【文档说明】备战2023-2024学年高三上学期期中数学真题分类汇编（新高考通用）专题19开放性问题（十大题型） Word版含解析.docx，共(48)页，4.522 MB，由小赞的店铺上传

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专题19开放性问题集合与逻辑语言1．（辽宁省沈阳市四校2023届高三上学期期中）设集合13Axx=∣，集合1Bxyx==−∣，若ACB，写出一个符合条件的集合C=．【答案】1,4（答案不唯一）【分析】求得1Bxx=∣，再根据真子集的定义求解即可.【详解】

13Axx=∣，1Bxx=∣，故若ACB，则可有1,4C=.故答案为：1,4（答案不唯一）2．（湖北省华中师范大学第一附属中学2023届高三上学期期中）对于一个集合S，若a∈S时，有1a∈S，则称这样的数集为“可倒数集”，试写出一

个“可倒数集”：.【答案】1122，，（答案不唯一）【分析】由“可倒数集”的定义求解即可.【详解】由“可倒数集”的定义，若1S，11S，若2S，12S，所以“可倒数集”可以是112

2，，.故答案为：1122，，（答案不唯一）.3．（湖南省长沙市南雅中学2022-2023学年高三上学期期中）已知集合2,1,1,2,3A=−−，1111,,,,1,2,39432B=，请用解析式法．．．．写出一个从集合A到集合B的

函数（注意不要．．写常数函数和分段函数形式，并注意定义域．．．）.【答案】()fxx=，2,1,1,2,3x−−（答案不唯一）【分析】根据函数的定义，写出一个符合的函数即可.【详解】根据函数的定义，集合A中没有剩余元

素，且应满足对于集合A中任意一个元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应.可取()fxx=，可知()()222ff−==，()()111ff−==，()33f=，显然1，2，3都是集合B中的元素.故答案为：()

fxx=，2,1,1,2,3x−−（答案不唯一）4．（重庆市杨家坪中学2023届高三上学期期中）若集合332aaxx∣恰有8个整数元素，写出a的一个值：．【答案】7（答案不唯一，实数a满足202233a即可）【分析】由题意知区间长度大

于7不大于9，据此求出集合中最小整数，得到集合中最大整数为10，建立不等式求解.【详解】依题意可得37923aa−，解得5467a，则183812,93727aa．所以集合332aaxx∣的整数元素的最小值为3，从而最大值为10，

所以310112a，解得202233a．故答案为：7（答案不唯一）.5．（福建省石狮市永宁中学2023届高三上学期期中）设M，P是两个非空集合，定义集合M，P的差集运算为,MPxxM−=且,xP

设集合2,4,6,8,B=请你写出一个集合A，使得5,AB−=则集合A=.【答案】5(答案不唯一)【分析】由集合的新定义转化条件为5A，且A中不再含UBð中的其他任何元素，即可得解.【详解】由题意，知5A，

且A中不再含UBð中的其他任何元素，而是否再含B中的元素则不影响等式5AB−=，因此5A=符合题意.故答案为：5(答案不唯一)向量与复数6．（海南省琼海市嘉积中学2023届高三上学期期中）写出一个同时满足下列条件①②的向量a=．①

1a=；②向量a与()1,1b=−r的夹角0,4．【答案】3,221−（答案不唯一）【分析】由题可设()cos,sina=，再利用向量a与()1,1b=−r的夹角可得.【详解】由1a=，可设()cos,sina=，)0,2，又向量a与()

1,1b=−r的夹角0,4，所以377,,2244，在该区间任取一个角即可．不妨去11π6=，则31,22a=−故答案为：3,221−

（答案不唯一）.7．（2022秋·河北张家口·高三校联考期中）已知向量()3,1a=，(),bxy=r（0xy），且1b=，0ab，则向量b的坐标可以是．（写出一个即可）【答案】22,22

−−（答案不唯一）【分析】根据已知条件列关于x，y的方程组，解方程组即可求解.【详解】向量()3,1a=，(),bxy=r（0xy），且1b=，0ab，所以221300xyxyxy+=

+，取22xy==−符合题意，所以向量b的坐标可以是22,22−−，故答案为：22,22−−（答案不唯一）8．（江苏省徐州市第七中学2023届高三上学期期中）已知向量(

)1,1a=，非零向量b满足ba⊥，则b=．（答案不唯一，写出满足条件的一个向量坐标即可）【答案】()1,1−【分析】向量的数量积为0可得b的坐标满足的关系，得出结论．【详解】设(,)bxy=r，则由ba⊥得

0abxy=+=，取=1x−，则1y=，(1,1)b=−r．故答案为：(1,1)−（x取其他值得其他答案）．9．（2022秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第一二〇中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，已知向量(),axy=r，(

)1,1b=−−，()4,4c=，且满足acbc=，则a=（写出满足条件的一种表示即可）．【答案】()0,2−（答案不唯一，满足2xy+=−即可）【分析】根据acbc=得到向量a满足的条件，即可写出a．【详解】由题意得44ac

xy=+，448bc=−−=−，由于acbc=，所以有2xy+=−，取0x=，=2y−，得()0,2a=−，（答案不唯一）．故答案为：()0,2−10．（2022秋·辽宁丹东·高三统考期中）设i是虚数单位，复数()1i,zabab=+R，212iz=+，请写出一个满足12zz

是纯虚数的复数1z=.【答案】2i+（只要满足2ab=，且0a）【分析】利用复数的乘法化简复数12zz，根据12zz为纯虚数可出关于a、b的等式与不等式，即可得解.【详解】由已知可得()()()()12i12i22izzababab=++=−++为纯虚

数，则220abab=+.所以，2ab=且0a，故满足题设条件的复数1z可以是12iz=+.故答案为：2i+（只要满足2ab=，且0a）.11．（江苏省常州市金坛区金沙高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知复数z的实部和虚部均不等于0

，且24z，请写出一个满足以上条件的复数：z=．【答案】12i+（答案不唯一）【分析】根据已知条件，结合复数的模的计算，可得答案.【详解】因为复数z的实部和虚部均不等于0，且24z，故符合条件的一个复数为：12zi=+，故答案为：12i+12．（2

022秋·河北张家口·高三张家口市第一中学校考期中）设复数z满足1zz=+，且11zz−+是纯虚数，试写出一个满足条件的复数：z=.【答案】13i22−+【分析】设出复数z的代数形式，由1zz=+求出z的实部，然后由11zz−+是纯虚数列式即可计算作答.【详解】设()i,zxyxy=+R

，由1zz=+，可得2222(1)xyxy+=++，解得12x=−，又11zz−+是纯虚数，设1i(1zttz−=+R且0)t，则31ii22ytyt−+=−+，则3212tyyt−=−=，解得32y=，所以13i2

2z=−+或13i22z=−−.故答案为：13i22z=−+13．（2022秋·山东淄博·高三统考期中）已知向量()5,8AB=，(),9ACm=，()3,2CD=−.写出m的一个值：，使得ADBC⊥，此时AD=.【答案】2−（答案不唯一）52（答案不唯一）【分析】利用向量的线性运算、垂直的性质、

模长公式的坐标表示进行求解.【详解】因为ADBC⊥，所以0ADBC=.因为()()(),93,23,7ADACCDmm=+=+−=+，()()(),95,85,1BCACABmm=−=−=−，所以()()2357280ADBCmmm

m=+−+=−−=，所以2m=−或4m=.当2m=−时，()1,7AD=，5052AD==；当4m=时，()7,7AD=，9872AD==.故答案为：2−；52或4；72（写出一组答案即可）.函数14．（广东省深圳

市南山区北京师范大学南山附属学校2023届高三上学期期中）写出一个同时具有下列性质的函数()fx=．①()()()1212fxxfxfx=+；②()fx为增函数．【答案】2logx（形如()()log1afxxa=都可

以，答案不唯一）【分析】根据对数的运算性质以及对数函数的单调性可得出结果.【详解】取()2logfxx=，该函数的定义域为()0,+，对任意的1x、()20,x+，()()()()12212212212logloglogfxxxxxxfxfx==+=+，即()2l

ogfxx=满足①；又因为函数()2logfxx=为定义域()0,+上的增函数，即()2logfxx=满足②.故函数()2logfxx=满足条件.故答案为：2logx（形如()()log1afxxa=都可以，答案不唯一）.15．（2022秋

