【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题1.2 空间向量及其线性运算-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(15)页，304.217 KB，由小赞的店铺上传

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专题1.2空间向量及其线性运算-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）已知𝑎→为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（）A．与𝑎→共面的单位向量有无数个B

．与𝑎→垂直的单位向量有无数个C．与𝑎→平行的单位向量只有一个D．与𝑎→同向的单位向量只有一个【解题思路】利用向量的定义，有大小，有方向两个方面进行判断，即可确定每个选项的正确性．【解答过程】解：与𝑎→共面的单位

向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确；与𝑎→垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确；与𝑎→平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误；与𝑎→同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确．故选：C．2．（3分）若正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，化简下列各式的结

果为𝐴𝐶1→的是（）A．𝐴𝐴1→+𝐴1𝐵1→+𝐵1𝐷→B．𝐴𝐵→+𝐵1𝐶1→+𝐷𝐷1→C．𝐴𝐵→+𝐵𝐵1→+𝐵1𝐷1→D．𝐴𝐵1→+𝐶𝐶1→【解题思路】可先画出正方体，根据图形及相等向量、向量加法的集合意义即可化简每

个选项，从而得出正确答案．【解答过程】解：如图，A.𝐴𝐴1→+𝐴1𝐵1→+𝐵1𝐷→=𝐴𝐷→；B.𝐴𝐵→+𝐵1𝐶1→+𝐷𝐷1→=𝐴𝐵→+𝐵𝐶→+𝐶𝐶1→=𝐴𝐶1→；C.�

�𝐵→+𝐵𝐵1→+𝐵1𝐷1→=𝐴𝐷1→；D.𝐴𝐵1→+𝐶𝐶1→=𝐴𝐵1→+𝐵𝐵1→，由图形看出显然𝐴𝐵1→+𝐵𝐵1→≠𝐴𝐶1→；∴B正确．故选：B．3．（3分）（2021秋•湖北期末）若空间四点M、A、B、C共面且𝑂𝐴→+2𝑂𝐵→

+3𝑂𝐶→=𝑘𝑂𝑀→，则k的值为（）A．1B．2C．3D．6【解题思路】化简可得𝑂𝑀→=1𝑘𝑂𝐴→+2𝑘𝑂𝐵→+3𝑘𝑂𝐶→，由四点共面可知系数和1𝑘+2𝑘+3𝑘=1，计算即可得解．【解答过程】解：依题意𝑂𝑀→=1𝑘𝑂𝐴→+2𝑘𝑂𝐵→+3𝑘�

�𝐶→，由四点共面，则系数和1𝑘+2𝑘+3𝑘=1，则k＝6．故选：D．4．（3分）（2021秋•襄阳期末）如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，则𝐷𝐴→+12𝐴𝐵→+12𝐴�

�→等于（）A．𝐷𝐸→B．𝐸𝐷→C．𝐷𝐶→D．𝐷𝐹→【解题思路】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答过程】解：在三棱锥D﹣ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，则𝐴𝐸→=12𝐴𝐵→，𝐸𝐹

→=12𝐴𝐶→；所以𝐷𝐴→+12𝐴𝐵→+12𝐴𝐶→=𝐷𝐹→．故选：D．5．（3分）（2021秋•福州期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M．设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐴𝐷→=𝑏→，𝐴𝐴1→=

𝑐→，则下列向量与𝐵1𝑀→相等的向量是（）A．−12𝑎→−12𝑏→−𝑐→B．−12𝑎→+12𝑏→+𝑐→C．−12𝑎→+12𝑏→−𝑐→D．12𝑎→+12𝑏→−𝑐→【解题思路】利用空间向量的线性运算求解即可．【解答过程】解：

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，∴𝐵1𝑀→=𝐵1𝐵→+𝐵𝑀→=𝐵1𝐵→+12（𝐵𝐴→+𝐵𝐶→）=−12𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→=−12𝑎→+12𝑏→−𝑐

→，故选：C．6．（3分）（2021秋•湖北期末）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，𝐵𝐶→=3𝐶𝐸→，则𝐷1𝐸→=（）A．𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→B．𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−23𝐴𝐴1→C．

𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→+𝐴𝐴1→D．𝐴𝐵→−𝐴𝐷→+13𝐴𝐴1→【解题思路】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【解答过程】解：∵𝐵𝐶→=3𝐶𝐸→，∴𝐷1𝐸→=𝐷1𝐷→+𝐷𝐵→+𝐵𝐸→=𝐷1𝐷→+𝐷𝐴→+𝐷�

�→+43𝐵𝐶→=𝐴𝐵→−𝐴𝐷→+43𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→=𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→，故选：A．7．（3分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，给出下列各式：①（𝐴𝐵→+𝐵𝐶→）+𝐶𝐶1→．②（𝐴𝐴1→+𝐴1𝐷1

→）+𝐷1𝐶1→．③（𝐴𝐵→+𝐷𝐷1→）+𝐵1𝐶1→．④（𝐴𝐷1→+𝐶𝐵→）+𝐴𝐶→．其中运算结果为向量𝐴𝐶1→的共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】结合图形，对每一个算式进行判断即

可．【解答过程】解：∵①（𝐴𝐵→+𝐵𝐶→）+𝐶𝐶1→=𝐴𝐶→+𝐶𝐶1→=𝐴𝐶1→；②（𝐴𝐴1→+𝐴1𝐷1→）+𝐷1𝐶1→=𝐴𝐷1→+𝐷1𝐶1→=𝐴𝐶1→③（𝐴𝐵→+𝐷𝐷1→）+𝐵1𝐶

1→=（𝐴𝐵→+𝐵𝐵1→）+𝐵1𝐶1→=𝐴𝐵1→+𝐵1𝐶1→=𝐴𝐶1→；④（𝐴𝐷1→+𝐶𝐵→）+𝐴𝐶→=𝐴𝐷→+𝐷𝐷1→+𝐷𝐴→+𝐴𝐶→=𝐴𝐶→+𝐷

𝐷1→=𝐴𝐶→+𝐶𝐶1→=𝐴𝐶1→．∴以上4个算式运算的结果都是向量𝐴𝐶1→．故选：D．8．（3分）（2021秋•铁东区校级期末）已知{𝑎→，𝑏→，𝑐→}是空间的一个基底，若𝑚→=𝑎→+2𝑏→−3𝑐→，𝑛→=𝑥(𝑎→+𝑏→)−𝑦(𝑏→+𝑐→)+3(𝑎

→+𝑐→)，若𝑚→∥𝑛→，则𝑥𝑦=（）A．﹣3B．−13C．3D．13【解题思路】由𝑚→∥𝑛→，可得𝑛→=λ𝑚→，根据空间向量基本定理列方程组可求得x，y的值，从而可得结论．【解答过程】解：𝑚→

=𝑎→+2𝑏→−3𝑐→，𝑛→=𝑥(𝑎→+𝑏→)−𝑦(𝑏→+𝑐→)+3(𝑎→+𝑐→)=（x+3）𝑎→+（x﹣y）𝑏→+（3﹣y）𝑐→，因为𝑚→∥𝑛→，所以𝑛→=λ𝑚→，即{𝑥+3=𝜆𝑥−𝑦=2𝜆

3−𝑦=−3𝜆，解得{𝑥=−92𝑦=−32𝜆=−32，所以𝑥𝑦=−92−32=3．故选：C．二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022春•灌云县校级月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为𝐴𝐶1→的是（）A．𝐴𝐵→+𝐴�

�→+𝐷1𝐷→B．𝐴𝐴1→+𝐵1𝐶1→+𝐷1𝐶1→C．𝐴𝐵→+𝐶1𝐶→+𝐵1𝐶1→D．𝐴𝐴→1+𝐷𝐶→+𝐵1𝐶1→【解题思路】利用向量的线性表示分别求出各选项中的向量即可判断．【解答过程】解：𝐴𝐵→+𝐴𝐷→+𝐷1𝐷→=

𝐴𝐶→+𝐶1𝐶→，故A不正确；𝐴𝐴1→+𝐵1𝐶1→+𝐷1𝐶1→=𝐴𝐴1→+𝐴1𝐵1→+𝐵1𝐶1→=𝐴𝐶1→，故B正确；𝐴𝐵→+𝐶1𝐶→+𝐵1𝐶1→=𝐴𝐵

→+𝐵𝐶→+𝐶1𝐶→=𝐴𝐶→+𝐶1𝐶→，故C不正确；𝐴𝐴→1+𝐷𝐶→+𝐵1𝐶1→=𝐴𝐴1→+𝐴1𝐵1→+𝐵1𝐶1→=𝐴𝐶1→，故D正确．故选：BD．10．（4分）（2022春•宁德期中）如图正四棱柱A

