【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练44　椭圆 Word版含解析.docx，共(8)页，96.201 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练44椭圆一、基础巩固1.已知椭圆𝑥24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交,一个交点为P,则|PF2|等于()A.72B.√32C.√3D.42.已知F是椭圆C:

𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的右焦点,过椭圆C的下顶点且斜率为34的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切,则椭圆C的离心率为()A.√55B.12C.√33D.√223.已知F1,F

2分别为椭圆E:𝑥225+𝑦29=1的左、右焦点,P为椭圆E上一点,直线l平分∠F1PF2的外角,过点F2作直线l的垂线,垂足为M,则|OM|=()A.10B.8C.5D.44.设F1,F2为椭圆�

�24+y2=1的左、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P,Q两点,当四边形PF1QF2的面积最大时,𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为()A.0B.2C.4D.-25.(多选)已知椭圆C

:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=2,点P(1,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是()A.|QF1|+|QP|的最小值为2a-1B.椭圆C的短轴长可能为2C.椭圆C的离心率的取值范围为0,√5-12D.若𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗=𝐹1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则椭圆C的长轴长为√5+√176.设F1,F2为椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为4√3的等边

三角形,则椭圆C的方程为.7.已知椭圆C1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)与椭圆C2:𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点为F(-√

2,0),且四边形ABCD的面积为163,则椭圆C1的离心率e为.8.已知点P是圆F1:(x+1)2+y2=16上任意一点(F1是圆心),点F2与点F1关于原点对称.线段PF2的垂直平分线m与PF1交于点M.求点M的轨迹方程.9.已知椭圆x2+(m+3)y2=

m(m>0)的离心率e=√32,求m的值及椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标.二、综合应用10.已知椭圆C1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的离心率为e1,双曲线C2:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的离心率为e2,其中,a>b>0,𝑒1𝑒2=√33,直线l:x-y+3=0与椭圆C1

相切,则椭圆C1的方程为()A.𝑥22+y2=1B.𝑥24+𝑦22=1C.𝑥26+𝑦23=1D.𝑥216+𝑦28=111.(多选)设椭圆的方程为𝑥22+𝑦24=1,斜率为k的直线不经过原点O,且与椭圆相交于A,B两点,M为线

段AB的中点.下列说法正确的是()A.直线AB与OM垂直B.若点M的坐标为(1,1),则直线方程为2x+y-3=0C.若直线方程为y=x+1,则点M的坐标为13,43D.若直线方程为y=x+2,则|AB|=4√2

312.(多选)设椭圆C:𝑥24+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P是椭圆C上的动点,则下列结论正确的是()A.离心率e=√32B.|𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最大值为3C.△PF1F2的面积的最大值为2

√3D.|𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为213.已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的离心率为√32,短轴长为2,点P为椭圆上任意一点,则1|𝑃𝐹1|+4|𝑃𝐹2|的最小值是.

14.(2023广东江门一模)黄金椭圆是一条优美曲线,生活中许多椭圆形的物品,都是黄金椭圆,它完美绝伦,深受人们的喜爱.黄金椭圆具有以下性质:①以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点;②长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列.根据以上信息,黄

金椭圆的离心率为.15.已知椭圆C:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(a>b>0)的左焦点为F,经过原点的直线与椭圆C交于A,B两点,总有∠AFB≥120°,则椭圆C离心率的取值范围为.16.已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦

2𝑏2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P-1,32为椭圆上一点,|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的标准方程;(2)若A为椭圆的右顶点,直线AP与y轴交于点H,过点H的另一直线与椭圆交于M,N两点,且S△HMA=6S△PHN,求直线MN的方

程.17.(2022浙江,21)如图,已知椭圆𝑥212+y2=1.设A,B是椭圆上异于P(0,1)的两点,且点Q(0,12)在线段AB上,直线PA,PB分别交直线y=-12x+3于C,D两点.(1)求点P到椭圆上点的距离的最大值;(2)求|CD|的最小值.三、探究创新18.如图

,把半椭圆:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(x≥0)和圆弧:(x-1)2+y2=a2(x<0)合成的曲线称为“曲圆”,其中点F(1,0)是半椭圆的右焦点,A1,A2,B1,B2分别是“曲圆”与x轴、y轴的交点,已知∠B1FB2=120°,过点F的直线与“曲圆”

交于P,Q两点,则△A1PQ的周长的取值范围是.考点规范练44椭圆1.A由已知得F1(-√3,0),∵PF1⊥x轴,∴P(-√3,±12),∴|PF1|=12,又|PF1|+|PF2|=4,∴|PF2|=4-12=72.2.A由已知得过椭圆C的下顶点(0,-b)且斜率为34

