【文档说明】安徽省滁州市定远县育才学校2021-2022学年高三下学期开学考试数学（文）试题 含答案.docx，共(20)页，1.215 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年度第二学期开年考卷高三文科数学本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后，将本试卷和

答题卡一并交回。第I卷选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1．已知全集{1,2,3,4,5,6},{2,3,4},{4,5,6}UPQ===，则集合()UPQ=ð（）A．{5,6}

B．{1,5,6}C．{1,2,3,4}D．{1,4,5,6}2．已知复数z满足()1i4iz+=，则z=（）A．2B．2C．22D．423．已知命题p：“2x且3y”是“5xy+”的充要条件；命题q：0Rx，曲线()3fxxx=−在点()()00,xfx

处的切线斜率为1−，则下列命题为真命题的是（）A．()pqB．()pqC．pqD．()pq4．已知函数()()3log99xfxx=+−，设910af=，9101ebf−=−

，11eln10cf=，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cbaC．bacD．cab5．已知定义域为R的函数()fx的图象关于y轴对称，且满足()()30fxfx−−−=．若曲线()yfx=在()6,2处切线的斜率

为4，则曲线()yfx=在点()()2022,2022f处的切线方程为（）A．48086yx=−B．48086yx=−−C．180864yx=−D．180964yx=−−6．已知函数()2sin26fxxm=+−，70,6x有三个不同的零点1x，2x，3

x，且123xxx，则()1232mxxx++的范围为（）A．55,63B．55,63C．510,33D．510,337．已知平面向量,,,1,2abcabc===，若0abc++=，则a与b的夹角的余弦值

为（）A．12−B．14−C．14D．128．若实数x，y满足约束条件2202030xyxyxy−++−+，则232zxy=−+的最大值为（）A．-6B．-3C．65−D．-99．某几何体的三视图（单位：cm）

如图所示，则该几何体的体积（单位：3cm）是（）A．73B．83C．3D．810．已知抛物线()220ypxp=的焦点()2,0F，过焦点F的直线l交抛物线于,AB两点，若(),2Mm是线段AB的中点，则下列结论不正确的是（）A．4p=B．准线方程为2x=

−C．10AB=D．点M到准线的距离为611．笼子中有2只鸡和2只兔，从中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出.如果将两只兔子中的某一只起名为“长耳朵”，则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率为（）A．16B．12C．13D．1412．通信卫星与经济发展、军事国防等密切

关联，它在地球静止轨道上运行，地球静止轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为hkm（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球（球心为O，半径为rkm），地球上一点A的纬度是指OA与赤道平面所

成角的度数，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个仰角为的地面接收天线（仰角是天线对准卫星时，天线与水平面的夹角），若点A的纬度为北纬30，则tan=（）A．23rrh−+B．23rrh++C．23hrh−+D．23hrh++第II卷非选

择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．已知2:340,:3pxxqxm−−−，若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_________．14．已知圆O的半径是3，P是圆O内一动点，且2OP

=，AB、是圆O上的两个动点.若60APO=，则APAB的取值范围是___________.15．已知定义域为R的函数()fx的图象关于y轴对称，且满足()()30fxfx−−−=．若曲线()yfx=在()6,

2处切线的斜率为4，则曲线()yfx=在点()()2022,2022f处的切线方程为______．16．某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相关性，在生产过程中收集了对应数据如表所示：x3456y234m根据表中数据，得出y

关于x的回归直线方程为0.6ˆˆyxa=+.据此计算出在样本()4,3处的残差为0.15−，则表中m的值为__________.（注：残差是实际观察值与估计值之间的差，ˆˆˆybta=+）三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤。)17.（本题满分12分）已知数列na满足1222nnaaaa=−，*nN．（1）求1a的值并证明数列11na−是等差数列；（2）求数列na的通项公式并证明：213na．18．（本题满分12分）某小区物业为了让业主有一个良好的居住环境，特制定业主满

意度电子调查表，调查表有生活服务､小区环境等多项内容，将每项内容进行分值量化，调查表分值满分为100分.物业管理人员从中随机抽取了100份调查表将其分值作为样本进行统计，作出频率分布直方图如下.（1）根据频率

分布直方图填写各分值段的业主人数表（不必说明理由）：分值[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数（2）在选取的100位业主中，男士与女士人数相同，规定分值在70分以上为满意，低于70分为不满意，据统计有32位男士满意.请列出列联表，并判断是否有95

