【文档说明】《精准解析》安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高二（实验班）上学期期末考试数学试题（解析版）.docx，共(22)页，1.023 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年高二年级上学期期末考试卷（实验班）数学试题（仅在答题卡指定范围内作答）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知直线1l：20xay−+=与直线2l：()()24

0axaya++−+=平行，则a的值是（）A.4−B.1C.4−或1D.4或1−【答案】B【解析】【分析】根据给定条件列出关于a的等式，求解并验证即可作答.【详解】因直线1l：20xay−+=与直线2l：()()240axaya

++−+=平行，则有(2)40aaa++−=，解得1a=或4a=−，当1a=时，直线1l：20xy−+=与直线2l：3310xy−+=平行，当4a=−时，直线1l：420xy++=与直线2l：2840xy−−−=，即

420xy++=重合，所以a的值是1.故选：B2.已知空间向量()1,,2amm=+−，()2,1,4b=−，且ab⊥，则m的值为（）A.103−B.10−C.10D.103【答案】B【解析】【分析】根据向量垂直得2(1)80mm

−++−=，即可求出m的值.【详解】,2(1)8010abmmm⊥−++−==−.故选：B.3.已知直线1:0lxaya+−=和直线()2:2310laxay−−−=，下列说法不正确的是（）A.2l始终过定

点21,33B.若12ll∥，则1a=或3−C.若12ll⊥，则0a=或2D.当0a时，1l始终不过第三象限【答案】B【解析】【分析】对于A选项，提出a让其前面的系数为0，即可验证A正确.对于B选项

，当1a=则1l与2l重合，故B错误.利用两直线垂直，即可得到a，得到C正确.把直线化为斜截式方程，找到恒过定点，即可验证D正确【详解】()2:2310laxay−−−=，(2)310axyy−+−=，2021(,)31033xyy−=

−=，即2l始终过定点21,33，故A正确.若12ll∥，当1a=则1l与2l重合，故B错误.1(32)00aaaa+−==或2a=，故C正确.当0a时，直线11:1lyxa=−+始终过点(0,1)

，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.故选：B.4.已知直线:(1)lymx=+被圆22:230Cxyx+−−=截得的弦长为2，则||m=（）A.2B.3C.2D.5【答案】B【解析】【分析】求出该圆的圆心和半径长，用点到

直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后利用圆的半径长、弦长的一半以及弦心距三者满足勾股定理可得出关于m的等式，则可解得m的值.【详解】圆22:230Cxyx+−−=的圆心为(1,0)C，半径为2r=，圆心C到直线l的距离为2|2|1mdm=+，由题意可知，2222|2|121mm+

=+，解之得23m=，即||3m=.故选：B.5.在棱长为1的正四面体ABCD−中，点M满足()1AMxAByACxyAD=++−−，点N满足()1DNDBDC=−−，当线段AM、DN的长度均最短时

，AMAN=（）A.23B.23−C.43D.43−【答案】A【解析】【分析】根据题意得到M平面BCD，N直线BC，从而求得,AMDN最短时，得到M为BCD△的中心，N为BC的中点，求得AM的长，结合向量的运算公式

，即可求得AMAN的值.【详解】解：如图所示，因为(1)AMxAByACxyAD=++−−，()1DNDBDC=−−，可得M平面BCD，N直线BC，当,AMDN最短时，AM⊥平面BCD，且DNBC⊥，所以M为BCD△

的中心，N为BC的中点，如图所示，又由正四面体的棱长为1，所以1636NMDN==，32AN=，所以63AM=，因为AM⊥平面BCD，所以AMMN⊥，所以RtANM△中，6223cos332AMMANAN===，所以326222cos333AMANAMANMAN===故选：A

6.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()2,4B，若将

军从点()2,0A−处出发，河岸线所在直线方程为-2+80xy=，则“将军饮马”的最短总路程为()A.4655B.10C.102D.42【答案】A【解析】【分析】求出点A关于直线对称点为A，则可得AB即为“将军饮马”的最短总路程，求出A的坐标，即可求出AB

．【详解】如图，点A关于直线的对称点为A，则AB即为“将军饮马”的最短总路程，设(),Aab，则22+8=0221122abba−−=−+，解得2224,55ab=−=，则22222446524555AB−＝＋＋＝故“将军饮马”最短总路

程为4655故选：A7.已知椭圆22:143xyC+=的上下顶点分别为,AB，一束光线从椭圆左焦点射出，经过A反射后与椭圆C的的交于D点，则直线BD的斜率BDk为（）A.32B.34C.52D.32【答案】B【解析】【分

