【文档说明】《精准解析》安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期第一次月考数学（理）试题（解析版）.docx，共(23)页，1.391 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年度第二学期第一次月考试卷高三理科数学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交

回.第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.若集合{12}Axx=−∣，|1Bxx=或3x，则()RAB=ð（）A.{13}x

x−∣B.{11}xx−∣C.{23}xx∣D.{12}xx∣【答案】D【解析】【分析】先求得RBð，然后求得正确答案.【详解】R|13Bxx=ð，()RAB=ð{12}xx∣故选：D2.已知Ra，复

数3i1iza+=+（i为虚部单位）为纯虚数，则z的共轭复数的虚部为（）A.1B.1−C.iD.i−【答案】B【解析】【分析】根据复数的出发运算结合纯虚数的定义求出a，从而可求出复数z，即可得出答案.【详解】解：()()()()()23i1i331i3i1i1i1i1a

aazaaaa+−+−−+===++−+，因为复数3i1iza+=+（i为虚部单位）为纯虚数，所以30310aa+=−，解得3a=−，所以i=z，所以iz=−，所以z的共轭复数的虚部为1−.故选：B.3.定义：设函数()fx的定义域为D，如果,m

nD，使得()fx在,mn上的值域为,mn，则称函数()fx在,mn上为“等域函数”，若定义域为21,ee的函数()xgxa=（0a，1a）在定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则a的取值范围为（）A.221,e

eB.22e1,eC.221eee,eD.221eee,e【答案】C【解析】【分析】当01a时，根据()gx单调性，可得mnanam==，化简整理，可得lnlnmmnn=，令()

lnkxxx=，利用导数求得()kx的单调性，分析即可得答案；当1a时，根据()gx单调性，可得lnlnxax=在21,ee上有两个不等实根，利用导数求得()lnxhxx=的单调性及最值，结合题意，分析计算，即可得答案.【详解】当01a时，函数()xg

xa=在21,ee上为减函数，若在其定义域的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m，21,een（mn）使得mnanam==，所以lnlnlnlnmannam==，消去l

na，得lnlnmmnn=，令()lnkxxx=，则()ln1kxx=+，当21,eex时，()0kx，所以()kx在21,ee上是单调增函数，所以符合条件的m，n不存在.当1a时，函数()xgxa=在21,ee上为增函数，若在其定义域

的某个闭区间上为“等域函数”，则存在m，21,een（mn）使得mam=，nan=，即方程xax=在21,ee上有两个不等实根，即lnlnxax=21,ee上有两个不等实根，设函数()lnxhxx=（21eex），则()21lnxhxx−=

，当1eex时，()0hx；当2eex时，()0hx，所以()hx在1,ee上单调递增，在(2e,e上单调递减，所以()hx在ex=处取得极大值，也是最大值，所以()()max1eehxh==，又1eeh=−，()222eeh=，故221

lneea，即221eeeea.故选：C.【点睛】解题的关键是讨论()gx的单调性，根据题意，整理化简得到新的函数，利用导数求得新函数的单调性和最值，分析即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.4.若非零向量a、b满足=5abb+，且()abb−⊥

，则a与b的夹角为()A.6B.4C.34D.56【答案】B【解析】【分析】根据数量积的定义和运算法则即可计算.【详解】()()220abbabbabbabb−⊥−=−==，在()()222255|||25|abbaba

bbababb+=++=++=222222||2|5||2|2abbbabab++===，∴2||2cos,22abbababbb===，,0,,4abab=.故选：B.5.祖暅是南北朝时

代伟大的科学家，在数学上有突出贡献．他在五世纪末提出祖暅原理：“密势既同，则积不容异.”其意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面面积相等，则这两个几何体的体积相等．我们称由双曲线()222210,

0xyabab−=中()0ymm的部分绕其虚轴旋转形成的几何体为双曲线旋转体．如图，双曲线旋转体的下半部分挖去底面直径为2a，高为m的圆柱体后，所得几何体与底面半径为amb，高为m的圆锥均放置于平面上（几何体底面在内）．与平面平行且到平面距离