%的把握认为“业主满意度与性别有关”？（3）在（2）条件下，物业对满意度分值低于70分的业主进行回访，用分层抽样的方式选出8位业主进行座谈，并从中随机抽取2人为监督员，求恰好抽到男女各一人为监督员的概率.附：22()()()()()nadbcKa

bcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKK0.100.050.0100.0050.0010K2.7063.8416.6357.87910.82819．（本题满分12分）如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，平面PAB⊥平面,,1ABCDPAPBPAPBBC

⊥===，E，F分别是,PACD的中点.（1）求证：EF平面PBC：（2）求点P到平面BEF的距离.20．（本题满分12分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率12e=，椭圆上的点与左、右顶点所构

成三角形面积的最大值为23．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过椭圆C右焦点的直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，满足122kk=−，1l交C于点,EF，2l交C于点,GH，线段EF与GH的中点分别为,MN．判断直线MN是否过定点，若过定点

求出该定点；若不过定点，请说明理由．21．（本题满分12分）已知函数1()1ln()fxaxax=++R.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若()1fx，求a的取值范围.22.（本题满分10分）选修

4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为22xtyt==（t为参数），以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为42cossin−=．（1）求曲线C的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，求以AB为直

径的圆的极坐标方程．23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()223fxxax=−−+，()2gxx=−.（1）当1a=时，解不等式()2fx；（2）若()()fxgx在0,1x时有解，求实数a的取值范围.参考答案1．D【详

解】(){1,5,6},{1,4,5,6}UUPPQ==痧.故选：D2．C【详解】由已知可得()()()()4i1i4i2i1i22i1i1i1iz−===−=+++−，因此，222222z=+=.故选：C.3．D【详解】若2x且3y，则

有5xy+，反之，若5xy+，如1x=且5y=，而2x且3y不成立，即“2x且3y”是“5xy+”的充分不必要条件，于是得p是假命题，由()3fxxx=−求导得：()231fxx=−，由()200311fxx=−=−得

：00x=，即存在00x=，曲线()3fxxx=−在点(0,0)处的切线斜率为1−，q是真命题，pq是真命题，()pq是假命题，A不正确；q是假命题，()pq是假命题，B不正确；pq是假命题，C不正确；p是真命题，()pq是真命题.

故选：D4．D【详解】∵()()3log99xfxx=+−，∴()()()()()13331log991log911log331xxxxfxxx+−+=+−+=+−+=++令()()()31=log331,Rx

xFxfxx−=+++，()()()3log331xxFxFx−−=++=，()Fx为偶函数，令33xxy−=+，设120xx，则()121212121212333333331xxxxxxxxxxyy+−−+−=−+−

−−=，因为120xx−，120xx+，1231xx+，所以()121212103333xxxxxx++−−，所以12yy，所以33xxy−=+在()0,+是增函数，又3log

yx=为增函数，所以()()3log331xxFx−=++在()0,+上为增函数，所以911101010afFF==−=，9991010101eeebfFF−−−=−=−=，11e11ln=ln1010cfF

=由()e1xgxx=−−，得()e1xgx=−，当0x时()0gx；当0x时()0gx，所以()()00gxg=，当且仅当0x=时取等号，所以()e10xxx+，故91091e11010−−+=，∴ba，令(

)()=ln10txxxx−+，()()11=10xtxxxx−−=，当1x时()0tx；当01x时()0tx，所以()()10txt=，当且仅当1x=时取等号，()ln11xxx−，11111ln1101010−=，ac.综

上.bac故选：D5．A【详解】令π26zx=+，当70,6x时，π5π,62z，π5πsin,62yzz=的图象如图所示，由对称性可知1223π,3πzzzz+=+=，

∴12324πzzz++=,又∵()123123123π2π2242226363zzzxxxxxx++=+++++=+++，∴1235π23xxx++=，)0,12m,故)0,2m，∴()12310π20,?3mxxx++,故选：D.7．B【

详解】由0abc++=，可得cab=−−rrr，所以2222()2cabaabb=−−=++，即4124ab=++，所以12ab=−，设,ab的夹角为，则112cos24||||abab−===−,故选：B.8．B【详解】作出不等式组2202030xyxyxy−++−

+表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点(4,1)A−−，(1,2)B−，目标函数232zxy=−+，即2233zyx−=−表示斜率为23，纵截距为23z−−的平行直线系，作直线02:3lyx=，平移直线0l到直线1l，当直线1l过点A时，直线1l的

