【文档说明】安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期开学考试数学（理）试题 含答案.docx，共(22)页，1.378 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年度第二学期开年考试卷高三理科数学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡

一并交回。第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．设集合31Axyx==+，124xBx=，则()RAB=Ið（）A．B．12xx

−C．1xx−D．112xx−−2．已知复数2022ii34iaz+=−（aR，i为虚数单位）为实数，则a的值为（）A．34−B．34C．43D．43−3．已知向量()(

)(),1,2,,1,2axbyc===−，且//ac，bc⊥，则2ab−=（）A．3B．10C．11D．234．2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了甲､乙､丙､丁四名工作人员到A

，B，C三个村调研脱贫后的产业规划，若每个村至少去1人，则甲单独被分到A村的概率为（）A．16B．13C．12D．345．已知定义在R上的函数()fx满足(3)(3)fxfx+=−，且当(0,3)x时，()exfxx=，

则下列结论中正确的是（）A．()(e)(ln3)4fffB．()(ln3)(e)4fffC．()4(e)(ln3)fffD．()(ln3))4(efff6．已知函数e,0(),0exxxxfxxx−

=，则不等式(1)(ln)fxfx−的解为（）A．(0,1)B．(1,e)C．(1,)+D．(e,)+7．已知函数()()sinfxAx=+（0A，0，2）的部分图象如图所示，则下列四个结论中正确的是（）A．若,02x−，则函数

f(x)的值域为11,2−B．点,03−是函数f（x）图象的一个对称中心C．函数f（x）在区间,02−上是增函数D．函数f（x）的图象可以由函数cos2yx=的图象向右平移12个单位长度得到8．若变量x，

y满足20204xyxyy+−−+，则目标函数2zxy=−的最小值为（）A．-10B．-6C．-4D．-89．某村的农民经济收入由养殖业收入､种植业收入和第三产业收入构成.在贯彻落实乡村振兴政策的帮扶下，该村

农民每年的收入都比上一年的收入翻一番，该村前三年的收入情况如图所示，则下列说法正确的是（）A．该村2020年总收入是2018年总收入的3倍B．该村近三年养殖业收人不变C．该村2018年种植业收入是2020年种植业收入的720D．该村2020年第三产业收入低于前两年的第三产业收入之和10．如图，圭

表是中国古代通过测量日影长度来确定节令的仪器，也是作为指导汉族劳动人民农事活动的重要依据，它由“圭”和“表”两个部件组成，圭是南北方向水平放置测定表影长度的刻板，表是与圭垂直的杆，正午时太阳照在表上，通过测量此时表在圭上的影长来确定节令.已知冬至

和夏至正午时，太阳光线与圭所在平面所成角分别为，，测得表影长之差为l，那么表高为（）A．tantantantanl−B．()tantantantanl−C．tantantantanl−D．()tantantantanl−1

1．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1；第二次取2个连续偶数2，4；第三次取3个连续奇数5，7，9；第四次取4个连续偶数10，12，14，16，；第五次取5个连续奇数17，19，21，23，25；按此规律取下去，得到一个数列1，2，4

，5，7，9，10，12，14，16，17，19，…，则在这个数列中第2021个数是（）A．3976B．3974C．3978D．397312．已知P为抛物线2:2(0)Eypxp=上一动点，F为E的焦点，点

Q为圆22430xxy−++=上一动点，若||||PFPQ+的最小值为3，则p=（）A．5B．4C．3D．2第II卷非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．已知向量(4,5),(2,0),(,1)abc=−=−=−，若(2)abc−⊥，则实数=_

__________.14．已知函数()fx满足：当1x时，(2)(2)fxfx+=−+；当(3,1]x−时，()|1|2fxx=+−；当1x时，()log(1)afxx=−（0a且1a）．若函数()fx的图象上关于原点对称的点至少有3对，有如

下四个命题：①()fx的值域为R．②()fx为周期函数．③实数a的取值范围为(2,)+．④()fx在区间[5,3]−−上单调递减．其中所有真命题的序号是__________．15．我国无人机技术处于世

