【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练33　数系的扩充与复数的引入 Word版含解析.docx，共(4)页，43.056 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练33数系的扩充与复数的引入一、基础巩固1.(2023新高考Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若a为实数,且2+𝑎i1+i=3+i,则a=()A.-4B.-3C.3D.

43.设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=14.若复数z=1+i,𝑧为z的共轭复数,则下列结论正确的是()A.𝑧=

-1-iB.𝑧=-1+iC.|𝑧|=2D.|𝑧|=√25.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为(2,-1),则2𝑧𝑧-1=()A.3+iB.1-3iC.1-iD.2-i6.已知复数z=i1+i,则|z|=()A.√22B.√2C.1

2D.17.若复数z=1+i𝑎-i(i是虚数单位,a∈R)是纯虚数,则z的虚部为()A.1B.iC.2D.2i8.(2023新高考Ⅰ,2)已知z=1-i2+2i,则z-𝑧=()A.-iB.iC.0D.19.(多选)已知复数z=-12+√32i(其中i为虚数单位),则下列结论正确的是

()A.z2=0B.z2=𝑧C.z3=1D.|z|=110.已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.11.如图,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,点A,B对应的复数分别是z1,z2,则𝑧2

𝑧1=.二、综合应用12.在复平面内,O为坐标原点,若复数z,z+1对应的点都在单位圆O上,则z的实部为()A.-√32B.-12C.12D.√3213.(多选)已知复数z0=1+2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0,复数z满足|z-1|=|z-i|,则下列结论正确的是()A.点P0

的坐标为(1,2)B.复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C.复数z对应的点Z在一条直线上D.P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√2214.写出一个虚数z,使得z2+3为纯虚数,则z=.15.在复平面内,复数2-3i1+2i+z对应的点的坐标为(2,-

2),则z在复平面内对应的点位于第象限.16.设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=√3+i,则|z1-z2|=.17.若复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),且z1=z

2,则λ的取值范围是.三、探究创新18.据记载,欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉发现的,该公式被誉为“数学中的天桥”.特别是当x=π时,得到一个令人着迷的优美恒等式eπi+1=0,这个恒等式将数学中五个重要的数(自然对数的底数e,圆周率π,

虚数单位i,自然数的单位1和零)联系到了一起,有些数学家评价它是“最完美的公式”.根据欧拉公式,若复数z=e3π4i的共轭复数为𝑧,则𝑧=()A.-√22−√22iB.-√22+√22iC.√22+√22i

D.√22−√22i19.在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)对应向量𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗(O为坐标原点),设|𝑂𝑍⃗⃗⃗⃗⃗|=r,以射线Ox为始边,OZ为终边逆时针旋转的角为θ,则z=r(c

osθ+isinθ),法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理:z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)],由棣莫弗定理导出了复数乘方公式:zn=[r(cosθ+isinθ)]n

=rn(cosnθ+isinnθ),则(-1+√3i)10=()A.1024-1024√3iB.-1024+1024√3iC.512-512√3iD.-512+512√3i考点规范练33数系的扩充与复数的引入1

.A∵(1+3i)(3-i)=3-i+9i+3=6+8i,∴复数在复平面内对应的点位于第一象限.故选A.2.D由题意,得2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,即a=4.3.C由题意可知,z=x+yi.因为z-i=x+(y-1)i,所以|

z-i|=√𝑥2+(𝑦-1)2=1,则x2+(y-1)2=1.故选C.4.D𝑧=1-i,|𝑧|=√1+1=√2,故选D.5.A由题意知z=2-i,所以2𝑧𝑧-1=2(2-i)1-i=2(2-i)(1+i)(1-i)(1

+i)=3+i.6.Az=i1+i=i(1-i)(1+i)(1-i)=1+i2=12+12i,所以|z|=√(12)2+(12)2=√22.7.Az=1+i𝑎-i=(1+i)(𝑎+i)(𝑎-i)(𝑎+i)=𝑎-1+(𝑎+1)i𝑎2+1.因为z是纯虚数,所以{