为()0hhm的平面与两几何体的截面面积分别为SS圆圆环，，可以证明SS=圆圆环总成立．依据上述原理，()22144yxy−=的双曲线旋转体的体积为（）A.44π3B.56π3C.28π3D.32

π3【答案】B【解析】【分析】根据双曲线旋转体的定义，结合双曲线的标准方程、圆柱和圆锥的体积公式即可求解.【详解】解：依题意4m=，1a=，2b=，圆锥底面半径2amb=，即圆锥底面积为4π，由祖暅原理可知，双曲线旋转体体积()22156π2+2π14π2433VVV==+=

圆柱圆锥．故选：B．6.“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求

回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）A.156种B.168种C.172种D.180种【答案

】A【解析】【分析】利用间接法来求得不同的安排方案的数量.【详解】根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有166C=种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个

，安排到乙学校，有155C=种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个学校，有222422226CCAA=种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4

位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有14C4=种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有133C=种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种.故选：A

7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若2cos2cosaCbcA+=，3ca=，则A=（）A.π6B.π4C.π3D.2π3【答案】A【解析】【分析】利用正弦定理边化角，结合和差公式与同角三角函数的基本关系化简计算题意中的等式，得

出1sin2A=，即可得出结果.【详解】已知3ca=，由正弦定理，得sin3sinCA=，所以22sin3sinCA=，有222cos1sin13sinCCA=−=−，由2cos2cosaCbcA+=，得2sincossin2sincosACBCA+=，

2sincossin()2sincosACACCA++=，3sincossincosACCA=，22229sincossincosACCA=，22229sin(13sin)3sin(1sin)AAAA−=−，由sin0A，解得1sin2A=

，又0A，所以6A=.故选：A.8.已知252524a=，501.02b=，1001.01c=，则（）A.abcB.b<c<aC.c<a<bD.bac【答案】B【解析】【分析】利用指数幂的性质比较各指数式的大小.【详解】由1002

5050501.01(1.01)1.02011.02cb====，又1004251.01(1.01)c==，而41.011.0406251.041724，故ac，综上，b<c<a.故选：B9.函数()()21lnfxxx=+的图象

大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域及零点的情况即可得到答案.【详解】函数()()21lnfxxx=+的定义域为()(),00,−+U，则排除选项C、D,当0x时，()2212210xfxxxx−=−+=，则()fx在(),0

−上单调递减，且()110f−=−，()1e20ef−=−，由零点存在定理可知()fx在(),0−上存在一个零点，则排除B，故选：A.10.某校举办“中华魂”《中国梦》主题演讲比赛．聘请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均

分为选手的最终得分现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为1x，2x，……，7x，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S分别为（）A.5i，86B.5i，

87C.5i，87D.5i，86【答案】C【解析】【分析】模拟程序的运行过程，该程序运行后是计算5个数据的平均数，由此求出对应的结果.【详解】模拟程序的运行过程知，该程序运行后是计算5个数据的平均数，所以i>5，由5个数据分别是78、86、8

5、92、94，计算平均数为()17885869294875x=++++=故选：C11.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取，并测零件的直径尺寸，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件直径尺

寸()xcm服从正态分布()18,4N，若x落在20,22内的零件个数为2718，则可估计所抽取的这批零件中直径x高于22的个数大约为（）（附：若随机变量服从正态分布()2,N，则()0.6827P−+，()220.9545P

−+，()330.9973P−+）.A.27B.40C.228D.455【答案】D【解析】【分析】根据3原则可求得()20220.1359Px=，()220.02275Px=，根据概率计算可得结果.【详解】由正

态分布()18,4N可知：18=，2=，20+=，222+=，()0.95450.682720220.13592Px−==，()10.9545220.022752Px−==，直径x高于22的个数大约为27180.13590.02275455

