【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题5.1 导数的概念及其意义（重难点题型精讲） Word版含解析.docx，共(15)页，673.788 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.1导数的概念及其意义（重难点题型精讲）1．瞬时速度(1)平均速度设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.②一般地，当t无限趋

近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==.2．抛物线切线的斜率(1)抛物线割线的斜率设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=.(2)抛物线切线的斜率一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限

趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==.3．函数的平均变化率函数平均变化率的定义对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数

值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)-f().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率.4．函数在某点处的导数的几何意义(1)切线的定义在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))

沿着曲线y=f(x)无限趋近于点(,f())时，割线P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线T(T是直线T上的一点)称为曲线y=f(x)在点处的切线.(2)函数在某点处的导数的几何意义函数y=f(

x)在x=处的导数f'()就是切线T的斜率，即==f'().这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y-f()=f'()(x-).5．导函数的定义从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一

确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=.【题型1瞬时速度、平均速度】【方法点拨】根据瞬时速度、平均速度的定义进行求解即可.【例1】（2022·全国·高二专题练习）已知物体做

直线运动对应的函数为𝑆=𝑆(𝑡)，其中S表示路程，t表示时间．则𝑆′(4)＝10表示的意义是（）A．经过4s后物体向前走了10mB．物体在前4秒内的平均速度为10m/sC．物体在第4秒内向前走了10mD．物体在第

4秒时的瞬时速度为10m/s【解题思路】根据导数的物理意义可知，𝑆(𝑡)函数的导数即是t时刻的瞬时速度．求解即可．【解答过程】∵物体做直线运动的方程为𝑆=𝑆(𝑡)，根据导数的物理意义可知，𝑆(𝑡)函数的导数是t时刻

的瞬时速度，∴𝑆′(4)=10表示的意义是物体在第4s时的瞬时速度为10m/s．故选：D．【变式1-1】（2022·全国·高二课时练习）某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数𝑠(𝑡

)=𝑡2+𝑡+1表示，则该物体在𝑡=1s时的瞬时速度为（）A．0m/sB．1m/sC．2m/sD．3m/s【解题思路】根据瞬时速度的概念即可利用平均速度取极限求解.【解答过程】该物体在时间段[1,1+Δ𝑡]上的平均速度为Δ𝑠Δ𝑡=�

�(1+Δ𝑡)−𝑠(1)Δ𝑡=(1+Δ𝑡)2+(1+Δ𝑡)+1−(12+1+1)Δ𝑡=3+Δ𝑡，当Δ𝑡无限趋近于0时，3+Δ𝑡无限趋近于3，即该物体在𝑡=1s时的瞬时速度为3m/s．故

选：D.【变式1-2】（2022·广东广州·高二期末）在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系ℎ(𝑡)=−4.9𝑡2+4.8𝑡+

11.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（）A．10.9B．-10.9C．5D．-5【解题思路】先对函数求导，然后把𝑡=1代入即可求解．【解答过程】解：因为ℎ(𝑡)=−4.9𝑡2+4

.8𝑡+11，所以ℎ′(𝑡)=−9.8𝑡+4.8，令𝑡=1，得瞬时速度为−5．故选：D.【变式1-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为𝑠=𝑡2+2𝑡，设其在𝑡∈[2,3]内的平均速度为𝑣1，在𝑡=2时的瞬时速度为𝑣2，则

𝑣1𝑣2=（）A．76B．73C．67D．37【解题思路】直接运用导数的运算法则，计算即可【解答过程】𝑣1=(32+2×3)−(22+2×2)3−2=7，𝑠′=2𝑡+2，所以𝑣2=2×2+2=6，所以𝑣1𝑣2=76．故选：A.【题型2平

均变化率】【方法点拨】根据题目条件，结合函数的平均变化率的定义，即可得解.【例2】（2022·江苏省高二阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2，则该函数在区间[1,3]上的平均变化率为（）A．4B．3C．2D．1【解题思路】根据平均变化率的定义

