最大值为90，C正确；对D，根据C可知，12

FPF最大值为90，即不可能为钝角，根据椭圆的对称性，现仅考虑点P在第一象限的情况，根据角的变化情况，若212PFFF⊥，将x=2代入椭圆方程解得：||2y=，此时142222S==，则12FPF△是钝角三角形，S的取值

范围是(0,22)，D错误.故选：ABC.14．（2022秋·山东临沂·高三统考期中）已知1F、2F是椭圆221169xy+=的两焦点，过点2F的直线交椭圆于A、B两点．在1AFB△中，若有两边之和是9，则第三边的长度为（）A．

6B．7C．8D．4【答案】B【分析】根据椭圆的定义即可求出1AFB△的周长，进而可得第三边的长度.【详解】由221169xy+=可得216a=，所以4a=，由椭圆的定义可得：1228AFAFa+==，1228BFBFa+==，所以1AFB△的周长111122881

6AFBFABAFBFAFBF++=+++=+=，因为有两边之和是9，所以第三边的长度为1697−=，故选：B.15．（河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期期中）已知1F，2F分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=

的左､右焦点，M是椭圆短轴的端点，点N在椭圆上，且223MFFN=.若1MNF的面积为2，则=a.【答案】3【分析】由题意可知M，2F，N三点共线和21MFMFa==，再根据椭圆的定义，和勾股定理可证22211MNMFNF+=，

即可求出12223MNFSa==，由此即可求出结果.【详解】因为223MFFN=，所以M，2F，N三点共线.又M是椭圆短轴的端点，所以21MFMFa==，所以213NFa=，43MNa=，则12523NFaNFa=−=，所以22211MNMFNF+=，所以121422233MNF

Saaa===，解得3a=（负值舍去）.故答案为：3.16．（2023届湖北省华中师范大学第一附属中学高三上学期期中）已知椭圆C：22221xyab+=（a>b>0）和双曲线E：x2－y2＝1有相同的焦点F1

，F2，且离心率之积为1，P为两曲线的一个交点，则△F1PF2的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定【答案】B【解析】根据题意可求得椭圆的方程,再根据椭圆与双曲线的定义求得|PF1|,|F1F2|和|PF2|.再判断三边的关系进行分析

即可.【详解】由题意可知,212caca==,因为2c=,所以a＝2,b2＝a2－c2＝2,不妨设P与F2在y轴右侧,则121242PFPFPFPF+=−=,故13PF=,21PF=,又1

222FF=得|PF1|2＝|F1F2|2＋|PF2|2,所以△F1PF2为直角三角形,故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的焦点与离心率,同时也考查了椭圆与双曲线的定义等.属于基础题型.17．（2022秋·江苏扬州·高三校考期中）

若双曲线2213xy−=的左、右焦点分别为1F，2F，点P为圆224xy+=与此双曲线的一个公共点，则12PFF△的面积为（）A．4B．3C．2D．1【答案】D【分析】确定线段12FF是圆224xy+=的直径，得12PFPF⊥，然后利用双曲线的定义、勾股定理得出

12,PFPF的关系式，变形求得12PFPF后可得三角形面积．【详解】由题意3a=，1b=，312c=+=，所以线段12FF是圆224xy+=的直径，因此12PFPF⊥，所以222121212+==16=2=23PFPFFFPFPFa−，

所以122PFPF=，1212112PFFSPFPF==!．故选：D．距离的最值问题18．（广东省深圳市龙岗区2023届高三上学期期中）已知椭圆：2221(02)4xybb+=，左、右焦点分别为12,FF，过1F的直线l交椭圆于,AB两点，若22BFAF+的最大值为5，

则b的值是A．1B．2C．32D．3【答案】D【分析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB

|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可．【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|．当AB垂直x轴时|AB|最小，|

BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，解得b3=，故选D．【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题．19．（江苏省常州市华

罗庚中学2022-2023学年高三上学期期中）已知1F，2F分别是双曲线22:143xyC−=的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，点B为圆22:(3)1Exy++=上一动点，则2ABAF+的最小值为（）A．7B．8C．63+D．233+【答案】A【

分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标，求得圆E的圆心和半径，运用双曲线的定义和圆的性质，结合三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值.【详解】双曲线22143xy−=中2a=，3b=，437c=+=，1(7,0)F−，2(7F，0)，圆E半径为1r=，

(0,3)−E，21124AFAFaAF=+=+，1ABAEBEAE−=−…(当且仅当A，E，B共线且B在A，E之间时取等号)，21111433ABAFAEAFAFAEEF+−++=+++厖22(7)337=−++

=，当且仅当A是线段1EF与双曲线的交点时取等号.2ABAF+的最小值是7.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义和方程､性质，以及圆的方程和性质，考查三点共线取得最值的性质，考查运算能力，属于中档题.20．（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高

三上学期期中）设P为椭圆M：22110xy+=和双曲线N：2218yx−=的一个公共点，且P在第一象限，F是M的左焦点，则PF=.【答案】101+/110+【分析】先求出F点坐标，再联立椭圆和双曲线方程，求出P点坐标，运用两

点距离公式即可.【详解】对于椭圆M，()2222210,1,9,3,0abcabF===−=−；联立方程222211018xyyx+=−=，解得22108,99xy==，因为P在第一象限，1022,33P，221022301121010133PF=++−

=+=+；故答案为：101+.21．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知F是双曲线22:18yCx−=的右焦点，P是C左支上一点，()0,66A，当APF周长最小时，该三角形的面积为．【答案】126【

分析】根据题意，根据1,,PAF三点共线，求出直线1AF的方程，联立双曲线方程，即可求得P点坐标，则由11APFAFFPFFSSS=−即可容易求得.【详解】设双曲线的左焦点为1F，由双曲线定义知，12PFaPF=+，∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+12aPF++|

AF|=|PA|+1PF+|AF|+2a，由于2||aAF+是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+1PF最小，即P、A、1F共线，∵()0,66A，()13,0F−∴直线1AF的方程为1366x

y+=−，即326yx=−代入2218yx−=整理得266960yy+−=，解得26y=或86y=−(舍)，所以P点的纵坐标为26，∴111166662622APFAFFPFFSSS=−−=126.故答案为：126.【点睛】本题考查双曲线

中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题.22．（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期期中）已知双曲线2213xymm−=的一个焦点是()0,2，椭圆221yxnm−=的焦距等于4，则n=．【答案】5【分析】根据双曲线和椭圆的几何性质

计算可得.【详解】因为双曲线2213xymm−=的一个焦点是(02)，，所以34mm−−=，得1m=−，又椭圆221yxn+=的焦距等于4，所以2412n−=，得5n=.故答案为：523．（2022秋·山西朔州·高三统考期中）P是双曲线221916xy－＝的右支上

一点，M、N分别是圆22(5)1xy++=和22(5)1xy−+=上的点，则PMPN−的最大值为A．6B．7C．8D．9【答案】C【详解】maxmaxmin12()||1(1)PMPNPMPNPFPF−=−=+−−122628PFPF=−+=

+=.圆锥曲线的简单几何性质24．（2022秋·福建厦门·高三厦门一中校考期中）已知,AB是圆22:680Cxyx+−+=上的两个动点，90ACB=，点M为线段AB的中点，点P为抛物线24yx=上的动点，则PM的最小值为（）A．522B．

32C．322D．22【答案】C【分析】求出C点坐标，由几何关系得点M的轨迹是以点()3,0C为圆心，22为半径的圆，点P为抛物线24yx=上的动点，所以设00(,)Pxy，先求出min||PC，所以PM的最小值为min232||22PC−=【详解

】圆22:680Cxyx+−+=可化为22(3)1xy−+=，所以点()3,0C.又因为点M为线段AB的中点，且90,1ACBCACB===，所以22CM=，所以点M的轨迹是以点()3,0C为圆心，22为半径的圆.因为点P为抛物线24yx=上的动点，所

以设00(,)Pxy，则()()()22220000033418PCxyxxx=−+=−+=−+，所以当01x=时，min||22PC=，所以PM的最小值为min232||22PC−=.故选：C.25．（山东省潍坊市临朐县实验中学2022-

2023学年高三上学期期中）设点P是抛物线1C:24xy=上的动点,点M是圆2C:22(5)(4)4xy−++=上的动点,d是点P到直线=2y−的距离,则||dPM+的最小值是（）A．522−B．521−C．52D．521

