【文档说明】四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.943 MB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年高一下学期质量监测试题数学命题人：李青审题人：张继海注意事项：1.在作答前，考生务必将自己的姓名､考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自已妥善保存.2.选择题部分必须用2B铅笔填涂

；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试卷上答题均无效.4.保持答题卡清洁，不得折叠､污染､破损等.第I卷（选择题共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共

40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设角终边上的点的坐标为()3,4−，则（）A.3sin5=B.3tan4=−C.4cos5=−D.4tan3=−【答案】D【解析】【分析】由任意三角函数的定义即可求解【详解】设角终边所在圆的半径为r，由题意得，

9165r=+=，所以4sin5yr==−，3cos5xr==，4tan3yx==−，所以D选项正确，故选：D2.在ABC中，下列关系式正确的是（）A.sinsin22ABC+=B.coscos22ABC+=C.()tanta

nABC+=D.()sinsinABC+=【答案】D【解析】【分析】根据三角形内角和为π，结合诱导公式依次判断每个选项得到答案.【详解】对选项A：ππsinsinsincos22222ABCCC+−==−=，错误；对选项B：ππcoscoscossin22222ABCCC

+−==−=，错误；对选项C：()()tantanπtanABCC+=−=−，错误；对选项D：()()sinsinπsinABCC+=−=，正确；故选：D.3cos45cos15sin45sin15+=．A.12B.12−C.32D.

32−【答案】C【解析】【详解】由两角差的余弦函数，可得3cos45cos15sin45sin15cos(4515)302cos+=−==，故选C．4.正ABC的边长为1，则ABBC=（）A.12B.12−C.32D.32−

【答案】B【解析】【分析】根据cosabab=，但要注意向量夹角的定义．【详解】111cos1202ABBC==−．故选：B．.5.已知53πsin,4544ππ+=，则cos的值为（）A.1010−

B.31010−C.1010D.31010【答案】A【解析】【分析】确定πππ24+得到25cos45π+=−，ππcoscos44=+−，展开计算得到答案.【详解】π3π44

，πππ24+，5sin45π+=，故225cos1sin45π4π+=−−+=−，ππππππcoscoscoscossinsin444444=+−=+++2525210525210=−+=

−.故选：A6.平面向量a与b的夹角为π3，若()2,0,1ab==，则2ab+=（）A.3B.23C.4D.12【答案】B【解析】【分析】确定2=a，计算22224412abaabb+=++=，得到答案.【详解】()2,0a=r，则2=a，222π244

4421cos4123abaabb+=++=++=，故223ab+=.故选：B7.函数()()sinfxx=+（其中0，π02）的图象如图所示，为了得到sinyx=的图象，则需将()yfx=的图象（）A.横坐标缩短到原来的12，再向

右平移π4个单位B.横坐标缩短到原来的12，再向右平移π8个单位C.横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π8个单位D.横坐标伸长到原来2倍，再向右平移π4个单位【答案】D【解析】【分析】先根据图象的特点可求出()πsin24fxx=+，然后再根据周期变换

与相位变换即可得出.【详解】由图象可知：17π3ππ2882T=−=，则2ππT==，由0，解得2=，则()()sin2fxx=+，∵()yfx=的图象过点3π,08，则3π3π3πsin2sin0884f=+

=+=，可得3π2π+π,4kk+=Z，解得π2π,4kk=+Z，又∵π02，则π0,4k==，故()πsin24fxx=+.故将函数()πsin24fxx=+图象的横坐标伸长到原来的2倍得到

()πsin4fxx=+的图象，然后再向右平移π4个单位即可得到sinyx=的图象.故选：D.8.如图，在平面四边形ABCD中，ABBC⊥，60BCD=，150ADC=，3BEEC=uuuruuur，的2333CDBE==，，若点F为边AD上的动点，则EFBF的最小值为（）A

.1B.1516C.3132D.2【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设出F点坐标，求得EFBF的表达式，进而求得EFBF的最小值.【详解】以B为原点建立如图所示平面直角.依题意1333CEBE==，433BCBECE=+=，60BCD=，在三角形BCD中，由余

弦定理得22432343232cos6023333BD=+−=.所以222BDCDBC+=，所以=90BDC.而2BCCD=，所以30,60DBCDCB=

=.在三角形CDE中，由余弦定理得223233232cos6013333DE=+−=.所以222CEDECD+=，所以90DEC=.在三角形ABD中，60ABDADB==，所以三角形

ABD是等边三角形，所以2ABBD==.所以()()()0,2,3,1,3,0ADE，设(),Fxy依题意令()01AFAD=，即()()(),23,13,xy−=−=−，所以3322xxyy==−=−=

