【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题1.1 空间向量及其线性运算-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(16)页，400.121 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

专题1.1空间向量及其线性运算-重难点题型精讲1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记

作AB→，其模记为|a|或|AB→|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA→＋AB→＝OB→减法a－b＝OA→

－OC→＝CA→数乘当λ>0时，λa＝λOA→＝PQ→；当λ<0时，λa＝λOA→＝MN→；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分

配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.3．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量

称为直线l的方向向量．4．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的有向线段OA→所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面

的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.【题型1空间向量概念的理解】【方法点拨】在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等

的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．【例1】（2021秋•城关区校级期末）下列命题中正确的是（）A．若𝑎→∥𝑏→，𝑏→∥𝑐→，则𝑎→与𝑐→所在直线平行B．向量𝑎→、𝑏→、𝑐→共面

即它们所在直线共面C．空间任意两个向量共面D．若𝑎→∥𝑏→，则存在唯一的实数λ，使𝑎→=𝜆𝑏→【解题思路】A．若𝑎→∥𝑏→，𝑏→∥𝑐→，则𝑎→与𝑐→所在直线平行或重合；B．向量𝑎→、𝑏→、𝑐→共面，则它们所在直线可能共面，也可能不共面；C．根据共面向量基本定理即

可判断出；D．利用向量共线定理可知：若𝑎→∥𝑏→，则存在唯一的实数λ，使使𝑎→=𝜆𝑏→或𝑏→=𝜆𝑎→．【解答过程】解：A．若𝑎→∥𝑏→，𝑏→∥𝑐→，则𝑎→与𝑐→所在直线平行或重合，因此不正确；B．向量𝑎→、𝑏→、𝑐→共面，则

它们所在直线可能共面，也可能不共面，因此不正确；C．根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，正确；D．若𝑎→∥𝑏→，则存在唯一的实数λ，使使𝑎→=𝜆𝑏→或𝑏→=𝜆𝑎→，因此不正确．综上可知：只有C正确．故选：C．【变式1-1】（2021秋

•西夏区校级月考）下列命题正确的是（）A．若𝑎→与𝑏→共线，𝑏→与𝑐→共线，则𝑎→与𝑐→共线B．向量𝑎→，𝑏→，𝑐→共面就是它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方向D．若𝑎→∥𝑏→，则存在

唯一的实数λ使得𝑎→=𝜆𝑏→【解题思路】从向量共线反例判断A，共面向量定理判断B，零向量的定义判断C，共线向量定理判断D．推出正确命题选项．【解答过程】解：若𝑎→与𝑏→共线，𝑏→与𝑐→共线，则𝑎→与𝑐→共线，如果𝑏→=0→，𝑎→与𝑐→不共线，A不正确．向量𝑎→，𝑏→

，𝑐→共面就是它们所在的直线共面，这是不正确的，三个向量所在直线可以互为异面直线．零向量没有确定的方向，满足零向量的定义．若𝑎→∥𝑏→，则存在唯一的实数λ使得𝑎→=𝜆𝑏→，不正确，因为𝑏→≠0→，存在这一条件．故选：C．【变式1-2】下

列关于空间向量的说法中正确的是（）A．若向量𝑎→，𝑏→平行，则𝑎→，𝑏→所在直线平行B．若|𝑎→|=|𝑏→|，则𝑎→，𝑏→的长度相等而方向相同或相反C．若向量𝐴𝐵→，𝐶𝐷→满足|𝐴𝐵→|＞|𝐶𝐷→|，则𝐴�

�→＞𝐶𝐷→D．相等向量其方向必相同【解题思路】根据空间中任意两个向量必然共面，可判断A；根据相等向量和相反向量的定义，可判断B；根据向量不能比较大小，可判断C；根据相等向量的概念，可判断D．【解答过程】解：

对于A，若向量𝑎→，𝑏→平行，则𝑎→，𝑏→所在直线平行或重合，故A错误；若|𝑎→|=|𝑏→|，则𝑎→，𝑏→的长度相等而方向不存在确定关系，故B错误；向量不能比较大小，故C错误；相等向量其方向必相同，故D正确．故选：D．【变式1-3】（2021秋•福建期中）给