·江苏扬州·高三校考期中）已知()fx为定义在R上的奇函数，()2fx+为偶函数，且对任意的1x，()20,2x，12xx，都有()()12120fxfxxx−−，试写出符合上述条件的一个函数解析式()fx=.【答案】πsin4x−（答案不唯一）【分析】根

据给定的奇偶性，推理计算得函数的周期性，再结合单调性求解作答.【详解】因为()fx是定义在R上的奇函数，则()()fxfx−=−，且()00f=，又()2fx+为偶函数，则()()22fxfx−+=+，即(4)()fxfx+=−，于是(4)()fxfx+

=−，则(8)(4)()fxfxfx+=−+=，即()fx是以8为周期的周期函数，对任意1x，()20,2x，12xx，都有()()12120fxfxxx−−，可得()fx在()0,2单调递减，不妨设()sinfxAx=，由题意，2π8T=

=，所以π4=，则π()sin4fxAx=，当()0,2x时，ππ0,42x，因为π()sin4fxAx=在()0,2上单调递减，且sinyx=在π0,2上单调递增，所以0A，不

妨取1A=−，此时π()sin4fxx=−.故符合上述条件的一个函数解析式π()sin4fxx=−，（答案不唯一）.故答案为：πsin4x−（答案不唯一）16．（山东省青岛市4区县2022-2023学年高三上学期期中）请写出一个幂函数()fx，满足：0x

，()()()1fxfxfx=−+.此函数可以是()fx=.【答案】2x（答案不唯一）【分析】根据给定条件，确定函数()fx的定义域，及函数()fx的有关性质，再写出符合的函数解析式作答.【详解】令幂函数()fxx=（为常数），由

0x，()()=fxfx−知，函数()fx的定义域为R，()fx是偶函数，又0x，()()1fxfx+，则函数()fx在)0,+上单调递增，因此可以为正偶数，所以此函数可以是2()fxx=.故答案为：2x17．（江苏省扬州市高邮市2022-2023学年高三上学期期中

）若定义在R上的函数()fx满足：,xyR，()()()()2fxyfxyfxfy++−=，且()01f=，则满足上述条件的函数()fx可以为.（写出一个即可）【答案】()1fx=（答案不唯一()cosfxx=也可）【分析】根据题意可得函数()fx为偶函数，可取()1fx=，在证明这个

函数符合题意即可.【详解】令0x=，则()()()2fyfyfy+−=，所以()()−=fyfy，所以函数()fx为偶函数，可取()1fx=，则()()()()1fxyfxyfxfy+=−===，所以,xyR，()()()()2fxyfxyfxfy++−=，所以函数(

)1fx=符合题意.故答案为：()1fx=.（答案不唯一()cosfxx=也可）18．（2022秋·河北邯郸·高三大名县第一中学校考期中）能说明“若函数()fx在0,2上的最大值为()0f，则函数()f

x在0,2上单调递减”为假命题的一个函数是.【答案】()2(1)fxx=−（答案不唯一）【分析】只要所求的函数在0,2上的最大值为()0f，但在0,2上不单调即可.【详解】函数()2(1)fxx=−在0,2上先减后增，在0x=处取

得最大值()0f.故答案为：()2(1)(fxx=−答案不唯一).19．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）写出一个同时具有下列性质①②的函数()fx=①()fx在R上单调递增；②对任意的实数,xy，

都有()()()()()fxyfxfyfxfy+=++.【答案】21x−（答案不唯一，()1(1)xfxaa=−均满足）【分析】取()21xfx=−，验证满足条件①②即可.【详解】取()21xfx=−，满足①.因为()()()()()()21212121xyxyfxfy

fxfy++=−−+−+−22212121xyxyxy+=−−++−+−21xy+=−，又()21xyfxy++=−，所以()()()()()fxyfxfyfxfy+=++，满足②.故答案为：21x−.导数20．（2022秋·江苏泰州·高

三统考期中）写出使“函数()fxax=与函数()lngxx=的图象无公共点”的a的一个取值.【答案】1（答案不唯一，只需满足1ea即可）【分析】令()()fxgx=，可得出lnxax=，其中0x，令(

)lnxhxx=，其中0x，利用导数求出函数()hx的值域，即可得出当函数()fxax=与函数()lngxx=的图象无公共点时，实数a的取值范围，即可得解.【详解】令()()fxgx=，即lnaxx=

，可得lnxax=，其中0x，令()lnxhxx=，其中0x，则()21lnxhxx−=，由()0hx=，可得ex=，列表如下：x()0,ee()e,+()hx+0−()hx增极大值1e减

所以，函数()hx在ex=处取得最大值()1eeh=，作出函数()hx的图象如下图所示：由图可知，函数()hx的值域为1,e−，故当函数()fxax=与函数()lngxx=的图象无公共点时，则1ea.故答

案为：1（答案不唯一，只需满足1ea即可）.21．（广东省深圳市深圳实验学校光明部2023届高三上学期期中）设函数()fx的定义域为R，()()fxfx−=，当0x时，()0fx，写出一个满足上述条件的函数：()fx=.【答案】||12x

（答案不唯一）【分析】将所给条件翻译成函数的性质，根据性质写出函数即可.【详解】当0x时，()0fx，说明()fx在()0,+上为减函数，()()fxfx−=，说明()fx的函数值非负，根据上述

条件可得满足条件的一个函数为||1()2xfx=.当0x时，1()2xfx=为减函数，且||||11()22xxfx−−==|()|fx=.故答案为：||12x

（答案不唯一）.22．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中）设函数()lnfxaxx=+．能说明“对于任意的120xx，都有12()()fxfx成立”为假命题的一个实数a的值可

以是．【答案】－1（答案不唯一，只要满足a<0即可）【分析】对函数求导，通过导函数的符号，判断函数的单调性，根据条件得到a的范围，再结合题意确定a的值即可．【详解】“对于任意的120xx，都有12()()fxfx成立”，即函数()fx在()0,+上单调递增．由

函数()ln,0fxaxxx=+，可得1()fxax=+，令1()0fxax+==，可得1xa=−，0a时，()0fx，函数()fx在()0,+上是增函数；当a<0时，10,xa−时，()0fx，函数()fx

是增函数；1xa−时，()0fx，函数()fx是减函数，故“对于任意的120xx，都有()()12fxfx成立”为假命题的一个实数a的值可以是－1（答案不唯一，只要满足a<0即可）．故答案为：－1（答案不唯一，只要满足a<0即可)．23．（2022秋·重庆·高三西南大学附中校考期中）写出

一个同时满足下列3个条件的函数()fx=．①()fx是R上偶函数；②()fx在R上恰有三个零点；③()fx在)1,+上单调递增．【答案】22(2)xx−（答案不唯一）【分析】根据条件①②可令函数()fx为两个偶函数的积，其中一个有唯一零点0，另两个零点互为相反数，

再验证单调性作答.【详解】因为()fx是R上偶函数，且()fx在R上恰有三个零点，于是()fx的一个零点为0，另两个零点互为相反数且不为0，不妨令22()(2)fxxx=−，显然()fx是R上偶函数，且有3

个零点分别为0,2，求导得3()444(1)(1)fxxxxxx=−=+−，当1x时，()0fx恒成立，因此函数()fx在)1,+上单调递增，所以函数22()(2)fxxx=−符合题意.故答案为：22(2)xx−24．

（2022秋·江苏南通·高三期中）若函数()32123=+−fxxx在区间()4,−aa上存在最小值，则整数a的取值可以是．【答案】1（答案不唯一，2、3均可）【分析】利用导数分析函数()fx的单调性与极值，作出图形，求出使得()()()00fmfm=的m的值，根

据函数()fx在区间()4,−aa上有最小值可得出关于实数a的不等式组，解之即可.【详解】因为()32123=+−fxxx，则()()222fxxxxx=+=+.由()0fx可得20x−，由()0fx¢>可得<2x−

