【文档说明】《精准解析》安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）.docx，共(23)页，1.391 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年度第二学期第一次月考试卷高三理科数学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷选择

题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合{12}Axx=−∣，|1Bxx=或3x，则()RAB=ð（）A.{13}xx−∣B.{11

}xx−∣C.{23}xx∣D.{12}xx∣【答案】D【解析】【分析】先求得RBð，然后求得正确答案.【详解】R|13Bxx=ð，()RAB=ð{12}xx∣故选：D2.已知Ra，复数3i1iza+=+（i为虚部单位）

为纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】根据复数的出发运算结合纯虚数的定义求出a，从而可求出复数z，即可得出答案.【详解】解：()()()()()23i1i331i3i

1i1i1i1aaazaaaa+−+−−+===++−+，因为复数3i1iza+=+（i为虚部单位）为纯虚数，所以30310aa+=−，解得3a=−，所以i=z，所以iz=−，所以z的共轭复数的虚部为1−.故选：B.3.定义：设函数(

)fx的定义域为D，如果,mnD，使得()fx在,mn上的值域为,mn，则称函数()fx在,mn上为“等域函数”，若定义域为21,ee的函数()xgxa=（0a，1a）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a的取值范围为（）A.221,e

eB.22e1,eC.221eee,eD.221eee,e【答案】C【解析】【分析】当01a时，根据()gx单调性，可得mnanam==，化简整

理，可得lnlnmmnn=，令()lnkxxx=，利用导数求得()kx的单调性，分析即可得答案；当1a时，根据()gx单调性，可得lnlnxax=在21,ee上有两个不等实根，利用导数求得()lnxhx

x=的单调性及最值，结合题意，分析计算，即可得答案.【详解】当01a时，函数()xgxa=在21,ee上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m，21,een（mn）使得mnanam==，所以lnlnlnlnmannam==

，消去lna，得lnlnmmnn=，令()lnkxxx=，则()ln1kxx=+，当21,eex时，()0kx，所以()kx在21,ee上是单调增函数，所以符合条件的m，n不存在.当1a时，函数()xgxa=在21,ee上为增函数，若在其定义

域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m，21,een（mn）使得mam=，nan=，即方程xax=在21,ee上有两个不等实根，即lnlnxax=21,ee上有两

个不等实根，设函数()lnxhxx=（21eex），则()21lnxhxx−=，当1eex时，()0hx；当2eex时，()0hx，所以()hx在1,ee上单调递增，在(2e,e上单调递减，

所以()hx在ex=处取得极大值，也是最大值，所以()()max1eehxh==，又1eeh=−，()222eeh=，故221lneea，即221eeeea.故选：C.【点睛】解题的

关键是讨论()gx的单调性，根据题意，整理化简得到新的函数，利用导数求得新函数的单调性和最值，分析即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.4.若非零向量a、b满足=5abb+，且()abb−⊥，则a与b的夹角为()A.6B.4C.34D.56【答案

】B【解析】【分析】根据数量积的定义和运算法则即可计算.【详解】()()220abbabbabbabb−⊥−=−==，在()()222255|||25|abbababbababb+=++=++=2222

22||2|5||2|2abbbabab++===，∴2||2cos,22abbababbb===，,0,,4abab=.故选：B.5.祖暅是南北朝时代伟大的科学家，在数学上有突

出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异.”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线()222210,0xyabab−=中()0ymm的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底

面直径为2a，高为m的圆柱体后，所得几何体与底面半径为amb，高为m的圆锥均放置于平面上（几何体底面在内）．与平面平行且到平面距离为()0hhm的平面与两几何体的截面面积分别为SS圆圆环，，可以证明SS=圆圆环总成立．依据上

述原理，()22144yxy−=的双曲线旋转体的体积为（）A.44π3B.56π3C.28π3D.32π3【答案】B【解析】【分析】根据双曲线旋转体的定义，结合双曲线的标准方程、圆柱和圆锥的体积公式即可求解.【详解】解：依题意4m=，1a=，2b=，圆锥底面半径2a

mb=，即圆锥底面积为4π，由祖暅原理可知，双曲线旋转体体积()22156π2+2π14π2433VVV==+=圆柱圆锥．故选：B．6.“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，

无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，

要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）A.156种B.168种C.172种D.180种【答案】A【解析】【分析】利用间接法来求得不同的安排方案的数量.【详解】根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算