出下列命题：①若空间向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|=|𝑏→|，则𝑎→=𝑏→②空间任意两个单位向量必相等③若空间向量𝑎→，𝑏→，𝑐→满足𝑎→⋅𝑐→=𝑏→⋅𝑐→，则𝑎→=𝑏→④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有𝐵𝐷→=𝐵1𝐷1→⑤向量𝑎→=（1，1，0）

的模为√2；其中假命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】在①中，向量𝑎→与𝑏→方向不一定相同；在②中，空间任意两个单位向量的方向不一定相同；在③中，若空间向量𝑎→，𝑏→，𝑐→满足𝑎→⋅𝑐→=𝑏→⋅𝑐→，则向量𝑎→与

𝑏→不一定相等；在④中，由向量相等的定义得必有𝐵𝐷→=𝐵1𝐷1→；在⑤中，由模式的定义得向量𝑎→=（1，1，0）的模为√2．【解答过程】解：在①中，若空间向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|=|𝑏→|，向量𝑎→与𝑏→方向不一定相同，故①是假命题；

在②中，空间任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故②是假命题；在③中，若空间向量𝑎→，𝑏→，𝑐→满足𝑎→⋅𝑐→=𝑏→⋅𝑐→，则向量𝑎→与𝑏→不一定相等，故③是假命题；在④中，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由向量相等的定义得必有𝐵𝐷→=𝐵1𝐷1→，故④是

真命题；在⑤中，由模式的定义得向量𝑎→=（1，1，0）的模为√2，故⑤是真命题．故选：C．【题型2空间向量的加减运算】【方法点拨】①巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接

．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．【例2】（2021秋•东莞市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−𝐶𝐶→1=（）A．𝐴𝐶1→B．𝐴1�

�→C．𝐷1𝐵→D．𝐷𝐵1→【解题思路】根据已知条件，结合向量的加减法法则，即可求解．【解答过程】解：∵ABCD﹣A1B1C1D1为平行四面体，∴𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−𝐶𝐶1→=𝐷𝐶→+𝐴𝐷

→+𝐶1𝐶→=𝐴𝐶→+𝐶1𝐶→=𝐴1𝐶1→+𝐶1𝐶→=𝐴1𝐶→．故选：B．【变式2-1】（2021秋•西城区校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐵𝐶→−𝐷𝐶→+𝐴𝐵→=（）A．𝐵𝐷→B

．𝐷𝐵→C．𝐴𝐷→D．𝐷𝐴→【解题思路】利用空间向量的线性运算法则求解．【解答过程】解：∵𝐷𝐶→=𝐴𝐵→，∴𝐵𝐶→−𝐷𝐶→+𝐴𝐵→=𝐵𝐶→=𝐴𝐷→，故选：C．【变式2-2】（2021秋•潞州区校级期末）如图，在空间四

边形P﹣ABC中，𝑃𝐴→+𝐴𝐵→−𝐶𝐵→=（）A．𝑃𝐶→B．𝑃𝐴→C．𝐴𝐵→D．𝐴𝐶→【解题思路】直接利用向量的线性运算求出结果．【解答过程】解：𝑃𝐴→+𝐴𝐵→−𝐶𝐵→=𝑃𝐵→+�

�𝐶→=𝑃𝐶→．故选：A．【变式2-3】（2021秋•大兴区期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐴𝐵→−𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→=（）A．𝐴𝐶→B．𝐴1𝐶→C．𝐷1𝐵→D．𝐷𝐵→【解题思路】根据已知条件，结合向量的加减法法

则，即可求解．【解答过程】解：由题意可得，𝐴𝐵→−𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→=𝐴𝐵→+𝐷𝐴→+𝐷1𝐷→=𝐷1𝐷→+𝐷𝐵→=𝐷1𝐵→．故选：C．【题型3空间向量的线性运算】【方法点拨】①数形结合：利用数乘运算解

题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题．【例3】（2021秋•金华期末）在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则（）A．𝑀�

�→=12𝐴𝐷→+12𝐴𝐶→−12𝐴𝐵→B．𝑀𝑁→=12𝐴𝐷→+12𝐴𝐶→+12𝐴𝐵→C．𝑀𝑁→=−12𝐴𝐷→−12𝐴𝐶→+12𝐴𝐵→D．𝑀𝑁→=12𝐴𝐷→−12𝐴𝐶→+12𝐴

𝐵→【解题思路】直接利用向量的线性运算的应用求出结果．【解答过程】解：在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点；所以𝐴𝑁→=12(𝐴𝐶→+𝐴𝐷→)，𝐴𝑀→=12𝐴𝐵→，故𝑀𝑁→=𝐴𝑁→−𝐴𝑀→=12𝐴