的直线的方程为y=34x-b,即34x-y-b=0,点F(c,0),则c=|34𝑐-𝑏|√(34)2+1,即(2c-b)(c+2b)=0,因为b>0,c>0,所以b=2c.又a2=b2+c2,a>0,所以a=√5c,所以e=𝑐𝑎=

√55.3.C如图,设F1P的延长线与直线F2M交于点Q.由直线l平分∠F1PF2的外角,l⊥F2Q,可得|PQ|=|PF2|,M为F2Q的中点.又O为F1F2的中点,所以|OM|=12|F1Q|.由椭圆的定义,可知|F

1Q|=|PF1|+|PQ|=|PF1|+|PF2|=2a=10,所以|OM|=5.4.D根据题意可知,当P,Q分别在椭圆短轴端点处时,四边形PF1QF2的面积最大.不妨令P(0,1),∵F1(-√3,0),F2(√3,0),∴𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(-

√3,-1),𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,-1),∴𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=-2.5.ACD由|F1F2|=2可得F2(1,0),所以PF2⊥x轴.A中,|QF1|+|QP|=2a

-|QF2|+|QP|=2a-(|QF2|-|QP|)≥2a-|PF2|=2a-1,当且仅当Q,P,F2三点共线且点Q在第一象限时,取到最小值为2a-1,所以A正确.B中,因为P在椭圆内,所以b>1,

短轴长2b>2,故B不正确.C中,因为P在椭圆内,所以长轴长2a>|PF1|+|PF2|=1+√5,所以离心率e=2𝑐2𝑎<2√5+1=√5-12,所以e∈0,√5-12,所以C正确.D中,因为𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹

1𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以F1为PQ的中点,又F1(-1,0),F2(1,0),P(1,1),所以Q(-3,-1),所以长轴长2a=|QF1|+|QF2|=√(-3+1)2+(-1)2+√(1+3)2+12=√5+√17,所以D正确.6.𝑥29+𝑦26=1∵△F2

AB是面积为4√3的等边三角形,∴AB⊥x轴,∴A,B两点的横坐标为-c,代入椭圆方程,可得|F1A|=|F1B|=𝑏2𝑎.又|F1F2|=2c,∠F1F2A=30°,∴𝑏2𝑎=√33×2c.①又𝑆△𝐹2𝐴𝐵=12×2c×2𝑏2𝑎=4√3,②a2=b2+c2,③由①②③解

得a2=9,b2=6,c2=3,∴椭圆C的方程为𝑥29+𝑦26=1.7.√22联立{𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1,𝑦2𝑎2+𝑥2𝑏2=1,两式相减得𝑥2-𝑦2𝑎2=𝑥2-𝑦2𝑏2,又a≠b,所以x2=y2=𝑎2𝑏

2𝑎2+𝑏2,故四边形ABCD为正方形,其面积为4𝑎2𝑏2𝑎2+𝑏2=163.(*)由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,所以a2=4,所以椭圆C1的离心率e=√22.8.解由题意得F1(-1,0

),F2(1,0),圆F1的半径为4,且|MF2|=|MP|,从而|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|PF1|=4>|F1F2|,所以点M的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,其中长轴长为4,焦距为2,则短半轴长为√3,所以点M的轨迹方程为𝑥24+�

�23=1.9.解椭圆方程可化为𝑥2𝑚+𝑦2𝑚𝑚+3=1,m>0.∵m-𝑚𝑚+3=𝑚(𝑚+2)𝑚+3>0,∴m>𝑚𝑚+3.∴a2=m,b2=𝑚𝑚+3,c=√𝑎2-𝑏2=√𝑚(𝑚+2)𝑚+3.由e=√32,得√𝑚+2𝑚+3=√32,∴m=1.∴椭圆的标准

方程为x2+𝑦214=1,∴a=1,b=12,c=√32.∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标分别为F1(-√32,0),F2(√32,0),四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1(0,-12),B2(0,1

2).10.C椭圆C1:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1的离心率e1=𝑐1𝑎=√1-𝑏2𝑎2,双曲线C2:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的离心率e2=𝑐2𝑎=√1+𝑏2𝑎2,由𝑒1𝑒2=√33,得√1-𝑏2𝑎2√1+𝑏2𝑎2=√33,

