【文档说明】安徽省含山中学、和县中学2019-2020学年高一下学期期末联考数学（理科）试卷.doc，共(15)页，819.500 KB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年安徽省含山中学、和县中学高一第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．sincos＝（）A．B．C．1D．2．在等差数列{an}中，a8＝24，a16＝8，则a24＝（）A．﹣24B．﹣16C．﹣8D．03．已知t

anα＝﹣，且α∈（0，π），则sin（α+）＝（）A．B．C．D．4．在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝75°，则BC＝（）A．2B．2C．2D．45．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝（）A．1B．﹣1C．﹣3D

．﹣96．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin（α+β）＝（）A．B．C．D．7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣2n+2，则a8＝（）A．13B．

15C．17D．198．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则（）A．A＝BB．B＝CC．C＝AD．B+C＝9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝（）A．1B．2C．3D．410．已知数列{an}满足a1＝+1，an+1＝，（n∈N*）

，则a2020＝（）A．B．C．D．﹣111．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的仰角分别为∠MAN＝30°，∠MBN＝60°，∠MCN＝45°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为（）A．12mB

．12mC．30mD．30m12．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为（）A．13B．14C．15D．16二、填空题（共4小题）.13．tan15°＝．14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍

加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”原文意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有多少盏灯？若塔的最中间一层有n盏灯，则n＝．15．函数f（x）＝2sinx+3cosx的最小值为．16．在△ABC中，已知AB

＝9，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则△ABC的面积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a6＝16，S21＝

441．（1）求数列{an}的通项公式：（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．18．已知sinα＝，sin（α﹣β）＝，其中α，β∈（0，）．（1）求sin（α﹣2β）的值；（2）求β的值．19．在△ABC中，角A，

B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC＝2a+c．（1）求角B的大小；（2）若c＝2，b＝2，求a的值．20．已知数列{an}，Sn是其前n项和，且满足3an＝2Sn+n（n∈N*），bn＝an+．（1

）求证：数列{bn}为等比数列；（2）若cn＝2n•bn，求数列{bn}的前n项和Tn．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（2）若a＝，求（﹣1）b+c的取值范围．22．已知数列{an}的前n项和Sn，满足a2

＝﹣4，2Sn＝n（an﹣7）．（1）求a1和数列{an}的通项公式；（2）若bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有

-项符合题目要求．1．sincos＝（）A．B．C．1D．【分析】直接利用二倍角公式求出函数的表达式，计算出值即可．解：因为＝＝．故选：A．2．在等差数列{an}中，a8＝24，a16＝8，则a24＝（）A．﹣24B．﹣16C．﹣8D．0【分析】由已知结合等差数列的性质即可

直接求解．解：由等差数列的性质可得，d＝＝﹣2，则a24＝a8+16d＝24﹣32＝﹣8．故选：C．3．已知tanα＝﹣，且α∈（0，π），则sin（α+）＝（）A．B．C．D．【分析】由特殊角的三角函数值得到α＝，然

后利用两角和与差的公式解答．解：∵tanα＝﹣，且α∈（0，π），∴α＝，∴sinα＝sin＝，cosα＝cos＝﹣．∴sin（α+）＝（sinαcos+cosαsin）＝（×﹣×）＝．故选：B．4．

在△ABC中，AB＝，A＝45°，B＝75°，则BC＝（）A．2B．2C．2D．4【分析】根据题意可求得C＝60°，利用正弦定理即可得到BC．解：因为A＝45°，B＝75°，所以C＝180°﹣45°﹣75°＝60°，由正弦定理可得，则BC＝＝＝2，故选：A．5．已知等比数列{an}的

前n项和Sn＝3n+2+3t，则t＝（）A．1B．﹣1C．﹣3D．﹣9【分析】根据题意，由Sn公式求出a1、a2、a3的值，由等比数列的定义分析可得答案．解：根据题意，等比数列{an}的前n项和Sn＝3n+2+3t，则a1＝S1＝33+3t＝27+3t，a2＝S2﹣S1＝（3

