【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题2.5 直线的方程（二）-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(8)页，498.414 KB，由小赞的店铺上传

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专题2.5直线的方程（二）-重难点题型精讲1．求直线方程的一般方法(1)直接法直线方程形式的选择方法：①已知一点常选择点斜式；②已知斜率选择斜截式或点斜式；③已知在两坐标轴上的截距用截距式；④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.(2)待定系数法先设出直线的方程，再根据已知条件求

出未知系数，最后代入直线方程.利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.若已知直线过定点，则可以利用直线的点斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).2．两条直线的位置

关系3．直线系方程具有某一种共同属性的一簇直线称为直线系，其方程称为直线系方程.直线系方程通常只含有一个独立参数，常见的直线系方程有以下几类：4．直线方程的实际应用利用直线方程解决实际问题，一般先根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，

从而能够为解决问题指明方向，避免解决问题出现盲目性.【题型1求直线方程】【方法点拨】(1)直接法：根据所给条件，选择合适的直线方程形式，进行求解即可.(2)待定系数法：先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.【例1】（2022·江西省高一阶

段练习（理））经过点A（3，4）且在两坐标轴上的截距绝对值相等的直线方程为（）A．𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0B．𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0或4𝑥−3𝑦=0C．𝑥−𝑦−7=

0或𝑥+𝑦+1=0D．𝑥+𝑦−7=0或𝑥−𝑦+1=0或3𝑥−4𝑦=0【变式1-1】（2022·福建·高二阶段练习）过（1，2），（5，3）的直线方程是（）A．𝑥+4𝑦+7=0B．𝑥

−4𝑦+7=0C．4𝑥+𝑦+7=0D．4𝑥−𝑦+7=0【变式1-2】（2022·全国·高二专题练习）过点𝑃(√3,−2√3)且倾斜角为135°的直线方程为（）A．3𝑥−𝑦−5√3=0B．𝑥−𝑦+√3=0C．𝑥+𝑦−√3=0D．𝑥+𝑦+√3=0【变式1-3】（2

022·全国·高二课时练习）已知直线𝑙的倾斜角为60∘，且经过点(0,1)，则直线𝑙的方程为（）A．𝑦=√3𝑥B．𝑦=√3𝑥−2C．𝑦=√3𝑥+1D．𝑦=√3𝑥+3【题型2直线过定点问题】【方法点拨】(1)直接法：将已知的方程转化为点斜式、斜截式或截距式方程，进

而得到定点的坐标.(2)方程法：将已知的方程中含有参数的项放到一起，整理成关于参数的方程，若直线过定点，则其解就是动直线所过定点的坐标.【例2】（2021·广东东莞·高二阶段练习）直线𝑘𝑥−𝑦+1=3𝑘，当𝑘变动时，所有直线恒过定点坐标为（）A．(0,0)B

．(0,1)C．(3,1)D．(2,1)【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）直线(2𝑘−1)𝑥−𝑦−1=0所过定点的坐标为（）A．(0,12)B．(12,0)C．(−1,0)D．(0,−1)【变式2-2】（2021·全国·高二专题练习）直线𝑙在𝑥轴上，𝑦轴上的截距

的倒数之和为常数1𝑘，则该直线必过定点（）A．(0,0)B．(1,1)C．(𝑘,𝑘)D．(1𝑘,1𝑘)【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）下列有关直线𝑙:𝑥+𝑚𝑦−1=0(𝑚∈𝑅)的说法中正确的是（）．A．直线𝑙的斜率为−𝑚B．直线𝑙的斜率为−1𝑚C．直线

𝑙过定点(0,1)D．直线𝑙过定点(1,0)【题型3求与已知直线垂直的直线方程】【方法点拨】(1)一般地，与直线垂直的直线方程可设为；过点与直线垂直的直线方程可设为.(2)利用互相垂直的直线的斜率之间的关系求出斜率，再用点斜式写出直线方程(针对两直线斜率均存在且不为零的情况).【

例3】（2022·河南·高二阶段练习）过点𝑃(4,−2)且与直线3𝑥−4𝑦+6=0垂直的直线方程是（）A．4𝑥−3𝑦−19=0B．4𝑥+3𝑦−10=0C．3𝑥−4𝑦−16=0D．3𝑥+4𝑦−8=0【变式3-1】（2022·

全国·高二专题练习）过点𝑃(−1,2)且与直线𝑥−2𝑦+1=0垂直的直线方程为（）A．2𝑥+𝑦+4=0B．2𝑥+𝑦=0C．𝑥+2𝑦−3=0D．𝑥−2𝑦+5=0【变式3-2】（2022·江苏·高二课时练习）若△𝐴𝐵�

�的三个顶点为𝐴(1,0)，𝐵(2,1)，𝐶(0,2)，则BC边上的高所在直线的方程为（）．A．3𝑥+2𝑦−3=0B．2𝑥−𝑦−2=0C．2𝑥−𝑦+1=0D．2𝑥+𝑦−2=0【变式3-3】（2021·河南·高三开学考试

