【文档说明】四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题 含解析.docx，共(25)页，2.041 MB，由小赞的店铺上传

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成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高2022级6月月考数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数()i,Rzabab=+是纯虚数的充分不必要条件是（）A.0a且0b=B.0b=

C.1a=且0b=D.0ab==【答案】C【解析】【分析】运用纯虚数的定义，结合充分条件，、与必要条件的定义即可求得结果.【详解】因为复数()i,Rzabab=+是纯虚数的充要条件是0a且0b=，又因为1a=且0b=是0a且0b=的充分不必要条件，所以

1a=且0b=是复数()i,Rzabab=+为纯虚数的充分不必要条件.故选：C.2.已知第二象限角的终边与单位圆交于3,5Pm，则sin2=（）A.1225−B.2425−C.1225D.2425【答案】B【解析】【分析】由三角函数的定义可求出sin，进而可求出cos，

sin2.【详解】因为角的终边与单位圆交于3,5Pm，所以3sin5=，又角是第二象限角，所以cos0，所以24cos1sin5=−−=−，所以24sin22sincos25==−，故选：B.3.已知菱形ABCD边长为1，60BAD=，则BDDC=（）A.

32B.32−C.12D.12−【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的数量积公式结合几何图形性质计算即可.【详解】∵60BAD=，由菱形的几何性质可得：AB=BD=DC=1，,120BDDC=，故111cos1202BDDC==−.故选:D4.已知直线l及三个互不重合的平面，，，

下列结论错误的是（）A.若//，//，则//B.若⊥，⊥，则⊥C.若⊥，//，则⊥D.若⊥，⊥，l=，则l⊥【答案】B【解析】【分析】对A，可根据面面平行的性质判断；对B，平面与

不一定垂直，可能相交或平行；对C，可根据面面平行的性质判断；对D，可通过在平面，中作直线，推理判断.【详解】解：对于选项A：根据面面平行的性质可知，若//，//，则//成立，故选项A正确

，对于选项B：垂直于同一平面的两个平面，不一定垂直，可能相交或平行，故选项B错误，对于选项C：根据面面平行的性质可知，若⊥，//，则⊥成立，故选项C正确，对于选项D：若⊥，⊥，l=，设a=，b=，在平面中作一

条直线ma⊥，则m⊥，在平面中作一条直线nb⊥，则n⊥，//mn，//m，又l=，//ml，l⊥，故选项D正确，故选：B.5.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=

CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A.12B.-12C.2D.32−【答案】A【解析】【分析】如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则//EFBD，//EGAC，FOOG⊥，FEG或其补角为异面直线AC与BD所成角．【详解】

解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则//EFBD，//EGAC，FOOG⊥，FEG或其补角为异面直线AC与BD所成角．设2ABa=，则2EGEFa==，222FGaaa=+=，60FEG=，异面直线AC与BD所成角的余弦值为12，

故选：A．【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．6.欧拉公式iecosisinxxx=+（其中e是自然对数的底，i为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的

，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了指数函数与三角函数的关系，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式，若将2πi3e所表示的复数记为z，则z=（）A.13i22+B.13i22−C.13i22−+D.1

3i22−−【答案】D【解析】【分析】根据iecosxxisinx=+，令2π3x=，计算即可求解.【详解】因为iecosxxisinx=+，所以2πi32π2π13ecosi3322zisin==+=−+，则13i22z=−−.故选：D.7.已知函数()()π2cos0,2fxx

=+的部分图象如下所示，其中π7π,2,,01212AB，为了得到()2sin2gxx=的图象，需将（）A.函数()fx的图象的横坐标伸长为原来的32倍后，再向左平移3π8个单位长度B.函数()fx的图象的横坐标缩短为原来的23后，再向右平移8个单位长度C.