或0x，所以，函数()fx的减区间为()2,0−，增区间为(),2−−、()0,+，所以，函数()fx的极大值为()8224233f−=−+−=−，极小值为()02f=−，令()()22fmf==−，其中0m，则321223mm+−=−，解得3m=−，因为函数()fx

在区间()4,−aa上存在最小值，则3400aa−−，解得14a，所以，整数a的取值集合为1,2,3.故答案为：1（答案不唯一，2、3均可）.25．（山东省德州市2022-2023学年高三上学期期中数

学试题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数()fx=.①定义域为R，函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；②()()R,0xfxfx−+=；③()fx为函数()fx的导函数，()R,0xfx.【答案】sinxx+（答案不唯一）【分析】取()sinfxxx=

+，验证得到函数满足条件①②，求导得到()cos10=+fxx，满足条件，得到答案.【详解】取()sinfxxx=+，函数定义域为R，函数值不恒为0，且图象是条连续不断的曲线；()()()sinsinfxxxxxfx−=−−=−−=−，函数为奇函数；()cos10

=+fxx恒成立.故答案为：sinxx+26．（2022秋·湖南湘潭·高三湘潭一中校考期中）已知定义域为R的函数()fx存在导函数()fx，且满足()()()(),4fxfxfxfx−=−=−，则曲线()yfx=在点()()20

22,2022f处的切线方程可以是（写出一个即可）【答案】0y=（答案不唯一）【分析】由题意可得()fx是偶函数且周期为4，继而可得()fx关于直线2x=对称，根据周期可得到2022x=也是()fx的对称轴，所以2022x=是()fx的极值点，故()20220f=，即可求出答案【详解】(

)fx的定义域为R，由()()fxfx−=可知，()fx是偶函数，由()()4fxfx−=−可知()fx周期为4，因为()()()4fxfxfx=−=−，故()fx关于直线2x=对称，又因为202225054=+，所以2022x=也是()fx的对称轴，因为()fx在R上存在导函

数()fx，所以2022x=是()fx的极值点，即()20220f=，曲线()yfx=在点()()2022,2022f处的切线斜率为0，故切线方程可能为0y=，故答案为：0y=（答案不唯一）27．（江苏省常州市金沙高级中学2022-2023学年高三上学期

期中）设函数()33,2,xxxafxxxa−=−.①若()fx存在最大值，则实数a的一个取值为.②若()fx无最大值，则实数a的取值范围是.【答案】0（答案不唯一，满足)1,a−+即可）(),1−−【分析】利用导数可求得()33gxxx=−的单调性和极值，由此可得()

gx与2yx=−的图象，结合图象分析即可得到结果.【详解】令()33gxxx=−，则()()()233311gxxxx=−=+−，当()(),11,x−−+时，()0gx；当()1,1x−时，()0gx；()gx在()(),1,1,−

−+上单调递增，在()1,1−上单调递减，()gx极大值为()1132g−=−+=，极小值为()1132g=−=−；令()2gxx=−，即332xxx−=−，解得：1x=或0x=；由此可作出()gx与2yx=−图象如下图所示，对

于①，结合图象可知：若()fx存在最大值，则)1,a−+，a的一个取值为0；对于②，若()fx无最大值，只需22a−，解得：1a−，即(),1a−−；故答案为：0（答案不唯一，满足)1,a−

+即可）；(),1−−.三角函数28．（2022秋·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期中）将函数cossinyxx=−的图像先向右平移(0)个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到函数cos2sin2yxx=+的图像，

则的一个可能取值是.【答案】2（答案不唯一）【分析】根据辅助角公式，结合平移变换得12a=，244k−+=−，进而可得答案.【详解】解：函数cossin2cos4yxxx=−=+

的图像先向右平移(0)个单位，得到2cos4yx=−+的图像，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到cos2sin22cos24yxxx=+=−的图像，所以12a=，244k−+=−，

解得()22kk=−+Z，所以，的一个可能取值为2.故答案为：229．（湖北省宜荆荆恩2022-2023学年高三上学期期中）写出一个同时具在下列性质①②③的函数()fx=.①()()fxfx+=，②()fx在1,

12上是单调递增函数；③()fx的图象关于点,03对称.【答案】2sin23x−（答案不唯一）【分析】由条件①可知()fx为周期为的函数，故考虑设()()sin2fxx=+为正弦型函数，再由正弦函数的对称性求，并验证其单调性，由此可得

答案.【详解】由()()fxfx+=知函数()fx为周期为的函数故可设为()()sin2fxx=+，又()fx的图象关于点,03对称.所以23k+=，2,3kk=−+Z，当

1k=−时，23=−成立，故()2sin23fxx=−，令2222232kxk−+−+，kZ，可得71212kxk++，kZ，取0k=可得71212x，所以函数()fx在71212pp轾犏犏臌

，上单调递增，故()fx在1,12上是单调递增函数；满足②，所以函数()2sin23fxx=−满足条件①②③；故答案为：2sin23x−(答案不唯一).30．（山东省威海市第四中学2022-2023学年高三上学期期中）写出一个同时满足下列三个

性质的函数：()fx=.①()2fx为奇函数；②()31fx+为偶函数；③()fx在R上的最大值为2.【答案】π()2sin2xfx=（答案不唯一）【分析】根据函数的三条性质，考虑选用三角函数可得答案.【详解】分析函数的三条性质，可考虑三角函数，因为()2fx为奇函数，()fx在

R上的最大值为2，所以函数()fx的解析式可以为π()2sin2xfx=.对于①，(2)2sinπfxx=，因为()2sin()2sinπxx−=−，所以(2)fx为奇函数，符合；对于②，π(31)(31)2sin2xfx++=3π2cos2x=，因为3π()3π2cos2cos2

2xx−=，所以(31)fx+为偶函数，符合；对于③，π()2sin2xfx=的最大值为2，符合.故答案为：π()2sin2xfx=（答案不唯一）31．（河北省唐山市开滦第二中学2022-2023学年高三上学期期中）若函数()sin3cosfxxx

=+()0的最小正周期为π，则满足条件“()fx+是偶函数”的的一个值为（写出一个满足条件的即可）．【答案】π12（答案不唯一，也可以写5π12−，7π12，符合ππ122k+，kZ即可）【分析】化简可得()π2sin3fxx=+，又根据周期可得()π

2sin23fxx=+，即可得到()π2sin223fxx+=++，根据偶函数可得ππ122k=+，kZ.【详解】()sin3cosfxxx=+132sincos22xx=+π2sin3x=+，又()fx

的最小正周期为π，所以2ππ=，则2=，所以()π2sin23fxx=+，所以()π2sin223fxx+=++.又因为()fx+是偶函数，所以应满足ππ2π32k+=+，kZ，所以有ππ122k=+，kZ.故答案为：π12.32．（2022

秋·辽宁沈阳·高三沈阳市第四十中学校联考期中）写出一个同时具有下列性质①②③的函数解析式为()fx=.①不是常数函数；②()()0fxfx−−=；③()()11fxfx−=+.【答案】cosπx（答案不唯一）【

分析】首先理解条件中的性质，再写出满足条件的函数.【详解】因为()()0fxfx−−=，即()()fxfx−=，所以函数是偶函数，因为()()11fxfx−=+，所以函数关于1x=对称，且函数不是常函数，所以满足条件的函数()cosπfxx=.故答案为：cosπx（答案

不唯一）33．（江苏省盐城市四校2023届高三上学期期中）已知函数()sin()(0)fxx=+，()18f−=，且5()08f=，写出一个满足条件的函数()fx的解析式：.【答案】()sin(2)4fxx=−（答案不唯一）【分析】由题可得5

3()42884TkT+=−−=，进而可得321Tk=+，取1k=，即得.【详解】∵()sin()(0)fxx=+，()18f−=，且5()08f=，∴53()42884TkT+=−−=，Nk，∴321Tk=+，Nk，令1k=

，T=，2=，2()82m−+=+，mZ，令1m=−，4=−，()sin(2)4fxx=−.故答案为：()sin(2)4fxx=−（答案不唯一）.34．（江苏省连云港市灌南高级中学2022-2023学年高