（文））已知点𝐴(1,2)，𝐵(3,1)，则线段AB的垂直平分线方程为（）A．4𝑥+2𝑦−5=0B．4𝑥−2𝑦−5=0C．𝑥+2𝑦−5=0D．𝑥−2𝑦−5=0【题型4求与已知直线平行的直线方程】【方法点拨】(1)一般地，方

程中系数A，B决定直线的斜率，因此，与直线平行的直线方程可设为()，这是常用的解题技巧.当时，直线与重合.(2)一般地，经过点且与直线平行的直线方程可设为.(3)利用平行直线的斜率相等求出斜率，再用点斜式求出直线方程.【例4】（202

2·江苏·高二阶段练习）过点𝐴(2,3)且与直线𝑙:2𝑥−4𝑦+7=0平行的直线方程是（）A．𝑥−2𝑦+4=0B．𝑥−2𝑦−4=0C．2𝑥−𝑦+1=0D．𝑥+2𝑦−8=0【变式4-1】（2022·全国·高二）与直线𝑥+𝑦−1=0平行，且经过点（

2，3）的直线的方程为（）A．𝑥−𝑦+1=0B．𝑥+𝑦+5=0C．𝑥+𝑦−5=0D．𝑥−𝑦−1=0【变式4-2】（2021·广东·高二期中）若直线𝑙1：2𝑥−3𝑦+4=0与𝑙2互相平行，且𝑙2过点(2

,1)，则直线𝑙2的方程为（）A．3𝑥−2𝑦−2=0B．3𝑥−2𝑦+2=0C．2𝑥−3𝑦−1=0D．2𝑥−3𝑦+1=0【变式4-3】（2021·天津市高二阶段练习）与直线𝑦=−2𝑥+3平行，且与直线𝑦=3𝑥+4交于𝑥轴上的同一点的直线方程是（）

A．𝑦=−2𝑥+4B．𝑦=12𝑥+4C．𝑦=−2𝑥−83D．𝑦=12𝑥−83【题型5根据两直线平行或垂直求参数】【方法点拨】(1)考虑直线的斜率是否存在，若斜率都存在，则依据斜率间的关系求解.(2)已知两直线垂直求解参数时，需要注意

斜率是不是零.【例5】（2022·全国·高二课时练习）已知直线𝑙1过(0,0)、(1,−3)两点，直线𝑙2的方程为𝑎𝑥+𝑦−2=0，如果𝑙1//𝑙2，则𝑎值为（）A．-3B．13C．−13D．3【变式5-1】（2022·重庆八中高

一期末）已知直线x＋y＋1＝0与直线2x－my＋3＝0垂直，则m＝（）A．2B．12C．－2D．−12【变式5-2】（2022·山东·高二阶段练习）已知条件𝑝：直线𝑥+𝑦+1=0与直线𝑥+𝑎2𝑦−1=0平行，条件𝑞:𝑎=−1，则𝑝是𝑞的（）A．充要

条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【变式5-3】（2021·山西·高二阶段练习（文））若直线𝑎𝑥−𝑦−2=0与直线(𝑎+4)𝑥+𝑎𝑦+1=0垂直，则𝑎=（）A．0B．−3C．0或−3D．0

或3【题型6直线方程的实际应用】【方法点拨】根据实际情况建立直角坐标系，然后分析直线斜率是否存在，结合实际条件进行求解，注意结果要满足实际情境.【例6】（2021秋•徐汇区校级期中）为了绿化城市，准备在如

图所示的区域ABCDE内修建一个矩形PQRD的草坪，其中∠AED＝∠EDC＝∠DCB＝90°，点Q在AB上，且PQ∥CD，QR⊥CD，经测量BC＝70m，CD＝80m，DE＝100m，AE＝60m．（1）如图建立直角坐标系，求

线段AB所在直线的方程；（2）在（1）的基础上，应如何设计才能使草坪的占地面积最大，确定此时点Q的坐标并求出此最大面积（精确到1m2）【变式6-1】（2022•封开县校级模拟）如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3

）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．【变式6-2】（2021春•达州期末）图1是台球赛实战的一个截图．白球在A点处击中一球后，直线到达台球桌内侧边沿点B，反弹后

直线到达台球桌内侧另一边沿点C，再次反弹后直线击中桌面上点D处一球．以台球桌面内侧边沿所在直线为坐标轴建立如图2所示的平面直角坐标系．已知A（1，1），B（0.4，0）．（1）求直线AB的方程；（2）若点D的坐标是(𝑥0，76)，求x0.（提示：直

线AB与直线BC的斜率互为相反数，DC∥AB．）【变式6-3】（2022春•惠州期末）t∈R，且t∈（0，10），由t确定两个任意点P（t，t），Q（10﹣t，0）．（1）直线PQ是否能通过下面的点M（6

，1），点N（4，5）；（2）在△OPQ内作内接正方形ABCD，顶点A、B在边OQ上，顶点C在边PQ上，顶点D在边OP上．①求证：顶点C一定在直线y=12x上．②求下图中阴影部分面积的最大值，并求这时顶点A、B、C、D的坐标．