函数()fx的图象向左平移π4个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的32倍D.函数()fx的图象向右平移π12个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的32倍【答案】D【解析】【分析】根据已知条件可知，37πππ412122T=−=，即可求得，再代入点的坐标，根据已知条

件的π2来确定解析式，最后根据伸缩平移法则即可求得.【详解】依题意，37πππ412122T=−=，解得2π3T=，故2π3T==，则()()2cos3fxx=+，而ππ2cos124f=+=2，故(

)π2π4kk=−+Z，而π2，故()ππ,2cos344fxx=−=−.将函数()fx的图象向右平移π12个单位长度后，得到π2cos32sin32yxx=−=，再将横坐标伸长为原来的32倍，得到

()2sin2gxx=.故选：D.8.已知函数()22sincos4cos1fxxxx=+−，若实数a、b、c使得()()–3afxbfxc+=，对任意的实数x恒成立，则2cosabc+−的值为（）A.12B

.1C.32D.2【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换得到()()5sin21fxx=++，结合()()–3afxbfxc+=，得到3ab−=，ab=−且2π2πck=+，kZ，从而得到33,22ab==−，ππ2ck=+，kZ，得到答案.【详解】()()22sin

cos4cos1sin22cos215sin21fxxxxxxx=+−=++=++，其中πtan2,0,2=，()()5sin221fxcxc+=+++，要想()()–3afxbfxc+=恒成立，即()()5sin25sin223axabxcb

++−++−=恒成立，故3ab−=且()()5sin25sin22axbxc+=++，因为ab¹，所以ab=−且2π2πck=+，kZ，解得33,22ab==−，ππ2ck=+，kZ，故33

2cos3022abc+−=−−=故选：C.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（）A.若32iz=−，则z的虚部为－

2iB.若|z|＝1，则z＝±1或z＝±iC.若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12D.若12i2z−，则点Z的集合所构成的图形的面积为π【答案】CD【

解析】【分析】A选项：根据虚部的概念判断即可；B选项：根据模的公式判断即可；C选项：根据Z的坐标得到13iz=−+，然后代入20xpxq++=中得到36080ppq−=−−+=，解方程即可；D选项：设izab=+，根据12i2z−

得到()22122ab+−，然后根据几何图形求面积即可.【详解】A选项：因为32iz=−，所以z的虚部为-2，故A错；B选项：设izab=+，则1z=可以得到221ab+=，即221ab+=，有

好多种情况，例如，12a=，32b=，此时1322z=+，故B错；C选项：若Z的坐标为()1,3−，则13iz=−+，又z是关于x的实系数方程20xpxq++=的一个根，所以()()()213138360pqpqp−++−++=−−++−=iii，所以36080ppq−

=−−+=，解得210pq==，12pq+=，故C正确；D选项：设izab=+，则()22122ab+−，即()22122ab+−，所以Z的集合所构成的图形为环形，如下所示：所以面积为()21−=，故D正确.故选：CD.10

.在ABC中，753ABACBC===，，，点D在线段AB上，下列结论正确的是（）A.150ACB=B.若CD是中线，则192CD=C.若CD是角平分线，则158CD=D.若3CD=，则D是线段AB的三等分点【答案】BC【解析】【分析】根据余弦定理可得2π3C=，即可

判断A；根据向量的模长即可求解B；根据面积公式即可求解CD为角平分线时的长度,即可判断C；根据向量的线性表示以及模长公式即可求解D.【详解】对于A，在ABC中，7AB=，5AC=，3BC=，由余弦定理得2222223571cos22352abcCab+−+−===−，又(0,π)C，2π3

C=，故A错误；对于B：若CD是中线，1()2CDCACB=+，即21119[259253()]424CD=++−=，192CD=，故B正确；对于C：若CD是角平分线，则+=ACDBCDABCSSS，即

1π1π12π5sin3sin53sin232323CDCD+=，解得158CD=，故C正确；对于D：若D为线段AB的三等分点，则()1133CDCAABCACCAB=+=+−或()2233CDCAABCACCAB=+=+

−，即2133CDCACB=+或1233CDCACB=+，24141792595399929CD=++−=，或214413125953()99929CD=++−=，793CD

=或313，故D错误．故选：BC．11.如图所示，四边形ABCD是由斜二测画法得到的平面四边形ABCD水平放置的直观图，其中，5AD=，2CDCB==，点P在线段CD上，P对应原图中

