【文档说明】【精准解析】2021新高考数学（江苏专用）课时精练：8.7双曲线【高考】.docx，共(10)页，168.797 KB，由小赞的店铺上传

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1．(2020·衡水质检)对于实数m，“1<m<2”是“方程x2m－1＋y2m－2＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若方程x2m－1＋y2m－2＝1表示双

曲线，则(m－1)(m－2)<0，得1<m<2，则“1<m<2”是“方程x2m－1＋y2m－2＝1表示双曲线”的充要条件．2．(2019·北京)已知双曲线x2a2－y2＝1(a>0)的离心率是5，则a等于(

)A.6B．4C．2D.12答案D解析由双曲线方程x2a2－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝c2a2＝a2＋1a2＝1＋1a2.结合a>0，解得a＝12.3．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为()

A．x±y＝0B．x±3y＝0C.3x±y＝0D．2x±y＝0答案C解析∵双曲线的方程是x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±bax.又∵离心率e＝ca＝2，∴c＝2a，∴b＝c2－a2＝3a.由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±3aax＝±3x，

即3x±y＝0.故选C.4．(2020·西南大学附中月考)已知双曲线x2a2－y22＝1(0<a<2)的两条渐近线的夹角为π3，则双曲线的离心率为()A.233B.263C.3D．2答案D解析由双曲线方程可知渐近线方程为y＝±2ax，由两条渐近线

夹角为π3，0<a<2，可知其中一条渐近线的倾斜角为π3，∴2a＝3，∴a＝63，c＝a2＋b2＝263，∴e＝ca＝26363＝2.5．(2019·全国Ⅲ)已知F是双曲线C：x24－y25＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若OP＝OF，则△OPF的面积为()

A.32B.52C.72D.92答案B解析由F是双曲线x24－y25＝1的一个焦点，知OF＝3，所以OP＝OF＝3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，则x20＋y20＝3，x204－y205＝1，解得

x20＝569，y20＝259，所以P2143，53，所以S△OPF＝12OF·y0＝12×3×53＝52.6．已知离心率为52的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥M

F2，O为坐标原点，若2OMFS△＝16，则双曲线的实轴长是()A．32B．16C．84D．4答案B解析由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝bax上，由题意可知F2M＝bca2＋b2＝b，所以OM＝c2－b2＝a.由2OMFS△＝16，可得12ab＝16，即ab＝32，又a2＋b

2＝c2，ca＝52，所以a＝8，b＝4，c＝45，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.7．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程可能为(

)A.x24－y2＝1B．x2－y24＝1C.y24－x2＝1D．y2－x24＝1答案AD解析在椭圆x29＋y24＝1中，c＝9－4＝5.因为双曲线C与椭圆x29＋y24＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，所以可设双曲线方程为x24－

y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为x24λ－y2λ＝1.当λ>0时，c＝λ＋4λ＝5，解得λ＝1，则双曲线C的方程为x24－y2＝1；当λ<0时，c＝－λ－4λ＝5，解得λ＝－1，则双曲线C的方程为y2－x24＝1.综上，双曲线C的方程为x24－y2＝1或y2－x24＝1，故选

AD.8．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则()A．双曲线C的渐近线方程为y＝±xB．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1C．点P的横坐标为

±1D．△PF1F2的面积为2答案ACD解析等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；由双曲线的方程可知F1F2＝22，所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；点P(x0

，y0)在圆x2＋y2＝2上，不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，所以由x20＋y20＝2，y0＝x0，解得|x0|＝1，则点P的横坐标为±1，故C正确；由上述分析可得△PF1F2的面积为

12×22×1＝2，故D正确．故选ACD.9．(2019·华中师大附中月考)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________．答案2解析由题意知ba＝1，∴e

＝1＋ba2＝2.10．(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且PF1－PF2＝3，则双曲线C

的焦距为________．答案35解析双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±bax，一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得ba＝2，即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝PF1－PF2＝3，可得a＝32，b＝3，即有c＝a2＋b2＝94＋9＝352，即焦距

为2c＝35.11.如图，F1和F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．答案3＋

1解析设F1F2＝2c，连接AF1，∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，∴AF1＝c，AF2＝3c，2a＝3c－c，e＝ca＝23－1＝3＋1.12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中，A1，

A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得PiA1—→·PiA2—→＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．答案2，5＋12解析设c为半

焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，所以BF：bx＋cy－bc＝0，以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，因为PiA1—→·PiA2—→＝0，i＝1,2，所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，所以bcb2＋c2<a，b>a，即c4－3a2c2＋a4<0，c2>2

a2，故e4－3e2＋1<0，e2>2，解得2<e<5＋12.13．(2020·长沙模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点

，且AF→＝3BF→，则双曲线离心率的最小值为()A.2B.3C．2D．22答案C解析因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且AF→＝3BF→，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为AF→＝3BF

→，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，ca≥2，即e≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.14．(2019·江南十校联考)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x

轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±1ax(a>0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．答案22解析由题意得双曲线C1的方程为x2a2－y2＝t(a>0，t>0)，双曲线C2的

方程为y2－x2a2＝λ(a>0，λ>0)，所以e1＝t＋a2tat＝a2＋1a，e2＝λ＋a2λλ＝a2＋1，所以e1＋e2＝a2＋1a＋a2＋1≥2a2＋1a＝2a＋1a≥22(当且仅当a＝1时等号成立)．15．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线x2a2－y

2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若OE→＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率为()A.1＋52

B.52C.1＋32D.5答案A解析∵OF＝c，OE＝a，OE⊥EF，∴EF＝c2－a2＝b，∵OE→＝12(OF→＋OP→)，∴E为PF的中点，OP＝OF＝c，PF＝2b，设F′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，则EO为△PFF′的中位线，则PF′

＝2OE＝2a，可设P的坐标为(m，n)，则有n2＝4cm，由抛物线的定义可得PF′＝m＋c＝2a，m＝2a－c，n2＝4c(2a－c)，又OP＝c，即有c2＝(2a－c)2＋4c(2a－c)，化简可得，c2－ac－a

2＝0，即e2－e－1＝0，由于e>1，解得e＝5＋12.16．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,66)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________．答案(－2

,26)解析如图，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，∴c＝3，∴左焦点E(－3,0)，右焦点F(3,0)，∵AF＝32＋(66)2＝15，∴当△APF的周长最小时，PA＋PF最小．由双曲线的性质得PF－PE＝2a＝2，∴PF＝PE＋2，又PE＋P

A≥AE＝AF＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，∴△APF的周长为AF＋AP＋PF＝15＋PE＋AP＋2≥15＋15＋2＝32.直线AE的方程为y＝26x＋66，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，解得x＝－7(舍)或x＝－2，由x＝－2，得y＝26(负

值已舍)，∴点P的坐标为(－2,26)．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com