小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有166C=种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有155C=种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个学校，有222422226C

CAA=种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有14C4=种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，

安排到乙学校，有133C=种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种.故选：A7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别

为a，b，c．若2cos2cosaCbcA+=，3ca=，则A=（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系化简计算题意中的等

式，得出1sin2A=，即可得出结果.【详解】已知3ca=，由正弦定理，得sin3sinCA=，所以22sin3sinCA=，有222cos1sin13sinCCA=−=−，由2cos2cosaCbcA+=，得2sinco

ssin2sincosACBCA+=，2sincossin()2sincosACACCA++=，3sincossincosACCA=，22229sincossincosACCA=，22229sin(13sin)3sin(1sin)AAAA−=−，由sin0A，解得1sin

2A=，又0A，所以6A=.故选：A.8.已知252524a=，501.02b=，1001.01c=，则（）A.abcB.b<c<aC.c<a<bD.bac【答案】B【解析】【

分析】利用指数幂的性质比较各指数式的大小.【详解】由10025050501.01(1.01)1.02011.02cb====，又1004251.01(1.01)c==，而41.011.0406251.041724，故ac，综上，b<c<a.故选：B9.函数()()21lnfx

xx=+的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域及零点的情况即可得到答案.【详解】函数()()21lnfxxx=+的定义域为()(),00,−+U，则排除选项C、D,当

0x时，()2212210xfxxxx−=−+=，则()fx在(),0−上单调递减，且()110f−=−，()1e20ef−=−，由零点存在定理可知()fx在(),0−上存在一个零点，则排除B，故选：A.10.某校举办

“中华魂”《中国梦》主题演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为1x，2x，……，7x，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别为（）

A.5i，86B.5i，87C.5i，87D.5i，86【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行过程，该程序运行后是计算5个数据的平均数，由此求出对应的结果.【详解】模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以

i>5，由5个数据分别是78、86、85、92、94，计算平均数为()17885869294875x=++++=故选：C11.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经

验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺寸()xcm服从正态分布()18,4N，若x落在20,22内的零件个数为2718，则可估计所抽取的这批零件中直径x高于22的个数大约为（）（附：若随机变量服从正态分布()2,N，则()0.682

7P−+，()220.9545P−+，()330.9973P−+）.A.27B.40C.228D.455【答案】D【解析】【分析】根据3原则可求得()20220.1359Px=，()220.02275Px=

，根据概率计算可得结果.【详解】由正态分布()18,4N可知：18=，2=，20+=，222+=，()0.95450.682720220.13592Px−==，()10.9545220.022752Px−==，直径x高于22的个数大约为271

80.13590.02275455=.故选：D.12.已知双曲线的方程是()222210,0xyabab−=，点1F，2F为双曲线的两个焦点，以12FF为直径的圆与双曲线相交于点P（点P在第一象限），若126PFF，则双曲线离心率的取值范围是（）A.1

3,2++B.)31,++C.311,2+D.(1,31+【答案】D【解析】【分析】由已知条件求得2PF的范围，然后结合勾股定理求得,ac的不等关系，从而求得离心率的范围．【详解】由题意2121sinsin262PFPFFc=

=，所以20PFc，又222124PFPFc+=，即22222(2)4PFaPFc++=，所以2224(2)ccac++，整理得22220aacc+−，所以2220ee−−，又1e，故解得131e+．故选：D．

第II卷非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知()2e1,2,xxxafxxxxa−+=−++恰好有三个零点，则实数a的取值范围是___________.【答案】02a

【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数e1xyx=−+（x∈R）的图象，在同一坐标系内再作出22yxx=−++（x∈R）的图象，由图象可知f（x）有三个零点时实数a的取值范围．【详解】当1x−时，1xyex

=++，10xye=+，故1xyex=++在(,1]−−上单调递增；当1x−时，1xyex=−−，由10xye=−=可得0x=，当10x−时，0y，当0x时，0y，所以1xyex=−−在(1,0)−上单调递减

，在(0,)+上单调递增，且0min10ye=−=，作出函数1,1e11,1xxxexxyxexx++=−+=−−（x∈R）的图象，在同一坐标系内再作出2222,02=2,0xxxyxxxxx−−+=−++=−+

（x∈R）的图象，由图象可知要使()2e1,2,xxxafxxxxa−+=−++恰好有三个零点，即函数f（x）的图象与x轴有三个交点，只需0≤a＜2，故答案为：[0，2）.14.经过点(3,1)P−−且斜率为k的直线l与