𝐷→+12𝐴𝐶→−12𝐴𝐵→；故选：A．【变式3-1】（2021秋•湖北期末）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，𝐵𝐶→=3𝐶𝐸→

，则𝐷1𝐸→=（）A．𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→B．𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−23𝐴𝐴1→C．𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→+𝐴𝐴1→D．𝐴𝐵→−𝐴𝐷→+13𝐴𝐴1→【解题思路】利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．【解答过程】解：∵𝐵�

�→=3𝐶𝐸→，∴𝐷1𝐸→=𝐷1𝐷→+𝐷𝐵→+𝐵𝐸→=𝐷1𝐷→+𝐷𝐴→+𝐷𝐶→+43𝐵𝐶→=𝐴𝐵→−𝐴𝐷→+43𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→=𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→，故选：A．【变式3-2】（2021秋

•光明区期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，𝐴𝐺→=2𝐺𝐸→，则𝐺𝐹→=（）A．13𝐴𝐵→−23𝐴𝐶→+12𝐴𝐴1→B．13𝐴𝐵→+23𝐴𝐶→+12𝐴𝐴1→C．−23𝐴𝐵→+13𝐴𝐶→−12

𝐴𝐴1→D．−13𝐴𝐵→+23𝐴𝐶→+12𝐴𝐴1→【解题思路】利用向量加法法则能求出结果．【解答过程】解：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，𝐴𝐺→=2𝐺𝐸→，则𝐺𝐹→=𝐺𝐸→+𝐸𝐶→+𝐶𝐹→=13𝐴𝐸→+12�

�𝐶→+12𝐴𝐴1→=16𝐴𝐵→+16𝐴𝐶→+12𝐴𝐶→−12𝐴𝐵→+12𝐴𝐴1→=−13𝐴𝐵→+23𝐴𝐶→+12𝐴𝐴1→．故选：D．【变式3-3】（2022春•海陵区校级期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐶𝑀→=𝑀𝐷→1，𝐶𝑄→

=4𝑄𝐴→1，则（）A．𝐴𝑀→=12𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→+𝐴𝐴→1B．𝐴𝑄→=𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→+12𝐴𝐴→1C．𝐴𝑄→=14𝐴𝐵→+14𝐴𝐷→+34𝐴𝐴1→D．𝐴𝑄→=15𝐴𝐵→+15𝐴𝐷→+45𝐴𝐴1→【

解题思路】根据题意利用空间向量基本定理求解即可．【解答过程】解：∵，𝐶𝑀→=𝑀𝐷→1，∴𝐶𝑀→=12𝐶𝐷1→=12（𝐶𝐷→+𝐷𝐷1→）=−12𝐴𝐵→+12𝐴𝐴1→，∴𝐴𝑀→=𝐴𝐵→+𝐵𝐶→+𝐶𝑀→=𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−12𝐴𝐵→+12𝐴𝐴

1→=12𝐴𝐵→+𝐴𝐷→+12𝐴𝐴1→，∴A错误；∵𝐶𝑄→=4𝑄𝐴→1，∴𝐶𝑄→=45𝐶𝐴1→=45（𝐶𝐵→+𝐵𝐴→+𝐴𝐴1→）=−45𝐴𝐵→−45𝐴𝐷→+45𝐴𝐴1→，所以

𝐴𝑄→==𝐴𝐵→+𝐵𝐶→+𝐶𝑄→=𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−45𝐴𝐵→−45𝐴𝐷→+45𝐴𝐴1→=15𝐴𝐵→+15𝐴𝐷→+45𝐴𝐴1→，故选：D．【题型4空间向量的线性运算（求参数）】【例4】（2022春•萧县校级月考）已知矩形ABCD，P为平面ABCD

外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且𝑁𝑀→=x𝐴𝐵→+y𝐴𝐷→+z𝐴𝑃→，𝑃𝑀→=2𝑀𝐶→，𝑃𝑁→=𝑁𝐷→，则x+y+z的值为（）A．−23B．23C．1D．56【解题思路】由空间向量的线性运算直接计算即可．【解答过程】解：由题可知𝑃