BCD﹣A1B1C1D1，则下列向量相等的是（）A．𝐷𝑂→与𝐵𝑂→B．𝐴𝐶→与𝐷𝐵→C．𝐴𝐷→与𝐵1𝐶1→D．𝐴1𝐵→与𝐷1𝐶→【解题思路】根据相等向量的定义，结合正四棱柱的结构特

征依次判断选项即可．【解答过程】解：由正四棱柱可知，𝐴：|𝐷𝑂→|=|𝐵𝑂→|，但𝐷𝑂→与𝐵𝑂→方向相反，故A不符题意；𝐵：|𝐴𝐶→|=|𝐷𝐵→|，但𝐴𝐶→与𝐷𝐵→方向

不同，故B不符题意；𝐶：|𝐴𝐷→|=|𝐵→1𝐶→1|，且𝐴𝐷→与𝐵1𝐶1→方向相同，故C符题意；D：|𝐴1𝐵→|=|𝐷1𝐶→|，且𝐴1𝐵→与𝐷1𝐶→方向相同，故D符题意

．故选：CD．11．（4分）（2021秋•重庆期末）若向量{𝑎→，𝑏→，𝑐→}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A．𝑎→+𝑏→，𝑎→−𝑏→，𝑎→+2𝑏→B．𝑎→−𝑏→，𝑎→+𝑐→，𝑏→+𝑐→C．𝑎

→−𝑏→，𝑐→，𝑎→+𝑏→+𝑐→D．𝑎→−2𝑏→，𝑏→+𝑐→，𝑎→+𝑐→−𝑏→【解题思路】直接利用向量的基底和向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．【解答过程】解：对于A：由于向

量{𝑎→，𝑏→，𝑐→}构成空间的一个基底，且满足𝑎→+2𝑏→=32(𝑎→+𝑏→)−12(𝑎→−𝑏→)，故A正确；对于B：由于𝑎→−𝑏→=(𝑎→+𝑐→)−(𝑏→+𝑐→)，故B正确；对于C：由于𝑎→+𝑏→+𝑐→≠�

�(𝑎→−𝑏→)+𝑛𝑐→，故C错误；对于D：由于𝑎→−2𝑏→=(𝑎→+𝑐→−𝑏→)−(𝑎→−2𝑏→)，故D正确．故选：ABD．12．（4分）（2021秋•尤溪县校级月考）已知正方体AB

CD﹣A1B1C1D1中，AC1的中点为O，则下列互为相反向量的是（）A．𝑂𝐴→+𝑂𝐷→与𝑂𝐵1→+𝑂𝐶1→B．𝑂𝐵→−𝑂𝐶→与𝑂𝐴1→−𝑂𝐷1→C．𝑂𝐴1→−𝑂𝐴→与𝑂𝐶→−𝑂𝐶1→D．�

�𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→+𝑂𝐷→与𝑂𝐴1→+𝑂𝐵1→+𝑂𝐶1→+𝑂𝐷1→【解题思路】可画出图形，根据图形即可判断每个选项的两向量是否互为相反向量．【解答过程】解：如图，根据图形可看出：选项A，D的两向量互为

相反向量；𝑂𝐵→−𝑂𝐶→=𝐶𝐵→，𝑂𝐴1→−𝑂𝐷1→=𝐷1𝐴1→，𝐶𝐵→=𝐷1𝐴1→，∴选项B的两向量不是相反向量；𝑂𝐴1→−𝑂𝐴→=𝐴𝐴1→，𝑂𝐶→−𝑂𝐶1→=𝐶1𝐶→，𝐴𝐴1→和𝐶1𝐶→互

为相反向量，∴选项C的两向量互为相反向量．故选：ACD．三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2021秋•荔湾区校级期中）已知三棱锥O﹣ABC，其中D是线段BC的中点，如图所示，用基向量𝑂𝐴→，𝑂𝐵→，𝑂𝐶→表示向量𝐴𝐷→的表达式为−𝑂𝐴→+12𝑂𝐵