圆C：22(1)(2)14xy++−=相交于A，B两点，若||25AB=，则k的值为______.【答案】125−或0【解析】【分析】利用勾股定理求出圆心到直线AB的距离，设出直线AB的方程利用点到直线的距离公式求出k值.【详解】由已知条件得设直线A

B的方程为()31ykx=+−，圆C：22(1)(2)14xy++−=的圆心为()1,2-，半径为14r=，由勾股定理得圆心到直线AB的距离为()()221453d=−=，即圆心为()1,2-到直线AB310kxyk−+−=距

离为223131kkdk−−+−==+，解得0k=或125k=−.故答案为：125−或0.15.已知实数x，y满足约束条件20,220,220,xyxyxy+−+−−则目标函数zxy=+的最大值为______.【答案】4【解析】【分析】画出可行域，结合图

像即可得出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由zxy=+得yxz=−+，平移直线yxz=−+，的由图象可知当直线yxz=−+经过点A时，直线yxz=−+的截距最大，此时z最大，由220220xyxy−+=−

−=，解得()2,2A，代入目标函数zxy=+得224z=+=，即目标函数zxy=+的最大值为4，故答案为：4.16.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当()0,x+时，()lnfxx=，则()()0fef−+=__________.【答案】-

1【解析】【分析】由奇函数的性质()()fxfx−=−可得()()fefe−=−，(0)(0)ff−=−，结合条件求()()0fef−+=的值.【详解】由函数()fx是定义在R上奇函数得()()fefe−=−

，(0)(0)ff−=−，又当()0,x+时，()lnfxx=，所以()()()00,1ffefe=−=−=−，所以()()01fef−+=−故答案为：-1.三、解答题(本大题共6小题，共70分.其中22、23为选考题.解答应写出文

字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列na的首项152a=，且满足15221nnnaaa+−=+.（1）求证：数列11na−为等差数列；（2）若()()()*111nnnbaanN+=−−，求数列nb前n项和nS.

【答案】（1）证明见解析;（2）()941=+nnSn.【解析】【分析】（1）由递推关系构造等差数列即可证明；（2）根据裂项相消法求出数列的和即可.【小问1详解】的()()1212111111252111331313121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa+−+−=−=−==

−−−−−−−−+为常数,又11213a=−,∴11na−是以23为首项，23为公差的等差数列【小问2详解】由（1）得()122211333nnna=+−=−∴312nan−=∴()()33919112124141nbnnnnnn===−+++∴()9

1111191911422314141nnSnnnn=−+−++−=−=+++.18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别)150,250，)250,350，)350,450，)4

50,550，550,650（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．（1）估计这组数据的平均数；（2）在样本中，按分层抽样从质量在)250,350，)350,450中的芒果中随机抽取10个，再从这10个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个

质量区间的概率；（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以10元/千克收

购；方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）387；（2）715；（3）种植园选择方案②获利更多.【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图结合平均数的定义求解；(2)根据分层抽样的性

质求出各层中应抽取的芒果的个数，求出样本空间中的基本事件个数和事件2个芒果都来自同一个质量区间所包含的基本事件个数，结合古典概型的计算公式求解即可；(3)分别计算两个不同方案下种植园的收入，比较大小确定所

选方案.【小问1详解】由频率分布直方图知，各区间频率为0.17,0.20,0.30,0.25,0.08，所以这组数据的平均数为：0.172000.203000.304000.255000.08600387x=++++=；【

小问2详解】由题可知质量在)250,350，)350,450中的频率分别为0.2，0.3，按分层抽样从质量在)250,350，)350,450中的芒果中随机抽取10个，则质量在)250,350中的芒果中有4个，质量在)350,450中的芒果中有6个，

从这10个中随机抽取2个，共有210C45=种等可能结果，记事件A为“这2个芒果都来自同一个质量区间”，则事件A有2246CC61521+=+=种等可能结果，∴()2174515PA==；【小问3详解】方案①收入：3871010000387001000=（元）；方案②收入：由

题意得低于350克的收入：()0.00170.002010010000311100+=（元）；高于或等于350克的收入：()0.00300.00250.000810010000531500++=（元）.故总计111003150042600+=（元），由于426