𝐶→=𝐴𝐵→+𝐵𝐶→−𝐴𝑃→=𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−𝐴𝑃→，𝐷𝑃→=𝐴𝑃→−𝐴𝐷→，所以𝑁𝑀→=𝑁𝑃→+𝑃𝑀→=12𝐷𝑃→+23𝑃𝐶→=12(𝐴𝑃→−𝐴𝐷→)+23(𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−𝐴𝑃→)=−16𝐴𝑃→+

23𝐴𝐵→+16𝐴𝐷→，所以𝑥=23，𝑦=16，𝑧=−16，所以𝑥+𝑦+𝑧=23，故选：B．【变式4-1】（2021秋•重庆期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且BE=13𝐵𝐵1，DF=12𝐷𝐷1．若𝐸𝐹→=𝑥�

�𝐵→+𝑦𝐴𝐷→+𝑧𝐴𝐴1→，则x+y+z＝（）A．﹣1B．0C．13D．16【解题思路】根据已知条件，结合空间向量及其线性运算法则，即可求解．【解答过程】解：𝐸𝐹→=𝐸𝐵1→+𝐵1𝐹→=𝐸𝐵1→+𝐵1𝐷1→+𝐷1𝐹→=23

𝐵𝐵1→+𝐵1𝐴1→+𝐵1𝐶1→+12𝐷1𝐷→=23𝐴𝐴1→−𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−12𝐴1𝐴→=−𝐴𝐵+𝐴𝐷→+16𝐴1𝐴→，=𝑥𝐴𝐵→+𝑦𝐴𝐷→+𝑧𝐴𝐴1→，即x

＝﹣1，y＝1，z=16，∴𝑥+𝑦+𝑧=16．故选：D．【变式4-2】（2021秋•温州期末）如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=1

3D1D，若𝑀𝑁→=𝑥𝐴𝐵→+𝑦𝐴𝐷→+𝑧𝐴𝐴1→，则x+y+z＝（）A．17B．16C．23D．32【解题思路】利用向量的三角形法则、向量的运算性质即可得出．【解答过程】解：∵𝑀𝑁→=𝐴𝑁→−𝐴𝑀→，𝐴𝑁→=𝐴𝐷→+23𝐴𝐴1→，𝐴𝑀→=𝐴�

�→+12𝐴𝐴1→，∴𝑀𝑁→=𝐴𝐷→+23𝐴𝐴1→−𝐴𝐵→−12𝐴𝐴1→=−𝐴𝐵→+𝐴𝐷→+16𝐴𝐴1→，∴x＝﹣1，y＝1，z=16，∴x+y+z=16．故选：B．【变式

4-3】（2021秋•香坊区校级期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若𝐴𝑀→=a𝐴𝐵→+b𝐴𝐷→+c𝐴𝐴1→，给出以下结论：①a+b+c＝2；②13＜b＜23；③a＝1；④a

＝2c；⑤a＝b．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】根据空间向量的线性运算表示向量𝐴𝑀→，可得各数值，逐一判断即可．【解答过程】解：如图所示：𝐴𝑀→=𝐴𝐵→+𝐵

𝑀→=𝐴𝐵→+12𝐵𝐶1→=𝐴𝐵→+12𝐵𝐵1→+12𝐵𝐶→=𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→+12𝐴𝐴1→，即a＝1，b=12，c=12，所以a+b+c＝2，①正确，13＜b＜23，②正确，a＝1，③正确，

a＝2c，④正确，a＝2b，⑤错误，故选：D．【题型5向量共线的判定及应用】【方法点拨】①判断或证明两向量，(≠)共线，就是寻找实数λ，使＝λ成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．②判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线

的方法：是否存在实数λ，使PA→＝λPB→；【例5】（2022春•湾里区期中）已知非零向量𝑎→=3𝑚→−2𝑛→−4𝑝→，𝑏→=(𝑥+1)𝑚→+8𝑛→+2𝑦𝑝→，且𝑚→、𝑛→、𝑝→不共面．若𝑎→∥𝑏→，则x+y＝（）A．﹣13B．﹣5C．8D．13【解题思路】根据向量