则a=√2b.由{𝑥2+2𝑦2-2𝑏2=0,𝑥-𝑦+3=0,得3x2+12x+18-2b2=0,由Δ=122-4×3×(18-2b2)=0,解得b2=3,则a2=6,故椭圆C1的方程为𝑥26+𝑦23=1.故选C.11.BD对于A选项,设A(x1,y1),B(x2

,y2),则M(𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22).由已知得𝑥122+𝑦124=1,𝑥222+𝑦224=1,两式相减,整理得𝑦1-𝑦2𝑥1-𝑥2·𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥2=-2,即kAB·kOM=-2≠

-1,故选项A错误.对于B选项,因为kAB·kOM=-2,kOM=1,所以kAB=-2,所以直线方程为y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选项B正确.对于C选项,若直线方程为y=x+1,点M(13,43),则kAB·kO

M=1×4=4≠-2,所以选项C错误.对于D选项,直线方程为y=x+2,与椭圆方程𝑥22+𝑦24=1联立,得到2x2+(x+2)2-4=0,整理得3x2+4x=0,解得x1=0,x2=-43,所以|AB

|=√(-43-0)2+(23-2)2=4√23,故选项D正确.12.AD因为椭圆C:𝑥24+y2=1,所以a=2,b=1,c=√𝑎2-𝑏2=√3,所以e=𝑐𝑎=√32.故A正确.设点P(x,y),则𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3-x,-y),因为点P在椭圆

C上,所以|𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=(𝑥-√3)2+y2=(𝑥-√3)2+1-𝑥24=3𝑥24-2√3x+4.因为-2≤x≤2,所以当x=-2时,|𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2最大,即|𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|最大,此时|𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗|max=2+√3.故B错误.因为𝑆△𝑃𝐹1𝐹2=12×2c·|y|=√3|y|,所以当|y|最大时,△PF1F2的面积最大.又-1≤y≤1,所以当y=±1时,△PF1F2的面积取得最大值,为√3.故C错误.设坐标原点为O,则|�

�𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2|𝑃𝑂⃗⃗⃗⃗⃗|=2√𝑥2+𝑦2=2√3𝑥24+1.因为-2≤x≤2,所以1≤3𝑥24+1≤4,所以2≤|𝑃𝐹1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐹2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|≤4.故D正确.故选AD.13.94据题意�

�𝑎=√32,b=1,a2=b2+c2,解得a=2,c=√3,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,所以1|𝑃𝐹1|+4|𝑃𝐹2|=14(1|𝑃𝐹1|+4|𝑃𝐹2|)(|PF1|+|PF2|)=14(5+|𝑃𝐹2||𝑃𝐹

1|+4|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|)≥94,当且仅当|PF2|=2|PF1|,即|PF2|=83,|PF1|=43时,等号成立.14.-1+√52设左顶点A(-a,0),上顶点B(0,b),则直线AB的方程为bx-ay+ab=0,以长轴与短轴

的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点,则原点到直线AB的距离𝑎𝑏√𝑎2+𝑏2=c,即a2b2=a2c2+b2c2,即(a2-c2)b2=a2c2,即b4=(ac)2,所以b2=ac.长轴长、短轴长、焦距依次组成等比数列,则(

2b)2=2a×2c=4ac,所以b2=ac.综上,b2=ac,即a2-c2=ac,两边同除以a2得1-e2=e,又0<e<1,解得e=-1+√52.15.(0,12)如图所示,设椭圆的右焦点为E,则四边形AFBE是平行四边形,∵∠AFB≥120°,∴∠FAE≤60°.设|AE|=m,|AF|=

n,由椭圆的定义可知,m+n=2a,则mn≤(𝑚+𝑛)24=a2.在△AFE中,由余弦定理知,cos∠FAE=𝑚2+𝑛2-𝐸𝐹22𝑚𝑛=(𝑚+𝑛)2-2𝑚𝑛-𝐸𝐹22𝑚𝑛=4𝑎2-4𝑐22𝑚𝑛-1=2(𝑎2-𝑐2)𝑚𝑛-1≥2(𝑎2-𝑐

2)𝑎2-1=1-2e2.∵∠FAE≤60°,∴cos∠FAE∈[12,1),∴1-2e2≥12,∴e2≤14.又0<e<1,∴e∈(0,12].16.解(1)因为|F1F2|为|PF1|和|PF2|的等差中项,所以a=2c,得a2=4c2

.又点P(-1,32)在椭圆上,所以14𝑐2+(32)23𝑐2=1,所以c=1,所以a2=4,b2=3,故椭圆的标准方程为𝑥24+𝑦23=1.(2)由(1)知点A(2,0),因为点P(-1,32),所以直线AP的方程为x+2y-2=0,所以H(0