的点P，则在原图中下列说法正确的是（）A.四边形ABCD的面积为14B.与AB同向的单位向量的坐标为34(,)55−C.AD在向量AB上的投影向量的坐标为912(,)55−D.|3|PAPB+的最小值为

17【答案】ABD【解析】【分析】根据直观图可得四边形ABCD为直角梯形，从而可求得原图形的面积，即可判断A；以点D为坐标原点建立平面直角坐标系，写出AB的坐标，再根据与AB同向的单位向量为ABAB，即可判断B；根据AD在向量AB上的投影向量的坐标为ABADAB

ABAB即可判断C；设()0,,0,4Pyy，根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D.【详解】解：由直观图可得，四边形ABCD为直角梯形，且5,4,2ADCDBC===，则四边形A

BCD的面积为()254142+=，故A正确；如图，以点D为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,5,0,0,4,2,4DACB，则()3,4AB=−，所以与AB同向的单位向量的坐标为34,55ABAB=−，故B正确；()

5,0AD=−，则AD在向量AB上的投影向量的坐标为()3,415912,5555ABADABABAB−==−，故C错误；设()0,,0,4Pyy，则()()5,,2,4PAyPBy=−=−，则()31

7,44PAPBy+=−，()2231744PAPBy+=+−，当1y=时，3PAPB+取得最小值17，故D正确.故选：ABD.12.棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，点P满足()APPC=R且-1，则下列结论正确的是（）A.三棱锥11BACP−体积恒为定值

B.过点P作平面11ABD垂线l，则l与直线1AA相交于Q，且1AQQA=C.若异面直线1BP与1CD的夹角为30，则1=D.当2=时，三棱锥11APBD−的外接球半径为63a【答案】ABD【解析】【分析】根据正方体的结构特征，结合正方体的

性质，以及线面平行、线面垂直的判定和三棱锥的体积公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由//AC面11BAC，所以直线AC的点到平面11BAC的距离为定值，又由11BAC△为等边三角形，且面积为定值，所以三棱锥1

1BACP−的体积恒为定值，所以A正确；对于B中，在正方体1111ABCDABCD−中，可得1AC⊥面11ABD，因为l⊥面11ABD，所以1//lAC，从而l与直线1AA相交于Q，可得1AQAPQAPC==，所以1AQQA=，所以B正确.对于C中，因为1

1//ABCD，所以130ABP=或150，又由1ABCV为正三角形，的的当130ABP=时，可得点P为AC的中点，此时2=，当1150ABP=时，12APPC=−，即12=−，综上可得2=或

12=−，所以C错误；对于D中，当2=时，取等边11ABD的中心为O，可得等边11ABD边长为2a，13ACa=，且1163OAOBODa===，过点O作OMAC⊥，根据正方体的性质，可得23OMa=，且23OPa=，在直角OMP中，可得2263MPOMMP

a=+=，所以11OAOBODOP===，所以O为三棱锥11APBD−的外接球的球心，且半径为63ra=，所以D正确.故选：ABD.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.圆锥侧面展开图扇形的圆心角为π3，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为_____

___．【答案】6π【解析】【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得π2π13l=，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.【详解】设圆锥的母线为l,则π2π13l=,所以6l=,则圆锥的侧面积为π6πrl=.故答案为：6π.14.已知一个半球内含有一个圆台，半球的底面圆即为圆台

的下底面，圆台的上底面圆周在半球面上，且上底面圆半径为3，若半球的体积为144，则圆台的体积为___________.【答案】633π【解析】【分析】设半球半径为R，圆台上底面圆半径为3r=，圆台的高为h，进而并

根据轴截面中的几何关系得33h=，再计算体积即可得答案.【详解】解：设半球半径为R，圆台上底面圆半径为3r=，圆台的高为h.所以，作出轴截面，如图，因为半球的体积为144，所以312π144π23VR==球，解得6R=，由题意知222Rrh=

+，代入解得33h=，所以，圆台体积11()33(9π36π9π36π)633π33VhSSSS=++=++=下下圆台上上.故答案为：633π15.已知点O是△ABC的外心，68ABBC==，，2π3B=，若BOxBAyBC=+，则34xy+=_____