共线可得𝑏→=𝜆𝑎→，从而可解方程组求出x，y，再求出x+y即可．【解答过程】解：∵𝑚→，𝑛→，𝑝→不共面，故𝑚→，𝑛→，𝑝→可看作空间向量的一组基底，∵𝑎→∥𝑏→，故存在λ≠0，使得𝑏→=𝜆𝑎→，即（x+1）𝑚→+8𝑛→+2y𝑝→=3λ𝑚→−2λ𝑛→

−4λ𝑝→，∴{𝑥+1=3𝜆8=−2𝜆2𝑦=−4𝜆，解得：{𝑥=−13𝑦=8，则x+y＝﹣5．故选：B．【变式5-1】（2021秋•镜湖区校级期末）在四面体O﹣ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若𝑂𝐺→=13𝑂𝐴→+𝑥4𝑂𝐵→+

𝑥4𝑂𝐶→，则使G与M，N共线的x的值为（）A．1B．2C．23D．43【解题思路】由已知可得𝑂𝑁→=12(𝑂𝐵→+𝑂𝐶→)，𝑂𝑀→=23𝑂𝐴→．假设G与M，N共线，则存在实数λ使得𝑂𝐺→=𝜆𝑂𝑁→+(

1−𝜆)𝑂𝑀→=𝜆2(𝑂𝐵→+𝑂𝐶→)+2(1−𝜆)3𝑂𝐴→，与𝑂𝐺→=13𝑂𝐴→+𝑥4𝑂𝐵→+𝑥4𝑂𝐶→比较可得．【解答过程】解：𝑂𝑁→=12(𝑂𝐵→+𝑂𝐶→)，𝑂𝑀→=23𝑂𝐴→．假设G与M，N共线

，则存在实数λ使得𝑂𝐺→=𝜆𝑂𝑁→+(1−𝜆)𝑂𝑀→=𝜆2(𝑂𝐵→+𝑂𝐶→)+2(1−𝜆)3𝑂𝐴→，与𝑂𝐺→=13𝑂𝐴→+𝑥4𝑂𝐵→+𝑥4𝑂𝐶→比较可得：2(1−𝜆)3=13，𝜆2=𝑥4，解得x＝1．故选：

A．【变式5-2】（2022春•市中区校级月考）已知空间的一组基底{𝑎→，𝑏→，𝑐→}，若𝑚→=𝑎→−𝑏→+𝑐→与𝑛→=𝑥𝑎→+𝑦𝑏→+𝑐→共线，则x+y的值为（）A．2B．﹣2C．1D．0【解题思路】根据𝑚→与𝑛→共线可得出𝑛

→=𝑘𝑚→，再根据{𝑎→，𝑏→，𝑐→}为基底，从而根据空间向量基本定理可得出x+y的值．【解答过程】解：因为𝑚→与𝑛→共线，空间的一组基底{𝑎→，𝑏→，𝑐→}，所以𝑥𝑎→+𝑦𝑏→+𝑐→=𝑘(𝑎→−𝑏→+𝑐→)，所以x+y＝0．故选：D．【变式5-3】（20

21秋•邹城市期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐴1𝐸→=23𝐴1𝐷1→，𝐴1𝐹→=23𝐹𝐶→．试运用向量方法证明：E，F，B三点共线．【解题思路】法一：分别求出𝐸𝐹→，𝐹𝐵→，根据共线向量的定义判断即可

；法二：求出𝐸𝐹→=23𝐹𝐵→，结合EF∩FB＝F，从而证明E，F，B三点共线．【解答过程】证明：【方法一】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，FB，A1B．因为𝐴1𝐸→=23𝐴1𝐷1→，�

�1𝐹→=23𝐹𝐶→，所以𝐸𝐹→=𝐴1𝐹→−𝐴1𝐸→=25𝐴1𝐶→−23𝐴1𝐷1→=25(𝐴1𝐵1→+𝐴1𝐷1→+𝐴1𝐴→)−23𝐴1𝐷1→=25𝐴1𝐵1→+25𝐴1𝐴→−415𝐴1𝐷1→；𝐹𝐵→=𝐴1𝐵→−𝐴1𝐹→=𝐴1𝐵1→

+𝐴1𝐴→−25𝐴1𝐶→=𝐴1𝐵1→+𝐴1𝐴→−25(𝐴1𝐵1→+𝐴1𝐷1→+𝐴1𝐴→)=35𝐴1𝐵1→+35𝐴1𝐴→−25𝐴1𝐷1→，显然，𝐸𝐹→=23𝐹𝐵→，所以𝐸𝐹

→∥𝐹𝐵→，又EF∩FB＝F，所以E，F，B三点共线．【方法二】证明：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接EF，FB．由题意，𝐴1𝐸→=23𝐴1𝐷1→，𝐴1𝐹→=23𝐹𝐶→，易得𝐸𝐹→=𝐴1𝐹→−𝐴1𝐸→=23(𝐹𝐶→−𝐴1�

�1→)=23(𝐹𝐶→−𝐵𝐶→)=23(𝐹𝐶→+𝐶𝐵→)=23𝐹𝐵→，所以𝐸𝐹→∥𝐹𝐵→．又EF∩FB＝F，故E，F，B三点共线．【题型6向量共面的判定及应用】【方法点拨】①若已知点P在平面ABC内，则有AP→＝xAB→＋yAC→或OP→＝xOA→＋yOB→

＋zOC→(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．②证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示．【例6】（2022春•成都期中）已知M，A，B

，C为空间中四点，任意三点不共线，且𝑂𝑀→=−2𝑂𝐴→+x𝑂𝐵→+y𝑂𝐶→，若M，A，B，C四点共面，则x+y的值为（）A．0B．1C．2D．3【解题思路】由共面向量定理能求出x+y．【解答过程】解：M，A，B，C为空

间中四点，任意三点不共线，且𝑂𝑀→=−2𝑂𝐴→+x𝑂𝐵→+y𝑂𝐶→，M，A，B，C四点共面，则由共面向量定理得：﹣2+x+y＝1．解得x+y＝3．故选：D．【变式6-1】（2022春•杨浦区校

级期中）下列条件中，一定使空间四点P、A、B、C共面的是（）A．𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=−𝑂𝑃→B．𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=𝑂𝑃→C．𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=2𝑂𝑃→D．𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=3𝑂𝑃→【解题思路】要使空间中的P、A

、B、C四点共面，只需满足𝑂𝑃→=𝑥𝑂𝐴→+𝑦𝑂𝐵→+𝑧𝑂𝐶→，且x+y+z＝1即可．【解答过程】解：对于A选项，𝑂𝑃→=−𝑂𝐴→−𝑂𝐵→−𝑂𝐶→，（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）＝﹣3≠1，所以点P与A

、B、C三点不共面；对于B选项，𝑂𝑃→=𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→，1+1+1＝3≠1，所以点P与A、B、C三点不共面；对于C选项，𝑂𝑃→=12𝑂𝐴→+12𝑂𝐵→+12𝑂𝐶→，12+12+12=32≠1，所以点P与A、B、C三点不共面；对于D选项，

𝑂𝑃→=13𝑂𝐴→+13𝑂𝐵→+13𝑂𝐶→，13+13+13=1，所以点P与A、B、C三点共面．故选：D．【变式6-2】（2022春•常州期中）对于空间任意一点O，若𝑂𝑃→=12𝑂𝐴→+13𝑂𝐵→+16𝑂𝐶→，则A，B，C，

P四点（）A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．与O点位置有关【解题思路】由共面向量基本定理、空间向量基本定理即可得出．【解答过程】解：∵𝑂𝑃→=12𝑂𝐴→+13𝑂𝐵→+16𝑂𝐶→，可得12+13+16=1，∴四点P、A、B、C必共面．故选：B．【变式6-3】

（2022春•海陵区校级月考）设A，B，C，D为空间中的四个点，则“𝐴𝐷→=𝐴𝐵→+𝐴𝐶→”是“A，B，C，D四点共面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】根据空间向量共面定理，结合充分条件，必要条件的定义判断即可．【解答过程】

解：A，B，C，D为空间中的四个点，①当𝐴𝐷→=𝐴𝐵→+𝐴𝐶→时，则A，B，C，D四点共面，②当A，B，C，D四点中有三点共线时，满足A，B，C，D四点共面，但不满足𝐴𝐷→=𝐴𝐵→+𝐴𝐶→，∴𝐴𝐷→=𝐴𝐵→+𝐴𝐶→是A，B，C，D四点共面的充分不必要条件，故选

：A．