,1).当直线MN与x轴垂直时,不合题意.当直线MN与x轴不垂直时,设直线MN的方程为y=kx+1,由{𝑦=𝑘𝑥+1,𝑥24+𝑦23=1,可得(4k2+3)x2+8kx-8=0.设点M(x1,y1),N(x2,y2),则{𝑥1+𝑥2=-8𝑘4𝑘2+3,�

�1𝑥2=-84𝑘2+3.①由S△HMA=6S△PHN,可得|AH||MH|=6|NH||PH|,又|AH|=2|PH|,所以|MH|=3|NH|,得x1=-3x2,代入①,可得{-2𝑥2=-8𝑘4𝑘2+3,-3𝑥22=-84𝑘2+3,所以3×16𝑘2(

4𝑘2+3)2=84𝑘2+3,解得k=±√62,所以直线MN的方程为y=√62x+1或y=-√62x+1.17.解(1)∵点Q(0,12)在直线AB上,∴设直线AB的方程为y=kx+12.设E(x,y)为椭圆上除P之外的一点,已知点P(0,1

),则|PE|2=(y-1)2+x2=(y-1)2+12-12y2=-11y2-2y+13=-11[y2+211y+(111)2]+111+13=-11(y+111)2+14411.∵-1≤y≤1,∴当y=-111时,

|PE|2取得最大值,为14411.∴|PE|max=12√1111.(2)由{𝑥2+12𝑦2=12,𝑦=𝑘𝑥+12,得(12k2+1)x2+12kx-9=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-12𝑘12𝑘2+1,x1·x2=-912𝑘

2+1,直线PA:y-1=𝑦1-1𝑥1(x-0),即y=𝑦1-1𝑥1x+1.由{𝑦=-12𝑥+3,𝑦=𝑦1-1𝑥1𝑥+1,得xC=4𝑥1𝑥1+2𝑦1-2=4𝑥1(2𝑘+1)𝑥1-1.同

理可得xD=4𝑥2𝑥2+2𝑦2-2=4𝑥2(2𝑘+1)𝑥2-1,则|CD|=√1+(-12)2|xC-xD|=√52|4𝑥1(2𝑘+1)𝑥1-1-4𝑥2(2𝑘+1)𝑥2-1|=√20|𝑥1-𝑥2[(2𝑘+1)𝑥1-1][(2𝑘+1)𝑥2-1]|=√2

0|𝑥1-𝑥2||(2𝑘+1)2𝑥1𝑥2-(2𝑘+1)(𝑥1+𝑥2)+1|=√20√144𝑘2+9×4(12𝑘2+1)(12𝑘2+1)2|(2𝑘+1)2×(-9)12𝑘2+1+(2𝑘+1)12𝑘12𝑘2

+1+1|=√20√36(16𝑘2+1)12𝑘2+1|-9(4𝑘2+4𝑘+1)+24𝑘2+12𝑘+12𝑘2+112𝑘2+1|=6√208·√16𝑘2+1|3𝑘+1|=3√52√16𝑘2+1(3𝑘+1)2.令3k+1=t,则k=𝑡-13

,√16𝑘2+1(3𝑘+1)2=√259·1𝑡2-329·1𝑡+169.当1𝑡=1625,即t=2516,k=316时取得最小值.故|CD|min=3√52√16×(316)2+1(2516)2=3√52×√1625=6√55.18.(6,8]由(x-1)2+y2=a2(x<0),

令y=0,可得x=1-a,即A1(1-a,0).由半椭圆的方程可得A2(a,0),B2(0,b),B1(0,-b),由∠B1FB2=120°,可得𝑏𝑐=√3,由F(1,0)可得b=√3,所以a=2,所以半椭圆和圆弧的方程分别为𝑥24+𝑦23=1(x≥0),(x-1)2+

y2=4,所以A1(-1,0),A2(2,0),B1(0,-√3),B2(0,√3),可得A1相当于椭圆的左焦点,△A1PQ的周长为|PF|+|PA1|+|A1Q|+|QF|,当点P,Q均在半椭圆上时,|PF|+|PA1|=4,|A1Q|+

|QF|=4,此时△A1PQ的周长为8.当点P,Q有一个在半椭圆上,另一个在圆弧上时,不妨设点P在圆弧上,则|A1Q|+|QF|=4,|PF|=2,0<|PA1|<2,此时△A1PQ的周长的取值范围为(6,8).综上

所述,△A1PQ的周长的取值范围为(6,8].