𝑎-1=0,𝑎+1≠0,解得a=1,所以z的虚部为1+112+1=1,故选A.8.A∵z=1-i2+2i=(1-i)22(1+i)(1-i)=(1-i)22(1-i2)=1-2i+i22(1-i2)=-12i,∴𝑧=12i.∴z-𝑧=-12i-12i=-i.故选A

.9.BCD由于复数z=-12+√32i(其中i为虚数单位),则z2=14−√32i-34=-12−√32i,故A错误;z2=𝑧,故B正确;z3=(-12-√32i)(-12+√32i)=14+34=1,故C正确;|z|=√14+34=1,故D正确.10.5

2由题意可得a2-b2+2abi=3+4i,则{𝑎2-𝑏2=3,𝑎𝑏=2,解得{𝑎2=4,𝑏2=1,则a2+b2=5,ab=2.11.-1-2i由题意,得z1=i,z2=2-i,故𝑧2𝑧1=2-ii=(2-i)(-i)i(-i)=-1-2i.12.B设z=a

+bi(a,b∈R),则z+1=a+1+bi,由题意可得|z|=1,|z+1|=1,即{𝑎2+𝑏2=1,(𝑎+1)2+𝑏2=1,解得{𝑎=-12,𝑏=±√32.所以z的实部为-12.13.ACD复数z0=1+2i在复平面内对应的点为P0(1,2),A正确;复数z0的共轭

复数对应的点与点P0关于实轴对称,B错误;设z=x+yi(x,y∈R),代入|z-1|=|z-i|,得|(x-1)+yi|=|x+(y-1)i|,即√(𝑥-1)2+𝑦2=√𝑥2+(𝑦-1)2,整理得,y=x,即点Z在直

线y=x上,C正确;易知点P0到直线y=x的垂线段的长度即为点P0与点Z之间距离的最小值,结合点到直线的距离公式可知,最小值为|1-2|√2=√22,故D正确.14.1+2i(答案不唯一)设z=a+bi(a,b∈R

,b≠0),则z2+3=a2-b2+3+2abi,因为z2+3为纯虚数,所以a2-b2=-3且ab≠0.任取不为零的实数a,求出b即可得到,答案不唯一,如z=1+2i.15.四设z=x+yi(x,y∈R),则2-3i1+2i+x+yi=2-2i,即(2-3i)(1-2i

)(1+2i)(1-2i)+x+yi=2-2i,(-45+𝑥)+(𝑦-75)i=2-2i,所以{𝑥-45=2,𝑦-75=-2,解得{𝑥=145,𝑦=-35,即z=145−35i,其对应点为(145,-35),在第四象限.16.2

√3设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).∵|z1|=|z2|=2,∴a2+b2=4,c2+d2=4.又z1+z2=(a+c)+(b+d)i=√3+i,∴a+c=√3,b+d=1,∴(a+c)2+(b+d)2=a2+b2+c2+d2+2ac+2bd=8+2

ac+2bd=4,得2ac+2bd=-4,∴(a-c)2+(b-d)2=a2+c2+b2+d2-2ac-2bd=8-(-4)=12,∴|z1-z2|=√(𝑎-𝑐)2+(𝑏-𝑑)2=2√3.17.[-916,7]由复数相等的充要条件可得{𝑚=2cos𝜃,4-�

�2=𝜆+3sin𝜃,化简,得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=4(sin𝜃-38)2−91

6,因为sinθ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sin𝜃∈[-916,7].故λ的取值范围为[-916,7].18.A欧拉公式eix=cosx+isinx(x∈R),则z=e3π4i=cos3π4+isin3π4=-√22+√22i,

根据共轭复数定义可知𝑧=-√22−√22i,故选A.19.D(-1+√3i)10=[2(cos2π3+isin2π3)]10=210cos20π3+isin20π3=210(-12+√32i)=-512+512√3i.