三上学期期中）写出一个值，使得函数()()sincosfxxx=++取得最小值2−，的一个值可以为，若()102f=，则=.【答案】π2−（答案不唯一）π3（答案不唯一）【分析】根据题意，需s

inyx=与()cosyx=+同时取到最小值1−，再求解的值即可；代入()0f，求解的值即可.【详解】因为函数()()sincosfxxx=++取得最小值2−，所以函数sinyx=与()cosyx=+同时取到最小值1−，又()

π2πZ2xkk=−+时，sin1x=−，所以()π2πZ2xkk=−+时，()πcoscos2πsin2yxk=+=−++=也取到1−，所以()π2πZ2kk=−+，不妨取π2=

−，此时()()sincos2sinfxxxx=++=的最小值为2−，符合题意.若()102f=，则()10cos2f==，则()π2πZ3kk=+或()π2πZ3kk−+，不妨取π3=.故答案为：π2−（答案不唯一）；π3（答案

不唯一）.解三角形35．（山东省济宁市兖州区2022-2023学年高三上学期期中考）ABC的内角,,ABC所对边的长分别为,,abc，若4,30aA==，试写出一个b值，使该三角形有两解，则满足题意的b

的值可以是.【答案】写()4,8间的任一实数都正确【分析】根据题意，由正弦定理即可得到sin8bB=，再由三角形有两解列出不等式，即可得到结果.【详解】由正弦定理可得，sinsinabAB=，即sinsin8bAbBa==，因为三角形有两解，所以BA，所以si

n1baB，即418bb，所以48b，故答案为：()4,8间的任一实数.36．（山东省泰安市新泰市第一中学北校2022-2023学年高三上学期期中考）在ABC中，内角ABC，，的对边分别为ab

c，，，且2sinsin2sincosACBC+=，写出满足条件“10ac=”的一个b的值【答案】30（答案不唯一）【分析】根据正余弦定理边角互化可得2π3B=，考虑ABC为等腰三角形时即可求解.【详解】由正弦定理可得22cosacbC+=，由余弦定理可得2222222

2?2abcacbacbacab+−+=+−=−，所以()12πcos,0,π,23BBB=−=，由于10ac=，不妨考虑此时ABC为等腰三角形时，则10ac==，由222acbac+−=−，得210101030bb+−=−=，故答案

为：30（答案不唯一）37．（湖北省荆州中学20183届高三上学期期中）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC外接圆的面积为4π，请写出一组满足上述条件的边和角：=a，A=．【答案】2π6（答案不

唯一）【分析】根据给定条件，求出ABC的外接圆半径，再利用正弦定理求出sinaA即可求解作答.【详解】依题意，ABC的外接圆半径2R=，由正弦定理得24sinaRA==，即4sinaA=，又0πA，取π6A=，则2a=.故答案为：2；π638．（2022秋·广东中山·高三华南师范

大学中山附属中学校考期中）已知a，b，c分别是ABC的内角A，B，C的对边，写出“使满足2b=，π3A=的ABC唯一”的a的一个取值为．【答案】3（答案不唯一，满足3a=或2a即可）【分析】根据题意，利用正弦定理求解.【详解】∵π32,bA==，πsin2sin33bA==，∴当sinabA=

或ab，即3a=或2a时，ABC唯一；故答案为：3（答案不唯一，满足3a=或2a即可）39．（2022秋·江苏镇江·高三统考期中）在钝角ABC中，内角ABC，，的对边分别为,,abc，222sin

sinsinABC+，且3,5ac==，则b的一个值可以为.【答案】6（答案不唯一，348b均可）【分析】根据已知条件判断出B必为钝角，由cos0B得22234bac+=，即34b，再根据8bac+=，得到348b，然后在这个

范围内任取一个值，即可得解。【详解】因为222sinsinsinABC+，由正弦定理得222abc+，所以222cos02abcCab+−=，所以C不是钝角，又3,5ac==，所以ac，所以A也不是钝角，故B必为钝

角，从而222cos02acbBac+−=，所以22234bac+=，则34b，又8bac+=，所以348b.故答案为：6（答案不唯一，348b均可）40．（浙江省杭州市第二中学滨江校区2022-2023学年高

三上学期期中）已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，那么当=a时，满足条件“2b=，30A=”的ABC有两个．（仅写出一个a的具体数值即可）【答案】()1,2内任一数【分析】由正弦定理可得sin1sinbAaaB==，然后可求出a的范围.【详解】由正弦定理得sin

sinabAB=，所以sin1sinbAaaB==若满足条件的ABC有两个，则11a且2ab=所以12a故答案为：()1,2内任一数41．（广东省罗定中学城东学校2023届高三上学期期中）已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为

a，b，c，则能使coscosAbBa=成立的一组A，B的值是．【答案】π6AB==（答案不唯一）【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换公式得到等式，进而写出一组值即可.【详解】由正弦定理得：2sin,2si

naRAbRB==，coscosAbBa=，cossincossinABBA=，sincossincosAABB=，sin2sin2AB=，()()0,π,0,πABπ6AB==（答案不唯一）.故答案为：π6AB==（答案不唯一）.数列4

2．（河北省张家口市第─中学2023届高三上学期期中数学）已知数列na为32，43，54，65，L，则该数列的一个通项公式可以是．【答案】21nnan+=+（答案不唯一）【分析】分析数列na前4项的特征，求出前4项都满足的一个通项公式作答.【详

解】依题意，312422532642,,,211321431541++++====++++，所以前4项都满足的一个通项公式为21nnan+=+.故答案为：21nnan+=+43．（广东省梅州市东山中学2023届高三上学期期中）写出一个各项均小于3的无穷递增数列的通项公式：na=()

*nN.【答案】13n−（答案不唯一）【分析】根据数列的单调性以及题意可得出满足条件的一个数列的通项公式.【详解】对任意的nN，10n，则133n−，数列13n−为单调递增数列，故满足条件的一个数列的通项公式为()13nann=

−N.故答案为：13n−（答案不唯一）.44．（广东省广州市增城中学、广东华侨，协和中学三校2023届高三上学期期中）已知等差数列na的前n项和为nS，公差d为奇数，且同时满足：①nS存在最大值；②276S

aS−=；③7d．则数列nS的一个通项公式可以为nS=．（写出满足题意的一个通项公式）【答案】2922nn−（答案不唯一）【分析】由276SaS−=可得5140aad=+=，由nS存在最大值可得0d，结合d为奇数且7d可得d的取值，从而可得nS.【详解

】由276SaS−=得27SS=，即34670aaaa+++=．因为数列na是等差数列，所以由等差数列的性质可知550a=．设等差数列na的公差为d，则14ad=−，()()115naandnd=+−=−．因为nS存在最大值，所以公差

0d，又因为d为奇数且7d，故可取1,3,5d=−−−．当1d=−时，5nan=−，()219222nnnaannS+==−；当3d=−时，153nan=−，()21273222nnnaannS+

==−；当5d=−时，255nan=−，()21455222nnnaannS+==−．故答案为：2922nn−（答案不唯一）45．（2022秋·山东青岛·高三统考期中）数列na满足1nnaa+，221nnaa=+，写出一个符合上述条件的数列na的通项公式

.【答案】1nan=−（答案不唯一）【分析】将已知等式变形后，找到满足等式的通项公式即可.【详解】由221nnaa=+得：()2121nnaa+=+，则当1nan=−时，1nan+=，212nan+=，故()1nann=−N满足递推关系，又()1110nnaann+−=−−=，满足1n

naa+，满足条件的数列na的一个通项公式为：1nan=−.故答案为：1nan=−（答案不唯一）.46．（江苏省徐州市王杰中学2022-2023学年高三上学期期中）写出一个同时具有下列性质①②的数列na的

通项公式：na=．①*(,,N)mnmnaaamnmn−=−；②na单调递增．【答案】(0)knk（符合此种形式即可）【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质①得到首项与公差的关系，然后根据性质②得到答案.【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，首项为1a，由性质①可得：

()()()1111111amndamdandad+−−=+−−−−=，即()11naanddn=+−=，再根据②可知，公差0d，显然nakn=（0k）满足题意.故答案为：(0)knk（符合此种形式即可）47．（2022秋·山东济宁·高三统考期中）若数列na是公比为2的等比数

列，763aa，写出一个满足题意的通项公式na=.【答案】12n−（答案不唯一）【分析】由已知条件求出1a的取值范围，即可得出数列na的一个通项公式.【详解】由763aa，得6623aa，即56120aa=，即10a，所以112nnaa−=.