_．【答案】7【解析】【分析】根据O为ABC的外心，可得出||||cos18BOBABOBAABO==，而同理可求出32BOBC=，这样在BOxBAyBC=+两边分别乘以,BABC进行数量积的运算，可得出关于x，y的二元一次方程组，解出34xy+即可．【详解】如图，=6

AB，8BC=，2π3B=，且BOxBAyBC=+，21||||cos||182BOBABOBAABOBA===，21||||cos||322BOBCBOBCCBOBC===，168()242BABC=−=−，22BO

BAxBAyBABCBOBCxBABCyBC=+=+，183624322464xyxy=−=−+，整理得，643834xyyx−=−=，(64)(83)347xyyxxy−+−=+=．故答案为：716.在三棱锥P-ABC中

，,224,26PABCBCPAABPC⊥====，点M，N分别是PB，BC的中点，且AMPC⊥，则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________．【答案】14π3【解析】【分析】证明出PC的中点即为外接球的球心，从而得到外接球半径，再设O到平面AMN的距离为h，平面A

MN截球O所得的截面圆的半径为r，由等体积法求出233h=，进而得到r，得到截面面积.【详解】因为PAAB=，M是PB的中点，所以AMPB⊥，又,,,AMPCPBPCPPBPC⊥=平面PBC，所以AM⊥平面PBC，又BC平面PBC，所以AMBC⊥，又,,,PAB

CPAAMAPAAM⊥=平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PB，AB平面PAB，所以,.BCABBCPB⊥⊥在△ABC中，2,4,ABBCBCAB==⊥，所以2225ACABBC=+=，在△PAC中，25226ACPAPC===，，，所以222

ACPAPC+=，所以ACPA⊥，取PC的中点O，又,BCPBAC⊥⊥PA，所以OAOBOCOP===，即点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心，因为26PC=，故外接球半径为6R=，设O到平面AMN的距离为h，平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r，因为MN

是△PBC的中位线，所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离，故OAMNBAMNNAMBVVV−−−==，即1111262223232h=，得233h=，所以222143rRh=−

=，所以截面圆的面积为214ππ3Sr==．故答案为：14π3.【点睛】解决与球有关内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球的心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线

段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图，在ABC中，90ABC=，3AB=，1,BCP=为ABC内一点，90BPC=．（1）若32PC=，求PA；（2

）若120APB=，求ABP的面积S．【答案】（1）72（2）3314【解析】【分析】（1）RtBPC△中利用三角函数的定义，求出3sin2PBC=，可得60PBC=，从而1cos602BPBC==，再在APB△中算出30PBA=，利

用余弦定理，即可得出答案；（2）设PBA=，在APB△中根据正弦定理建立关于的等式，解出2sin3cos=，利用同角三角函数的关系可得3tan2=，321sin77==，27cos7=，217PB=，利用余弦定

理，即可得出答案．【小问1详解】在RtBPC△中，32PC=，1BC=，3sin2PCPBCBC==，可得60PBC=，1cos602BPBC==．9030PBAPBC=−=，在APB△中，由

余弦定理得2222cosPAPBABPBABPBA=+−，即211373234224PA=+−=，72PA=；【小问2详解】设PBA=，可得90PBC=−，18060PABPBAAPB=−−=−，在RtBPC△中，coscos(90)sinPBBCPBC

==−=，ABP中，由正弦定理得sin120sin(60)ABPB=−，即3sinsin(60)32=−，31sin2sin(60)2(cossin)22=−=−，化简得2sin3cos=，sin3tancos2==，因此21sin7=，

27cos7=，21sin7PB==，所以ABP的面积1212133327714S==.18.已知函数()23sincossinfxxxx=+，其中06，且1122f=．（1）求函数()fx的单调递增区间；（2

）若(),126，且()56f=，求sin2的值．【答案】（1）(),63kkkZ−++（2）3226+【解析】【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简得()1sin2

62fxx=−+，根据1122f=可求得，进而得到()fx；令()222262kxkkZ−+−+，解不等式即可求得所求的单调递增区间；（2）由()56f=可

求得sin26−，根据同角三角函数关系求得cos26−，根据sin2sin266=−+，利用两角和差正弦公式可求得结果.【小问1详解】()31cos21sin2sin22262xfxxx