→+12𝑂𝐶→．【解题思路】根据向量的线性运算求出向量𝐴𝐷→的表达式即可．【解答过程】解：结合图像得：𝐴𝐷→=𝐴𝐵→+𝐵𝐷→=𝑂𝐵→−𝑂𝐴→+12𝐵𝐶→=𝑂𝐵→−𝑂𝐴→+12（𝑂𝐶→−𝑂𝐵→）=−𝑂𝐴→+12𝑂𝐵→+12𝑂𝐶→，故

答案为：−𝑂𝐴→+12𝑂𝐵→+12𝑂𝐶→．14．（4分）（2021秋•民勤县校级期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC，C1D1的中点，若𝑀𝑁→=a𝐴𝐵→+b𝐴𝐷→+c𝐴𝐴1→，则a﹣b﹣c＝﹣2【解题思路】利用向

量加法公式直接求解．【解答过程】解：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC，C1D1的中点，𝑀𝑁→==12𝐴𝐷→+𝐴𝐴1→−12𝐴𝐵→=−12𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→+𝐴𝐴1→，∵

𝑀𝑁→=a𝐴𝐵→+b𝐴𝐷→+c𝐴𝐴1→，∴a=−12，b=12，c＝1，∴a﹣b﹣c＝﹣2．故答案为：﹣2．15．（4分）（2022春•天宁区校级期中）设𝑒1→，𝑒2→是两个不共线的空间向量，若𝐴𝐵→=2𝑒1→−𝑒2→，𝐵𝐶→=3𝑒1→+3𝑒

2→，𝐶𝐷→=𝑒1→+𝑘𝑒2→，且A，C，D三点共线，则实数k的值为25．【解题思路】先由𝐴𝐶→=𝐴𝐵→+𝐵𝐶→求出𝐴𝐶→，在根据A，C，D三点共线，得到𝐴𝐶→∥𝐶𝐷→，从

而得到2﹣5k＝0，解出k即可．【解答过程】解：∵𝐴𝐵→=2𝑒1→−𝑒2→，𝐵𝐶→=3𝑒1→+3𝑒2→，𝐶𝐷→=𝑒1→+𝑘𝑒2→，∴𝐴𝐶→=𝐴𝐵→+𝐵𝐶→=5𝑒1→+2𝑒2→，又∵A，C，D三点共线，∴𝐴𝐶→∥𝐶𝐷→，∴2﹣5k＝0，∴

k=25，故答案为：25．16．（4分）（2022春•张掖期中）对于空间任意一点O，以下条件可以判定点P、A、B共线的是①③（填序号）．①𝑂𝑃→=𝑂𝐴→+𝑡𝐴𝐵→(𝑡∈𝑅，𝑡≠0)；②5𝑂𝑃→=𝑂𝐴→+𝐴𝐵→；③𝑂𝑃→=𝑂𝐴→−𝑡𝐴𝐵→(𝑡

∈𝑅，𝑡≠0)；④𝑂𝑃→=−𝑂𝐴→+𝐴𝐵→．【解题思路】由空间共线向量定理即可求解．【解答过程】解：对于①，∵𝑂𝑃→=𝑂𝐴→+𝑡𝐴𝐵→（t≠0），∴𝑂𝑃→−𝑂𝐴→=𝑡𝐴𝐵→（t≠0），∴𝐴𝑃→=𝑡𝐴𝐵→（t≠0）

，∴点P、A、B共线，故①正确；对于②，∵5𝑂𝑃→=𝑂𝐴→+𝐴𝐵→，∴5𝑂𝑃→=𝑂𝐵→，∴𝑂𝑃→，𝑂𝐵→共线，∴P、O、B共线，点P、A、B不一定共线，故②错误；对于③，∵𝑂𝑃→=𝑂𝐴→+𝐴𝐵→（t≠0），∴𝑂𝑃→−𝑂𝐴→=−

𝑡𝐴𝐵→（t≠0），∴𝐴𝑃→=−𝑡𝐴𝐵→（t≠0），∴𝐴𝑃→，𝐴𝐵→共线，∴P、A、B共线，故③正确；对于④，∵𝑂𝑃→=−𝑂𝐴→+𝐴𝐵→，∴𝑂𝑃→=−𝑂𝐴→+𝑂𝐵→−𝑂𝐴→，∴𝑂𝑃→=−2𝑂𝐴→+𝑂�

�→，∴𝑂𝑃→−𝑂𝐵→=−2𝑂𝐴→，∴𝐵𝑃→=−2𝑂𝐴→，∴BP，OA平行或重合，故BP、OA平行时，点P、A、B不共线，故④错误．故选：①③．四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（

2021秋•江岸区校级月考）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M是BB1中点，化简下列各式：（1）𝐴𝐵→+𝐵𝐴1→；（2）𝐴𝐵→+𝐵1𝐶1→+𝐶1𝐶→；（3）12𝐴𝐴1→+𝐴𝐵→−𝐴𝑀→．

【解题思路】直接利用相等向量以及向量的加法和减法进行转化即可．【解答过程】解：（1）𝐴𝐵→+𝐵𝐴1→=𝐴𝐴1→；（2）𝐴𝐵→+𝐵1𝐶1→+𝐶1𝐶→=𝐴1𝐵1→+𝐵1𝐶1→+𝐶1𝐶→=𝐴1𝐶

→；（3）12𝐴𝐴1→+𝐴𝐵→−𝐴𝑀→=𝐵𝑀→+𝐴𝐵→+𝑀𝐴→=𝐴𝐵→+𝐵𝑀→+𝑀𝐴→=0→．18．（6分）（2021秋•邹城市期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐴1𝐸→=23𝐴1𝐷1→，𝐴1𝐹→=23𝐹𝐶→．试运用向量方

法证明：E，F，B三点共线．【解题思路】法一：分别求出𝐸𝐹→，𝐹𝐵→，根据共线向量的定义判断即可；法二：求出𝐸𝐹→=23𝐹𝐵→，结合EF∩FB＝F，从而证明E，F，B三点共线．【解答过程】证明：【方法一】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，F

B，A1B．因为𝐴1𝐸→=23𝐴1𝐷1→，𝐴1𝐹→=23𝐹𝐶→，所以𝐸𝐹→=𝐴1𝐹→−𝐴1𝐸→=25𝐴1𝐶→−23𝐴1𝐷1→=25(𝐴1𝐵1→+𝐴1𝐷1→+𝐴1𝐴→)

−23𝐴1𝐷1→=25𝐴1𝐵1→+25𝐴1𝐴→−415𝐴1𝐷1→；𝐹𝐵→=𝐴1𝐵→−𝐴1𝐹→=𝐴1𝐵1→+𝐴1𝐴→−25𝐴1𝐶→=𝐴1𝐵1→+𝐴1𝐴→−25

(𝐴1𝐵1→+𝐴1𝐷1→+𝐴1𝐴→)=35𝐴1𝐵1→+35𝐴1𝐴→−25𝐴1𝐷1→，显然，𝐸𝐹→=23𝐹𝐵→，所以𝐸𝐹→∥𝐹𝐵→，又EF∩FB＝F，所以E，F，B三点共线．【

方法二】证明：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，FB．由题意，𝐴1𝐸→=23𝐴1𝐷1→，𝐴1𝐹→=23𝐹𝐶→，易得𝐸𝐹→=𝐴1𝐹→−𝐴1𝐸→=23(𝐹𝐶→−𝐴1𝐷1→)=23(𝐹𝐶→−𝐵𝐶→)=23(𝐹𝐶→+𝐶𝐵→)=23𝐹

𝐵→，所以𝐸𝐹→∥𝐹𝐵→．又EF∩FB＝F，故E，F，B三点共线．19．（8分）（2021秋•尤溪县校级月考）如图，在空间四边形SABC中，AC，BS为其对角线，O为△ABC的重心．（1）求证：𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=0→；（2）化简：𝑆𝐴→+12𝐴𝐵→−32

𝐶𝑂→−𝑆𝐶→．【解题思路】（1）根据O为△ABC的重心，用𝐴𝐵→、𝐴𝐶→、𝐵𝐶→表示𝑂𝐴→、𝑂𝐵→和𝑂𝐶→，求和即可．（2）根据空间向量的线性表示与运算法则，计算即可．【解答过程】（1）证明：因为O为△ABC的重心，所以𝑂𝐴→=−𝐴𝑂→=−23×1