纵截距23z−−最小，z最大，所以max2(4)3(1)23z=−−−+=−.故选：B9．B【详解】由三视图可知原几何体是底面边长为2，高为2的四棱锥，如图所示，所以该几何体的体积为1822233=，故选：B10．D【详解】因为抛物线()220ypxp=

的焦点()2,0F，所以22p=，得4p=，准线方程为2x=−，抛物线方程为28yx=，所以AB正确，设1122(,),(,)AxyBxy，则2118yx=，2228yx=，两式相减得2221218()yyxx−=−，所以()()2121218()yyyyxx+−

=−，所以2121218824yyxxyy−===−+，所以直线l的斜率为2，所以直线l的方程为2(2)yx=−，代入抛物线方程整理得2640xx−+=，所以126xx+=，所以1210ABxxp=++=，所以C正确，由126xx+=，得1232xx+=，所以()

3,2M，所以点M到准线的距离为5，所以D错误，故选：D11．D【详解】把2只鸡记为1a，2a，2只兔子分别记为“长耳朵”H和短耳朵h，则从笼中依次随机取出一只动物，直到4只动物全部取出，共有如下24种不同的取法

：12(,,,)aaHh，12(,,,)aahH，12(,,,)aHah，12(,,,)aHha，12(,,,)ahHa，12(,,,)ahaH21(,,,)aaHh，21(,,,)aahH，21(,,,)aHah，21(,,,)aHha，21(,,,)ahaH，21(,,,)ahHa1

2(,,,)Haah，12(,,,)Haha，21(,,,)Haah，21(,,,)Haha，12(,,,)Hhaa，21(,,,)Hhaa12(,,,)haaH，12(,,,)haHa，21(,,,)h

aaH，21(,,,)haHa，12(,,,)hHaa，21(,,,)hHaa其中“长耳朵”H恰好是第2只被取出的动物，则共有6种不同的取法.则“长耳朵”恰好是第2只被取出的动物的概率61244P==故选：D12．A【详解】如图：30AOB=，CA

D=，BCh=，在RtAOD中3tan303ADOAr==，23cos303OAODr==，所以2323333BDODOBrrr−=−=−=，2333CDBCBDhr−=−=−，因为180903060ADO=−−=，所以1806012

0ADC=−=，18012060ACD=−−=−，在ACD△中，由正弦定理可得：sinsinCDADCADACD=即()233333sinsin60hrr−−=−，所以233313cossinsin3223hrr−−−=,整理可得：

332cossin22hrrrh+−+=，所以sin3322tan3coshrrrrhrh+−===−++，故选：A.13．)4,+【详解】∵由2340xx−−，得14x−，由p是q的充分不必要条件知：3x

m−有解，故0m，即原不等式可化为：3mxm−−，解得：33mxm−+，设14Axx=−，33Bxmxm=−+，p是q的充分不必要条件，A是B的真子集,则03134mmm−−+且等

号不同时成立，解得：4m≥，故m的取值范围是)4,+．故答案为：)4,+.14．[326,946]−+【详解】根据题意，P在以O为圆心，半径为2的圆上，所以在AOP中，2,3,60OPOAAPO===，由余弦定理得222251cos242OPAPOAA

PAPOOPAPAP+−−===，解得16AP=+，所以()()22APABAPPBPAPAPBPAPAPOOBPA=−=−=−+22coscos,PAPOPAOBPAPAPOPAAPOOBPAOBPA=−−=−−()()()2162

16cos60316cos,OBPA=+−+−+()66316cos,OBPA=+−+，所以当cos,1OBPA=时，APAB取得最小值，()66316326+−+=−；当cos,1OBPA=−时，APAB取得最大值，()66316946+++=+；

所以APAB的取值范围是[326,946]−+故答案为：[326,946]−+15．48086yx=−【详解】因为()()3fxfx−=−，且函数()fx是R上的偶函数，则()()3fxfx−=，故函数()fx为周期函数，且周期为3，

则()()3fxfx=−，故函数()fx也为周期函数，且周期为3，由已知可得()()()20223366662fff=+==，()()()20223366664fff=+==，因此，曲线()yfx=在点()(

)2022,2022f处的切线方程为()242022yx−=−，即48086yx=−.故答案为：48086yx=−.16．4.8【详解】根据样本()4,3处的残差为0.15−，即()ˆ30.640.15a−+=−，可