−=+=−+，11sin126622f=−+=，()66kkZ−=，解得：()16kkZ=+，又06，1=，()1sin262fxx=−+；令()222262kxkkZ−+−

+，解得：()63kxkkZ−++，()fx\的单调递增区间为(),63kkkZ−++；【小问2详解】由（1）知：()15sin2626f=−+=，1sin263−=；当(),126时，20,

66−，22cos263−=，sin2sin2sin2coscos2sin666666=−+=−+−13221322323

26+=+=.19.已知复数izab=+，其中,ab为实数且0a．（1）若()24izzz+=+，求z；（2）若2zz=−为纯虚数，且12≤≤，求b的取值范围．【答案】（1）12zi=+或12i−−（2）1,12【解析】【分析】（1）根据共轭

复数定义、复数运算法则和复数相等的条件可构造方程组求得结果；（2）根据复数运算法则化简得到222222iabababab=−++++，由纯虚数定义可构造方程求得2ib=，由复数模长的范围可求得结果.【小问1详解】izab=

+，izab=−，()()22i22i24izzzaabaab+=+=+=+，22224aab==，解得：12ab==或12ab=−=−，12iz=+或12i−−.【小问2详解】

()()()222i222iiiiiiiababababababababab−−=+−=+−=+−++−+222222iabababab=−++++为纯虚数，22222020aaabbbab−=+++，又0a，222ab+=，则2

0b，即0b，2ib=，21,2b=，解得：112b≤≤，即b的取值范围为1,12.20.如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，ACD为等边三角形，2ADDEAB==，F为CD的中点.求证：（1）AF∥平面

BCE；（2）平面BCE⊥平面CDE.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）取CE的中点G，连接,FGBG，由三角形中位线定理结合已知条件可证得四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG，再由线

面平行的判定定理可证得结论，（2）由等边三角形的性质可得AFCD⊥，由DE⊥平面ACD，可得DEAF⊥，则由线面垂直的判定可得AF⊥平面CDE，而AF∥BG，所以可得BG⊥平面CDE，然后由面面垂直的判定定理可证得结论【小问1详解】取CE

的中点G，连接,FGBG，因为F为CD的中点，所以FG∥DE，1FGDE2=，因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE，所以FG∥AB，因为12ABDE=，所以FGAB=，所以四边形GFAB为平行四边形，所以AF∥BG

，因为AF平面BCE，BG平面BCE，所以AF∥平面BCE，【小问2详解】因为ACD为等边三角形，F为CD的中点，所以AFCD⊥，因为DE⊥平面ACD，AF平面ACD，所以DEAF⊥，因为CDDED=，所以AF⊥平面CDE，因为AF∥BG，所以B

G⊥平面CDE，因为BG平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE21.在直角梯形ABCD中，ADBC∥，2222BCADAB===，∠ABC＝90°（如图1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角为（如图2），M、N分别是BD和BC中点

．（1）若E是线段BN的中点，动点F在三棱锥A－BMN表面上运动，并且总保持FE⊥BD，求动点F的轨迹的长度（可用表示），详细说明理由；（2）若P、Q分别为线段AB与DN上一点，使得()APNQPBQD==R，令PQ与B

D和AN所成的角分别为1和2，求12sinsin+的取值范围．【答案】（1）1sin2+（2）1,2【解析】【分析】（1）取BC的中点N，连接AN交BD于M，利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面AMN即可．进而根据面面

平行可得BD⊥平面EOF，即可确定点F的轨迹为三角形EOF，结合余弦定理即可求解长度.（2）根据比例关系可得线线平行，即可由线线角的定义得到12,，结合线面垂直得线线垂直可得12π2+=，利用消元法

转化为三角函数，利用三角函数的性质进行求解即可．【小问1详解】在图（1）中，2222BCADAB===，四边形ABND是正方形，在图（2）中，AMBD⊥，MNBD⊥，AMMNM=，,AMMN平面AMN，BD⊥平面AMN，分别取,,ABBNBM的中点为,FE,O，连接,,OFOEEF