−，所以()3,2F−，所以()()33,23,2EFBF=−−−2474=−+.对于二次函数()()247402f=−+，其对称轴为78=，开口向上，所以当78

=时，()f有最小值，也即EFBF有最小值为277154748816−+=.故选：B【点睛】本小题主要考查向量数量积的最值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.二､多选题，本题共4小题，每小题5

分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.给出下面四个命题，其中是真命题的是（）A.0ABBA+=B.零向量与任意向量平行C.ab=是向量ab=的充分不必要条件D.向量AB与向量C

D是共线向量，则点,,,ABCD必在同一条直线上【答案】AB【解析】【分析】根据向量的运算法则得到AB正确，ab=是向量ab=的必要不充分条件，C错误，ABCD或点,,,ABCD在同一条直线上，D错误，得到答案.【详解】对选项A：0A

BBA+=，正确；对选项B：零向量与任意向量平行，正确；对选项C：当ab=时，ab=；当ab=，不能得到ab=，故ab=是向量ab=的必要不充分条件，错误；对选项D：向量AB与向量CD是共线向量，则ABCD或点,,,ABCD在同一条直线上，错误；故选：AB

.10.已知函数()31sin2cos222fxxx=−，则下列说法中正确的是（）A.()yfx=的最小正周期为πB.()yfx=的图象关于π3x=对称C.若()yfx=的图象向右平移(0)个单位后关于原点对称，则的最小值为5π3D.()fx在ππ,62

−上的值域为1,1−【答案】BD【解析】【分析】化简得到()πsin26fxx=−，确定周期为π2T=，A错误，计算图像关于π3x=对称，B正确，5π12=满足条件，C错误，计算值域得到D正

确，得到答案.【详解】()31πsin2cos2sin2226fxxxx=−=−，对选项A：()yfx=的图像是由()fx的图像的x轴下方的部分向上翻折形成，周期减半，故12ππ222T==，错误；对选项B：当π3x=时，ππ262x−=，故()yfx=

的图像关于π3x=对称，正确；对选项C：平移后的解析式为()()ππsin2sin2266gxxx=−−=−−，函数为奇函数，则π2π,Z6kk−−=，即ππ,Z122kk=−−，当1

k=−时，π15ππ12212=−+=满足条件，错误；对选项D：ππ,62x−，则π2,π5π266x−−，故()1,1fx−，正确；故选：BD11.下列说法中正确的有（）A.若AB与CD共线向量，则点A，B，C，D必在

同一条直线上B.若向量()1,3a=，()1,3ab−=−−，则ab∥C.若平面上不共线的四点O，A，B，C满足320OAOBOC−+=，则2ABBC=D.若非零向量a，b满足abab==−，则a与ab+的夹角是π

3【答案】BC【解析】【分析】对于A，根据向量共线定义，可得其正误；对于B，利用向量共线定理，可得其正误；对于C，根据向量减法，结合共线定理，可得其正误；对于D，根据向量模的求解以及夹角公式，可得答案.【详解】AB与CD是共线向量，也可能是ABCD，故A错误；设(),b

xy=，∵()1,3a=，()1,3ab−=−−，∴11,33,xy−=−−=−解得2,6,xy==∴()2,6b=，又∵16320−=，∴ab∥，故B正确；由已知得()()220OAOBOCOBBABC−+−=+=，∴2ABBC=，∴2ABBC=，故

C正确；由()22aab=−整理可得22bab=，设a与ab+的夹角是，则()22222213322cos232abaaabaabaaabab++====+++，∴a与ab+的夹角是π6，故D错误．故选：BC.12

.已知112sin,cos22ab==，则下列说法正确的是（）A.1aB.21212b−C.abD.152ab+【答案】BCD【解析】【分析】对于A，利用正弦函数的单调性即可判断；对于B，利用倍角余弦公式，结合余弦函数的单调性即可判断；对于C，采

用作商比较法，结合三角函数线即可判断；对于D，利用辅助角公式，结合正弦函是的数的单调性即可判断.【详解】对于A，因为13π266=，所以1π1sinsin262=，则12sin12，即1a，A错；对于B，221212co

s1cos12b−=−=，因为π13，所以π1cos1cos32=，即21212b−，B对；对于C，12sin122tan12cos2ab==，根据三角函数线可知11tan22，则12tan12，即1ab，又112sin0,cos022，所以ab，C对；对于D，1111

2sincos5sintan2222ab+=+=+=，因为13πtantan236==，所以π06，又1π026，所以1π023+，所以13sin22+，即1155sin22+，所以152ab+，D对

.故选：BCD第II卷（非选择题共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点()()1,2,2,8AB−，若向量3ABAC=，则点C的坐标是__________.【答案】()0,4【解析】【分析】设(),Cxy，根据3ABAC=得到333366xy+=−=，解得答案