4+3t）﹣（33+3t）＝54，a3＝S3﹣S2＝（35+3t）﹣（34+3t）＝162，则有（27+3t）×162＝542，解可得t＝﹣3，故选：C．6．周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，最大内角和最小内角分别记为α，β，则sin（α

+β）＝（）A．B．C．D．【分析】先根据条件求出边长，结合余弦定理求出中间角的余弦值，进而求得结论．解：因为周长为9的三角形三边长成公差为1的等差数列，故三边长分别为2，3，4；设中间边对应的角为A；则cosA＝

＝；故sin（α+β）＝sin（π﹣A）＝sinA＝＝＝；故选：D．7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2﹣2n+2，则a8＝（）A．13B．15C．17D．19【分析】利用a8＝S8﹣S7，即可得出．

解：a8＝S8﹣S7＝82﹣2×8+2﹣（72﹣2×7+2）＝13，故选：A．8．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则（）A．A＝BB．B＝CC．C＝AD．B+C＝【分析】利用三角函数的恒等变换变形得到cos（B﹣C）＝1，从而得到B＝C，则答案可求．解：∵由已知可得s

inBsinC＝cos2＝，即2sinBsinC＝1+cosA＝1﹣cos（B+C）＝1﹣cosBcosC+sinBsinC，则cosBcosC+sinBsinC＝1，即cos（B﹣C）＝1．∵﹣π＜B﹣C＜π，∴B﹣C＝0，即B＝C．故选：B．9

．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，则bcosC+ccosB＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用余项定理表示出cosC，cosB，代入化简即可得解：由余弦定理可得bcosC+ccosB

＝b•+c•＝＝a＝3，故选：C．10．已知数列{an}满足a1＝+1，an+1＝，（n∈N*），则a2020＝（）A．B．C．D．﹣1【分析】利用递推公式依次求出数列{an}的前7项，从而得到{an}是周期为6的周期数列，从而a2020＝a4．解：∵数列{an}满足a1

＝+1，an+1＝，（n∈N*），∴a2＝＝﹣1，a3＝＝＝，＝＝，＝1，＝，＝＝，∴{an}是周期为6的周期数列，∵2020＝336×6+4，∴a2020＝a4＝．故选：D．11．如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物MN的顶部M处的

仰角分别为∠MAN＝30°，∠MBN＝60°，∠MCN＝45°，且AB＝BC＝60m，则建筑物的高度为（）A．12mB．12mC．30mD．30m【分析】用MN表示出AN，BN，CN，利用余弦定理表示出cos∠AB

N，cos∠CBN，根据cos∠ABN+cos∠CBN＝0列方程求出MN．解：设MN＝h，则AN＝h，BN＝，CN＝h，在△ABN中，由余弦定理可得cos∠ABN＝，在△BCN中，由余弦定理可得cos∠NBC＝，∵∠ABN+∠NBC＝π，∴

+＝0，即7200+﹣4h2＝0，解得：h2＝2160，∴h＝12．故选：B．12．如图所示的“数阵”的特点是：每行每列都成等差数列，则数字145在图中出现的次数为（）A．13B．14C．15D．16【分析】第i行

第j列的数记为Aij，例如第一行数组成的数列A1j（j＝1，2…）是以2为首相，公差为1的等差数列，则A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，类似得第j列数组成的数列Aij（i＝1，2，…）是以j+1为首项，公差为j的等差数列，则Aij＝ij+1，令Aij＝ij+1＝145，推出ij＝

144＝24×32，进而145出现的次数．解：第i行第j列的数记为Aij，那么每一组i与j的组合就是表中的一个数，因为第一行数组成的数列A1j（j＝1，2…）是以2为首相，公差为1的等差数列，所以A1j＝2+（j﹣1）×1＝j+1，所以第j列数组成的数列Aij（i＝1，2，…）

是以j+1为首项，公差为j的等差数列，所以Aij＝（j+1）+（i﹣1）×j＝ij+1，令Aij＝ij+1＝145，则ij＝144＝24×32，所以145出现的次数为（4+1）（2+1）＝15．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．tan15°＝2﹣．【分析】把15°

变为45°﹣30°，然后利用两角差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简可得tan15°的值．解：tan15°＝tan（45°﹣30°）＝＝＝＝2﹣．故答案为：2﹣．14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红