,则//OFAM,OF平面AMN,AM平面AMN,所以//FO平面AMN，同理//EO平面AMN，由于,,FOOEOFOOE=平面EOF，故平面//EOF平面AMN，BD⊥平面EOF，因此点F在平面EOF上运动，故点F轨迹为三角形EOF，由AMBD⊥，MNBD⊥，所以AMN即

为二面角A－BD－C的平面角，故=AMN，由于11,1,2AMNMCD===222cos112cos2sin2ANAMNMAMNM=+−=+−=，因此()11112sin1sin2222OFFEOEAMANMN++=++=++=+，故点F的轨迹长度为1sin2

+【小问2详解】在BN线段取点R使得(R)APNRNQPBRBQD===由于BD⊥平面AMN，AN平面AMN，BDAN⊥，//PRAN，//RQBD，π2PRQ=，易得1PQR=，2QPR=，从而

有12π2+=，则1π0,2则12111πsinsinsincos2sin()1,24+=+=+【点睛】方法点睛：立体几何中与动点轨迹有关的题目归根到底还是对点线面关系

的认知，其中更多涉及了平行和垂直的一些证明方法，在此类问题中要么很容易的看出动点符合什么样的轨迹(定义)，要么通过计算(建系)求出具体的轨迹表达式，和解析几何中的轨迹问题并没有太大区别，所求的轨迹一般有四种，即线段型，平面型，二次曲线型，球型.22.如图，已知三棱柱111

ABCABC-，平面11AACC⊥平面ABC，90,30ABCBAC==，的11AAACAC==，E，F分别是AC，11AB的中点．请你用几何法解决下列问题：（1）证明：EFBC⊥；（2）求直线EF与平面1AB

C所成角的余弦值；（3）求二面角1AACB−−的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）35；（3）255．【解析】【分析】（1）运用几何法，则需要通过证明线面垂直实现；（2）取BC中点G，连接EG､GF，EF在平面1ABC上的射影在直线1AG上，连接1AG，交EF于

O，则EOG是直线EF与平面1ABC所成角(或其补角)，可求得直线EF与平面1ABC所成角的余弦值．（3）过点B作BHAC⊥于H，连接AH，1ABC在平面11AACC的射影是1AHC△，利用射影面积法可求得二面角的正弦函数值．【详解】证明：（1）连

接1AE，11AAAC=，E是AC中点，1AEAC⊥，又平面11AACC⊥平面ABC，1AE平面11AACC，平面11AACC平面ABCAC=，1AE⊥平面ABC，1AEBC⊥，1//AFAB，90ABC=，1BCAF⊥，111AFAEA=，BC⊥平面1AEF，E

FBC⊥.的（2）取BC中点G，连接EG､GF，则1EGFA是平行四边形，由于1AE⊥平面ABC，故1AEEG⊥，平行四边形1EGFA是矩形，由（1）得BC⊥平面1EGFA，则平面1ABC⊥平面1EGFA，EF在平面1ABC上的射影在直线1AG上，连接1AG，交E

F于O，则EOG是直线EF与平面1ABC所成角(或其补角)，不妨设4AC=，则在Rt△1AEG中，123AE=，3EG=，O是1AG的中点，故11522AGEOOG===，2223cos25EOOGEGEOGEOOG+−=

=，直线EF与平面1ABC所成角的余弦值为35.（3）过点B作BHAC⊥于H，连接AH，因为平面11AACC⊥平面ABC，所以BH⊥平面11AACC，所以1ABC在平面11AACC的射影是1AHC

△，设二面角1AACB−−为，由图示知为锐角，在ABC中，90,30ABCBAC==，设112AAACAC===，所以1BC=，12CH=，在1ABC中，12ABAC==，11211352522cos,sin1

cos55115122AHCABCSS====−=．所以二面角1AACB−−的正弦值为255．【点睛】思路点睛：线面角的二种求法：1.几何法：一般要有三个步骤：一作，二证，三算.2.向量法

：直线a的方向向量和平面的法向量分别为m和n.直线a的方向向量和平面所成的角θ满足:||sin.||||nmnm=获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com