0038700，故种植园选择方案②获利更多.19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，ACBC⊥，2ACBC==，13CC=，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且1AD=，2CE=，M为棱11AB的中点.（1）求证

：1//CM平面1BDE；（2）求二面角1BBED−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）306.【解析】【分析】（1）取1BD的中点N，可证得四边形1CENM为平行四边形，由此得到1//CMNE

，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）以C为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】证明：取1BD的中点N，连接MN，NE，M为11AB中点，N为1BD中点，MN为11ABD△的中位线，1//M

NAD且1112MNAD==；又11//CEAD，11CE=，四边形1CENM为平行四边形，1//CMNE，又NE平面1BDE，1CM平面1BDE，1//CM平面1BDE.【小问2详解】解：以C为坐标原点，1,,CACBCC为,,xyz轴建立如图所示空间直角坐标系，则()10,

2,3B，()0,0,2E，()2,0,1D，()10,2,1EB=，()2,0,1ED=−，AC⊥平面1BBE，平面1BBE的一个法向量()1,0,0m=；设平面1BED的法向量(),,nxyz=，则12

020EBnyzEDnxz=+==−=，令1x=，解得：2z=，1y=−，()1,1,2n=−，16cos,66mnmnmn===，设二面角1BBED−−的平面角为，则130sin166=−=，即二面角1BBED−−的正弦值为306.20.已知椭圆C：()22

2210xyabab+=的短轴长为2，椭圆上一点到两焦点的距离之和是6（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l方程是60xy+−=，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试

问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）2219xy+=（2）过定点，31,26【解析】【分析】（1）由题意得，3,1ab==，从而写出椭圆方程；（2）设直线MG的

方程，与椭圆方程联立方程组，化简得一元二次方程，利用Δ0=化简运算，同理得MH的方程，从而可得直线GH的方程，再由M在60xy+−=上列式代入，即可求解出定点坐标.【小问1详解】由题意，26a=，22b=，所以3,1ab==，所以椭圆⽅程为2219xy+=；【小问2详解】设()11

,Gxy，()22,Hxy，()33,Mxy，设直线MG的方程为()11yykxx−=−，112299ykxykxxy=+−+=，()()()22211119118990kxkykxxykx++−+−−=，()()()222111118369110ky

kxkykx=−−+−−=，化简得()221191ykxk−=+所以()22211119210xkxyky−−+−=，因为方程只有1解，所以11121199xyxkxy==−−，故直线MG的方程为()11119xyyxxy−=−−，化简得1199xxyy+=，同理可得直线MH的方

程为2299xxyy+=，因为两切线都经过点()33,Mxy，所以131323239999xxyyxxyy+=+=，所以直线GH的方程为3399xxyy+=，因为3360xy+−=，所以直线GH方程为()36990xyxy−

+−=，令69090xyx−=−=，得3216xy==，所以直线GH恒过定点31,26【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有

关参变量的等量关系．21.已知函数()2lnfxaxxx=+．（1）讨论()fx的零点个数；（2）若01a，求证：()esin1xfxx−+．的【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将问题转化为研究函数()lngxaxx=+在()0,+

的零点个数，根据a分类讨论即可；（2）将问题转化为maxmin2lne1(1)()xaxxxx−++，然后分别求最值，最后再作差比较即可证明.【小问1详解】由题意()()lnfxxaxx=+（其中0x），只需考虑函数()lngxaxx=+在()0,+的零点个数．①当0

a=时，函数()gxx=在()0,+内没有零点，②当0a时，函数()gx在()0,+单调递增，取10eax−=时，10101010elnee10()e0aaaafa−−−−=+=−+，1x时，()1fx，此时()gx在()0,+存在唯一

个零点0x，且()00,1x．③当a<0时，()'xagxx+=，则0xa−时，()'0gx；xa−时，()'0gx．所以()gx在(0,)a−上单调递减，在(,)a−+上单调递增.则xa=−是函数()gx在()0,+上唯一的极小值点，且()()l

ngxaaa=−−极小值．取10eax=时，10101010elnee0e0()1aaaafa=+=+，取eax=时，2elneee()0aaaafaa=+=+.因此：若()0gx极小值，即e0a−时，()gx没有零点；若(

)0gx=极小值，即ae=−时，()gx有唯一个零点；若()0gx极小值，即ea−时，()gx有且仅有两个零点．综上所述，ea−时，()fx有两个零点；0a或ae=−时，()gx有唯一个零点；e0a-时，()gx没有零点．【小问2详解】不等