直接求解.【解答过程】因为函数𝑓(𝑥)=𝑥2+2，所以该函数在区间[1,3]上的平均变化率为𝑓(3)−𝑓(1)3−1=32+2−(12+2)2=4，故选：A.【变式2-1】（2022·辽宁·高二阶段练习）函数𝑓(𝑥)=−𝑥3+1在区间[−1,2

]上的平均变化率为（）A．3B．2C．−2D．−3【解题思路】根据平均变化率的定义计算即可【解答过程】由题，函数𝑓(𝑥)=−𝑥3+1在区间[−1,2]上的平均变化率为𝑓(2)−𝑓(−1)2−(−1)=(−23+1)−[−(−1)3+1]

3=−3故选：D.【变式2-2】（2022·陕西·高二阶段练习（理））若函数𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑡，当1≤𝑥≤𝑚时，平均变化率为2，则m等于（）A．√5B．2C．3D．1【解题思路】直接利用平均变化率的公式求解.【解答过程】由题得Δ𝑦Δ

𝑥=𝑓(𝑚)−𝑓(1)𝑚−1=𝑚2−1𝑚−1=𝑚+1=2，所以𝑚=1故选：D.【变式2-3】（2022·陕西安康·高二期末（文））为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度c与时间t的关系为𝑐=𝑓(𝑡

)，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间t变化的关系如下图所示．给出下列四个结论错误的是（）A．在𝑡1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；B．在𝑡2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同；C．

在[𝑡2,𝑡3]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；D．在[𝑡1,𝑡2]，[𝑡2,𝑡3]两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同．【解题思路】根据图象以及导数的知识对选项进行分析，从而确定

正确选项.【解答过程】A选项，根据图象可知，在𝑡1时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同，A选项结论正确.B选项，根据图象以及导数的知识可知，在𝑡2时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不同，B选项结论正确.C选项，根据图象可知，在[𝑡2,𝑡3

]这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同，C选项结论正确.D选项，根据图象可知，在[𝑡1,𝑡2]这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率为大于在[𝑡2,𝑡3]这个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率D选项结论错误.故选：D.【

题型3利用导数的定义解题】【方法点拨】利用导数的定义，转化求解即可.【例3】（2022·新疆·高二阶段练习（理））已知函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=𝑥0处的导数为2，则limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ�

�)−𝑓(𝑥0)Δ𝑥=（）A．0B．12C．1D．2【解题思路】根据极限与导数的关系直接求解.【解答过程】根据极限与导数的关系可知limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)Δ𝑥=𝑓′(𝑥0)=2

，故选:D.【变式3-1】（2022·上海市高二期末）已知𝑓(𝑥)是定义在R上的可导函数，若lim△𝑥→0𝑓(2)−𝑓(2+Δ𝑥)2Δ𝑥=12，则𝑓′(2)=（）A．−1B．−14C．1D．

14【解题思路】根据极限与导数的定义计算．【解答过程】𝑓′(2)=lim△𝑥→0𝑓(2+Δ𝑥)−𝑓(2)Δ𝑥=−2lim△𝑥→0𝑓(2)−𝑓(2+Δ𝑥)2Δ𝑥=−2×12=−1故选：A．【变式3-2】（2022·湖北襄阳·高二期末）若函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥

=𝑥0处的导数为1，则limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+2Δ𝑥)−𝑓(𝑥0−Δ𝑥)Δ𝑥=（）A．2B．3C．－2D．－3【解题思路】利用导数的定义和几何意义即可得出．【解答过程】解：若函数𝑦=𝑓(𝑥)在𝑥=𝑥

0处的导数为1，∴𝑓′(𝑥0)=1．则limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+2Δ𝑥)−𝑓(𝑥0−Δ𝑥)Δ𝑥=2limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+2Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)2Δ𝑥+limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0−Δ𝑥)

−𝑓(𝑥0)−Δ𝑥=2𝑓′(𝑥0)+𝑓′(𝑥0)=3𝑓′(𝑥0)=3．故选：B．【变式3-3】（2022·全国·高二专题练习）已知函数𝑓(𝑥)的定义域为R，若limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)Δ𝑥=4，则𝑓′(1)=（）A．1B．2C．3D．4【解题思

