【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题1.1 空间向量及其线性运算-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(9)页，333.251 KB，由小赞的店铺上传

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专题1.1空间向量及其线性运算-重难点题型精讲1．空间向量的概念(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB→，

其模记为|a|或|AB→|.(4)几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为－a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合

，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量2．空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA→＋AB→＝OB→减法a－b＝OA→－OC→＝CA→数乘当λ>0时，λa＝λOA→＝PQ→；

当λ<0时，λa＝λOA→＝MN→；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb

.3．共线向量(1)空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)直线的方向向量在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量．4．共面向量(1)共面向量如图，如果表示向量a的

有向线段OA→所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．(2)向量共面的充要条件如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有

序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.【题型1空间向量概念的理解】【方法点拨】在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充

要条件是大小相等，方向相反．【例1】（2021秋•城关区校级期末）下列命题中正确的是（）A．若𝑎→∥𝑏→，𝑏→∥𝑐→，则𝑎→与𝑐→所在直线平行B．向量𝑎→、𝑏→、𝑐→共面即它们所在直线共面C．

空间任意两个向量共面D．若𝑎→∥𝑏→，则存在唯一的实数λ，使𝑎→=𝜆𝑏→【变式1-1】（2021秋•西夏区校级月考）下列命题正确的是（）A．若𝑎→与𝑏→共线，𝑏→与𝑐→共线，则𝑎→与𝑐→共线B．向量𝑎→，𝑏→，𝑐→共面就是它们所在的直线共面C．零向量没有确定的方

向D．若𝑎→∥𝑏→，则存在唯一的实数λ使得𝑎→=𝜆𝑏→【变式1-2】下列关于空间向量的说法中正确的是（）A．若向量𝑎→，𝑏→平行，则𝑎→，𝑏→所在直线平行B．若|𝑎→|=|𝑏→|，则𝑎→，𝑏→的长度相等而方向相

同或相反C．若向量𝐴𝐵→，𝐶𝐷→满足|𝐴𝐵→|＞|𝐶𝐷→|，则𝐴𝐵→＞𝐶𝐷→D．相等向量其方向必相同【变式1-3】（2021秋•福建期中）给出下列命题：①若空间向量𝑎→，𝑏→满足|𝑎→|=|𝑏→|，则𝑎→=𝑏→②空间任意两个

单位向量必相等③若空间向量𝑎→，𝑏→，𝑐→满足𝑎→⋅𝑐→=𝑏→⋅𝑐→，则𝑎→=𝑏→④在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，必有𝐵𝐷→=𝐵1𝐷1→⑤向量𝑎→=（1，1，0）的模为√2；其中假命题的个数是

（）A．1B．2C．3D．4【题型2空间向量的加减运算】【方法点拨】①巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则

进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．【例2】（2021秋•东莞市期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−𝐶𝐶→1=（）A．𝐴𝐶1→B．𝐴1𝐶→C．𝐷1�

�→D．𝐷𝐵1→【变式2-1】（2021秋•西城区校级期末）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐵𝐶→−𝐷𝐶→+𝐴𝐵→=（）A．𝐵𝐷→B．𝐷𝐵→C．𝐴𝐷→D．𝐷𝐴→【变式2-2】（2021秋•潞州

区校级期末）如图，在空间四边形P﹣ABC中，𝑃𝐴→+𝐴𝐵→−𝐶𝐵→=（）A．𝑃𝐶→B．𝑃𝐴→C．𝐴𝐵→D．𝐴𝐶→【变式2-3】（2021秋•大兴区期末）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1

中，𝐴𝐵→−𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→=（）A．𝐴𝐶→B．𝐴1𝐶→C．𝐷1𝐵→D．𝐷𝐵→【题型3空间向量的线性运算】【方法点拨】①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．②明确目标：在化简过程中要有目标意识

，巧妙利用线段的中点进行解题．【例3】（2021秋•金华期末）在四棱锥A﹣BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则（）A．𝑀𝑁→=12𝐴𝐷→+12𝐴𝐶→−12𝐴𝐵→B．𝑀𝑁→=12𝐴𝐷→+12𝐴𝐶→+12𝐴𝐵→C．𝑀𝑁→=−12𝐴𝐷→−12𝐴

𝐶→+12𝐴𝐵→D．𝑀𝑁→=12𝐴𝐷→−12𝐴𝐶→+12𝐴𝐵→【变式3-1】（2021秋•湖北期末）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC延长线上一点，𝐵𝐶→=3𝐶𝐸→，

则𝐷1𝐸→=（）A．𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→−𝐴𝐴1→B．𝐴𝐵→+𝐴𝐷→−23𝐴𝐴1→C．𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→+𝐴𝐴1→D．𝐴𝐵→−𝐴𝐷→+13𝐴𝐴1→【变式3-2】（2021秋•光明区期末）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1