界领先水平，并广泛民用于抢险救灾、视频拍摄、环保监测等领域．如图，有一个从地面A处垂直上升的无人机P，对地面B，C两受灾点的视角为BPC，且1tan3BPC=，无人机对地面受灾点D的俯角为30°．已知地面上三处受灾点B

，C，D共线，且90ADB=，1kmBCCD==，则无人机P到地面的距离PA=______km．16．在平面直角坐标系xOy中，动直线kx－y+2k＝0，x＋ky－2＝0(k∈R)的交点P的轨迹为C．若直线l与轨迹C交于点M，N，且满足O

MON＝1，则点O到直线l的距离的平方的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17.（本题满分12分）已知数列na中，()*1221,3,1,Nnnaaakakn+===，233445,

,aaaaaa+++成等差数列.（1）求k的值和na的通项公式；（2）设*3212log,Nnnnabna+=，求数列nb的前n项和为nS.18．（本题满分12分）某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一

次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”､“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得

分)20,40)40,60)60,8080,100频数6x24y（1）若测试的同学中，分数段)20,40､)40,60､)60,80､80,100内女生的人数分别为2人､8人､16人､4人，完成22列联表，并判断：是

否有99%以上的把握认为性别与安全意识有关？等级性别不合格合格总计男生女生总计（2）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取10人进行座谈，现再从这10人任选4人，记所选4人

的量化总分为X，求X的分布列及数学期望()EX；（3）某评估机构以指标()()(EXMMDX=，其中()DX表示X的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若0.7M，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应吊证安全教育方案.在（2）的条件下，判断该校是否应调整安全教育

方案？附表及公式：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.150.100.050.0250.0100k2.0722.7063.8415.0246.63519．（本题满分12分）如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，平面PA

B⊥平面,222ABCDABPAPBBC===，E，F分别是,PACD的中点.（1）求证：EF//平面PBC；（2）求二面角EBFC−−的余弦值.20．（本题满分12分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率12e=，椭圆上的点与左

、右顶点所构成三角形面积的最大值为23．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过椭圆C右焦点的直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，满足122kk=−，1l交C于点,EF，2l交C于点,GH，线段EF与GH的中点分别为

,MN．判断直线MN是否过定点，若过定点求出该定点；若不过定点，请说明理由．21．（本题满分12分）已知函数2()(2)ln(0)fxaxaxxa=−++.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若存在[1,)x+，使得()e0fx+

成立，求实数a的取值范围.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为224xtyt==（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为πsin324−=．（1）写出1

C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）设点P在1C上，点Q在2C上，求PQ的最小值及此时点P的直角坐标．23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()212fxxaxa=++−−．（1）当1a=−时，求不等式()2fx的解集；（2）若对任意xR，()2fx恒成立，求实数a的取值

范围．参考答案1．D【详解】设集合331101==+=+=−Axyxxxxx，21122242−===−xxBxxxx，则1|2=−RBxxð，所以()1|12=−−RABxxIð.故选：D

.2．C【详解】20221i1i4i1434i331i3aaza−+−+=−===−−−+，故选：C.3．B【详解】向量()()(),1,2,,1,2axbyc===−，由//ac得：21x−=，即12x=−，由bc⊥得：220y−=，即1y=，于是得1

(,1)2a=−，()2,1b=r，2(3,1)ab−=−，所以222(3)110ab−=−+=.故选：B4．A【详解】甲､乙､丙､丁4人分到三个不同的村，每个村至少分1人的方法数是2343CA，其中甲被单独分到A村的方法数是223

2CA，因此所求概率2232234316CACAP==.故选：A.5．B【详解】∵(3)(3)fxfx+=−∴(4)(2)ff=，当(0,3)x时，()exfxx=，∴()()ee1exxxfxxx=+=+，故()0fx∴()fx在(0,3)内单调递增，又0ln32e3