式()esin1xfxx−+即为2lnesin1xaxxxx+−+（其中0x），先证0x时，sinxx．令()sinhxxx=−，则()'1cos0hxx=−，则()hx单调递增，所以()()00hxh=，则sinxx．所以e1esin1xxxx−+−

+，故只需证明2lnesin1xaxxxx+−+即可．即证明2lne11xaxxxx−++（其中0x），令()ln1axuxx=+，()2e1xxvxx−+=，只需证明()()maxminuxvx即可．又()()

21ln'axuxx−=，01a，则0ex时，()'0ux；ex时，()'0ux．所以()ux在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减.则ex=时，()ux取得极大值，且()()e1eauxu==

+极大值，也即为最大值．由()21xexvxx−+=得()()()()()243e12e12e1'xxxxxxxvxxx−−−+−+==．则02x时，()'0vx；2x时，()'0vx．所以()vx在(0,2)上单调递减，在(2,)

+上单调递增.则2x=时，()vx取得极小值，且()()2e124vxv−==极小值，也即为最小值．由于()()()()22e1e112e114e4eavxuxvu−−−−=−−−−最小值最大值=()23ee54e

5e404e4e−−−−==，即有()()uxvx最大值最小值，则2lne11xaxxxx−++，所以01a时，不等式()e1xfxx−+成立，则不等式()esin1xfxx−+也成立．【关键点点睛】解决第（1）问的关键是将问题转化，然后再分类讨论；解决第（2）问

的关键一是通过放缩转化问题，二是转化为研究两个函数的最值问题.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，圆1C的参数方程为22cos2sinxy=+=（θ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为32sin42

+=.（1）求圆1C的极坐标方程及曲线2C的直角坐标方程；（2）设射线:02l=与圆1C交于异于原点O的一点M，与曲线2C交于点N，求1OCM△与1OCN△面积之比的最大值.【答案】（1）1:4cosC=，2:30Cxy+−=；（2）()2213+.【解析】

【分析】（1）由1C参数方程可得普通方程，由此可得极坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得2C直角坐标方程；（2）由11OCMOCNSOMSON=△△可得()11124cossincos3OCMOCNSS==+△△，利用三角恒等变换公式可求得()1122sin2134OCMO

CNSS=++，由三角函数最值可得结果.小问1详解】由题意得：圆1C的普通方程为：()2224xy−+=，即2240xyx+−=，圆1C的极坐标方程为：4cos=；由32sin42+=得：2232sincos222+=曲线2C的直

角坐标方程为：3xy+=，即30xy+−=.【小问2详解】111sin2OCMSOCOM=，111sin2OCNSOCON=△，11OCMOCNSOMSON=，且14cosOM==，23sinco

sON==+；【()11212444cossincossincoscos333OCMOCNSS==+=+=222sin2cos2333++=()22sin2134++，当且仅当8=时，1OCM△与1O

CN△面积之比的最大值为()2213+.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()221fxxx=−+−.（1）求不等式()6fx的解集；（2）已知对任意的xR，都有()fxt，若,,abc均为正实数，2222abct++=+，在空间直角坐标系中，点(),,abc在以点()0,1,1−−

为球心的球上，求该球表面积的最小值.【答案】（1）1xx−或3x；（2）36.【解析】【分析】（1）分别在12x、122x和2x三种情况下解不等式可求得结果；（2）由()fx单调性可求得t

，得到225abc++=，利用柯西不等式可求得所求的球的表面积的最小值.【小问1详解】当12x时，()212336fxxxx=−+−=−，解得：1x−，此时1x−；当122x时，()22116fxxxx=−+−=+，解得：5x≥，此时解集为空集；当2x时

，()221336fxxxx=−+−=−，解得：3x，此时3x；综上所述：不等式()6fx的解集为1xx−或3x；【小问2详解】由（1）可知：()133,211,2233,2xxfxxxxx−

=+−，()fx\的单调递减区间为1,2−，单调递增区间为1,2+，()1322tf==，22225abct++=+=；,,abc均为正实数，由柯西不等式可得()()()()22222212211abc+++

+++()()()2212181abc++++=（当且仅当1122bca++==，即1abc===时取等号），()()()2222119Rabc=++++，则该球表面积2436R，该球表面积

的最小值为36.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com