=.故选：D.12.已知双曲线的方程是()222210,0xyabab−=，点1F，2F为双曲线的两个焦点，以12FF为直径的圆与双曲线相交于点P（点P在第一象限），若126PFF，则双曲线离

心率的取值范围是（）A.13,2++B.)31,++C.311,2+D.(1,31+【答案】D【解析】【分析】由已知条件求得2PF的范围，然后结合勾股定理求得,ac的不等

关系，从而求得离心率的范围．【详解】由题意2121sinsin262PFPFFc==，所以20PFc，又222124PFPFc+=，即22222(2)4PFaPFc++=，所以2224(2)ccac++，整理得22220aacc+−，所以2220

ee−−，又1e，故解得131e+．故选：D．第II卷非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知()2e1,2,xxxafxxxxa−+=−++恰好有三个零点，则实数a的取值范围是__

_________.【答案】02a【解析】【分析】利用导数分析函数的单调性，作出函数e1xyx=−+（x∈R）的图象，在同一坐标系内再作出22yxx=−++（x∈R）的图象，由图象可知f（x）有三个零点时实数a的取值范围．【详解】当1x−时，1xyex=++，10xye=+

，故1xyex=++在(,1]−−上单调递增；当1x−时，1xyex=−−，由10xye=−=可得0x=，当10x−时，0y，当0x时，0y，所以1xyex=−−在(1,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增，且0min10y

e=−=，作出函数1,1e11,1xxxexxyxexx++=−+=−−（x∈R）的图象，在同一坐标系内再作出2222,02=2,0xxxyxxxxx−−+=−++=−+（x∈R）的图象，由图象可知要使()2e1,2,xxxafxxxxa−+=−++恰好有三个零

点，即函数f（x）的图象与x轴有三个交点，只需0≤a＜2，故答案为：[0，2）.14.经过点(3,1)P−−且斜率为k的直线l与圆C：22(1)(2)14xy++−=相交于A，B两点，若||25AB=，则k的值为______.【答案

】125−或0【解析】【分析】利用勾股定理求出圆心到直线AB的距离，设出直线AB的方程利用点到直线的距离公式求出k值.【详解】由已知条件得设直线AB的方程为()31ykx=+−，圆C：22(1)(2)14xy++−=的圆心为()1,2-，半径为14r=，由勾股定理得圆心到直线AB的

距离为()()221453d=−=，即圆心为()1,2-到直线AB310kxyk−+−=距离为223131kkdk−−+−==+，解得0k=或125k=−.故答案为：125−或0.15.已知实数x，y满足约束条件20,220,220,xyxyxy+−+−−

则目标函数zxy=+的最大值为______.【答案】4【解析】【分析】画出可行域，结合图像即可得出结果.【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：由zxy=+得yxz=−+，平移直线yxz=−+，的由图象可知当直线yxz=−+经过点A时，直线yxz=−+的截距最大，此时z最大，由220220xyx

y−+=−−=，解得()2,2A，代入目标函数zxy=+得224z=+=，即目标函数zxy=+的最大值为4，故答案为：4.16.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，当()0,x+时，()lnfxx=，则()()0fef−+=______

____.【答案】-1【解析】【分析】由奇函数的性质()()fxfx−=−可得()()fefe−=−，(0)(0)ff−=−，结合条件求()()0fef−+=的值.【详解】由函数()fx是定义在R上奇函数得()()fefe−=−，(0)

(0)ff−=−，又当()0,x+时，()lnfxx=，所以()()()00,1ffefe=−=−=−，所以()()01fef−+=−故答案为：-1.三、解答题(本大题共6小题，共70分.其中22、23为选考题.解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤.)17.已知数列na的首项152a=，且满足15221nnnaaa+−=+.（1）求证：数列11na−为等差数列；（2）若()()()*111nnnbaanN+=−−，求数列nb前n项和nS.【答案】（1）证