，∴()(ln3)(e)2fff，所以()(ln3)(e)4fff故选：B．6．A【详解】当0x时，0x−，则()()e()exxxfxxfx−−=−−==；当0x时，0x−，则()e()e

xxxfxxfx−−−==−=，当0x=时，(0)0f=.综上()fx为偶函数.又当0x时，()(1)e0xfxx+=−，所以()fx在[0,)+上为减函数.由(1)(ln)fxfx−，得(1)(ln)fxfx−，所以1lnxx−，设1yx=−与lny

x=相切于点(,)mn，则11lnmnm==，解得10mn==，所以1yx=−与lnyx=相切于点(1,0)，函数1,lnyxyx=−=的图象如图所示则满足题意的x的取值范围是(0,1).故选：A.7．A【详解】由题

图及五点作图法得1A=，512+=，2332+=，则2=，6π=，故()sin26fxx+=.由,02x−，得52,666x+−

，故()1sin21,62fxx=+−，函数f(x)在区间,02−上不是增函数，故A正确，C错误；∵当3x=−时，262x+=−，所以点,03−不是函

数f(x)图象的一个对称中心，故B错误；由cos2sin22yxx==+，将函数cos2yx=的图象向右平移12个单位长度得到sin2122yx=−+sin23x=+的图象，故D

错误.故选：A．8．A【详解】由题设，约束条件可得如下可行域：要使2zxy=−的最小，即其所对应的直线在与可行域有交点的情况下，在x轴上的截距最小即可，∴当2zxy=−过上图中的A时，目标函数的值最小，而(2,4)A−，∴22410z=−−=−.故选：A

.9．C【详解】对于A：假设2018年的收入为a，则2019年的收入为2a，2020年的收入为4a，该村2020年总收入是2018年总收入的4倍，故A错误；对于B：近三年的养殖业收入分别为0.2,0.4,0.8aaa，故B错

误；对于C：2018年的种植业收入为0.7a，2020年的种植业收入为2a，故C正确；对于D：该村2020年第三产业收入为1.2a，前两年的第三产业收入之和为0.5a，故D错误.故选：C10．C【详解

】如图，设表高ABx=，在ACD△中，CAD=−，由正弦定理有sinsinsin()ACCDlCAD==−，所以sinsin()lAC=−，在直角三角形ABC中，sinABAC=，即sinsinsinsinsinsin()sincoscossinlxACl

===−−tan1tantan1tantantanll−==−.故选：C11．C【详解】由题意可得，奇数次取奇数个数，偶数次取偶数个数，前n次共取了()11232nnn+++++=个数，且第n次取的最后一个数为2n，当63

n=时，()6363120162+=，即前63次共取了2016个数，第63次取的数都为奇数，并且最后一个数为2633969=，即第2016个数为3969，所示当64n=时，依次取3970，3972，3974，3976，3978，…，所以第2021

个数是3978，故选：C12．B【详解】22430xxy−++=可转化为22(2)1xy−+=，则圆心为(2,0)M，半径为1.因为||||PFPQ+的最小值为3，点Q为圆22(2)1xy−+=上一动点，设抛物线2:2(0)Eypxp=的准线为l，则l的方程为：2px=−过点P作PHl⊥,H为垂

足，则PFPH=如图，则12pPFPQPHPQQG+=++.由132p+=，可得4p=，故选：B13．53−【详解】由题意得2(6,10)ab−=−.又因为()2abc−⊥，所以610(1)0−+−=.解得53=−.故答案为：53−14．①③【详解】

根据题意作出函数()fx的部分图象如图：（实线部分）对于①，因为当1x时，()log(1)afxx=−（0a且1a），此时函数值域为R，故①正确；对于②，当1x时，()log(1)afxx=−（0a且1a）不是周期函数，故②错误；对于③，函数()fx的图象上关于原点对称的

点至少有3对，那么()log(1)afxx=−的图象与0x时的函数图象关于原点对称的曲线（图中虚线部分）至少有三个，则需满足：1log(51)2aa−，解得2a，故③正确；对于④，由(3,1]x−时，()|1|2fxx=+−知，[1,1]x−时，()1fxx=-为增函数，再

由当1x时，(2)(2)fxfx+=−+可知当1x时，(4)()fxfx+=，故()fx在区间[5,3]−−上的情况和[1,1]x−时相同，也为增函数，故④，故答案为：①③15．0.5或1【详解】由题意可知，∵PA⊥面ABD,BD面ABD，∴PABD⊥,又∵BDAD⊥,∴BD⊥面PA