+【答案】B【分析】根据题意画出图像,将d转化为抛物线上点到准线的距离再加1,也即是抛物线上点到焦点的距离加1,若求||dPM+的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加1即可,根据三角形两边之和大于第三边,

即当112,,,FPMC共线时,||dPM+取最小值为21FCr+−,算出结果即可.【详解】解:由题知圆2C:22(5)(4)4xy−++=,()25,4,2Cr−=()0,1F为抛物线焦点,1y=−为抛物线准线,则过点P向1y

=−作垂线垂足为D,如图所示:则1dPD=+,根据抛物线定义可知=PDPF,1dPF=+,||dPM+=1PFPM++,若求||dPM+的最小值,只需求PFPM+的最小值即可,连接2FC与抛物线交于点1P,与圆交于点1M,如图所示,此时PFPM+最小,为2FCr−,()2min1dPMFCr+

=+−,()()220,1,5,4,52FCFC−=,()2min1521dPMFCr+=+−=−.故选:B26．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄二中校考期中）已知圆221xy+=与抛物线()220ypxp=交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则p等于

（）A．52B．25C．522D．255【答案】D【分析】由题，结合抛物线与圆的对称性得弦AB为抛物线()220ypxp=的通径，进而有2212pp+=，解方程即可得答案.【详解】解：因为四边形ABCD是矩形，所以由抛物线与圆的对称性知：弦A

B为抛物线()220ypxp=的通径，因为圆的半径为1，抛物线的通径为2p，所以有：2212pp+=，解得255p=故选：D27．（江苏省镇江中学2022-2023学年高三上学期期中）抛物线28yx=的准线过双曲线()22210yxbb−=的左焦点，则双曲线的虚轴

长为（）A．8B．23C．2D．43【答案】B【分析】先求出抛物线的准线，从而可得双曲线的c，根据,,abc的关系可得答案.【详解】因为抛物线28yx=的准线为2x=−，所以由题意可知双曲线的左焦点为()2,0−，因为214b+=，所以3b=，所以双曲线的虚轴长为23.故选：

B.28．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中考）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左，右焦点分别为12,FF，上顶点为B，且12tan15BFF=，点P在椭圆C上，线段1PF与

2BF交于Q，22BQQF=，则直线1PF的斜率为.【答案】155【分析】根据椭圆的性质，利用锐角正切函数的定义，求得15bc=，根据向量的坐标运算，求得点Q的坐标，结合斜率坐标公式，可得答案.【详解】由题意，作图如

下：由题意，则()1,0Fc−，()2,0Fc，()0,Bb，设(),Qxy，在12RtBFF中，121tan15OBbBFFOFc===，则(),BQxyb=−，()2,QFcxy=−−，由22BQQF=，则()22xcxyby=−−=−，解得233c

xby==，则2,33cbQ，直线1PF的斜率011531525553bbkccc−====+.故答案为：155.29．（黑龙江省齐齐哈尔市三立高级中学2022-2023学年高三上学

期期中）已知椭圆22:12516xyC+=，则此椭圆的焦距长为，设12,FF为椭圆的两个焦点，过1F的直线交椭圆于,AB两点，若2212AFBF+=，则AB=.【答案】68【分析】根据椭圆方程求出,ab的值，由22cab=−可得c的值，进而可得焦距2c

，根据椭圆的定义即可求得AB的长.【详解】由椭圆22:12516xyC+=可得5a=，4b=，所以2225163cab=−=−=，所以椭圆的焦距长为26c=，由椭圆的定义可知：12210AFAFa+==，12210BFBFa+==，两式相加可得：121220AFAFBFB

F+++=，因为2212AFBF+=，所以118AFBF+=，即8AB=，故答案为：6；8.求离心率30．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）设椭圆C：22221xyab+=(0)ab的左、右焦点分别为1F，2F，直线l过点1F.若点

2F关于l的对称点P恰好在椭圆C上，且211212FFFPa=，则C的离心率为（）A．13B．23C．12D．25【答案】C【分析】根据已知结合椭圆的定义可推得12PFc=，222PFac=−.然后根据211212FFFP

a=，可推得2214cos2ca=.最后根据余弦定理，即可得到关于,ac的齐次方程，即可得出离心率.【详解】设12PFF=，由已知可得，1122PFFFc==，根据椭圆的定义有21222PFaPFac=−=−.又211212F

FFPa=，所以2214cos2ca=.在12PFF△中，由余弦定理可得，22221121122cosPFPFFFPFFF=+−，即()222222288cos8acccca−=−=−，整理可得22485

0caca+−=，等式两边同时除以2a可得，24850ee+−=，解得，12e=或52e=−（舍去），所以12e=.故选：C.31．（2022秋·浙江·高三慈溪中学校联考期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯在

研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点．设椭圆()222210xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，若从椭圆右焦点2F发出的光线经过椭圆上的点A和点B反射后，

满足ABAD⊥，且3cos5ABC=，则该椭圆的离心率为（）．A．12B．22C．32D．53【答案】D【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.【详解】由题意，可作图如下：则113cos5ABABF

BF==，211114sin1cos5AFABFABFBF=−==，即11::3:4:5ABAFBF=，可设3ABk=，14AFk=，15BFk=，由1122114ABAFBFAFBFAFBFa++=+++=，则4354kkka++=，即

3ka=，2122AFaAFk=−=，在12RtAFF中，221212252FFAFAFkc=+==，则2255263ckeak===.故选：D.32．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）已知双曲线()222210,0:

xyCabab−=的左焦点为()0Fc−,，点M在双曲线C的右支上，()0,Ab，若AMF周长的最小值是24ca+，则双曲线C的离心率是（）A．312+B．31+C．52D．5【答案】B【分析】设双曲线C的右焦点为F，连接AF，线段AF交双曲线C于点M，由三角形两边

之和大于第三边得AMMFAF+，再由双曲线的定义得2MFMFa−=，从而得到2AMMFAFa++，所以AMF周长的最小值可表示为22AFa+，结合条件可求出关于,ac的方程，即可解出离心率.【详解】如图，设双曲线C的右焦点为F，连接AF，线段AF交双曲线C于点M

，则AMMFAF+．由双曲线的定义可得2MFMFa−=，则22AMMFAMMFaAFa+=+++．因为()0,Ab，所以22AFAFbc==+，则AMF周长的最小值为22222224AFabca

ca+=++=+，整理得22220caca−−=，即2220ee−−=，解得31e=+．故选：B33．（2022秋·河北唐山·高三开滦第二中学上学期期中）如图，圆柱1OO的轴截面11ABBA是正方形，D、E分别是边1AA和1BB的中点，C是AB

的中点，则经过点C、D、E的平面与圆柱1OO侧面相交所得到曲线的离心率是．【答案】22/122【分析】根据平面与圆柱的截线为椭圆，求出椭圆的长半轴长和短半轴长，即可求出半焦距，由椭圆的离心率定义求解即可.【详解】设圆柱1OO的轴截面，即

正方形的边长为2，设1C是弧11BA的中点，且与C关于圆柱的中心对称，由题意可知，截面曲线为椭圆，椭圆的短轴长为2，长轴2212222CC=+=,所以长半轴长2,a=短半轴长1b=，故半焦距为221cab=−=,所以椭圆的离心率为22cea==，故答

案为：22．34．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左､右焦点分别为1F，2F，M，N为双曲线一条渐近线上的两点，A为双曲线的右顶点，若四

边形12MFNF为矩形，且3π4MAN=，则双曲线C的离心率为（）A．13B．5C．213D．3【答案】B【分析】先求出,MN的坐标，再根据3π4MAN=得到一个关于a，b的等式，最后根据a，b，

c的关系求出离心率即可．【详解】依题意，易得以12FF为直径的圆的方程为222xyc+=，设0(Mx,0)y，则0(Nx−,0)y−，又由双曲线2222:1xyCab−=易得双曲线C的渐近线为byxa=，如图，联立222byxaxyc=+=，解得xayb==或xayb=−

=−，(,)Mab，(,)Nab−−，又(,0)Aa，AMx⊥轴，由得1π4NAF=，1tan1NANAFkaab===+，2ba=，即22224caba−==，225ca=，5cea==．故

选：B35．（山东省青岛市4区县2022-2023学年高三上学期期中）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为F，双曲线C的一条渐近线与圆222:Oxya+=在第二象限的交点为M，圆O在点M处的切线与x轴的交点为N，若sin