析】根据给定条件借助椭圆的光学性质求出直线AD的方程，进而求出点D的坐标计算作答.【详解】依题意，椭圆22:143xyC+=的上顶点(0,3)A，下顶点(0,3)B−，左焦点1(1,0)F−，右焦点2(1,0)F，由椭圆的光学性质知，反射光线AD必

过右焦点2F，于是得直线AD的方程为：33yx=−+，由22333412yxxy=−++=得点833(,)55D−，则有33(3)358405BDk−−−==−，所以直线BD的斜率BDk为34.故选：B8.已知()fx是定义在R上的增函数，函

数(1)=−yfx的图象关于点(1,0)对称，若不等式()()21623(2)0fxfkx−++-的解集为区间,ab，且2ba−=，则k=（）A.3−B.3C.2D.2−【答案】B【解析】【分析】根据条件可得函数()fx是定义在R上的奇函数且在R上

的增函数，进而可得216(2)23xkx−+−，再利用数形结合即得.【详解】∵函数(1)=−yfx的图象关于点(1,0)对称，∴函数()fx的图象关于点(0,0)对称，又()fx是定义在R上的增函数，∴函数()fx

是定义在R上的奇函数且在R上的增函数，由()()21623(2)0fxfkx−++－，可得()()()21623(2)23(2)fxfkxfkx−−+=−+-+，∴216(2)23xkx−+−的解集为区间,

ab，且2ba−=，作出函数216yx=−与(2)23ykx=+−的图象，函数216yx=−表示圆心在原点，半径为4的圆的上半部分，(2)23ykx=+−表示过定点()2,23A−−的直线，由图象结合条件可知4b=，又2ba−=，∴2a=，即直线与半圆的交点N的横坐标

为2，故()2,23N，∴2323322k+==+.故选：B.【点睛】数形结合是研究不等式解的有效方法，数形结合使用的前提是掌握形与数的对应关系，基本思路为：①构造函数()fx（或()fx与()gx），②作出()fx

（或()fx与()gx）的图象，③找出满足题意的曲线（部分），曲线上点的横坐标为题目的解，并研究解的特性来确定解题的切入点.9.已知1F，2F是椭圆22:143xyC+=的两个焦点，点M在椭圆C上，当12MFMF取最大值时，三角形12MFF面积为（）A.23B.3C.2D.4【答案】B【解

析】【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的,xy的范围可求得12MFMF取最大值时，点M在椭圆的短轴上.【详解】设点M的坐标为()11,Mxy，根据椭圆的焦半径公式可得：1121112,222MFxMFx=+=−则有：2121144MFMFx

=−根据椭圆的特点，可知：122x−可得：当10x=时，12MFMF取最大值此时，点M在椭圆的短轴上，则有：123MFFS=△故选：B10.设双曲线C：()222210,0xyabab−=的左､右焦点分别为12,

FF，点P在双曲线C上，若线段1PF的中点在y轴上，且12PFF△为等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A.12+B.2C.22+D.2【答案】A【解析】【分析】根据12PFF△是等腰直角三角形，再表示出12,PFPF的长，利用三角形的几何性质即可求得答案.【详解】线段1PF的

中点在y轴上,设1PF的中点为M，因为O为12FF的中点，所以2OMPF,而12OMFF⊥,则212PFFF⊥，12PFF△为等腰三角形，故212||=||=2cPFFF，由12||-||=2PFPFa，得1||=2+2PFac，又12PFF△为等腰直角三角形，故112||=2||PF

FF，即2222acc+=，解得21ca=+，即21e=+，故选：A.11.已知A，B两点在以F为焦点的抛物线24yx=上，并满足3AFFB=uuuruur，过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线，与OA交于

N点，则MN的长为（）A.13B.12C.23D.34【答案】C【解析】【分析】由已知结合抛物线的性质，求得,AB坐标，进而求得,MN坐标，即可得解.【详解】由3AFFB=，利用抛物线的对称性，不妨设A在第一象限，作11,AABB垂直于抛物线准线，垂足分别为

11,AB，作1BCAA⊥于C,如图所示，设BFm=，由抛物线的定义知113,AAmBBm==,在ABC中，2,4ACmABm==，则23BCm=,所以23tan32ABkBAC===，所以直线AB的方程为