D，∴BDPD⊥,设PAx=，由已知得30PDA=，则2PDx=，在Rt△PBD中，()tantantantan1tantanBPDCPDBPCBPDCPDBPDCPD−=−=+，由21tan2BPDxx==，1tan2CPDx=得，211121312xxx−=+

，整理得22310xx−+=，解得：1x=或0.5，故答案为：0.5或1.16．123,42+【详解】当0x时，则0kxy-=，得ykx=，代入20xky+−=中，有220yxx+−=，整理为2220xyx+−=，经检验(0,0)不是两动直线的交点，故

交点P的轨迹为2220xyx+−=，且0x.由对称性，设直线l：ymxn=+，与2220xyx+−=联立，得222(1)(22)0mxmnxn++−+=，设1122(,),(,)MxyNxy，222

2=(22)4(1)021mnmnnmn−−++，则212122222,11mnnxxxxmm−+==++，则2212121212(1)()1OMONxxyymxxmnxxn=+=++++=

，所以有2222222(1)111nmnmmnnmm−+++=++，化简整理得22221mnnm+=+，O到直线l的距离的平方为22222122nndmnmn==++，若0n=，则201m=+，矛盾，故2121dmn=+，设mtn=，则

()()222121221ntntt++−=，故221222220ttttt++−+−，故131t−，故()2112342223d+=−，故答案为：123,42+.17．（1）3k=，()()1**3,21,3,2,knknkkN

ankkN−=−==（2）323443nnnS+=−，*nN（1）∵23aa+，34aa+，45aa+成等差数列()()()()34234534aaaaaaaa+−+=+−+即4253aaaa−=−，得()()2311akak−=−又∵1k，∴3

23aa==，从而313aka==所以()()1**3,21,3,2,knknkkNankkN−=−==（2）由（1）得3212log3nnnnanba+==，∴231123133333nnnnnS−−=+++++23111213

3333nnnnnS+−=++++两式相减，得231121111111333333233nnnnnnnS++=++++−=−−∴323443nnnS+=−，*nN.18．（1）由频率分布直方图可知，得分在)20,40的频率为0.005200.1=，故抽取的学

生答卷总数6600.1=，∴600.212y==，18x=，性别与合格情况的22列联表为：等级性别不合格合格总计男生141630女生102030总计243660∵()226014201016106.635303024369K−

==∴没有99%的把握认为性别与安全意识有关.（2）“不合格”和“合格”的人数比例为24:362:3=，因此抽取的10人中“不合格”有4人，“合格”有6人，所以X可能的取值为0，5，10，15，20，()4441001210CCPX===，()1364410

4535CCPXC===，()22644101037CCCPX===，()341641081521CCPXC===，()4641011204CCPX===，故X的分布列为：X20151050P114821374351210所以()1834120151050121421735210EX=

++++=（3）由（2）知：()()()221120120121614210DX=−++−=，∴()()1230.7164EXMDX===，故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案.19．（

1）取AB的中点O，连接,OEOF，因为E，F分别是,PACD的中点，所以//,//OEPBOFBC，由于OE平面PBC，PB平面PBC，所以//OE平面PBC，由于OF平面PBC，BC平面PBC，//OF平面PBC，由于OEOFO=，所以平面//OEF平面PBC，又E

F平面OEF，所以//EF平面PBC.（2）连接OP，因为PAPB=，所以OPAB⊥，因为平面PAB⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，可得,,OFOBOP两两垂直.以,,OFOBOP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系.不妨设1BC=，则2,2ABPAPB===，故1

,1OPOBOF===.所以11(0,1,0),(1,0,0),0,,22BFE−，所以31(1,1,0),0,,22BFBE=−=−设平面BEF的法向量为(,,)mxyz=，则0,0mBFmBE==.故030xyyz−=−+=，取1xy==，则