7sinMNFMFN=，则双曲线C的离心率为.【答案】()()()222111.8?1211.7?12???11.9?1220+++/1153【分析】依题意得：(c,0)F，渐近线的方程为byxa=−，联立渐近线方程和圆的方程求得2,aabMcc−

，根据MNOM⊥求得直线MN的斜率，进而得到其方程，从而求得(,0)Nc−.由sin7sinMNFMFN=，结合正弦定理可得，||7||MFMN=，从而利用两点距离公式代入可得2253ac=，进而求得

双曲线C的离心率.【详解】依题意得：(c,0)F，渐近线的方程为byxa=−，联立222byxaxya=−+=，解得2axcabyc=−=，2,aabMcc−.,.MNaMNOMkb⊥=MN的方程为2abaayxcbc−=

+，令0y=，得xc=−.(,0)Nc−222222||,||aabaabMFcMNccccc=++=−+sin7sinMNFMFN=，根据正弦定理可得，||7||MFMN=则2222227aabaabc

ccccc++=−+，即2253ac=.2253ca=，即2515..33ee==故答案为：153【点睛】关键点睛：这道题的关键是能

根据正弦定理把sin7sinMNFMFN=，转化为||7||MFMN=，从而借助两点距离公式构造齐次方程求离心率.求离心率的取值范围36．（辽宁省辽西联合校2022-2023学年高三上学期期中）已知点F是双曲线22221xyab−=（

00ab,）的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）A．(1),+B．(1,2)C．(2,12)+D．(1,

12)+【答案】B【分析】根据双曲线的对称性结合题意可得ABE为等腰三角形，由此可得||||AFFE，进而得到关于,,abc的齐次式，即可求解离心率.【详解】由题意可知AEBE=即ABE为等腰三角形，故ABE是锐角三角形，只需45AEF，将xc

=−代入22221xyab−=可得2bya=，故在RtAFE中，2||bAFa=，||FEac=+，则2||||,bAFFEaca+，化简整理，得2220acac−+，∴220ee−−，∴12e−，又1e，∴12e，故选

：B.37．（湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆()222:109xyCbb+=与圆22:4Oxy+=有四个交点，则椭圆C的离心率的取值范围是（）A．50,3

B．20,3C．5,13D．2,13【答案】C【分析】先通过椭圆与圆的交点个数得到b的范围，进而可得离心率的取值范围.【详解】椭圆()222:109xyCbb+=与圆22:4Oxy+=有四个交点，则椭圆C的焦点必在x轴上，且必

有2b则椭圆C的离心率22245111993cbbeaa==−=−−=，又1e，离心率的取值范围是5,13故选：C38．（重庆市长寿中学校2023届高三上学期期中数学）已知0ab，1F，2F，是

双曲线22122:1xyCab−=的两个焦点，若点Р为椭圆22222:1xyCab+=上的动点，当P为椭圆的短轴端点时，12FPF取最小值，则椭圆2C离心率的取值范围为（）A．20,2B．2,12C．20,3D．2,13

【答案】A【分析】设()cos,sinPab，利用12FPF与直线1PF倾斜角以及直线2PF倾斜角的关系构建关于sin的函数关系式，最后利用对勾函数的性质求解即可.【详解】假设点P在x轴上方，设

()cos,sinPab，则()0,π，由已知得()221,0Fab−+，()222,0Fab+，设直线1PF的倾斜角为，直线2PF的倾斜角为，∴122sintancosPFbkaab==++，222sintancosPF

bkaab==−+，∴()12tantanFPF=−tantan1tantan−=+()2222222sinsinbabbab+=−+−()222222sinsinbabbab+=−+−()22222222sinsinbabbabab+=−−−+

考虑对勾函数()222sin0sin1sinbaby−=+，由于P为椭圆的短轴端点时，π2=，12FPF取最小值，即12tanFPF取最小值，()222sin0sin1sinbaby−=+也取最小值，此时sin1

=，∵函数在2220,bab−上单调递减，∴2221bab−，即222ab，解得202e.即椭圆2C离心率的取值范围为20,2.故选：A.39．（2022秋·河北衡水·高三河北武

强中学校考期中）过双曲线()222210,0xyabab−=的右焦点F作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为．【答案】(2,10)【分析】由双曲线的性质求解，【详解】双曲线的渐近线为

byxa=，由题意得13ba，则221(2,10)cbeaa==+，故答案为：(2,10)40．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）设双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点分别为1F，2F，若过点2F且斜率为3的直线l与双曲线的右支交于A，B两点

，则该双曲线的离心率的取值范围为.【答案】(1,2)【分析】根据已知条件可得出ba与3的大小关系，再利用公式21bea=+即得.【详解】由题可知双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程为byxa=，由于过点2F且斜率为3的直

线l与双曲线的右支交于A，B两点，则3ba，因此，22222212ccabbeaaaa+====+，又1e，所以，该双曲线的离心率为取值范围是()1,2.故答案为：()1,2.41．（2022秋·河北保定·高三

河北省唐县第一中学校联考期中）已知点F为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点，O为坐标原点，过椭圆的右顶点作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足526cos26OPF=，则椭圆C的离心

率的取值范围为．【答案】2226,125+【分析】设(,0),(,)FcPam，由526cos26OPF=求出1tan5OPF=，结合正切的差角公式及基本不等式求得2tan2cOPFaac+，解不等式即可求得离心

率的取值范围.【详解】设(,0),(,)FcPam，其中0m，右顶点为A，由5cos26OPF=，则sin261OPF=，1tan5OPF=，又由tan,tanmmPOAPFAaac==+，有2222tantan()1mmmcaacOPFPOAPFAmaacm

aac−+=−==++++，又由()222222222mcmcmccaacmmaacaacaacm==+++++，有2152caac+，当且仅当22aacm+=时取等，整理为2225440caca−−，

可得225440ee−−，解得2226125e+．故答案为：2226,125+.双曲线的渐近线42．（河北省唐山市开滦第二中学2022-2023学年高三上学期期中）若双曲线1C与双曲线2C：22143xy−=有相同渐近线，且1C过点

()2,3，则双曲线1C的标准方程为（）A．2213yx−=B．22168yx−=C．22168xy−=或22168yx−=D．2213yx−=或2213xy−=【答案】B【分析】根据共渐近线的双曲线方程为()221043xy−=.代入点的坐标即

可求解.【详解】因为1C和2C有相同的渐近线，所以设双曲线1C的方程为()221043xy−=，将()2,3代入得241493−==−，所以双曲线1C的方程为22168yx−=，故选：B43．（江苏省徐州市第七中学

2022-2023学年高三上学期期中）若点()2,3−在双曲线C：22221yxba−=（0a，0b）的一条渐近线上，则=ba（）A．2B．12C．32D．23【答案】C【分析】根据条件可得点()2,3−在直线byxa=−上，即得.【详解】依题意

得点()2,3−在直线byxa=−上，所以32ba=.故选：C.44．（2022秋·福建福州·高三校联考期中）设1F、2F是双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的两个焦点，P是C上一点，若126PFPFa+=，∠12PFF是△12PF

F的最小内角，且1230PFF=，则双曲线C的渐近线方程是（）A．20xy=B．20xy=C．20xy=D．20xy=【答案】B【分析】由已知及双曲线的性质可得124,2PFaPFa==，在焦点三角形中应用余弦定理得到参数a、c的齐次方程，进而可得a

、b、c的数量关系，写出渐近线方程.【详解】由∠12PFF是△12PFF的最小内角，根据双曲线性质知：12PFPF，则122PFPFa−=，又126PFPFa+=，可得124,2PFaPFa==，而122FFc=，1230P

FF=，所以22222416416cos3016483aacacacac=+−=+−，则222323(3)0aaccac−+=−=，所以3ac=，故22222bcaa=−=，则渐近线为2byxxa=

=.故选：B45．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中考）（多选）已知双曲线C过点(3,2)且渐近线方程为33yx=，则下列结论正确的是（）A．双曲线C的方程为2213xy−

=B．双曲线C的离心率为3C．曲线2e1xy−=−经过双曲线C的一个焦点D．焦点到渐近线的距离为1【答案】ACD【分析】根据已知条件求得,,abc，由此对选项逐一分析，从而确定选项.【详解】设双曲线方程为221AxBy+=，将点(3,2)代入可得921AB+=，又因为双