令1ka=，所以()120nnakk−=，所以可取12nna−=（答案不唯一）故答案为：12n−（答案不唯一）.48．（湖北省部分省级示范高中2022-2023学年高三上学期期中联考）写出同时满足下面两个条件的数列{na}的一个通项公式na=.①{na

}是递减数列；②对任意m，*nN，都有nnmnaaa+=+.【答案】n−（答案不唯一）【分析】先猜想数列是一个等差数列，进而根据性质②得到首项与公差的关系，然后根据性质①得到答案.【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质②可得

：()()()111111amndamdand++−=+−++−，所以1ad=，再根据①{na}是递减数列，可知0d，取1d=−，则11ad==−，此时1(1)naandn=+−=−，满足题意.故答案为：n−.（答案不唯一）49．（河北省沧衡八校联盟2022-2023学年高三上学期

11月期中）定义：满足下列两个条件的有穷数列1b，2b，…，(2,3,4,)nbn=为n阶“期待数列”．①1230nbbbb++++=，②1231nbbbb++++=．试写出一个3阶“期待数列”；若2023阶“期

待数列”nb是递增的等差数列，则2023b=．【答案】11,0,22−（答案不唯一）11012【分析】根据给定条件，直接写出一个3阶“期待数列”即可；利用等差数列性质结合条件①求出1012b，再由条件②及前

n项和公式求出2023b作答.【详解】符合条件的一个3阶“期待数列”为：11,0,22−；2023n=，数列nb是等差数列，且13232200bbbb++++=，则12023202302bb+=，即10120b=，又数列nb递增，且13232201bbbb+++

+=，则210121012022023312bbbb++++=，即101220231101222bb+=，所以202311012b=.故答案为：11,0,22−；11012【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关

键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.解析几何50．（江苏省无锡市2022-2023学年高三上学期期中）已知圆22:4Oxy+=，过点()1,1的直线l与圆O交于,AB两点，则

OAOB的一个可能的值为.【答案】2−（写出4,0−中的任意一个实数即可）【分析】由直线与圆相交的相关知识求出AOB的取值范围，再由平面向量的数量积的定义直接计算即可．【详解】圆22:4Oxy+=，圆心为()0,0O，半径2r

=，则221124+=，所以点()1,1P在圆内，依题意可知2OAOB==，当定点(1,1)P为AB的中点时，OA、OB的夹角最小，此时OPAB⊥，2OP=，2cos2OPPOAOA==，π0,2POA

，π4POA=，π2AOB=，即OA、OB的夹角最小值为π2，当相线段AB是圆的一条直径时，OA、OB的夹角最大，最大为π，π,π2AOB，cos4cos4,0OAOBOA

OBAOBAOB==−．故答案为：2−（写出4,0−中的任意一个实数即可）．51．（湖南省长沙市弘益高级中学2022-2023学年高三上学期期中）已知直线:10lxmy−+=与()22:14Cxy−+=交于A，B两点，写出满足“ABC面积为85

”的m的一个值．【答案】2（112,2,,22−−中任意一个皆可以）【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解出．【详解】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得224A

Bd=−，所以2182425ABCSdd=−=△，解得：455d=或255d=，由2211211dmm+==++，所以224551m=+或222551m=+，解得：2m=或12m=．故答案为：2（112,2,,22−−中任意一个皆可以）．5

2．（2022秋·黑龙江佳木斯·高三佳木斯一中校考期中）已知圆1C：()2232xy++=和抛物线2C：24yx=，请写出与1C和2C都有且只有一个公共点的一条直线l的方程.（写出一条即可）【答案】2y=（或2y=−，或10xy−+=，

或10xy++=，或770xy−+=，或770xy++=，写出一个即可）【分析】所求直线l方程可设为ykxn=+，利用其与圆1C相切和与抛物线2C有且只有一个公共点列方程即可求得,kn的值，进而得到直线l的方程.

【详解】圆1C：()2232xy++=的圆心1(3,0)C−，半径2，由题意可得所求直线l斜率存在，其方程可设为ykxn=+，由24ykxnyx=+=，整理得2222(2)0kxknxn+−+=，当0k=时，方程可化为240xn−+=，方程组有一组解2,4nn

，又直线yn=与圆1C相切，则2y=，或2y=−；当0k时，由直线l与抛物线2C相切可得，2224(2)40knkn−−=，即1kn=，又由直线l与圆1C相切可得，2321knk−+=+，即227620kknn−+−=联立227620

1kknnkn−+−==，整理得427810kk−+=解之得11kn==或11kn=−=−或777kn==或777kn=−=−则直线l方程为1yx=+或=1yx−−或777yx=+或7

77yx=−−综上，直线l方程为2y=或2y=−，或10xy−+=，或10xy++=，或770xy−+=，或770xy++=，故答案为：2y=（或2y=−，或10xy−+=，或10xy++=，或770xy−+=，或770xy++=，

写出一个即可）53．（2022秋·福建泉州·高三泉州五中校考期中）圆心在直线1:20lxy−−=上，且与直线2:0lxy−=相切的一个圆的方程为.【答案】()()22112xy−++=（答案不唯一）【分析】依题意可得直线1l与直线2l平行，则两平行线之间的距离即为圆的半径，再取一

个点确定圆心，即可得到圆的方程.【详解】因为直线1:20lxy−−=与直线2:0lxy−=平行，设圆心坐标为(),2aa−，因为圆心到直线2l的距离等于圆的半径r，所以222aar−+==，取1a=，则圆的方程为()()22112xy−

++=.故答案为：()()22112xy−++=（答案不唯一）54．（2022秋·河北石家庄·高三石家庄市第十五中学校考期中）在椭圆C中，F为一个焦点，A，B为两个顶点．若3FA=，2FB=，写出一个满足条件的AB的值为．【答案】5（或4，或6答案不唯一）【分析】

由题意可知A，B两点不可能同时是短轴上的两个顶点，然后根据椭圆的性质分情况求解即可.【详解】由题意3FA=，2FB=，A，B两点不可能同时是短轴上的两个顶点，当F，A，B三点均在长轴上时，则32acac+=−=，解得52a=，所以25ABa==．当A为长轴

的一个端点，B为短轴的一个端点时，由3FA=，2FB=，得32aca+==，则24ABa==，当A为短轴的一个端点，B为长轴的一个端点时，由3FA=，2FB=，得23aca−==，则26ABa==故答

案为：5（或4，或6答案不唯一）55．（湖北省高中名校联盟2023届高三上学期第二次联合测评数学试题）已知椭圆22221(0,0)xyabab+=，若圆心在坐标原点，直径为a的圆与该椭圆有四个交点，则称该椭圆为“圆椭圆”，请写出一个以（±3，0）为焦点

的“圆椭圆”方程．【答案】22110xy+=答案不唯一（需2223,9bab=+）【分析】根据题意可得2,3abc=，结合222abc=+解得23b，取值代入．【详解】根据题意可得：2,3abc=∵22224abcb=+，则23b比如取21b=，则210a=，此时椭

圆方程为22110xy+=故答案为：22110xy+=．56．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆一中期中考试）已知P为双曲线C：()222210,0xyabab−=上异于顶点1A，2A的任意一点，直线1PA，2PA的斜率分别为1k，2k，写出满足C的焦距小于8且1234kk的C的

一个标准方程：.【答案】22271xy−=（答案不唯一）【分析】首先设点()00,Pxy，()1,0Aa−，()2,0Aa，根据条件转化为关于222,,abc的不等式组，再写出满足条件的一个标准方程.【详解】设()00,Pxy，()1,0Aa−，()2,0Aa，220222000122

222200001xbayyybkkxaxaxaxaa−====+−−−，所以2222234028bacabc+=，取27b=，则22a=，29c=，所以满足条件的双曲线的标准方程是22271xy−