路】利用导数的定义可求得𝑓′(1)的值.【解答过程】由导数的定义可得𝑓′(1)=limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)Δ𝑥=4.故选：D.【题型4导数的几何意义】【方法点拨】根据导数的几何意义，求解曲线在某点处的斜率或切线方程.【例4】（2023·上海·

高三专题练习）lim𝑥→2𝑓(5−𝑥)−3𝑥−2=2,𝑓(3)=3，𝑓(𝑥)在(3,𝑓(3))处切线方程为（）A．2𝑥+𝑦+9=0B．2𝑥+𝑦−9=0C．−2𝑥+𝑦+9=0D．−2𝑥+𝑦−9=0【解题思路】根据已知

条件，结合导数的几何意义，求出𝑓′(3)=−2再结合直线的点斜式公式，即可求解．【解答过程】由已知，lim𝑥→2𝑓(5−𝑥)−3𝑥−2=2,𝑓(3)=3，令𝛥𝑥=𝑥−2，∴lim𝛥𝑥→0𝑓(3−𝛥𝑥)−𝑓(3)𝛥𝑥＝lim𝛥𝑥→0𝑓(3−𝛥𝑥)−𝑓(

3)−𝛥𝑥=−𝑓′(3)=2，解𝑓′(3)=−2，∴𝑓(𝑥)在(3,𝑓(3))处切线方程为𝑦−3=−2(𝑥−3)，即2𝑥+𝑦−9=0．故选：B．【变式4-1】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像在点𝑀(3,𝑓

(3))处的切线方程是𝑦=13𝑥+23，则𝑓(3)+𝑓′(3)的值为（）A．1B．2C．3D．5【解题思路】根据切线方程的斜率为切点处的导数值,且切点在𝑓(𝑥)以及切线上即可求解𝑓(3),𝑓′(3).【解答

过程】由点𝑀(3,𝑓(3))处的切线方程是𝑦=13𝑥+23可得：𝑓′(3)=13,𝑥=3时，𝑦=13×3+23=53,故𝑓(3)=53,∴𝑓(3)+𝑓′(3)=2,故选：B.【变式4-2】（2022·河南·高

三阶段练习（文））设函数𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦=2𝑥+1，则limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)2Δ𝑥=（）A．4B．2C．1D．12【解题思路】根据曲线某点处的导数等于切线的斜率，得𝑓′(1)=2，再根

据limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)2Δ𝑥=12limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)Δ𝑥=12𝑓′(1)可求解.【解答过程】∵函数𝑓(𝑥)在点(1,𝑓(1))处的切线方程为𝑦=2𝑥+1，∴𝑓′(1)

=2,则limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)2Δ𝑥=12limΔ𝑥→0𝑓(1+Δ𝑥)−𝑓(1)Δ𝑥=12𝑓′(1)=1.故选:C.【变式4-3】（2022·浙江·高二期中）如图，函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象在点𝑃处的切线方程是𝑦=−𝑥+8，则limΔ𝑥→

0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5−Δ𝑥)Δ𝑥=（）A．−12B．2C．−1D．−2【解题思路】依题意可知切点坐标，由切线方程得到𝑓′(5)=−1，利用导数的概念解出即可.【解答过程】依题意可知切点𝑃(5,

3)，∵函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象在点𝑃处的切线方程是𝑦=−𝑥+8，∴𝑓′(5)=−1，即limΔ𝑥→0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5)Δ𝑥=−1∴limΔ𝑥→0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5−Δ𝑥)Δ𝑥=2limΔ�

�→0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5−Δ𝑥)2Δ𝑥又∵limΔ𝑥→0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5−Δ𝑥)2Δ𝑥=limΔ𝑥→0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5)Δ𝑥=−1∴limΔ𝑥→0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5−Δ𝑥)Δ𝑥=2limΔ𝑥→0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5−