曲线的渐近线方程为33AyB=−=，所以13AB=−.由92113ABAB+==−解得1,13AB==−，故选项A正确；由上可知，3,1,2abc===,所以双曲线的离心率为22333ca==，故选项B错

误；双曲线的焦点坐标为(20)?，其中(2,0)满足2e1xy−=−，故选项C正确；双曲线的一个焦点坐标为(2,0)，渐近线方程为33yx=，即330xy=，焦点到渐近线的距离为23139=+，故选项D

正确，故选：ACD.46．（2022秋·浙江·高三浙江省三门中学校联考期中）双曲线2213yx−=两条渐近线的夹角大小是【答案】60°/3【分析】求得双曲线的两条渐近线方程，得到斜率和倾斜角，再求出渐近线夹角的大小.【详解】双曲线2213yx−=的两条渐近线的方程为3yx=，由直线3yx

=的斜率为3，可得倾斜角为π3，3yx=−的斜率为3−，可得倾斜角为2π3，所以两条渐近线的夹角的大小为π3，故答案为：π3.47．（山东省青岛市莱西市2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知双曲线()222210,0xyabab−=的两条渐近线均与圆F：()2259xy−+=

相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为.【答案】221169xy−=【分析】先求得双曲线的渐近线方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得b，进而求得a，从而求得双曲线的标准方程.【详解】由题意可知，双曲线()222210,0x

yabab−=的渐近线方程为byxa=，即0bxay=.由圆F的方程为()2259xy−+=，得圆心为()5,0F，半径为3r=.因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为()5,0.5c=又因为双曲线()222210,0xyabab−=的两条渐近线均与圆()22:59C

xy−+=相切，所以22503baab=+，即253bbc==，解得3b=.所以22225916acb=−=−=，4a=，所以该双曲线的标准方程为221169xy−=.故答案为：221169xy−=直线与圆锥曲线的位置关系48．（河北省保定市重点高中2022-2023学年高三上学期11月期

中）若曲线||2yx=+与曲线22:144xyC+=恰有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A．(1,)+B．(,1]−C．((),11,−−+D．[1,0)(1,)−+U【答案】C【分析】先分析出||2yx=+表示起点为

()2,0A−的两条斜率分别为1和-1的射线.若曲线22:144xyC+=为椭圆，只需点()2,0A−落在椭圆内，列不等式求出的范围；若当曲线22:144xyC+=为双曲线时，只需把||2yx=+表示的射线与渐近线比较，列不等式求出的范围.【详解】如图

示：||2yx=+表示起点为()2,0A−的两条斜率分别为1和-1的射线.当曲线22:144xyC+=为椭圆时，即0，只需点()2,0A−落在椭圆内，即240144+，解得：1；当曲线22:144xyC+=为双曲线时，即0

，渐近线方程：1yx=−要使曲线||2yx=+与曲线22:144xyC+=恰有两个不同的交点，只需11−，解得：1−.所以实数的取值范围是(,1(1,)−−+故选：C49．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知斜率为k的直线l平分圆22230xyxy+−+=且与曲

线2yx=恰有一个公共点，则满足条件的k值有个.A．1B．2C．3D．0【答案】C【分析】直线平分圆可知，直线经过圆心，从而可得直线的方程，然后和曲线的方程联立，根据公共点的个数，确定k的值.【详解】圆2223

0xyxy+−+=的圆心为3(1,)2−，所以设直线为3(1)2ykx+=−.联立23(1)2ykxyx+=−=，得2302kyyk−−−=.因为恰有一个公共点，所以0k=或者0314()02kkk−−−=，解得354k−=.综上可得，k的值有3个，故选C.【点睛】本题

主要考查直线和抛物线的位置关系，利用公共点的个数确定参数，一般是联立方程后，根据方程解得情况来求解.50．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期中）（多选）泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星，却没有交汇的轨迹；世界上最远的距离，不是星星

之间的轨迹，而是纵然轨迹交汇，却在转瞬间无处寻觅.已知点()1,0F，直线:4lx=，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（）A．点P的轨迹方程是2214xy+=B．直线1:240lxy+−=是

“最远距离直线”C．平面上有一点()1,1A−，则2PAPF+的最小值为5D．点P所在的曲线与圆22:20Cxyx+−=没有交点【答案】BC【分析】对于A，设(),Pxy，根据定义建立关系可求出；对于B，联立直线与椭圆方

程，判断方程组是否有解即可；对于C，根据定义转化为求PAPB+即可；对于D，易判断()2,0为交点.【详解】对于A项：设(),Pxy，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半，所以()22214xyx−+=−，化简得22143xy+=，故A错误；

对于B项：联立方程22240143xyxy+−=+=可得()210x−=，解得1x=，故存在31,2P，所以直线1l：240xy+−=是“最远距离直线”，故B正确；对于C项：过P作PB垂直直线:4lx=，垂足为B，则由题可得2PBPF=，则2PAPFPAPB+=+

，则由图可知，PAPB+的最小值即为点A到直线:4lx=的距离5，故C正确；对于D项：由2220xyx+−=可得()2211xy−+=，即圆心为()1,0，半径为1，易得点P的轨迹与圆C交于点()2,0，故D错误.故选：BC.51．（湖北省荆

荆宜三校2022-2023学年高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy中，()1,1A、()11,0F−、()21,0F，动点P满足124PFPF+=，则（）A．15PAPF+B．21PAPF+C．有且仅有3个点P，使得1PAFV的面积为32D．有且仅有4个点P，使得2

PAF△的面积为12【答案】BC【分析】利用椭圆的定义以及三点共线可判断AB选项的正误；利用三角形的面积公式转化为直线与椭圆的公共点个数问题，进而可判断CD选项的正误.【详解】因为121242PFPFFF+==，所以，点P的轨迹是以点1F、2F为焦点

，4为长轴长的椭圆，所以，2422ac==，可得2a=，1c=，则3b=，故点P的轨迹方程为22143xy+=.设直线1AF交椭圆22143xy+=于点3P、4P，直线2AF交椭圆22143xy+=于点1P、2P.

对于A选项，122445PAPFPAPFAF+=+−+=，当点P与点2P重合时，等号成立，A错；对于B选项，21144451PAPFPAPFAF+=+−−=−，当点P与点3P重合时，2PAPF+取最小值45−，B对；对于C选项，设点P到直线1AF的距离为1d，1

111153222PAFSAFdd===△，所以，1355d=.直线1AF的斜率为111112AFk==+，直线1AF的方程为()112yx=+，即210xy−+=，设与直线1AF平行且距离为355的直线的方程为20x

ym−+=，则()22135512m−=+−，可得2m=−或4m=，所以，点P在直线220xy−−=或240xy−+=上.联立222203412xyxy−−=+=，消去y可得220xx−−=，解得=1x−或2，联立222403412xyxy−+=+=，消去y可

得2210xx++=，解得=1x−.综上所述，有且仅有3个点P，使得1PAFV的面积为32，C对；对于D选项，设点P到直线2AF的距离为2d，则2222111222PAFSAFdd===△，可得21d=，与直线2:1AF

x=平行且距离为1的直线的方程为2x=或0x=，所以点P在直线2x=或0x=上，直线0x=与椭圆22143xy+=相交，直线2x=与椭圆22143xy+=相切，综上所述，有且仅有3个点P，使得2PAF△的面积为1

2，D错.故选：BC.52．（安徽省合肥市肥东县综合高中2022-2023学年高三上学期11月期中）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两个定点()13,0F−和()23,0F连线的斜率之积等于13，记点P的轨迹为曲线E，直线l

：()2ykx=−与E交于A，B两点，则（）A．E的方程为()22133xyx−=B．E与直线310xy−−=有两个交点C．满足23AB=的直线l有2条D．E的渐近线与圆()2221xy−+=相切【答案】ACD【分析】对于A：利用直接法求P点的轨迹即可；对于B：利用渐近

线与已知直线的位置关系以及渐近线性质即可判断；对于C：联立直线l与曲线E的方程，并结合韦达定理用k表示出||AB，进而求出k，通过检验即可求解；对于D：利用圆心到渐近线的距离与圆的半径进行比较即可判断.【详解】对于A：设点(),Pxy，由已知得1333yyxx=+−，整理得2213

xy−=，所以点P的轨迹曲线E的方程为()22133xyx−=，故A正确；对于B：曲线E的渐近线为33yx=，直线310xy−−=与渐近线平行，且不经过()3,0，则有一个交点，故B不正确；对于C：直线l与曲线E的方程联立()()22213