=.故答案为：22271xy−=（答案不唯一）57．（2022秋·重庆长寿·高三重庆市长寿中学校校考期中）已知双曲线及22221yaExb−=：（0a，0b）的离心率为e，写出满足条件“直线2yx=与E无公共点”的e一个值是.（参考数据

：52.236）【答案】52（不唯一）【分析】由题知2ab，进而求得离心率的范围51,2e，再求解满足的e即可.【详解】解：因为双曲线22221yaExb−=：（0a，0b）的渐近线为ayxb=，因为，要使直线2yx=与E无公共点

，则2ab，所以，12ba，所以双曲线的离心力的范围2512bea=+所以，满足条件的离心率可以是51,2中的数.故答案为：52（不唯一）立体几何58．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级

中学校考期中）如图，在直三棱柱111ABCABC-中，ACBC⊥，3AC=，2BC=，点D在棱AC上，且2ADDC=，点E在棱1BB上，若三棱锥ABDE−的体积是43，则棱1BB的长度可以是.（写出一个符合要求的值）【答案】3（只要满足12BB均可）【分析】根据锥体的

体积公式结合等体积法即可求解.【详解】由题意可知111114222332323ABDEEBDAABDVVSEBADBCEBEBEB−−======,所以1BB的长度不小于2即可，不妨取

13BB=，故答案为：3（只要满足12BB均可）59．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高三上学期期中）已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，从正方体的8个顶点中选出4个点构成一个体积大

于16的三棱锥，则这4个点可以是．（写出一组即可）【答案】11,,,BDAC或11,,,ADBC（写出一组即可）【分析】结合锥体体积公式判断即可.【详解】若从正方体的某一面的四个顶点中任选3个顶点，再从余下的点中选一个与它们不共

面的点，例如选111,,,AABD，则由正方体性质可得1AA⊥平面111ABD，1111ABAD⊥，111111AAABAD===，所以三棱锥111AABD−的体积1111111326AABDV−==，不满足要求，若选某一面的一条对角线的端点，再选与其平行的平面中与前一条对角

线不平行的对角线的端点，例如11,,,BDAC，设正方体的体积为V，则1V=，则三棱锥11BDAC−的体积1111111111111463BDACAABDDACDCCBDBACBVVVVVV−−−−−=−−−−=−=，满足要求

，同理可得，选11,,,ADBC也满足要求，故答案为：11,,,BDAC或11,,,ADBC（写出一组即可）.60．（广东省佛山市第四中学2023届高三上学期期中）在边长为1的正方体1111ABCDABCD−中，取其四个顶点作为一个三棱锥的顶点，使该三

棱锥的体积为13，则该三棱锥的名称可以是.【答案】三棱锥11CABD−（答案不唯一）【分析】由正方体的体积减去四个全等三棱锥的体积得答案.【详解】正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，正方体的体积为1111=，又11111AABDCCBDBABC

VVV−−−==111111111326DADCV−===，三棱锥11CABD−的体积为111463−=，所以该三棱锥的名称可以是三棱锥11CABD−.故答案为：三棱锥11CABD−（答案不唯一）61．（2022·浙江宁波·

高三统考）如图，对于直四棱柱1111ABCDABCD−，要使111ACBD⊥，则在四边形ABCD中，满足的条件可以是．（只需写出一个正确的条件）【答案】1111ACBD⊥（只要使得1111ACBD⊥即可）.【分析】利用线面垂

直的判定定理及线面垂直的定义可得出结论.【详解】连接11AC，如下图所示：因为1CC⊥平面1111DCBA，11BD平面1111DCBA，则111BDCC⊥，若1111ACBD⊥，1111ACCCC=，1CC、11AC平面1

1ACC，11BD⊥平面11ACC，1AC平面11ACC，111ACBD⊥.故答案为：1111ACBD⊥（只要使得1111ACBD⊥即可）.62．（湖北省武汉市江夏一中、汉阳一中2022-2023学年高

三上学期期中）已知正方体1111ABCDABCD−棱长为3，在正方体的顶点中，到平面1ADB的距离为3的顶点可能是.（写出一个顶点即可）【答案】A（A，C，1B，1D任填一个即可）【分析】根据题意结合等体积法求点到面的距离以及面面平行的性质分析判断.【

详解】显然1,,ADB在平面1ADB内，不合题意，设点A到平面1ADB的距离为d，可知1132ABADBD===，因为11AADBAADBVV−−=，则11311323233332232d=，解得3d=，设ACBDO=，

即AC平面1ADBO=，且O为AC的中点，所以点C到平面1ADB的距离为3d=，可证平面1ADB//平面11CDB，则平面11ADB上任一点到平面1ADB的距离为3d=，所以C，1B，1D符合题意，由图易知点1C到面1ADB的距离大于3d=，综上所述：

平面1ADB的距离为3的顶点有且仅有A，C，1B，1D.故答案为：A（A，C，1B，1D任填一个即可）.统计与概率63．（湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高三上学期期中）在概率论发展的过程中，通过构造试验推翻或验证某些结论是统计学家们常用的方法，若事件A

，B，C满足()()()PABPAPB=，()()()PACPAPC=，()()()PBCPBPC=同时成立，则称事件A，B，C两两独立，现有一个正六面体，六个面分别标有1到6的六个数，随机抛掷该六面体一次，观察与地面接触的面上的数

字，得到样本空间1,2,3,4,5,6=，若1,2,3,4A=，1,2,5B=，则可以构造C＝（填一个满足条件的即可），使得()()()()PABCPAPBPC=成立时，但不满足事件A，B，C两两

独立【答案】1,3,4（答案不唯一）【分析】根据相互独立事件以及“,,ABC两两相互”的定义对问题进行分析，先判断,AB相互独立，确定构造事件C，使“A与C”或“B与C”不相互独立，根据事件C包含的基本事件的个数进行分类讨论，由此求得符合题意

的时间C.【详解】元素1或2有且仅有一个属于C，剩余的3，4，5，6中任选两个属于C，都满足条件要求．因为()23PA=，()12PB=，()13PAB=，()()()PAPBPAB=，若不满足事件A，B，C两两独立，只需构造事件C使得()()()PAPCPAC和()()(

)PBPCPBC至少有一个成立．设事件C包含的基本事件个数为N（16N且NN），()nABCm=（02m且Nm），当()()()()PABCPAPBPC=成立时，有216326mN=，得3Nm=，所以3N=或6N=．（1）若

6N=，则1,2,3,4,5,6C=，1,2ABC=，()()()()PABCPAPBPC=成立，此时()12PBC=，()12PB=，()1PC=，()()()PBCPBPC=；()23PAC=，()23PA

=，()1PC=，()()()PACPAPC=，又因为()()()PABPAPB=，所以事件A，B，C两两独立，不满足要求．（2）若3N=，则()1nABC=，因为1,2,3,4A=，1,2,5B=，所以必有1C且2C、2CÎ且1C两种情况．当1C且2C时，()23PA=，(

)12PB=，()12PC=，所以()()14PBPC=，()()13PAPC=，所以若事件A，B，C两两独立，则存在事件C使得()14PBC=且()13PAC=，此时()2nAC=，()32nBC=，不符合题意，所以A，B，C不可能两两独立．所以构造集合C使得()3nC=，1C且2C

均满足题意，满足要求的C为：1,3,4、1,3,5、1,3,6、1,4,5、1,4,6、1,5,6．当2CÎ且1C时，同理符合要求的集合C为：2,3,4、2,3,5、2,3,6、2,4,5、2,4,6、2,5,6．故答案为：1,3,4

（答案不唯一）64．（广东省广州市南沙区东涌中学2023届高三上学期期中数学试题）体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发球到3次为止．设学生一次发球成

功的概率为()0pp，发球次数为X，若X的均值()1.75EX，则p的值可以为．（填一个符合题意的值即可）【答案】0.25（答案不唯一）【分析】由题意得到X的所有的可能取值为1,2,3，求得相应的概率，利用()1.75EX，列出不等

式，即可求解.【详解】由题意，随机变量X的所有的可能取值为1,2,3，可得()()()()()21,21,31PXpPXppPXp====−==−则()()()22213133EXpppppp=+−+−=−+，