明见解析;（2）()941=+nnSn.【解析】【分析】（1）由递推关系构造等差数列即可证明；（2）根据裂项相消法求出数列的和即可.【小问1详解】的()()1212111111252111331313121nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa+−+−=−=−=

=−−−−−−−−+为常数,又11213a=−,∴11na−是以23为首项，23为公差的等差数列【小问2详解】由（1）得()122211333nnna=+−=−∴312nan−=∴()()33919112124141nbnnnnnn===−+

++∴()91111191911422314141nnSnnnn=−+−++−=−=+++.18.某种植园在芒果临近成熟时，随机从一些芒果树上摘下100个芒果，其质量分别)150

,250，)250,350，)350,450，)450,550，550,650（单位：克）中，经统计频率分布直方图如图所示．（1）估计这组数据的平均数；（2）在样本中，按分层抽样从质量在)250,350，)350,450中的芒果中

随机抽取10个，再从这10个中随机抽取2个，求这2个芒果都来自同一个质量区间的概率；（3）某经销商来收购芒果，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，用样本估计总体，该种植园中共有芒果大约10000个，经销商提出以下两种收购方案：方案①：所有芒果以10元/千克收购

；方案②：对质量低于350克的芒果以3元/个收购，对质量高于或等于350克的芒果以5元/个收购．请通过计算确定种植园选择哪种方案获利更多？【答案】（1）387；（2）715；（3）种植园选择方案②获利更多.【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图结合平均数的定义求解；(2)根据分层抽样的性

质求出各层中应抽取的芒果的个数，求出样本空间中的基本事件个数和事件2个芒果都来自同一个质量区间所包含的基本事件个数，结合古典概型的计算公式求解即可；(3)分别计算两个不同方案下种植园的收入，比较大小确定所选方案.【小

问1详解】由频率分布直方图知，各区间频率为0.17,0.20,0.30,0.25,0.08，所以这组数据的平均数为：0.172000.203000.304000.255000.08600387x=++++=；【小问2详解】由题可知质量在)250,350，)350,450中的频率分

别为0.2，0.3，按分层抽样从质量在)250,350，)350,450中的芒果中随机抽取10个，则质量在)250,350中的芒果中有4个，质量在)350,450中的芒果中有6个，从这10个中随机抽取2个，共有210C45=种等可能结果，记事件A为“这2个芒果都来自同一个

质量区间”，则事件A有2246CC61521+=+=种等可能结果，∴()2174515PA==；【小问3详解】方案①收入：3871010000387001000=（元）；方案②收入：由题意得低于350克的收入：()0.00170.002010010000311100+=（元

）；高于或等于350克的收入：()0.00300.00250.000810010000531500++=（元）.故总计111003150042600+=（元），由于4260038700，故种植园选择方案②获利更多.19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1CC⊥平面ABC，A

CBC⊥，2ACBC==，13CC=，点,DE分别在棱1AA和棱1CC上，且1AD=，2CE=，M为棱11AB的中点.（1）求证：1//CM平面1BDE；（2）求二面角1BBED−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）306.【解析】【分析】（1）取1

BD的中点N，可证得四边形1CENM为平行四边形，由此得到1//CMNE，根据线面平行的判定定理可得结论；（2）以C为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.【小问1详解】证明：取1BD的中点N，连接M

N，NE，M为11AB中点，N为1BD中点，MN为11ABD△的中位线，1//MNAD且1112MNAD==；又11//CEAD，11CE=，四边形1CENM为平行四边形，1//CMNE，又NE平面1BDE，1CM平面1BDE，1//CM平面1BDE.【小问2详解】解：以

C为坐标原点，1,,CACBCC为,,xyz轴建立如图所示空间直角坐标系，则()10,2,3B，()0,0,2E，()2,0,1D，()10,2,1EB=，()2,0,1ED=−，AC⊥平面1BBE，平面1BBE的一个法向量