光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”原文意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，问塔的顶层有多少盏灯？若塔的最中间一层有n盏灯，则n＝24．【分析】根据题意，设从上

向下每一层的灯的数记为{an}，分析可得数列{an}是以2为公比的等比数列，由等比数列的前n项和公式可得S7＝＝（27﹣1）a1＝381，解可得a1的值，进而计算可得答案．解：根据题意，设从上向下每一层的灯的数记为{an}，则数列{an}是以2为公比的等

比数列且S7＝＝（27﹣1）a1＝381，解可得a1＝3，塔的最中间一层有n盏灯，则n＝a4＝a1q3＝24，故答案为：2415．函数f（x）＝2sinx+3cosx的最小值为﹣．【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的表达式

为一个角的一个三角函数的形式，然后求解即可．解：函数f（x）＝2sinx+3cosx＝sin（x+φ）∈[﹣，]，其中tanφ＝，∴f（x）的最小值为﹣，故答案为：﹣．16．在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，cos（C﹣A）＝，则

△ABC的面积为12．【分析】作CD＝AD，则∠BCD＝C﹣A，设AD＝CD＝x，则BD＝9﹣x，在△BCD中，由余弦定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出CD与BD的长，在三角形BCD中，利用余弦定理即可求出cosB的值，然

后求出sinB，利用三角形的面积公式进行求解即可．解：∵AB＞BC，∴C＞A，作CD＝AD，则∠DCA＝∠A，则∠BCD＝C﹣A，即cos∠BCD＝cos（C﹣A）＝，设AD＝CD＝x，则BD＝9﹣x，在△BDC中，由余弦定理得：BD2＝CD2+BC2﹣2CD•BC•cos∠BCD，即

（9﹣x）2＝x2+49﹣2×7x•＝x2+49﹣，整理解得：x＝6，∴AD＝6，BD＝3，CD＝6，在△BCD中，由余弦定理得cosB＝＝＝．则sinB＝＝，则△ABC的面积S＝×7×9×＝12，故答案为：12．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答

题应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3+a6＝16，S21＝441．（1）求数列{an}的通项公式：（2）若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1

）设数列{an}的公差为d，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出关于a1和d的方程组，解之即可；（2）根据裂项相消法即可得解．解：（1）设数列{an}的公差为d，∵a3+a6＝16，S21＝441，∴

，解得a1＝1，d＝2，∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，故数列{an}的通项公式为an＝2n﹣1．（2）bn＝＝＝，∴Tn＝+++……+＝＝．18．已知sinα＝，sin（α﹣β）＝，其中α，β∈（0，）．（1）求sin（α﹣2β）的值；

（2）求β的值．【分析】（1）根据三角函数的同角关系，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．（2）利用两角和差的正弦公式弦求出sinβ的值，结合角的范围进行求解．解：（1）由sinα＝，及α∈（0，）．得cosα＝

＝，因为α，β∈（0，），所以α﹣β∈（﹣，），又sin（α﹣β）＝所以cos（α﹣β）＝＝，所以sin2（α﹣β）＝2sin（α﹣β）cos（α﹣β）＝2××＝，cos2（α﹣β）＝1﹣2sin2（α﹣β）＝1﹣2×（）2＝，所以sin（α﹣2β）＝sin[2（α﹣β）﹣α]＝sin2（α﹣β

）cosα﹣cos2（α﹣β）sinα＝×＝﹣．（2）sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]＝sinαcos（α﹣β）﹣cosαsin（α﹣β）＝×﹣×＝，又β∈（0，），所以β＝．19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC＝2a+c．（1）求角B的大小；

（2）若c＝2，b＝2，求a的值．【分析】（1）由正弦定理可将条件整理为（2cosB+1）sinC＝0，因为sinC≠0，故可求得cosB，即可得B；（2）根据余弦定理得到关于a的方程，解出即可．解：（1）因为2b

cosC＝2a+c，所以由正弦定理得2sinBcosC＝2sinA+sinC，所以2sinBcosC＝2sin（B+C）+sinC，即2sinBcosC＝2（sinBcosC+cosBsinC）+sinC，整理可得（2cos