3(1)yx=−,与抛物线的方程联立得231030xx−+=，解得13x=，213x=,所以()3,23A，123,33B−，故AB的中点523,33M,直线OA的方程为233yx=，令233y=，得1x=，

231,3N所以MN长为52133−=故选：C12.过抛物线C：26yx=的焦点且垂直于x轴的直线被双曲线E：()22210xyaa−=所截得线段长度为22，则双曲线的渐近线方程为（）A.320yx=B.230yx=C.30yx=D.20y

x=【答案】A【解析】【分析】首先根据抛物线的焦点坐标及线段长度可求出a的值，从而可求出双曲线的渐近线方程.【详解】易知抛物线26yx=的焦点坐标为3,02，所以点3,22在双曲线2221xya−=上，即29214a−=，

因为0a，所以解得32a=.所以双曲线的渐近线方程为23yx=，即320yx=.故选：A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知圆22:16Cxy+=，直线:()(32)0labxbaya−+−−=

（,ab不同时为0），当,ab变化时，圆C被直线l截得的弦长的最小值为___________.【答案】26的【解析】【分析】由题意知直线l恒过定点(3,1)，当圆心到直线距离取最大值时，此时圆C被直线l截得的弦长为最小值，即可求出

答案.【详解】把直线:()(32)0labxbaya−+−−=化为(21)(3)0axybxy−−+−+=2103301xyxxyy−−==−+==，恒过定点(3,1)，当圆C被直线l截得的弦长的最小值时，圆心(0,0)到定点(3,1)的距

离为223+1=10，圆心到直线:()(32)0labxbaya−+−−=距离最大值时即为10，此时直线弦长为最小值2161026−=.故答案为：26.14.已知双曲线1C：22148xy−=，与1C共渐近线的双曲线2C过()2,4，则2C的方程是___________.【

答案】22184yx−=【解析】【分析】设双曲线2C的方程为：2248xy−=，求出即得解.【详解】设双曲线2C的方程为：2248xy−=，由题得2224,121,48−==−=−所以双曲线2C的方程为

：221,48xy−=−即：22184yx−=.故答案为：22184yx−=15.已知点F为双曲线()222210,0xyabab−=的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，直线FA与双曲线的一条渐近线在y轴

左侧的交点为B，若()31FAAB=−，则此双曲线的离心率是_________【答案】3【解析】【分析】利用直线的斜截式方程得直线FA的方程，再利用双曲线的性质及几何意义得双曲线的一条渐近线方程，最后利用平面向量的坐标运算，结合双

曲线的性质计算得结论．【详解】因为过点F，A的直线方程为+1xycb=①，双曲线的一条渐近线方程为byxa=−②，联立①②，解得交点,acbcBacca−−，由()31FAAB=−，(,),(,)acabFAcb

ABacca=−=−−，得()31accac−=−−，解得3ca=，故3e=．故答案为：3．16.抛物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光路的可逆性，

平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处.已知抛物线()220ypxp=，一条平行于抛物线对称轴的光线从点()3,1A向左发出，先经抛物线反射，再经直线3yx=−反射后，恰好经过点A，则该抛物线的标准方程为____

_______.【答案】216yx=【解析】【分析】根据抛物线的聚焦特点，()3,1A经过抛物线后经过抛物线焦点,02pF，再经直线3yx=−反射后经过点A，则根据反射特点，列出相关方程，解出方程即可.【详解】设光

线与抛物线的交点为B，抛物线的焦点为F，则可得：1,12Bp抛物线的焦点为：,02pF则直线BF的方程为：11222pyxpp=−−设直线BF与直

线3yx=−的交点为M，则有：112223pyxppyx=−−=−解得：2222436,2121pppMpppp−−+−+−则过点M且垂直于3yx=−的直线的方程为：2

22222436563212121pppppyxxpppppp−−−−=−++=−++−+−+−根据题意可知：点()3,1A关于直线2256321ppyxpp−−=−++−的对称点1A在直线BF上设点()122,Axy，1AA的

中点为C，则有：2231,22xyC++直线1AA垂直于2256321ppyxpp−−=−++−，则有：22113yx−=−点C在直线2256321ppyxpp−−=−++−上，则有：222213563

2221yxpppp++−−=−++−点1A在直线BF上，则有：2211222pyxpp=−−化简得：()80pp−=又0p故8p=故答案为：216yx=【点睛】直线关于直线对称对称，利用中点坐标公式和直线与直线垂直的特点建立方程，根据题意列出隐含的方程是