2（𝐴𝐵→+𝐴𝐶→）=−13（𝐴𝐵→+𝐴𝐶→），...①同理𝑂𝐵→=−13(𝐵𝐴→+𝐵𝐶→)，...②𝑂𝐶→=−13(𝐶𝐴→+𝐶𝐵→)，...③所以①+②+③得𝑂𝐴→+𝑂𝐵

→+𝑂𝐶→=0→．（2）解：因为𝐶𝑂→=23×12(𝐶𝐴→+𝐶𝐵→)=13(𝐶𝐴→+𝐶𝐵→)，所以𝑆𝐴→+12𝐴𝐵→−32𝐶𝑂→−𝑆𝐶→=(𝑆𝐴→−𝑆𝐶→)+12(𝐶𝐵→−𝐶�

�→)−32×13(𝐶𝐴→+𝐶𝐵→)=𝐶𝐴→+12(𝐶𝐵→−𝐶𝐴→)−12(𝐶𝐴→+𝐶𝐵→)=0→．20．（8分）（2021秋•平邑县校级月考）如图所示，已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足𝐴𝑀→=k𝐴𝐶1

→，𝐵𝑁→=k𝐵𝐶→（0≤k≤1），判断向量𝑀𝑁→是否与向量𝐴𝐵→，𝐴𝐴1→共面．【解题思路】利用向量的线性运算即可判断向量𝑀𝑁→是否与向量𝐴𝐵→，𝐴𝐴1→共面．【解答过程】解：

∵𝐴𝑁→=𝐴𝐵→+𝐵𝑁→=𝐴𝐵→+k（𝐴𝐶→−𝐴𝐵→）＝（1﹣k）𝐴𝐵→+k𝐴𝐶→．𝐴𝑀→=k𝐴𝐶1→=k（𝐴𝐴1→+𝐴𝐶⬚→），∴𝑀𝑁→=𝐴𝑁→−𝐴𝑀→=（1

﹣k）𝐴𝐵→−𝑘𝐴𝐴1→，∴向量𝑀𝑁→与向量𝐴𝐵→，𝐴𝐴1→共面．21．（8分）（2021秋•侯马市校级期中）如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体．设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1

B1对角线BC1上的点，且C1N=14C1B，设𝑀𝑁→=x𝐴𝐵→+y𝐴𝐷→+z𝐴𝐴1→，试求x，y，z的值．【解题思路】直接利用向量的加法和线性运算的应用求出结果．【解答过程】解：设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC

1上的点，且C1N=14C1B，根据向量的运算：𝑀𝑁→=𝑀𝐵→+𝐵𝑁→=12𝐷𝐵→+34𝐵𝐶1→=12𝐴𝐵→+14𝐴𝐷→+34𝐴𝐴1→，故x=12，𝑦=14，𝑧=34．22．（8分）（2021秋•龙华区校级月考）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E在

A1D1上，且𝐴1𝐸→=2𝐸𝐷1→，F在对角线A1C上，且𝐴1𝐹→=23𝐹𝐶→．若𝐴𝐵→=𝑎→，𝐴𝐷→=𝑏→，𝐴𝐴1→=𝑐→．（1）用𝑎→，𝑏→，𝑐→表示𝐸𝐵→；（2）求证

：E，F，B三点共线．【解题思路】（1）根据平面向量的基本定理，表示出𝐸𝐵→即可．（2）根据题意，应用平面向量的基本定理即可．【解答过程】解：（1）𝐸𝐵→=𝐸𝐴1→+𝐴1𝐴→+𝐴𝐵→=23𝐷𝐴→−�

�𝐴1→+𝐴𝐵→=𝑎→−𝑐→−23𝑏→，证明：（2）设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐴𝐷→=𝑏→，𝐴𝐴1→=𝑐→，∵𝐴1𝐸→=2𝐸𝐷1→，𝐴1𝐹→=23𝐹𝐶→，∴𝐴1𝐸→=23�

�1𝐷1→，𝐴1𝐹→=25𝐴1𝐶→，∴𝐴1𝐸→=23𝐴𝐷→=23𝑏→，𝐴1𝐹→=25(𝐴𝐶→−𝐴𝐴1→)=25(𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→)=25𝑎→+25𝑏→−25𝑐→，∴𝐸𝐹→=𝐴1𝐹→−𝐴1𝐸→=25�

�→−415𝑏→−25𝑐→=25(𝑎→−23𝑏→−𝑐→)，又∵由（1）知𝐸𝐵→=𝑎→−23𝑏→−𝑐→，∴𝐸𝐹→=25𝐸𝐵→，且有公共点E，所以E，F，B三点共线．