3ykxxyx=−−=，整理得()222213121230kxkxk−+−−=，设()11,Axy，()22,Bxy，()()()4222Δ1444131231210kkkk=−−−−=+

，且2130k−则有21221213kxxk−+=−，212212313kxxk−−=−，所以()()222221212222312311411313kkABkxxxxkkk++=++−=+=−−，要满足23AB

=，则需()222312313kk+=−，解得0k=或1k=，当0k=时，()3,0A，()3,0B-，而曲线E上：3x，从而0k=不满足题意，当1k=时，直线l不过()13,0F−和()23,

0F两点，故满足题意，所以满足条件的直线有2条，故C正确；对于D：圆()2221xy−+=的圆心()2,0到曲线E的渐近线30xy=的距离为()222113d==+，又圆()2221xy−+=的半径为1，故D正确.故选：A

CD.53．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期中）设抛物线21:4Cyx=与直线:10lxy+−=相交于A、B两点，点F是抛物线的焦点，则FAFB=【答案】8−【分析】设点()11,Axy、()22,Bxy，将直线AB的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理

，结合平面向量数量积的坐标运算以及韦达定理可求得FAFB的值.【详解】设点()11,Axy、()22,Bxy，联立21410yxxy=+−=可得2440xx+−=，24160=+，由韦达定理可得124xx

+=−，124xx=−.抛物线C的标准方程为24xy=，其焦点为()0,1F，()()1111,1,FAxyxx=−=−，同理可得()22,FBxx=−，所以，1228FAFBxx==−.故答案为：8−.弦长问题54．（2022秋·河北衡水·高三河北武

强中学校考期中）已知ABC的三个顶点都在抛物线24yx=上，点()2,0M为ABC的重心，直线AB经过该抛物线的焦点，则线段AB的长为（）A．8B．6C．5D．4.【答案】B【分析】判断直线AB的斜率存在，设出直线方程，联立抛物线方程可得根与系数的关系式，利用三角形的重心即可求得参

数k的值，根据抛物线的弦长公式即可求得答案.【详解】设抛物线24yx=的焦点为F，则()1,0F.根据题意可知，点()2,0M为ABC的重心，若直线AB的斜率不存在，则不妨取(1,2),(1,2)AB−,则结合重心可得C为()4,0，不合题意；故直

线AB的斜率存在，设直线AB的方程为()1ykx=−，0k，()11,Axy，()22,Bxy，(),Cmn，则有2114yx=，2224yx=，24nm=，联立方程()24,1,yxykx==−得2440kyyk

−−=，216(1)0k=+，则124yyk+=，124yy=−，因为点()2,0M为ABC的重心，所以1203nyy++=，即()12nyy=−+，所以()222212121212122,634242ymxxmxyyynyyx+++=++=++==−，即232

824k+=，解得22k=，则()21212122242464yyyyABxxpk+−=++=+=+=，故线段AB的长为6，故选：B.【点睛】方法点睛：求解此类直线和圆锥曲线相交时的弦长问题，一般方法是设直线方程，联立圆锥曲线方程，

利用根与系数的关系去化简求值；解答本题时要注意利用三角形重心的坐标公式并结合抛物线的性质，以及利用抛物线定义表示出弦长可使得计算简便.55．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）已知12,FF

为椭圆C：221164xy+=的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且12PQFF=，则四边形12PFQF的面积为．【答案】8【分析】根据已知可得12PFPF⊥，设12||,||PFmPFn==，利用勾股定理结合8mn+=，求出mn，四边形12PFQF面积等于mn，即可求解.【详解】

因为,PQ为C上关于坐标原点对称的两点，且12||||PQFF=，所以四边形12PFQF为矩形，设12||,||PFmPFn==，则228,48mnmn+=+=，所以22264()2482mnmmnnmn=+=++=+，8mn=，即四边形12PFQF面积等于8.故答案为：8.56．（山东省

泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中）设F是双曲线22:145xyC-=的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，OPOF=，则△OPF的面积为.【答案】52/2.5【分析】由题意画出图形，不妨设F为双曲线22:145xyC-=的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，

再由三角形面积公式求解．【详解】解：如图，不妨设F为双曲线22:145xyC-=的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，24a=，25b=，则3c=，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为229xy+=．联立22229145xyxy+=

−=，解得2145,33P，1553232OPFS==．故答案为：52．57．（辽宁省朝阳市建平县2022-2023学年高三上学期期中）已知椭圆22:195xyE+=的左焦点为F，过F的直线l与E交于A，B两点，则下列说法正确的是（）A．若直线l垂直于x轴，则10

3AB=B．10,63ABC．若5AB=，则直线l的斜率为33D．若2AFBF=，则154AB=【答案】ABD【分析】求出椭圆E的左焦点，设出直线l的方程并与椭圆方程联立，逐项计算判断作答.【详解】依题意，椭圆22:195xyE+=的左焦点为(

)2,0F−，设1122(,),(,)AxyBxy，对于A，lx⊥轴，直线:2lx=−，由22=2+=195xxy−得：5||3y=，则103AB=，A正确；对于B，l不垂直于x轴时，设l的方程为(2)ykx=+，由22=(+2)5+9=45ykxxy消去y并整

理得：2222(95)3636450kxkxk+++−=，则21223695kxxk−+=+，2122364595kxxk−=+，22222221212222364(3645)30(1)||1()41()959595kkkABkxxxxkkkk−−+=

++−=+−=+++230491k=−+，显然22411,041kk++，于是得10||63AB，由选项A知，当lx⊥轴时，103AB=，因此1063AB，B正确；对于C，当5AB=时，由选项B得2305491k=−+，

解得33k=，C错误；对于D，因2AFBF=，有2FABF=，则()12222xx+=−−，即1226xx+=−，而133x−，22222111111522(2)(2)5(3)3933FAxyxxxx=++=++−

=+=+，同理2233FBx=+，则有122232(3)33xx+=+，即12922xx−=，于是得2218x=−，因此215||||323)3||3(4ABAFBFBFx+=+===，D正确.故选：ABD58．（福建省诏安县桥东中学2023届高三上学期期中

）倾斜角为4的直线过双曲线22:13xCy−=的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则AB=.【答案】23【解析】设出直线方程方程与双曲线方程联立，利用弦长公式进行求解即可.【详解】由双曲线22:13xCy−=标准方程可知：3,1

ab==，所以有22312cab=+=+=，因此焦点的坐标为(20)?，由双曲线的对称性不妨设，直线AB过右焦点(2,0)，所以直线AB方程方程为0(tan)(2)24yxyx−=−=−，与双曲线联立得：222121215032xy

xxyx−=−+==−，设11(,)Axy，22(,)Bxy，因此有：1212156,2xxxx+==，所以222121212151(tan)2()42642342ABxxxxxx=+−=+−=−=.故答

案为：2359．（2022秋·山东泰安·高三统考期中）过抛物线24xy=的焦点且倾斜角为3π4的直线被抛物线截得的弦长为.【答案】8【分析】写出直线方程，联立抛物线的方程，运用定义和焦点弦长公式，计算即可得到.【详解】抛物线24xy=的焦点为()0

,1F，准线方程为1y=−，直线l的倾斜角为3π4，设直线l与抛物线交于,MN两点，则直线l的方程为1yx=−+，代入24xy=得2610yy−+=，则1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，126yy+=，则1228MNMFNFyy=+=++=，故答案为：8三角形（

四边形）问题60．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）已知四边形ABCD是椭圆22:143xyC+=的内接四边形（即四边形的四个顶点均在椭圆上），且四边形ABCD为矩形，则四边形ABCD的面积的最大值为（）A．43

B．487C．3D．4226+【答案】A【分析】根据椭圆的对称性，结合重要不等式，即可容易求得结果.【详解】根据题意，作图如下：根据椭圆的对称性，四边形ABCD的面积8AOHSS=，设点A的坐标为(),mn，故1842Smnmn==，又点A在椭圆上，故可得：2212?·4323

mnmn+=，解得3mn，当且仅当23mn=，即2232,2mn==时取得等号.故四边形ABCD的面积的最大值为43.故选：A.61．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）已知椭圆22:12xCy+=，直线():0lykxk=与椭圆C交于A，B两点，过A

作x轴的垂线，垂足为D，直线BD交椭圆于另一点M，则下列说法正确的是（）．A．若D为椭圆的一个焦点时，则ABD△的周长为226+B．若1k=，则ABD△的面积为23C．直线BM的斜率为2kD．0AMAB=【答案】A