()1,0,0m=；设平面1BED的法向量(),,nxyz=，则12020EBnyzEDnxz=+==−=，令1x=，解得：2z=，1y=−，()1,1,2n=−，16cos,66mnmnmn

===，设二面角1BBED−−的平面角为，则130sin166=−=，即二面角1BBED−−的正弦值为306.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=的短轴长为2，椭圆上一点到两焦点的距离之

和是6（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l方程是60xy+−=，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐

标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）2219xy+=（2）过定点，31,26【解析】【分析】（1）由题意得，3,1ab==，从而写出椭圆方程；（2）设直线MG的方程，与椭圆方程联立方程组，化简得一元二次方

程，利用Δ0=化简运算，同理得MH的方程，从而可得直线GH的方程，再由M在60xy+−=上列式代入，即可求解出定点坐标.【小问1详解】由题意，26a=，22b=，所以3,1ab==，所以椭圆⽅程为2219xy+=；【小问2详解】设()11,Gxy，()22,Hxy，

()33,Mxy，设直线MG的方程为()11yykxx−=−，112299ykxykxxy=+−+=，()()()22211119118990kxkykxxykx++−+−−=，()()()222111118

369110kykxkykx=−−+−−=，化简得()221191ykxk−=+所以()22211119210xkxyky−−+−=，因为方程只有1解，所以11121199xyxkxy==−−，故直线MG的方程为()11119xyyxxy−=−−，化简得11

99xxyy+=，同理可得直线MH的方程为2299xxyy+=，因为两切线都经过点()33,Mxy，所以131323239999xxyyxxyy+=+=，所以直线GH的方程为3399xxyy+=，因为3360xy+−=，所以直线GH方程为()36990xyx

y−+−=，令69090xyx−=−=，得3216xy==，所以直线GH恒过定点31,26【点睛】解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次

方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．21.已知函数()2lnfxaxxx=+．（1）讨论()fx的零点个数；（2）若01a，求证：()esin1xfxx−+．的【

答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将问题转化为研究函数()lngxaxx=+在()0,+的零点个数，根据a分类讨论即可；（2）将问题转化为maxmin2lne1(1)()xaxxxx−+

+，然后分别求最值，最后再作差比较即可证明.【小问1详解】由题意()()lnfxxaxx=+（其中0x），只需考虑函数()lngxaxx=+在()0,+的零点个数．①当0a=时，函数()gxx=在()0,+内没有零点，②当0a时，函数()gx在()0,+单调递增，取10

eax−=时，10101010elnee10()e0aaaafa−−−−=+=−+，1x时，()1fx，此时()gx在()0,+存在唯一个零点0x，且()00,1x．③当a<0时，()'xagxx+=，则0xa−时，()'0gx；xa−时，()'0gx

．所以()gx在(0,)a−上单调递减，在(,)a−+上单调递增.则xa=−是函数()gx在()0,+上唯一的极小值点，且()()lngxaaa=−−极小值．取10eax=时，10101010elnee0e0()1aaaafa=+=+，取eax=时，2elneee()0aa

aafaa=+=+.因此：若()0gx极小值，即e0a−时，()gx没有零点；若()0gx=极小值，即ae=−时，()gx有唯一个零点；若()0gx极小值，即ea−时，()gx有且仅有两个零点．综上所述，ea−时，()fx有两个零点；0a或ae=−时，()gx有唯一个零点；e0

a-时，()gx没有零点．【小问2详解】不等式()esin1xfxx−+即为2lnesin1xaxxxx+−+（其中0x），先证0x时，sinxx．令()sinhxxx=−，则()'1co

s0hxx=−，则()hx单调递增，所以()()00hxh=，则sinxx．所以e1esin1xxxx−+−+，故只需证明2lnesin1xaxxxx+−+即可．即证明2lne11xaxxxx−++（其中0x），令()ln1axuxx=+，()2e1xxvxx−+=，只需证