B+1）sinC＝0，因为△ABC中，sinC＞0，所以cosB＝﹣，所以B＝；（2）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB，所以28＝a2+4+2a，解得a＝4或a＝﹣6（舍）．所以a＝4．20．已知数列{an}，Sn是

其前n项和，且满足3an＝2Sn+n（n∈N*），bn＝an+．（1）求证：数列{bn}为等比数列；（2）若cn＝2n•bn，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）由3an＝2Sn+n得，3an+1＝2Sn+1+n+1，两式相减化简后得an+1＝3an+1，可变

形为an+1+＝3（an+），即bn+1＝3bn，故而得证；（2）易知，bn＝，，然后采用错位相减法即可求得Tn．【解答】（1）证明：由3an＝2Sn+n得，3an+1＝2Sn+1+n+1，两式相减得，3an+1﹣3an＝2an+1+1，即an+1＝3an+1，所以an+1+＝3（an

+），即bn+1＝3bn，故数列{bn}为等比数列．（2）解：在3an＝2Sn+n中，令n＝1，得a1＝1，所以b1＝．由（1）知数列{bn}的公比为3，所以bn＝，所以，所以Tn＝1×31+2×32+3×33+……+n•3n，3Tn＝1×32+2×33+……+（n﹣

1）•3n+n•3n+1，两式相减得，﹣2Tn＝31+32+33+……+3n﹣n•3n+1＝﹣n•3n+1，整理得，Tn＝．21．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2＝a2+bc．（1）求角A的大小；（

2）若a＝，求（﹣1）b+c的取值范围．【分析】（1）由已知利用余弦定理得cosA＝，结合A为△ABC的内角，求出A的值．（2）利用正弦定理，三角函数恒等变换，可得（﹣1）b+c＝4sin（B+），然后求出B+的范围，利用正弦函数的性质，求出

（﹣1）b+c的取值范围．解：（1）由b2+c2＝a2+bc，得＝，由余弦定理，得cosA＝．又A为△ABC的内角，所以A＝．（2）由正弦定理，得＝2，所以b＝2sinB，c＝2sinC，所以（﹣1）b+c

＝2（）sinB+2sinC＝2（）sinB+2sin（﹣B）＝2（）sinB+2（cosB+sinB）＝2sinB+2cosB＝4sin（B+），因为A＝，所以B∈（0，），所以B+∈（，），所以sin（B+）∈（，1]，所以（﹣1）b+c∈（，4]．22．已知数列{

an}的前n项和Sn，满足a2＝﹣4，2Sn＝n（an﹣7）．（1）求a1和数列{an}的通项公式；（2）若bn＝|an|，求数列{bn}的前n项和Tn．【分析】（1）由2Sn＝n（an﹣7）得，2Sn+1＝（n+1）（an+1﹣7），两

式相减整理后得（n﹣1）an+1﹣nan＝7，即（n≥2），然后采用累加法可推出＝（n≥2），从而得an＝3n﹣10（n≥3），最后把a1＝﹣7，a2＝﹣4代入上式验证即可；（2）由（1）得，bn＝|3n﹣10|＝，然后分n≤3和n≥4两种情形，结合等差数列的前n

项和公式分别计算Tn即可．解：（1）在2Sn＝n（an﹣7）中，令n＝1得，a1＝﹣7．由2Sn＝n（an﹣7）得，2Sn+1＝（n+1）（an+1﹣7），两式相减得，2an+1＝（n+1）an+1﹣nan﹣7，所以（n﹣1）an+1﹣nan＝7，当n≥

2时，有＝，所以＝++……+＝7（）+7（）+……+7（）＝7（1﹣）＝，所以＝+＝﹣4+＝，所以an+1＝3n﹣7（n≥2），故an＝3n﹣10（n≥3），又a1＝﹣7，a2＝﹣4也都符合上式，所以an＝3n﹣10（n∈N*）．（2）由（1）得，bn＝|3n﹣10|＝．所以n≤3时

，Tn＝＝；n≥4时，Tn＝T3+＝+＝，综上所述，Tn＝．