BD【分析】根据D为焦点，求得,AB坐标，结合椭圆定义，即可求得判断A的正误；联立直线方程和椭圆方程，结合三角形面积公式即可判断B的正误；根据斜率的计算公式，即可直接判断C的正误；根据,MAMB斜率关系，结合C中所得

结论，即可判断D的正误.【详解】对A：如图，由对称性，不妨设D为椭圆的左焦点，则()1,0D−，故易得21,2A−−，则62OA=，则AB6=，又因为222ADBDa+==，所以ABD△的周长为226+，故A正确；对B：由2212xyyx+==，解得63x=，不妨设

66,33A−−，66,33B，6,03D−，则263AByy−=，63OD=，所以162622333ABDS==△．故B正确；对C：设()00,Axy，()00,Bxy−−，则()0,0Dx，所以00122BMBDykkkx===，C错

误；对D：设()00,Axy，则20012xy+=，(),Mmn，则2200022000MAMBnynynykkmxmxmx−+−==−+−，又点M和点A在椭圆C上，2212mn+=①，220012xy+=②，①－②得22022012nymx−=−−，因为12MBkk=，

则1122MAkk=−，得1MAkk=−，∴11MAABkkkk=−=−，∴90MAB=，所以0AMAB=，D正确．故选：ABD．62．（江苏省淮安市高中校协作体2022-2023学年高三上学期期中）（多选

）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的焦点在圆:O2220xy+=上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，若点()0,3E满足MEON⊥(O为坐标原点)，下列说

法正确的有（）A．双曲线C的虚轴长为4B．双曲线的离心率为5C．双曲线C的一条渐近线方程为32yx=D．三角形OMN的面积为8【答案】BD【解析】根据题中条件，得到双曲线的半焦距为25c=，由双曲线方程可得，其渐近线方程为b

yxa=，设()00,Mxy，则()00,Nxy−，根据MEON⊥，以及点()00,Mxy在圆2220xy+=上，求出M的坐标，得出2ba=，求出双曲线方程，再逐项判断，即可得出结果.【详解】因为双曲线()2222:10,0xyCabab

−=的焦点在圆:O2220xy+=上，所以双曲线的半焦距为25c=，由()2222:10,0xyCabab−=可得其渐近线方程为byxa=，因为圆O与双曲线C的渐近线在第一、二象限分别交于M、N两点，不妨

设()()0000,0,0Mxyxy，则()00,Nxy−，又()0,3E，MEON⊥，所以1MEONkk=−，即000031yyxx−=−−，整理得220003yyx−=，又点()00,Mxy在圆O上，所以220020xy+=

，由220002200003200,0yyxxyxy−=+=解得0024xy==，即()2,4M，又点()2,4M在渐近线byxa=上，所以2ba=，由222220bacab==+=解得22416ab==，

因此双曲线C的方程为221416xy−=；所以其虚轴长为28b=，故A错；离心率为2552cea===，故B正确；其渐近线方程为2yx=，故C错；三角形OMN的面积为000182OMNSMNyxy=

==，故D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于通过题中条件，求出双曲线的方程；根据渐近线与圆的交点，以及MEON⊥，求出交点坐标，得出,ab之间关系，进而可求出双曲线方程，从而可得出结果.63．（福建省莆田第

一中学2023届高三上学期期中）（多选）已知抛物线C：24yx=与圆F：()22114xy−+=，点P在抛物线C上，点Q在圆F上，点()1,0A−，则（）A．PQ的最小值为12B．FPQ最大值为45C．P

FPA的最小值是22D．当PAQ最大时，四边形APFQ的面积为1528+【答案】ACD【分析】利用几何关系可得12PF−的最小值即为PQ的最小值；建立FPM的三角函数值与PF之间的关系，讨论范围即可确定FPQ的最大角；利用基本不等式讨论PFPA的最

值；根据四边形APFQ的面积等于PAFQAFSS+讨论解最大值.【详解】对于A,PQ的最小值为12PF−的最小值,因为PF的最小值为12p=,所以PQ的最小值为11122−=,故A正确；对于B，设PM是圆F的切线，切点为M，则FPQFPM=,所以22114cos1,4PFPMFPM

PFPFPF−===−因为11PPFx=+，所以2113cos11424FPMPF=−−=，所以30FPM=，所以30FPMFPQ=，所以FPQ最大值为30，故B错误；对于C，设2(4,4)Ptt，222242(41)(4)1681PFtttt=−+=++，222242(41)

(4)16241PAtttt=++=++所以24222424216811611624116241PFtttttttPA++==−++++22221616111121162421624tttt=−−=+++，当且仅当22116,tt=12t=时取得等号，所以PFPA的最小值是

22，故C正确；对于D，当,PQ在x轴异侧，且AP与抛物线相切于点P,AQ与圆F相切于点Q,PAQ取得最大值，不妨设P在第一象限，则点Q在第四象限，设直线:(1)(0)APykxk=+代入24yx=整理得2222(24)0kxkxk−

++=，所以()2242440kk=−−=，则21k=，因为0k，所以1k=.所以2210xx−+=，解得1x=，所以2y=，即(1,2)P,此时122,2PAFSAF==当AQ与圆F相切于点Q时，2

2115442AQAFFQ=−=−=,111511522228QAFSAQQF===,所以当PAQ最大时，四边形APFQ的面积为1528+，故D正确.故选:ACD.64．（2022秋·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知双曲线22221xyab−=与双曲线号22221yxb

a−=（其中0a，0b），设连接它们的顶点构成的四边形的面积为1S，连接它们的焦点构成的四边形的面积为2S，则12SS的最大值为．【答案】12【分析】易知两个双曲线的焦距相等，分别求出四边形的面积，再利用基本不等式求12SS的最大值；【详解】易知两个双曲线的

焦距相等．由题设得()122222141212242abSababSababab===++，当且仅当ab=时，不等式取“=”，故12SS的最大值为12．故答案为：1265．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中

）已知直线4xmy=+与抛物线24yx=交于A，B两点，若20AOBS=（O为坐标原点），则实数m的值为．【答案】32【分析】联立方程后，用韦达定理表示出弦长，表示出O点到直线距离，即可得到关系式.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，联立直线与抛物线的方程244x

myyx=+=消x可得24160ymy−−=，则124yym+=，1216yy=−，()()()22221212121214ABxxyymyyyy=−+−=++−()()()()222214416414m

mmm=+−−=++，O点到直线的距离241dm=+，则()()()()22221144148420221SABdmmmm==++=+=+解得，32m=故答案为：32.中点弦问题66．（湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2022-2023学年高三上学期期中）若双曲线()22

22:10,0xyCabab−=的左右焦点分别为1F，2F，点P为C的左支上任意一点，直线l是双曲线的一条渐近线，PQl⊥，垂足为Q．当2PFPQ+的最小值为6时，1FQ的中点在双曲线C上，则C的方程为（）A．222xy−=B．224xy−=C．22116yx−=D．22124x

y−=【答案】B【分析】由双曲线定义21||||2PFPFa−=得到21122PFPQPFPQaFQa+=+++，再利用焦点到渐近线的距离为b求得26ba+=，设出渐近线方程求得1FQ的中点坐标代入双曲线方程联解求得ab、的解.【详解】212PFPFa−=，211||||

22PFPQPFPQaFQa+=+++，又()1,0Fc=−，()2,0Fc=，双曲线的渐近线方程为：byxa=，即0bxay=，焦点到渐近线的距离为22bcbcbcab==+，即1FQ的最小值为b，即26ba+=，不妨设直线OQ为：b

yxa=，1FQOQ⊥，点()1,0Fc−，2(,)aabQcc−−，1FQ的中点为22(,)22acabcc+−−，将其代入双曲线C的方程，得：2222222()144acaacc+−=，即22222221144acaacc+−=，解得

：2ca=又26ba+=，222+=abc，2ab==，故双曲线C的方程为224xy−=．故选：B.67．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）已知斜率为1的直线与双曲线()2222:10,0xyCabab−=相交于A、B两点，O为坐标原点，AB的中点为P，