关键三、解答题（本大题共6小题，共70分.）17.已知圆()()22:1236Cxy−+−=，直线:520lkxyk−−−=．（1）求证：直线l与圆C恒有两个交点；（2）设直线l与圆C的两个交点为A、B，求AB的取

值范围．【答案】（1）证明见解析（2）4,12【解析】【分析】（1）根据直线l的方程可得直线经过定点()5,2P−()5,2−，而点P()5,2−到圆心()1,2C的距离小于半径，故点P在圆的内部，由此即可证明结果．（2）由圆的性质可知，当l过圆心时，AB取最大值，当l和过()5,2P−的直

径垂直时，AB取最小值，由此即可求出结果.【小问1详解】证明：由于直线:520lkxyk−−−=，即()()520−−+=kxy令5020xy−=+=，解得5,2xy==−，所以l恒过点()5,2P−，所以()()225122426PC=−+−−=，

所以点()5,2P−在圆()()22:1236Cxy−+−=内，所以直线l与圆C恒有两个交点；【小问2详解】解：当l过圆心()1,2C时，AB取最大值，即圆的直径，由圆()()22:1236Cxy−+−=的半径6r=，所以AB的最大

值为12；当l和过()5,2P−的直径垂直时，AB取最小值，此时圆心()1,2C到()5,2P−的距离()()22512242=−+−−=PC，所以()2226424AB=−=，故AB的最小值为4．综上，AB的取值范

围4,12.18.设直线l的方程为()()1520axyaaR++−−=（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点(),0AAx，()0,BBy，当AOB面积

为12时，求AOB的周长；【答案】（1）见解析（2）10213+【解析】【分析】（1）将直线方程整理成关于a的式子，再令其系数为0，解关于x和y的方程组，即可；（2）易知5201Aaxa+=+，520Bya=+，由1122ABSxy==，求出参数a的值，从而可得,AB的坐标

，即可求出答案.【小问1详解】证明：将(1)520axya++−−=整理成(2)50xaxy−++−=，令2050xxy−=+−=，解得2x=，3y=，所以定点P为(2,3)，故不论a为何值，直线l必过一定点P(2,3)；【小问2详解】解

：由题意知，10a+，由()1520axya++−−=，当0y=时，521Aaxa+=+，当0x=时，52Bya=+，由5201520aaa+++，得1a−，所以AOB面积1152(52)12221ABaSxyaa+==+=+，解得12a=，此时(4,

0)A，(0,6)B，22||46213AB=+=，所以AOB的周长为4621310213++=+，故当AOB面积为12时，AOB的周长为10213+.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PDDC=，E、F分别是PC、AD中点.（1）求证

：//DE平面PFB；（2）求平面PBC与平面PBD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12【解析】【分析】（1）取PB的中点M，连接EM，FM，证明DEFM∥，再利用线面平行判定定理，即可得到答案；（2）如图，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空

间直角坐标系，设2DPDC==，求出两个面的法向量，再求向量夹角的余弦值，即可得到答案；【小问1详解】证明：取PB的中点M，连接EM，FM，∵E，M分别是PC，PB的中点，∴EMBC∥，12EMBC=，∵四边

形ABCD是正方形，F是AD中点，∴DFBC∥，12DFBC=，∴四边形DEMF平行四边形，∴DEFM∥，又DE平面PFB，FM平面PFB，∴DE∥平面PFB.【小问2详解】如图，以D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立

空间直角坐标系，设2DPDC==，则()0,0,0D、()2,0,0A、()2,2,0B、()0,2,0C、()002P,,、()0,1,1E、()1,0,0F，设平面PBD的法向量为(),,mxyz=，∵()0,0,2DP=，()2,2,0DB=∴00mDPmDB

==，∴20220zxy=+=，∴()1,1,0m=−ur设平面PBC的法向量为(),,nxyz=，∵()2,0,0BC=−，()2,2,2BP=−−，∴00nBCnBP==，∴202220xxyz−=−−+=，∴()0,1

,1n=r∴11cos,222mn−==−，设平面PBC与平面PBD的夹角为，则1coscos,2mn==，故平面PBC与平面PBD夹角的余弦值为12.20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率与等轴双曲

线的离心率互为倒数关系，直线:20lxy−+=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.（1）求椭圆C的方程；（2）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为1k，2k，且125kk+=，求证：直线AB过定点.【答案】（1）2212xy+