Δ𝑥)2Δ𝑥=−2即limΔ𝑥→0𝑓(5+Δ𝑥)−𝑓(5−Δ𝑥)Δ𝑥=−2故选：D.【题型5函数图象与导函数的关系】【方法点拨】结合具体条件，根据函数图象、导函数图象与导函数的关系，进行转化求

解即可.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知𝑓′(𝑥)是𝑓(𝑥)的导函数，𝑓′(𝑥)的图象如图所示，则𝑓(𝑥)的图象只可能是（）A．B．C．D．【解题思路】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长

“缓慢”.【解答过程】由题中𝑓′(𝑥)的图象可以看出，在(𝑎,𝑏)内，𝑓′(𝑥)>0，且在(𝑎,𝑎+𝑏2)内，𝑓′(𝑥)单调递增，在(𝑎+𝑏2,𝑏)内，𝑓′(𝑥)单调递减

，所以函数𝑓(𝑥)在(𝑎,𝑏)内单调递增，且其图象在(𝑎,𝑎+𝑏2)内越来越陡峭，在(𝑎+𝑏2,𝑏)内越来越平缓．故选：D．【变式5-1】若函数𝑦=𝑓(𝑥)的导函数在区间[𝑎,𝑏]上是增函数，则函数𝑦=𝑓(𝑥)在区间[𝑎,𝑏]上的图象可能是A．B

．C．D．【解题思路】根据函数图象与导函数之间的关系，进行求解即可.【解答过程】∵函数y=f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，∴对任意的a＜x1＜x2＜b，有，也即在a,x1,x2,b处它们的斜率是依次增大的．

∴A满足上述条件，对于B，存在使，对于C，对任意的a＜x1＜x2＜b，都有，对于D，对任意的x∈[a，b]，不满足逐渐递增的条件，故选A．【变式5-2】（2022·北京高二期末）已知函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑，其导函数的图像如图所示，

则函数𝑓(𝑥)的图像可能是（）A．B．C．D．【解题思路】由导函数的图像分析原函数切线斜率，结合选项依次判断即可.【解答过程】由导函数图像可知，原函数𝑓(𝑥)在区间(−∞,1)的切线斜率逐渐减小，在𝑥=1处的切线斜率为1，在区间(1,+∞)的切线斜率逐渐增大，结合

选项可知，A、B选项不满足在𝑥=1处的切线斜率为1，排除；C选项在区间(1,+∞)的切线斜率先减小再增大，排除；D选项满足要求.故选：D.【变式5-3】（2022·河南高二阶段练习（理））已知函数𝑓(𝑥)的导函数为𝑓′(𝑥)，若𝑦=𝑓′(𝑥)的图象如图所示，则函数𝑦

=𝑓(𝑥)的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据导函数大于0，原函数单调递增；导函数小于0，原函数单调递减；即可得出正确答案.【解答过程】由导函数得图象可得：𝑥>0时，𝑓′(𝑥)<0，所以𝑓(𝑥)在(−∞,0)单调递减，排除选项A、B，当𝑥>0时，𝑓′(𝑥)先正

后负，所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)先增后减，因选项C是先减后增再减，故排除选项C，故选：D.【题型6导数的几何意义的应用】【方法点拨】曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.结合具体条

件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可.【例6】（2022·河南·高三开学考试（文））已知函数𝑓(𝑥)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是（）A．0<𝑓′(2)<𝑓′(3)<𝑓(3)−𝑓(2)

B．0<𝑓(3)−𝑓(2)<𝑓′(2)<𝑓′(3)C．0<𝑓′(3)<𝑓′(2)<𝑓(3)−𝑓(2)D．0<𝑓′(3)<𝑓(3)−𝑓(2)<𝑓′(2)【解题思路】利用导数的几何意义和直线的斜率公式，结合图象得出答案

．【解答过程】𝑓′(2)和𝑓′(3)分别表示函数𝑓(𝑥)在𝑥=2和𝑥=3处的切线斜率，结合图象可得0<𝑓′(3)<𝑓′(2)，而𝑓(3)−𝑓(2)=𝑓(3)−𝑓(2)3−2，表