明()()maxminuxvx即可．又()()21ln'axuxx−=，01a，则0ex时，()'0ux；ex时，()'0ux．所以()ux在(0,e)上单调递增，在(e,)+上单调递减.则ex=时，()ux取得极大值，且()()e1e

auxu==+极大值，也即为最大值．由()21xexvxx−+=得()()()()()243e12e12e1'xxxxxxxvxxx−−−+−+==．则02x时，()'0vx；2x时，()'0vx．所以()vx在(0,2)上单

调递减，在(2,)+上单调递增.则2x=时，()vx取得极小值，且()()2e124vxv−==极小值，也即为最小值．由于()()()()22e1e112e114e4eavxuxvu−−−−=−−−−最小值最大值=()23ee5

4e5e404e4e−−−−==，即有()()uxvx最大值最小值，则2lne11xaxxxx−++，所以01a时，不等式()e1xfxx−+成立，则不等式()esin1xfxx−+也成立

．【关键点点睛】解决第（1）问的关键是将问题转化，然后再分类讨论；解决第（2）问的关键一是通过放缩转化问题，二是转化为研究两个函数的最值问题.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy中，圆1C的参数方程为22cos2sin

xy=+=（θ为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为32sin42+=.（1）求圆1C的极坐标方程及曲线2C的直角坐标方程；（2）设射线:02l=与圆1C交于异于原点O的一点M，与曲线2C

交于点N，求1OCM△与1OCN△面积之比的最大值.【答案】（1）1:4cosC=，2:30Cxy+−=；（2）()2213+.【解析】【分析】（1）由1C参数方程可得普通方程，由此可得极坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可

得2C直角坐标方程；（2）由11OCMOCNSOMSON=△△可得()11124cossincos3OCMOCNSS==+△△，利用三角恒等变换公式可求得()1122sin2134OCMOCNSS=++，由三角函数最值可得结

果.小问1详解】由题意得：圆1C的普通方程为：()2224xy−+=，即2240xyx+−=，圆1C的极坐标方程为：4cos=；由32sin42+=得：2232sincos222+=曲线2C的直

角坐标方程为：3xy+=，即30xy+−=.【小问2详解】111sin2OCMSOCOM=，111sin2OCNSOCON=△，11OCMOCNSOMSON=，且14cosOM==，23sincosON==+；【()11212444c

ossincossincoscos333OCMOCNSS==+=+=222sin2cos2333++=()22sin2134++，当且仅当8=时，1OCM△与1OCN△面积之比的最大值为()2213+.选修

4-5：不等式选讲23.已知函数()221fxxx=−+−.（1）求不等式()6fx的解集；（2）已知对任意的xR，都有()fxt，若,,abc均为正实数，2222abct++=+，在空间直角坐标系中，点(),,abc在以点()0,1,1−−为球心的球上，求该球表面积的

最小值.【答案】（1）1xx−或3x；（2）36.【解析】【分析】（1）分别在12x、122x和2x三种情况下解不等式可求得结果；（2）由()fx单调性可求得t，得到225abc++=，利用柯西不等式可求得

所求的球的表面积的最小值.【小问1详解】当12x时，()212336fxxxx=−+−=−，解得：1x−，此时1x−；当122x时，()22116fxxxx=−+−=+，解得：5x≥，此时解集为空集；当2x时，()221336fxxxx=−+−=−，解得：3x，

此时3x；综上所述：不等式()6fx的解集为1xx−或3x；【小问2详解】由（1）可知：()133,211,2233,2xxfxxxxx−=+−，()fx\的单调递减区间为1,2−，单调递增区间为1,2+，()1322tf==，

22225abct++=+=；,,abc均为正实数，由柯西不等式可得()()()()22222212211abc++++++()()()2212181abc++++=（当且仅当1122bca++==，即1abc===时取等号），()()()2222119Rab

c=++++，则该球表面积2436R，该球表面积的最小值为36.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com