因为()1.75EX，即2331.75pp−+，解得52p或2p，又由01p，所以102p，即1(0,)2p，所以p的值可取0.25．故答案为：0.25．65．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学上学期

期中）袋里有除颜色不同外其他都相同的8个球，其中红球和黄球各有2个，其余都是蓝球．根据以上信息，请写一个概率为1的事件：．【答案】一次从袋里摸出7个球，其中三种颜色的球都有（答案不唯一）【分析】根据已知写出一个必然事件即可.【详解】写

一个概率为1的事件，即必然事件即可．如：一次从袋里摸出7个球，其中三种颜色的球都有．故答案为：一次从袋里摸出7个球，其中三种颜色的球都有（答案不唯一）66．（2022秋·吉林长春·高三长春市第十七中学上学期期中）军训中某人对目标靶进行8次射击，已

知前7次射击分别命中7环、9环、7环、10环、8环、9环、6环.若第8次射击结果不低于这8次射击环数的平均数且不高于这8次射击环数的75%分位数，则此人第8次射击的结果可能是环.（写出有一个符合题意的值即可

）【答案】8（答案不唯一）【分析】设第8次射击的结果是x环，由平均数可得8x，再分类讨论并结合第75%分位数求出x范围作答.【详解】设第8次射击的结果是x环，依题意，797108968xx+++++++，解得8x，当8

9x时，8次射击的结果由小到大排列为6,7,7,8,,9,9,10x，由875%6=，得8次射击环数的75%分位数为9，显然符合题意，即89x，当910x时，8次射击的结果由小到大排列为6,7,7,8,9,9,

,10x，8次射击环数的75%分位数为92x+，由92xx+，解得9x，无解，所以89x，此人第8次射击的结果可能是8环.故答案为：867．（2022秋·江苏南通·高三期中）设A，B是一个随机试验中的两

个事件，且()13PA=，()12PB=，则()|PAB的一个可能的值为.【答案】13（答案不唯一，在20,3内均可）【分析】先求出()PAB的范围，然后利用条件概率公式求解即可.【详解】因为A，B是一个随机试验中的两个事件，且()13PA=，()12PB=，当事件A，B

为互斥事件时，()0PAB=，当事件B包含事件A时，()13PAB=，即()103PAB，所以()()()1230|132PABPABPB==，所以()|PAB的一个可能的值为13（答案不唯一，在20,3内均可）.故答案为：13（答案不唯一，在20,3内均

可）68．（2022秋·山东日照·高三统考期中）二项式()*1nxnx−N的展开式中存在常数项，则n可以为．（只需写出一个符合条件的值即可）【答案】3（答案不唯一，n为3的倍数的正整数均可）【分析】在通项公式中

，令x的指数为0，可求出结果【详解】3211C(1)CknkknkkkknnTxxx−−+=−=−，0,1,2,,kn=L，令302nk−=，得23nk=，因为k为整数，n为正整数，所以k为偶数，n为3的倍数的正整数.故答案为：3（答案不唯一，n为3的倍数的正整数均可）.

69．（福建省福州华侨中学等多校2023届高三上学期期中）已知数据1,3,4,,6,7m的极差为6，平均数小于4，请写出一个满足条件的m的值：.【答案】2（答案不唯一，满足13m即可）【分析】根据

题意求出m的范围，即可得出答案.【详解】因为716−=，所以17m．又由1346746m+++++，得3m，所以13m．故答案为：2（答案不唯一，满足13m即可）.70．（湖北省武汉市部

分学校联合体2022-2023学年高三上学期期中）一批产品的一等品率为23，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取n次，用X表示抽到的一等品的件数，若()ZEX，()ZDX，则满足条件的n的一个取值为.【答案】9（答案不唯一）【分析】根据二项分布

公式计算.【详解】显然2,3XBn，()()2222,13339EXnDXnn==−=，又()()Z,ZEXDX，n是9的倍数；故答案为：9.71．（湖北省七市(州)教研协作体2023届高三上学期期中）已知随机变量1X和2X的分布列分别是：X101p11p

−1p2X01p21p−2p能说明12()()DXDX≤不成立的一组12,pp的值可以是1p=；2p=．【答案】0.30.2（答案不唯一）【分析】根据给定的分布列，求出1X和2X的期望、方差，再由不等式求出12,pp的关系作答.【详解】依题意，随机变量1X和2X的期望分别为1122(),

()EXpEXp==，则22211111()()(())DXEXEXpp=−=−，同理2222()DXpp=−，由12()()DXDX≤，得221122pppp−−，整理得1212()[1()]0pppp−−+，因此12pp且121pp+

或者12pp且121pp+，所以12()()DXDX≤不成立的一组12,pp的值可以为10.3p=，20.2p=.故答案为：0.3；0.2【答案】=1x−或724250xy−−=或3450xy+−=（填其中一个即可）【分析】设()0,0M，()3,4N，以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心

4为半径作圆N，转化为找公切线问题.【详解】设()0,0M，()3,4N，连接MN，则5MN=.以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为=1x−.当公

切线的斜率存在时，设公切线的方程为ykxb=+，则有22113441bkkbk=++−=+①②，由①②得344kbb+−=，所以334kb−=或354kb+=.由①及334kb−=得7242524kb==−，由①

及354kb+=得3454kb=−=，所以公切线方程为724250xy−−=或3450xy+−=.综上，直线l的方程为=1x−或724250xy−−=或3450xy+−=.故答案为：=1x−或724250xy−−=或3450xy+−

=2．（2022秋·山东青岛·高三山东省青岛第一中学校考期中）请写出满足下列条件的函数()fx的一个解析式：①最小正周期为π；②在π(0,)2上单调递增；③在定义域内满足()()fxfx−=.则()fx=.【答案】cos2x−（答案不唯一）【分析】由函数为偶函数可设()cos2fxAx=,再根据

周期性,单调递增求出相应的参数的值和范围即可.【详解】在定义域内满足()()fxfx−=，即()fx为偶函数，可设()cosfxAx=，又最小正周期为π，2ππT==,2=,()cos2fxAx=,又在π(0,)2上单调递增，0A,A可取1−.故答案为:cos2x

−.3．（山东省青岛市青岛第二中学2022-2023学年高三上学期期中）将函数()πsin64fxx=+的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移π8个单位，得到函数()ygx=的图象，则()ygx=的一个对称中心为.【答案】π,02

（答案不唯一）【分析】根据三角函数图象的变换及正弦型函数的性质求解即可.【详解】根据三角函数的图象变换可得1ππ()sin6()sin2384gxxx=−+=，令2π,Zxkk=，

解得π,Z2kxk=，所以函数()ygx=的对称中心为π,0,Z2kk，故答案为：π,02（答案不唯一）4．（2022秋·河北衡水·高三河北武强中学校考期中）在()3*1nxnx+N的

展开式中存在常数项，写出一个满足条件的n的值是.【答案】4（答案不唯一，满足*4()nkk=N即可）【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，根据,nr的范围即可求解.【详解】()3*1nxnx+N展开式的通项公式为3341,0,1,2,,1C()Crrnrrnrrnn

Txxxrn−−+===令340nr−=，得3(0,1,,)4nrrn==,故*4()nkk=N令1,k=则4,n=故答案为：4.5．（重庆市涪陵实验中学校2022届高三上学期期中）我国后汉时期的数学家赵爽利用弦

图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图

形，若图中1CB=，2CA=，90ABC=，以点C为原点，CB为x轴正方向．CA为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为．（写出一个即可）【答案】()22125124x

y−+−=（答案不㫿一）【分析】求出点D坐标及到三个正方形项点的距离可得答案．【详解】由图可得()10B,，()0,2A，()2,2M−，()2,0N−，()0,1Q−，()1,1P−，所以1,12D

，5AB=，2AC=，1BC=，所以52===ADDBDC，2252==+=DEDFADAE，()2212921222=++−=DM，()2212921022=++−=DN，()2211701122=−++=

DQ，()2211711122=−++=DP，点D到三个正方形项点的距离分别为52，52，52，172，172，52，52，292，292，所以圆D的一个方程为()22215291222xyrr−+−=．故答案为：()22125124

xy−+−=（答案不唯一）．6．（辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高三上学期期中）在平面直角坐标系中，()0,0O、()sin,cosA、ππcos,sin66B++，当2π3AO