3z=，得(1,1,3)m=又因为平面ABCD的法向量为(0,0,1)n=，故3311cos,1111mn==.由已知二面角EBFC−−为钝角，故二面角EBFC−−的余弦值为31111−.20．（1）22143xy+=；（2）直线MN过定点8,011

.（1）设右焦点(),0Fc，0c，由题知2221,223,,caababc===+求得2a=，3b=，1c=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=．（2）设()11:

1klyx=−，()22:1lykx=−，联立直线1l与椭圆C的方程得()1221,1,43ykxxy=−+=消去y得，()22221114384120kxkxk+−+−=，由根与系数的关系知211221843kxxk+

=+，则2121214243xxkk+=+，代入直线1l的方程得121213243yykk+−=+，所以211221143,4343kkMkk−++，同理得222222243,4343kkNkk

−++．①当直线MN的斜率存在时，设直线:MNlymxn=+，将点M，N的坐标代入直线MNl，得()()21122244330,44330,mnkknmnkkn+++=+++=易知1k，2k为方程()244330mnkkn

+++=的两个根，由根与系数的关系知12344nkkmn=+，由题知122kk=−，所以3244nmn=−+，得811nm=−，所以直线88:1111MNlymxmmx=−=−，所以直线MN过定点8,011．②

当直线MN的斜率不存在时，22122212444343kkkk=++，即2212kk=，所以12kk=−，且122kk=−．不妨设12k=，22k=−，所以22122212448434311kkkk==++，即直线8:11MNx=，满足过定点8,011．

综上，直线MN过定点8,011．21．（1）已知函数2()(2)lnfxaxaxx=−++，定义域为(0,)+，212(2)1(1)(21)()2(2)axaxaxxfxaxaxxx−++−−=−++==，①当02a

时，112a，x10,21211,2a1a1,a+()fx+0-0+()fx递增极大值递减极小值递增()fx在110,,,2a+上单调递增，在11,2a上单调递减；②当2a=时，2142()0xfxx−

=，函数()fx在(0,)+单调递增；③当2a时，112a，x10,a1a11,2a121,2+()fx+0-0+()fx递增极大值递减极小值递增()fx在110,,,2a+上单调递增，在11,2a上单调递减.综

上所述，02a时，()fx在110,,,2a+上单调递增，在11,2a上单调递减；2a=时，()fx在(0,)+单调递增；2a时，()fx在110,,,2a+

上单调递增，在11,2a上单调递减.（2）若存在[1,)x+，使得()e0fx+成立，即使得mine()fx−.由（1），可知当1a时，()fx在[1,)+上单调递增，()min(1

)2ffx==−，不满足mine()fx−；当01a时，11ax11,a1a1,a+()fx-0+()fx递减极小值递增min11()1lnfxfaaa==−−−，所以e11lnaa−−−−，即1ln1eaa+

−，令1()ln(01)gxxxx=+，∴22111()0xgxxxx−==−，∴1()lngxxx=+在(0,1)上单调递减，又∵1e1eg=−，由1ln1eaa+−，得10ea.综上，实数a的取值范围为10,e

.22．（1）因为曲线1C的参数方程为224xtyt==（t为参数），即4yt=，代入可得28yx=，即曲线1C的普通方程为28yx=．因为曲线2C的极坐标方程为πsin324−=，即ππsincoscossin3244−=，即sin

cos6−=，因为siny=，cosx=，所以6yx−=，所以曲线2C的直角坐标方程为60xy−+=．（2）设()22,4Ptt，则()22,4Ptt到直线60xy−+=的距离()()222224621211ttdt−+==−++−．所以当1t=时，min

22d=，此时()2,4P，即PQ的最小值为22．23．（1）当1a=−时，()12fxxx=−−+，由()2fx，得122xx−−+，则()()2122xxx−−−++或()()21122xxx−−−

−+或()1122xxx−−−，解得2x−≤或322x−−或x，所以原不等式解集为3,2−−．（2）因为()()()21221241fxxaxaxaxaa=++−−++−−=+，所以()2fx对任意xR恒成立()max2fx，所以

412a+，即2412a−+，解得3144a−，所以实数a的取值范围是31,44−．