示过𝑥=2和𝑥=3两点的直线斜率，则0<𝑓′(3)<𝑓(3)−𝑓(2)<𝑓′(2)故选：D.【变式6-1】（2022·陕西·教学研究室一模）已知函数𝑦=𝑓(𝑥)的部分图象如图所示，其中𝐴(𝑥1,𝑓(𝑥1)),𝐵(𝑥2,𝑓(𝑥2)),

𝐶(𝑥3,𝑓(𝑥3))为图上三个不同的点，则下列结论正确的是（）A．𝑓′(𝑥1)>𝑓′(𝑥2)>𝑓′(𝑥3)B．𝑓′(𝑥3)>𝑓′(𝑥2)>𝑓′(𝑥1)C．𝑓′(𝑥3)>𝑓′(𝑥1)>𝑓′(𝑥2)D．𝑓′(𝑥1)>𝑓′(𝑥3)>𝑓′

(𝑥2)【解题思路】结合函数图形及导数的几何意义判断即可；【解答过程】解：由图可知函数在𝐴点的切线斜率小于0，即𝑓′(𝑥1)<0，在𝐷点的切线斜率等于0，即𝑓′(𝑥2)=0，在𝐶点的切线斜率大于0，即𝑓′(𝑥3)>0，所以𝑓′(𝑥3)>

𝑓′(𝑥2)>𝑓′(𝑥1)；故选：B.【变式6-2】（2022·广东·高二期中）如图，函数𝑓(𝑥)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（）A．𝑓′(1)<𝑓′(2)<𝑓′(3)<𝑓′(4)B．𝑓′(4)<𝑓′(3)<𝑓′

(2)<𝑓′(1)C．𝑓′(2)<𝑓′(1)<𝑓′(4)<𝑓′(3)D．𝑓′(4)<𝑓′(3)<𝑓′(1)<𝑓′(2)【解题思路】根据图象的变化趋势以及导数的几何意义，即可得到结果.【解答过程】由图象可知，函数𝑓(𝑥)在区间(1,2)上为增函数，但增长的越来

越慢；函数𝑓(𝑥)在区间(3,4)上为减函数，但递减的越来越快；又𝑓′(1),𝑓′(2),𝑓′(3),𝑓′(4)分别表示𝑥在1,2,3,4处切线的斜率，所以𝑓′(4)<𝑓′(3)<0<�

�′(2)<𝑓′(1).故选：B.【变式6-3】（2022·河南·高二阶段练习（理））已知函数𝑓1(𝑥)，𝑓2(𝑥)，𝑓3(𝑥)，𝑓4(𝑥)，它们在平面直角坐标系中的图象如图所示，则𝑓1′(𝑥0)，𝑓2′(𝑥0)，𝑓3′(𝑥0)，𝑓4′

(𝑥0)的大小关系是（）A．𝑓1′(𝑥0)>𝑓2′(𝑥0)>𝑓3′(𝑥0)>𝑓4′(𝑥0)B．𝑓1′(𝑥0)>𝑓3′(𝑥0)>𝑓2′(𝑥0)>𝑓4′(𝑥0)C．𝑓4′(𝑥0)>𝑓1′(𝑥0)>𝑓3′(𝑥0)>𝑓2′(𝑥

0)D．𝑓1′(𝑥0)>𝑓3′(𝑥0)>𝑓4′(𝑥0)>𝑓2′(𝑥0)【解题思路】根据导数的几何意义，画出各个函数图象在𝑥=𝑥0处的切线，根据切线的斜率来判断即可．【解答过程】依次作出𝑓1(𝑥

)，𝑓2(𝑥)，𝑓3(𝑥)，𝑓4(𝑥)在𝑥=𝑥0的切线，如图所示：根据图形中切线的斜率可知𝑓1⬚′(𝑥0)>𝑓2⬚′(𝑥0)>𝑓3⬚′(𝑥0)>𝑓4⬚′(𝑥0)．故选：A．