C1中，E，F分别是BC，CC1的中点，𝐴𝐺→=2𝐺𝐸→，则𝐺𝐹→=（）A．13𝐴𝐵→−23𝐴𝐶→+12𝐴𝐴1→B．13𝐴𝐵→+23𝐴𝐶→+12𝐴𝐴1→C．−23𝐴𝐵→+13�

�𝐶→−12𝐴𝐴1→D．−13𝐴𝐵→+23𝐴𝐶→+12𝐴𝐴1→【变式3-3】（2022春•海陵区校级期中）在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐶𝑀→=𝑀𝐷→1，𝐶𝑄→=4𝑄𝐴→1，则（）A．𝐴𝑀→=12𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→+𝐴𝐴→1B．𝐴�

�→=𝐴𝐵→+12𝐴𝐷→+12𝐴𝐴→1C．𝐴𝑄→=14𝐴𝐵→+14𝐴𝐷→+34𝐴𝐴1→D．𝐴𝑄→=15𝐴𝐵→+15𝐴𝐷→+45𝐴𝐴1→【题型4空间向量的线性运算（求参数）】【例4】（2022春•萧县校级月考）已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，

且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且𝑁𝑀→=x𝐴𝐵→+y𝐴𝐷→+z𝐴𝑃→，𝑃𝑀→=2𝑀𝐶→，𝑃𝑁→=𝑁𝐷→，则x+y+z的值为（）A．−23B．23C．

1D．56【变式4-1】（2021秋•重庆期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1上，且BE=13𝐵𝐵1，DF=12𝐷𝐷1．若𝐸𝐹→=𝑥𝐴𝐵→+𝑦𝐴𝐷→+𝑧𝐴𝐴1→，则x+y+z＝（）

A．﹣1B．0C．13D．16【变式4-2】（2021秋•温州期末）如图的平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM=12BB1，D1N=13D1D，若𝑀𝑁→=𝑥𝐴𝐵→+𝑦𝐴𝐷→+𝑧𝐴𝐴1→，则x+y+z＝（）A．17B．16C．23D．3

2【变式4-3】（2021秋•香坊区校级期中）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是面BB1C1C的中心，若𝐴𝑀→=a𝐴𝐵→+b𝐴𝐷→+c𝐴𝐴1→，给出以下结论：①a+b+c＝2；②13＜b＜23；③a＝1；④a＝2c；⑤a＝b

．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【题型5向量共线的判定及应用】【方法点拨】①判断或证明两向量，(≠)共线，就是寻找实数λ，使＝λ成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达．②判断或证明空间中的三点(如P

，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使PA→＝λPB→；【例5】（2022春•湾里区期中）已知非零向量𝑎→=3𝑚→−2𝑛→−4𝑝→，𝑏→=(𝑥+1)𝑚→+8𝑛→+2𝑦𝑝→，且𝑚→、𝑛→、𝑝→不共面．若𝑎→∥𝑏→，则x+y＝（）A．﹣13B．﹣5C．8D．1

3【变式5-1】（2021秋•镜湖区校级期末）在四面体O﹣ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，若𝑂𝐺→=13𝑂𝐴→+𝑥4𝑂𝐵→+𝑥4𝑂𝐶→，则使G与M，N共线的x的值为（）A．1B．2C．

23D．43【变式5-2】（2022春•市中区校级月考）已知空间的一组基底{𝑎→，𝑏→，𝑐→}，若𝑚→=𝑎→−𝑏→+𝑐→与𝑛→=𝑥𝑎→+𝑦𝑏→+𝑐→共线，则x+y的值为（）A．2B

．﹣2C．1D．0【变式5-3】（2021秋•邹城市期中）如图所示，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，𝐴1𝐸→=23𝐴1𝐷1→，𝐴1𝐹→=23𝐹𝐶→．试运用向量方法证明：E，F，B三点共线．【题型6向量共面的判定及应用】【方法点

拨】①若已知点P在平面ABC内，则有AP→＝xAB→＋yAC→或OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．②证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量

来表示．【例6】（2022春•成都期中）已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，且𝑂𝑀→=−2𝑂𝐴→+x𝑂𝐵→+y𝑂𝐶→，若M，A，B，C四点共面，则x+y的值为（）A．0B．

1C．2D．3【变式6-1】（2022春•杨浦区校级期中）下列条件中，一定使空间四点P、A、B、C共面的是（）A．𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=−𝑂𝑃→B．𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=𝑂𝑃→C．𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=2𝑂𝑃→D

．𝑂𝐴→+𝑂𝐵→+𝑂𝐶→=3𝑂𝑃→【变式6-2】（2022春•常州期中）对于空间任意一点O，若𝑂𝑃→=12𝑂𝐴→+13𝑂𝐵→+16𝑂𝐶→，则A，B，C，P四点（）A．一定不共面B．一定共面C．

不一定共面D．与O点位置有关【变式6-3】（2022春•海陵区校级月考）设A，B，C，D为空间中的四个点，则“𝐴𝐷→=𝐴𝐵→+𝐴𝐶→”是“A，B，C，D四点共面”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件