=（2）答案见解析【解析】的是【分析】（1）由等轴双曲线的离心率可得椭圆的离心率，再由直线l与圆相切，可得b的值，由a，b，c与离心率的关系求出a的值，进而求出椭圆的方程；（2）由（1）可得M的坐标，分直线AB的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线A

B的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由斜率之和可可得参数的关系，可证得直线AB恒过定点．【小问1详解】∵等轴双曲线的离心率为2，∴椭圆的离心率22，又∵直线:20lxy−+=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，∴222|1|1b+=，即1b=，可得22222112c

beaa==−=，即22a=，则椭圆的方程为：2212xy+=；【小问2详解】①若直线AB的斜率不存在，设方程为0xx=，则点0(Ax，0)y，0(Bx，0)y−，由125kk+=，即0000115yyxx−−

−+=，解得025x=−，此时直线AB的方程为25x=−；②若直线AB的斜率存在，设AB的方程为ykxm=+，由题意可得1m，设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，则22220ykxmxy=++−=，整理可得：2

22(12)4220kxkmxm+++−=，()()222222168121210kmkmkm=−+−=+−，且122412kmxxk+=−+，21222212mxxk−=+，由125kk+=，可得121211

5yyxx−−+=，即1212115kxmkxmxx+−+−+=，即12122(1)5xxkmxx++−=，2251kmkm−=+，521km=−，故直线AB的方程为21()1255kykxkx=+−=+−，即直线AB过定点(125,)−−，综上所述：直线AB过定点(125

,)−−．21.已知抛物线2:2(0)>Cypxp=，点(24)P，在抛物线C上．（1）求抛物线C的方程；（2）不过原点的直线:lyxm=+与抛物线交于不同两点P，Q，若OPOQ⊥，求m的值．【答案】（1）28yx=（2）8−【解析】【分析】（1）由点(24)P，在抛物线C上可得p的值，进而

求出抛物线的方程；（2）直线与抛物线联立求出两根之和与两根之积，由若OPOQ⊥可得实数m的值．【小问1详解】∵点(24)P，在抛物线C上，∴164p=，即4p=，∴抛物线C的方程为28yx=；【小问2详解】设1(Px，1)y，2(Qx，2

)y，联立28yxmyx=+=，得22(28)0xmxm+−+=，△22(28)40mm=−−，得2m，1282xxm+=−，212xxm=，又OPOQ⊥，则12120OPOQxxyy=+=，2221212121

21212()()2()2(82)0xxyyxxxmxmxxmxxmmmmm+=+++=+++=+−+=，8m=−或0m=，经检验，当0m=时，直线过坐标原点，不合题意，又82m=−，综上：m的值为8−．22.已知双曲线(

)2222:10,0xyCabab−=，1F，2F分别为其左，右焦点，双曲线C上存在点P，满足124FPF=，且12FPF△的面积为()2312a+．（1）求双曲线C的离心率；（2）设A为双曲线C的左顶点，Q为第一象限内双曲线C上的任意一

点，问是否存在正实数，使得22QFAQAF=恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2；（2）存在，2=.【解析】【分析】（1）不妨设点P在双曲线的右支上，设12,PFmPFn==，由双曲线的定义可得到2mna−=，由余弦定理可得()22422cmnmnmn=

−+−，结合三角形的面积公式即可求出223ba=，从而可求出双曲线C的离心率；（2）先从特殊情况22QFA=时，寻找出的值；再求满足条件222QFAQAF=的轨迹，与双曲线完全一致即可.【小问1详解】不妨设点P在双曲线的右支上，设12,PFmPFn==

，则2mna−=，在12FPF△中，由余弦定理，得22242cos4cmnmn=+−，即()22422cmnmnmn=−+−，所以()2422bmn=−，因为12FPF△的面积为()2312a+，所以1sin24mn=()2312

a+.所以223ba=，所以2212cbeaa==+=.【小问2详解】由（1）知222213xyaa−=，3,2baca==.当22QFA=时，()2,3Qaa，23AFa=，所以24QAF=，此时222Q

FAQAF=，即2=；下面求满足条件222QFAQAF=的轨迹，设(),Mxy为轨迹上任意一点，则222MFAMAF=，因为22tan,tan2yyyMFAMAFxcaxxa=−==−−+

，因为222222tantantan21tanMAFMFAMAFMAF==−，所以()22221yyxayaxxa+=−−+，化简，得22233xya−=，即222213xyaa−=，与双曲线完全一致，所以

存在2=，使222QFAQAF=成立.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com