.【详解】设(),Cxy，3ABAC=，即()()()3,631,233,36xyxy=+−=+−，故333366xy+=−=，解得04xy==，即点C的坐标是()0,4.故答案为：()0,414.已知

向量,ab的夹角为,3,1π6ab==，则b在a方向上的投影向量的模为__________.【答案】32##132【解析】【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.【详解】b在a方向上的投影向量的模为π33cos1622b==.故

答案为：3215.如图1是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图2是会徽的几何图形，设弧AD的长度是1l，弧BC的长度是2l，几何图形ABCD面积

为1S，扇形BOC面积为2S，若124ll=，则12SS=__________.【答案】15##15:1【解析】【分析】根据题意，由124ll=可得4OAOB=，再由扇形的面积公式即可得到结果.【详解】设BOC=，由124ll

=，得4OAOAOBOB==，即4OAOB=，所以222222122221116221512OAOBOAOBOBOBSSOBOBOB−−−====故答案为：15.16.设cos()cos(30)xfxx=−

,则(1)(2)(59)fff+++=L__________．【答案】5932【解析】【分析】先求出()(60)3fxfx+−=，再计算1(1)(2)(59){[(1)(59)][(2)(58)][(59)(1)

]}2fffffffff+++=+++++L即得解.【详解】解：由题得13coscossincoscos(60)coscos(60)22()(60)cos(30)cos(30)cos(30)cos(30)xxxxxxxfxfxxxxx++−+−+−=+==

−−−−3331cossin3(cossin)3cos(30)22223cos(30)cos(30)cos(30)xxxxxxxx++−====−−−，所以1(1)(2)(59){[(1)

(59)][(2)(58)][(59)(1)]}2fffffffff+++=+++++L1593[333]22=+++=L故答案为：5932.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求证：()22tantan23sincos2s

in2tan2tan3+−=−−．【答案】见试题解析.【解析】【详解】试题分析：本题是一道三角函数的证明题，证明方向可以考虑由繁到简.思路上可以先处理分式部分,化切为弦，分析分母

的结构特点，结合两角差的正弦公式约去分母，得到sincosaxbx+形式，用辅助角公式得证.试题解析：证明：左边sinsin23cos2sin2coscos2sin=−−sin23cos2=−2sin23=−=右边．考点：同角三角函数的基

本关系式，两角和与差的正弦公式及二倍角公式.18.已知向量(3,2)a=，(,1)bx=−．（1）当(2)(2)abab+⊥−且0x时，求ab+；（2）当(8,1)c=−−，//()abc+求向量a与b的夹角．【答案】（1）82；（2）4【解析】【分析】（1）由向量的

坐标运算法则先求出2ab+，2ab−的坐标，再由条件可得()()220abab+−=rrrr，求出x的值，再求ab+的坐标，得出其模长.（2）由向量的坐标运算法则先求出bc+rr的坐标，由//()abc+，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案.【详解】（1）向量(3,2)a=，(,

1)bx=−，则()232,0abx+=+，()26,5abx−=−由(2)(2)abab+⊥−，可得()()220abab+−=rrrr即()()326050xx+−+=，解得6x=或32x=−又0x，所以6x=，则(6,1)b=−，

则()9,1ab+=所以229+182ab+==（2）由(8,1)c=−−，(,1)bx=−，(3,2)a=，则()8,2bcx+=−−由//()abc+，可得()()32280x−−−=，解得5x=所以13a=，26b=，()352113ab=+−=132cos21326abab

===又[]0απ，Î，所以4=19.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且ABC的面积为()22234bca+−（1）求角A的大小；（2）若3,6,bcAD==是ABC的一条中线，求线段AD的长.【答案】（1）π3（

2）372【解析】.【分析】（1）根据面积公式和余弦定理得到tan3A=，得到答案；（2）由()12ADABAC=+，两边平方结合向量的运算法则计算得到答案.【小问1详解】由题意，可得ABC的面积()22213sin24SbcAbca==+−，所以13sin2cos24bcAbcA

=，所以tan3A=，又()0,πA，所以π3A=.【小问2详解】D为BC的中点，则()12ADABAC=+，又3,6bc==，3A=，所以()2221116323692634424ADABACABAC=++=++=，故3

72AD=，即线段AD的长度为372.20.三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心（即外接圆的圆心），三角形的三个顶点在这个外接圆上.已知ABC的外心为点O，且()(),COCACBP+=+R为边AB的中点.（1）求证：CPAB⊥

；（2）若514=，求ACB的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）25【解析】【分析】（1）由圆的几何性质可知OPAB⊥，根据题中向量关系可得,,COP三点共线，由此证明出结果；（2）由（1）可得CACB=，根据