B=时.写出的一个值为.【答案】π6−（满足ππ6k=−+或()ππ2kk=+Z的其中一值）【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出π1sin262+=−，求出的值，即可得解.【详解】由题意可得()sin,cosOA=，ππcos

,sin66OB=++，所以，22sincos1OA=+=，同理可得1OB=，则ππcoscos,sincoscossin66OAOBAOBOAOBOAOB===+++π2π1sin2cos632=

+==−，所以，()ππ22π66kk+=−+Z或()π7π22π66kk+=+Z，解得()ππ6kk=−+Z或()ππ2kk=+Z，故答案为：π6−（满足ππ6k=−+或()ππ2kk=+

Z的其中一值）.7．（湖南师范大学附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知,ab是平面外的两条不同直线.给出下列三个论断：①//b；②a⊥；③ab⊥rr.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，

写出一个正确的命题：.【答案】①②③（或②③①）【分析】根据空间直线和平面平行垂直的判定定理及性质定理推理得出结论.【详解】若①②③，理由：设过b有一个平面，使得c=，//b，b，c=，//bc，又a⊥，c，可得ac⊥

，又//bc，∴ab⊥rr．若①③②，由//b，ab⊥rr，可得//a或a与相交或a，故①③不能推出②.若②③①，由a⊥，ab⊥rr，b在平面外，可得//b，故②③也能推出①.故答案为：①②

③（或②③①）.8．（山东省青岛第二中学分校2022-2023学年高三上学期期中）定义一个可导函数()fx在定义域内一点处0x的弹性为()()000xfxfx，请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为2的可导函数

．【答案】()2fxx=（答案不唯一）【分析】由()()2xfxfx=整理得()()20xfxfx−=，可构造函数()()2fxgxx=，可得()0gx=，可得()()2fxgxCx==，可得()fx.【详解】由题意，当0x，()()2xfxfx=，整

理得()()20xfxfx−=设()()2fxgxx=，则()()()()()2212221220xfxxfxxfxfxgxxx−+−−===，故()gxC=，C为常数，由()()2fxgxCx==得()2fxCx=故答案为：()2fxx=

（答案不唯一）9．（湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高三上学期期中）已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F作斜率为15的直线交C右支于M，N两点，且1||||M

FMN=.写出C的一条渐近线方程.【答案】3yx=（答案不唯一）【分析】双曲线定义结合已知可得22NFa=，分点N在第四象限和第一象限讨论，利用直线斜率求出点N坐标，代入双曲线方程构造齐次式，然后可得离心率，进而可得渐近线斜率和渐近线方程.【详解】易知，过点2F斜率为15的直线

方程为15()yxc=−，如图，当点M在第一象限，点N在第四象限时，因为1||||MFMN=，所以2212|||||||||2|NFMNMFMFMFa=−=−=，作NHx⊥轴，垂足为H，记2π,(0,)2NFH=，则tan15=，

即sin15cos=，代入22sincos1+=，得21cos16=，1cos4=所以221||cos24||2aHFNFa===，所以2Naxc=−，1515()22Naaycc=−−=−，将点N坐标代入双曲线方程得222215()()221aacab−−−=，

整理得4222215()024aacbab−−−=，即422222215()()()024aaccaaca−−−−−=，两边同时除以4a得222115()(1)1024eee−−−−+=，因式分解得3213(2)()042eeee−+++=，1e，则321

3042eee+++，所以2e=，故222213bcaeaa−==−=，渐近线方程为3yx=易知，当点N在第一象限，点M在第四象限时，点N坐标为15(,)22aac+代入双曲线方程得222215()()221aacab+−=整理得4222215()024aacbab+−−=，即422

222215()()()024aaccaaca+−−−−=，两边同时除以4a得222115()(1)1024eee+−−−+=，因式分解可得3235()(22)022eeee−+++=，1e，则3252202eee+++，所以32e=，故2222512bcaeaa

−==−=，渐近线方程为52yx=，故答案为：3yx=（答案不唯一）10．（2022秋·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）已知*nN且1n，32nxxx−的展开式中存在常数项，写出n的一个值为．【答

案】5或者()*41kk+N)【分析】在二项32nxx−展开式的通项公式中,令x的幂指数等于1−，求出n与r的关系,可得n的值.【详解】二项式32nxx−的展开式的通项为()()33412C2C,0,1,2,

,rrnrrrnrrnnTxxrnx−−+=−=−=，因为二项式32nxxx−的展开式中存在常数项，所以341nr−=−有解，即413rn−=，可得n的一个值为5.故答案为：5（答案不唯一）

.11．（湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高三上学期）已知π()sin26fxx=+．当[,2]xtt+，Zt时，()fx的取值范围为[1,1]−，则t的一个取值为．【答案】2（答案不唯一）【分析】由

题设知区间ππ[2,24]66tt+++内()fx至少含最大、最小值各一个，讨论t结合正弦函数性质确定最值，即可得参数值.【详解】由题设πππ2[2,24]666xtt++++，Zt，又()fx的取值范围为[1,1]−，所以区间ππ[2,24]66tt+++内()fx至少含

最大、最小值各一个，当0=t，则ππππ[2,24][,4]6666tt+++=+，取不到最小值；当1t=，则ππππ[2,24][2,6]6666tt+++=++，取不到最大值；当2t=，则ππππ[2,24][4,8]6666tt+++

=++，可同时取到最大、最小值.故答案为：2（答案不唯一）12．（湖北省十堰市竹溪县第一高级中学2023届高三上学期期中）过点2,03−作曲线3yx=的切线，写出一条切线方程：.【答案】0y=或32yx=+（写出一条即可）【分析】

设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将2,03−代入求得切点坐标，即可得切线方程.【详解】由3yx=可得23yx=，设过点2,03−作曲线3yx=的切线的切点为00(,)

xy，则300yx=，则该切线方程为20003()yyxxx−=−，将2,03−代入得3200023()3xxx−=−−，解得00x=或01x=−，故切点坐标为(0,0)或(1,1)−−，故切线方程为0y=或32yx=+，故答案为：0y=或32yx=+13．

（辽宁省朝阳市建平县2022-2023学年高三上学期期中）已知函数()()π2sin06fxx=+的部分图像如图所示，则使得()()0faxfax+−−=成立的一个实数a的值为．【答案】

π6（答案不唯一）【分析】根据图象求得，根据对称性求得正确答案.【详解】依题意0，由图可知11π11ππ2sin012126f=+=，所以11ππ2π1262π11π120kT+==，其中Zk，解得2=，所以()π2s

in26fxx=+，由()()0faxfax+−−=得()()faxfax+=−，所以直线xa=是()fx的一个对称轴.由ππ2π62xk+=+得ππ,Zkxk=+26，所以a的一个取值为π6.故答案为：π6（答案

不唯一）14．（湖南省怀化市2022-2023学年高三上学期期中）如图，圆1C和圆2C的圆心分别为()12,3C、()24,3C，半径都为1，写出一条与圆1C和圆2C都相切的直线的方程：【答案】2y=（或4y=或3x=）(答案不唯一)【分析】分析可知两圆外切，根据圆的几何性质以及

图形可得出圆1C、圆2C的三条公切线的方程.【详解】如下图所示：因为圆1C和圆2C的圆心分别为()12,3C、()24,3C，半径都为1，且12211CC==+，所以，圆1C和圆2C外切，易知这两个圆的切点为()3,3C，且12//CCx轴，所以，这两个圆的公切线共3条，设这三条切线分别为1

l、2l、3l，其中，切线1l过点C，且1lx⊥轴，则直线1l的方程为3x=，设切线2l分别切圆1C、圆2C于点A、B，连接1AC、2BC，因为121ACBC==，且12ACl⊥，22BCl⊥，所以，12//ACBC，故四边形21AB

CC为矩形，故212//lCC，易知直线12CC的方程为3y=，且直线2l与直线12CC间的距离为1，结合图形可知，直线2l的方程为2y=，同理可知，直线3l的方程为4y=.故答案为：2y=（或4y=或3x=）.(答案不

唯一)