若直线OP的斜率为2，则双曲线C的离心率为（）A．3B．2C．5D．3【答案】A【分析】利用点差法可求得22ba的值，结合221bea=+可求得双曲线C的离心率的值.【详解】设()11,Axy、()22,Bxy、()00,Pxy，则22112222222211xya

bxyab−=−=，两式相减得2222121222xxyyab−−=，所以2121221212yyxxbxxayy−+=−+．因为1202xxx+=，1202yyy+=，所以21202120−=−yybxxxay．因为12121AByykxx−==−，002==OPykx，所

以2212ba=，故222ba=，故222222213ccabbeaaaa+====+=．故选：A.68．（2022秋·江苏连云港·高三江苏省赣榆高级中学上学期期中）已知抛物线2:4Cyx=的焦点为F，过点F的直线与C交于M，N两点，若1

0MN=，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A．8B．6C．4D．2【答案】C【分析】由抛物线定义及其组成的直角梯形的几何特征，得到线段MN的中点到准线的距离，再减去准线到y轴的距离，即可得到结果【详解】由图，MN中点为D，,,MAMBDC分别垂直准线于,,ABC，CD交y轴于E，

易得CD为直角梯形ABNM的中位线，则2MAMBCD+=，由抛物线定义易得，10MAMBMN+==，5CD=，又准线为=1x−，1CE=，故线段MN的中点到y轴的距离4DECDCE=−=，故选：C69．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023

届高三上学期期中）（多选）已知1F，2F分别为椭圆22:12xCy+=的左、右焦点，不过原点O且斜率为1的直线l与椭圆C交于P，Q两点，则下列结论正确的有（）A．椭圆C的离心率为22B．椭圆C的长轴长为2C．若点M是线段P

Q的中点，则MO的斜率为12−D．OPQ△的面积的最大值为22【答案】ACD【分析】根据椭圆的性质可判断A,B选项;利用中点弦的设而不求的办法可判断C;根据弦长公式面积公式结合基本不等式可判断D.【详解】因为

22a=，21b=，所以21c=，所以1222cea===，故A正确;因为2a=，所以222a=，故B错误;设1122(,),(,),PxyQxy因为l与椭圆C交于P，Q两点，所以221122221212xyxy+=+=，两式相减得12121212()()()()02xx

xxyyyy+−++−=，即12121212()()1()()2yyyyxxxx+−=−+−，即12OMPQkk=−，因为1PQlkk==，所以12OMk=−，故C正确;设直线:lyxm=+,由2212yxmxy=++=得2234220xmxm++−=,因为直线与

圆相交,所以221612(22)0mm=−−,解得23m,根据韦达定理得21212422,,33mmxxxx−+=−=()222121212412433QPkxxxxxxm=+−=+−=−,点O到直线l的距离2md=,所以()22211423322332OPQm

SQPdmmm==−=−△,因为()()222233322mmmm+−−=，当且仅当2332m=时，OPQS取最大值22，故D正确.故选：ACD70．（湖北省鄂北六校2022-2023学年高三上学期期中）已知O为坐标原点，不经过点

O的直线l与椭圆2212xy+=交于A，B两点，M为线段AB的中点，线段AB的中垂线与x轴的交点为N，则OMN的正切值的最大值为.【答案】24【分析】设直线l的方程为ykxb=+，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示OMk，求得1

MNkk=−，利用到角公式可得答案.【详解】由已知得直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为ykxb=+所以2212xyykxb+==+得()222212420kxbkxb+−++=，设()()1122,,,AxyBxy，则1221,22xxyyM骣++琪琪琪桫，所以12

2412bkxxk−++=，21222212bxxk−=+，()112222222421212bkbkyykxxbbk+=++=++=−+，则21122142OMyybkxxbkk+===+--，1MNkk=−，由11tan11212

1112OMNMOMNMkkkkOMNkkkkkk===++−++−，当0k时，11112111122tan141222OMNMOMNMkkkkkkkkNkkkOMk+====+−+−+，当且仅当12kk=即22k=等号成立.当0k时，1tan021OMNkk=+，不合题意

故答案为：24.【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，解题的关键点是利用韦达定理表示OMk，考查了学生分析问题、解决问题的能力及计算能力.71．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题）ABC的三个顶点都在抛物线E：232yx=上，其中A(2，8)，ABC的重心G是抛

物线E的焦点，则BC所在直线的方程为．【答案】4400+−=xy【解析】根据重心坐标公式可得1222xx+=，128yy+=−，由此得到BC的中点坐标，再根据点差法得到BC的斜率，然后点斜式写出直线方程.【详解】设()11Bxy，，()22Cx

y，，由重心坐标公式，12122833xxyyG++++，，又()80G，，所以1222xx+=，128yy+=−，所以BC中点坐标为()11,4−，因为21132yx=，22232yx=，两式相减得12124yyxx−=−−，所以直线

BC的斜率为4−，所以BC所在直线的方程为()4411yx+=−−，即4400+−=xy.故答案为：4400+−=xy【点睛】方法总结：涉及中点弦或者斜率问题时考虑使用点差法，即设点作差.1．（湖南省株洲

市五雅中学2022-2023学年高三上学期期中）双曲线C：()222210,0xyabab−=的右焦点和虚轴上的一个端点分别为F，A，点P为双曲线C左支上一点，若APF周长的最小值为6b，则双曲线C的离心率为（）A．568B．857C．856D．1

33【答案】B【分析】由题意求得A，F的坐标，设出F，运用双曲线的定义可得2PFPFa=+，则APF的周长为222PAPFAFPAPFabc++=++++，运用三点共线取得最小值，可得67ab=，由a，b，c的关系，结合离心率公式，计算

即可得到所求值.【详解】解：由题意可得()0,Ab，(),0Fc，设(),0Fc−，由双曲线的定义可得2PFPFa−=，2PFPFa=+，22AFAFbc==+，则APF的周长为2PAPFAFPAPFaA

F++=+++22AFa+，当且仅当A，P，F共线，取得最小值，且为2222abc++，由题意可得22622babc=++，即67ba=，22857caba=+=，则857cea==，故选：B.2．（河北省保定市安新县第二中学2023届高三上学期期中）已知椭圆2211612x

y+=的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则MAMF的取值范围为（）A．16,0−B．8,0−C．0,8D．0,16【答案】D【分析】解法一：由题意可得，()4,0A−，()2,0F，

设()00,Mxy.表示出()20144MAMFx=+，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，()4,0A−，()2,0F，设()00,Mxy，取线段AF的中点()1,0N−，可推得()2201944MAAFMNx=−=+，然后根据椭圆的范围即可求出范围.【详解

】解法一：由题意知()4,0A−，()2,0F，设()00,Mxy.则()()00004,2,MAMFxyxy=−−−−−()()200024xxy=−++22000328124xxx=+−+−()220001124444xxx=++=+.因为220011612xy+=，所以220011

1612xy=−，所以044x−，所以016MAMF．解法二：由题意知()4,0A−，()2,0F．设()00,Mxy，取线段AF的中点N，则()1,0N−，连接MN.则()()224MAMFMAMFMAMF+−−

=222494MNFAMN−==−()220019xy=++−220003211294xxx=+++−−()220001124444xxx=++=+.因为220011612xy+=，所以2200111612xy=−，所以044x−，

所以016MAMF．故选：D．3．（江苏省淮安市涟水县第一中学2023届高三上学期期中）已知A，B均为抛物线C1：22(0)xpyp=上的点，F为C的焦点，37AFFB=uuuruur.则直线AB的斜率为（）A．55B．259C．22121D．

1010【答案】C【分析】根据直线AB的斜率进行分类讨论，根据37AFFB=uuuruur求得直线AB的斜率.【详解】当直线AB的斜率为0时，不符合37AFFB=uuuruur，当直线AB的斜率大于0时，如图，过A，B作准线的垂线

，垂足分别为D，E，过B作BG⊥AD，G为垂足.因为37AFFB=uuuruur，所以可设|AF|=7x，|BF|=3x，因为A，B均在C上，所以7ADAFx==，3BFBEx==，4AGADBEx=−=，10ABx=，所以()()22104221BGxxx=−=，则

4221tan21221ABAGxkABGBGx====.当直线AB的斜率小于0时，同理可得22121ABk=−.综上，直线AB的斜率为22121.故选：C4．（河北省张家口市部分学校2023届高三上学期期中

）（多选）过点()(),00Aaa向抛物线24yx=作一条切线，切点为B，F为抛物线的焦点，FCAB⊥，C为垂足，则（）A．2ABBF=B．AFBF=C．ACBF=D．C在y轴上【答案】BD【分析】分析可知切线不与x轴重合，设切线方程为xtya=+，将该直线方程与抛