几个关系找出三角形中各个边长之间的关系，再根据三角函数求得所求值.【小问1详解】如图，连接,,,OBOCOPCP.ABC的外心为点,OP为边AB的中点，OPAB⊥.()2,2CACBCPCOCACBCP

+==+=注意到,,,COP+R三点共线，因此CPAB⊥.【小问2详解】由（1）CPAB⊥及P为边AB的中点，得CACB=，于是PCAPCB=.,2OBOCPCBOBCPOBPCBACB====.5cos,14OPOPPOBOBOC

===，()55225775OPCOCPCOOPCOOPOC==+==，故2cos5POB=.21.已知函数()()πsin0,02,2fxAxA=+的一系列对应值如下表：xL13π6−5π3−7π6−2π3−π6−π35π6LyL

-2020-202L（1）根据表格提供的数据求函数()yfx=的解析式，并写出其单调增区间；（2）若函数()yfkx=的最小正周期为2π3，且当4π0,9x时，方程()fkxm=恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围，并求这两个实数根的和.【答案】（1）()π2sin3fxx

=−，单调增区间()π5π2π,2πZ66kkk−++（2）23m−−或32m，12π9xx+=或127π9xx+=【解析】【分析】（1）由图表求得,AT，从而求得，代入某一点的坐标求得π3

=−，则函数解析式可求，进而得出单调增区间.（2）由函数()fkx的最小正周期为2π3，求得k的值，结合4π0,9x，求得m的范围，再由对称性求得两个实数解的和.【小问1详解】由表格可得2π2,2π,1ATT====，由π03f

=，得()2sin0x+=，求得符合条件的π3=−，则()π2sin3fxx=−，令22,Z232πππππkxkk−+−+，解得5ππ22,Z66ππkxkk−++，即单调增区间为()π5π2π,2πZ66k

kk−++.【小问2详解】由题知()π2sin3fkxkx=−，因其最小正周期为2π3，则2π2π3k=，3k=，当3k=时，即π2sin33xm−=在4π0,9x时

有两个不同的实数根，因为4π0,9x，所以ππ3π33x−−，所以根据正弦函数图像得02m，且12ππ33π33xx−+−=，所以125π9xx+=.当3k=−时，即π2sin33xm−−=在4π0,9x时有

两个不同的实数根，即π2sin33xm+=−在4π0,9x时有两个不同的实数根，因为4π0,9x，所以ππ5π3333x+，所以根据正弦函数图像得23m−−或32m，且12ππ33π33xx+++=或12ππ33

3π33xx+++=，所以12π9xx+=或127π9xx+=.22.嘉祥教育秉承“为生活美好､社会吉祥而努力”的企业理念及“坚韧不拔､创造第一”的企业精神，经过30年的发展和积累，目前已建设成为具有高度文明素质和良好社会信誉的综合性教育集团.

某市有一块三角形地块，因发展所需，当地政府现划拨该地块为教育用地，希望嘉祥集团能帮助打造一所新的教育品牌学校.为更好地利用好这块土地，集团公司决定在高一年级学生中征集解决方案.如图所示，2km,ABBCACD===是BC中点，EF､分别在ABAC､上，CDF拟建成办公区，四边形AEDF拟建成

教学区，BDE△拟建成生活区，DE和DF拟建成专用通道，90EDF=∠，记CDF=.（1）若30=，求教学区所在四边形AEDF的面积；（2）当取何值时，可使快速通道EDF−−的路程最短？最短路程是多少？【答案】（1）538（2）45=，326−【解析】

【分析】（1）在RtDCF中计算出13,22CFDF==，再分析出四边形AEDF为直角梯形，利用梯形面积公式即可；（2）利用正弦定理求得,DEDF，写出EDFl−−的表达式，利用三角恒等变换、换元以及函数单调性即可得到最值.【小问1详解】因为30=

，则在RtDCF中，131,,22DCCFDF===；BDE△为等边三角形，1,//BDDEBEDEAC===，则四边形AEDF为直角梯形，1335312228AEDFS=+=梯形.【小问2详解】在BDE△中，由正弦定理得：()()sin60sin30sin90DEBDBE=

=+−.在CDF中，由正弦定理得：()sin60sinsin120DFCFCD==−，所以()()sin603sin302sin30DE==++，()()sin603sin1202sin120DF==−−，设快速通道EDF

−−的长度为l，33332sin(120)2sin(30)3cossincos3sinl=+=+−+++(33)(sincos)(33)(sincos)(3cossin)(cos3sin)4sincos3++++=+++=设()sincos2sin45t

=+=+，由题得090，则4545135+，则1,2t，则22sincos1t=−，2(33)3323222)3(lttttt++=+=−−−显然()lt在1,2t上单调递减，所以当2t=，即45=时，l取得最小值326l=−.获得更多资源请

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