物线方程联立，由Δ0=可得出2at=−，求出点B、C的坐标，逐项判断，可得出合适的选项.【详解】易知点()1,0F，过点A的直线与x轴重合，此时直线与抛物线24yx=相交于原点，不合乎题意；设过点()(),00Aaa的抛物线24yx=的切线方程为xtya=+，联立24xtyayx=

+=可得2440ytya−−=，因为()2Δ160ta=+=，所以2at=−.又因为B为切点，所以2Byt=，得点B的坐标为()2,2tt.对于A选项，()2,0At−，所以，24244ABtt=+，()()2422221

BFtt=++，则2ABBF，A错；对于B选项，21AFtBF=+=，B对；对于CD选项，线段AB的中点的坐标为()0,t，因为AFBF=，且FCAB⊥，所以，点C为线段AB的中点，则()0,Ct，ACAFBF=，C错D对.故选：BD.5．（福建省宁德市高级中

学2023届高三上学期期中）（多选）已知1F，2F是双曲线E：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，过1F作倾斜角为30°的直线分别交y轴与双曲线右支于点M，P，1PMMF=，下列判断正确的是（）A．21π3PFF?B．2112MFPF=C．E的离心率等于2D．E的

渐近线方程为2yx=【答案】BD【分析】根据题意得2//OMPF，212PFFF⊥，2112MFPF=；由212PFFF⊥知：22bPFa=，又122FFc=，1230PFF=，求解离心率，根据离心率求解渐近线方程即可判断.【详解】如下图所示，因为1PMMF=，即M为1

PF中点，O为12FF中点，所以2//OMPF，因为12OMFF⊥，所以212PFFF⊥，所以21π2PFF=，2112MFPF=，A错误，B正确；由212PFFF⊥知222221PFcab−=，所以22bPFa=

，又122FFc=，1230PFF=，所以232bca=，即()2232caac−=，所以23230ee−−=，解得：3e=，C错误；所以3==cea，所以223ca=，所以22222bcaa=−=，所以2ba=

，所以E的渐近线方程为2yx=，D正确．故选：BD．6．（2022秋·山西临汾·高三统考期中）已知抛物线2:8Cyx=的焦点为F，直线lyxm=+:与抛物线C交于A、B两点，若18AFBF+=，则m=

.【答案】3−【分析】设()12,Axx、()12,Byy，将直线l的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合抛物线的焦半径公式结合已知条件可求得m的值.【详解】设()12,Axx、()12,Byy，联立28yxmyx=+=整理得()22280xmxm+−+=，则()()222843220

mmm=−−=−，可得2m，由韦达定理可得1282xxm+=−．由抛物线的定义可得124AFBFxx+=++，则82418m−+=，解得3m=−．故答案为：3−.7．（山西省运城市2023届高三上学期期中）已知抛

物线2:4Cyx=的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为,AB，且满足3,AFFBE=为AB的中点，则EF的长为.【答案】43/113【分析】求出焦点坐标和准线方程，设直线AB的方程为：1xty=+，代入24yx=，利用韦达定理结合向量知识求出213t=，再根据中

点公式，利用抛物线的定义可求得结果.【详解】依题意可得(1,0)F，准线为=1x−，当直线AB的斜率为0时，显然不合题意，故可设直线AB的方程为：1xty=+，代入24yx=，得2440yty−−=，设11(,)Axy，22(,)Bxy，所以1

212(,)22xxyyE++，则124yyt+=，124yy=−，216160t=+，因为3AFFB=，所以1122(1,)3(1,)xyxy−−=−，所以123yy−=，即123yy=−，所以2234yyt−+=，所以22yt=−，16yt=，所以(2)64tt−=−，

所以213t=，所以1212()2xxtyy+=++=242t+410233=+=，所以121016233ABxxp=++=+=，31,42AFABAEAB==，3111164424433EFABABAB=

−===.故答案为：43.8．（2022秋·福建龙岩·高三校联考期中）历史上第一位研究圆锥曲线的数学家是梅纳库莫斯（公元前375年-325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质.如图甲，从椭圆的一个焦点出发的光线或声

波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过相应切点的直线，如图乙，椭圆C的中心在坐标原点，12,FF分别为其左、右焦点，直线l与椭圆C相切于点P（点P在第一象限），过点P且与切线l垂直的法线l与x轴

交于点Q，若直线2PF的斜率为2−，2PQQF=，则椭圆C的离心率为.【答案】32【分析】由离心率公式结合定义得出1212FFePFPF=+，再由正弦定理的边角互化得出椭圆C的离心率.【详解】设2PFQ=，则21QPFQPF==，12PQ

F=，13PFQ=−，其中1tan2cos3==，，所以椭圆C的离心率为()()()1212sin2sin2sin213sinsin3sinsin3sin2sin22cos2FFPFPF=====++−+−++.故答案为：329．（福建省泉州市安溪一中

、养正中学、惠安一中、泉州实验中学2023届高三期中）已知椭圆()222210xyabab+=与抛物线()240ypxp=有相同的焦点F，点A是两曲线的一个公共点，且AFx⊥轴，则椭圆的离心率是.【答案】21

−/12−+【分析】由(),0Fp可得222abp=+，结合抛物线方程可得A点坐标，代入椭圆方程后，可配凑出关于离心率e的方程，结合()0,1e可解方程求得结果.【详解】由题意知：(),0Fp是椭圆()222210xyaba

b+=的焦点，222abp=+；AFx⊥轴，(),2App或(),2App−，代入椭圆方程得：222241ppab+=，2222241ppaap+=−，又椭圆的离心率pea=，222222224411ppeeaape+=+=−−，解得：()223

2212e==，又()0,1e，21e=−.故答案为：21−.10．（山东省枣庄市滕州市2022-2023学年高三上学期期中）P为椭圆22154xy+=上的点，12FF，是其两个焦点，若1230FPF=，则12FPF△的面

积是．【答案】843−【分析】利用椭圆定义及余弦定理求得12||||PFPF的值，代入三角形面积公式得答案．【详解】由椭圆22154yx+=，得5a=，2b=，则225a=，221cab=−=，12||||225PFPFa+==，12||22FFc==由余弦定

理可得：222121212||||||2||||cos30FFPFPFPFPF=+−，221212124(||||)2||||3||||cPFPFPFPFPFPF=+−−，即()1216||||162323PFPF==−+，12FPF△的面积(

)()12111||||sin301623423843222SPFPF==−=−=−．故答案为：843−．11．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知抛物线()2:20Cxpyp=的

焦点为F，过F且被C截得的弦长为4的直线有且仅有两条，写出一个满足条件的抛物线C的方程：，此时该弦的中点到x轴的距离为.【答案】22xy=32（答案不唯一，只要02p，且所求距离为422p−即可）【分析】利用抛物线定义及焦点弦

的性质写出一个结果即可.【详解】易知过焦点的弦中，通径最短，所以24p，解得02p.设该弦所在的直线与C的交点分别为A，B，弦AB的中点为D，则A，B，D到准线的距离分别为：222ABDpppy,y,y+++，则由梯形的中位线性质可知D到x轴的距离为222222A

BAByypppp++−=−=−.不妨取1p=，则抛物线C的方程为22xy=，此时弦AB的中点到x轴的距离为32.故答案为：22xy=；32（答案不唯一，只要02p，且所求距离为422p−即可）12．（重庆市涪陵实验中学校2022届高三上学期期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿

基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值（1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，12,3A−，()2,3B−，点P是满足13=的阿氏圆上的任一点，则该阿氏

圆的方程为；若点Q为抛物线E：243yx=上的动点，Q在y轴上的射影为H，则PAPQQH++的取小值为.【答案】()2221xy++=5213−【分析】设点(,)Pxy，根据距离公式得到方程化简即可得到阿氏圆方程，求

出抛物线的焦点坐标，则13QHQF=−，化折为直得到()min13PAPQQHAF++=−，即可得解.【详解】解：设点(,)Pxy，13=∵，()()()22221231323xyxy++−=++−，()2221xy++=，即阿氏圆的方程为()2221xy++=；

抛物线243yx=的焦点为1,03F，准线为13x=-，所以13QHQF=−，()minmin13PAPQQHPAPQQH++=++−221111521233333AF−=−=−−+−=，当且仅当A、P、Q、F四点共线时取

等号.故答案为：()2221xy++=；5213−．