得ˆ0.75a=，即回归直线方程为0.6075ˆ.xy=+，又由样本数据的平均数为34569234,424mxy++++++===，得92340.60.7524m++++=，解得4.8m=.故答案为：4.817．（1）解：当1n=时，1122aa

=−，123a=，当2n时，1222nnaaaa=−；121122nnaaaa−−=−，两式相除得()1121nnnaana−−=−，整理为：()11112111nnnnanaaa−==−−−−，即()

1111211nnnaa−−=−−，∴11na−为等差数列，公差1d=；（2）证明：由（1）得121nna=+−，整理得：()1N*2nnann+=+，∵111122nnann+==−++，又∵na单调递增，∴123naa=，所以213na.18．（1）根据频率

分布直方图知，分值在区间[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]内的频率分别为：0.12，0.16，0.20，0.24，0.18，0.10，各分值段的业主人

数为：分值[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数121620241810（2）由(1)及已知得22列联表如下：不满意满意总计男183250女302050总计48521002K的观测值

为：22100(30321820)755.7693.8415050485213K−==，所以有95%的把握认为“业主满意度与性别有关”.（3）由(2)知满意度分值低于70分的业主有48位，其中男士18位女士3

0位，用分层抽样方式抽取8位业主，其中男士3位女士5位，记男士为a，b，c，记女士为1，2，3，4，5，从中随机抽取两位为监督员事件为：,,1,2,3,4,5,,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,12,13,14,15,23,24,2

5,34,35,45abacaaaaabcbbbbbccccc，共计28个基本事件，其中抽到男女各一人有1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5aaaaabbbbbccccc，共15个基本事件，所以恰好抽到男女各一人为监督员的概率为1528P=.19．（

1）取AB的中点O，连接,OEOF，因为E，F分别是,PACD的中点，所以,OEPBOFBC∥∥，故OE∥平面,PBCOF∥平面PBC，,,OEOFOOEOF=平面OEF,因此，平面OEF∥平面PBC，又EF平面OEF，所以E

F∥平面PBC.（2）连接OP，因为,1PAPBPAPB⊥==，E是PA的中点，所以PBE△的面积为1124PBESPBPE==，222ABPAPB=+=，由（1）知OFAB⊥，因为平面PAB⊥平面ABCD，所以OF⊥平面PAB，又1OFBC==,所以三棱锥FPBE−的体积113

12FPBEPBEVSOF−==，在BCF△中，1222FCAB==，所以2262BFBCFC=+=；在PBE△中，2252BEPBPE=+=；在FOEV中，1122OEPB==，所以2252EFOFOE=+=，

在BEF中，EFEB=，故底边BF上的高为：2211424EFBF−=，所以BEF的面积为：1614212248BEFS==.设点P到平面BEF的距离h，则三棱锥PBEF−的体积为13PBEFBEFVSh−=，又因为11

2PBEFFPBEVV−−==，所以11211238h=，解得22121h=，所以点P到平面BEF的距离为22121.20．（1）设右焦点(),0Fc，0c，由题知2221,223,,caababc===+求得2a=，3b=，1c=，所以椭圆C的标准方程为2214

3xy+=．（2）设()11:1klyx=−，()22:1lykx=−，联立直线1l与椭圆C的方程得()1221,1,43ykxxy=−+=消去y得，()22221114384120kxkxk+−+−=，由根与系数的关系知211221

843kxxk+=+，则2121214243xxkk+=+，代入直线1l的方程得121213243yykk+−=+，所以211221143,4343kkMkk−++，同理得222222243,4343kkNkk

−++．①当直线MN的斜率存在时，设直线:MNlymxn=+，将点M，N的坐标代入直线MNl，得()()21122244330,44330,mnkknmnkkn+++=+++=易知1

k，2k为方程()244330mnkkn+++=的两个根，由根与系数的关系知12344nkkmn=+，由题知122kk=−，所以3244nmn=−+，得811nm=−，所以直线88:1111MNlymxmmx=−

=−，所以直线MN过定点8,011．②当直线MN的斜率不存在时，22122212444343kkkk=++，即2212kk=，所以12kk=−，且122kk=−．不妨设12k=，22k=−，所以22122212448434311kkkk==++，

即直线8:11MNx=，满足过定点8,011．综上，直线MN过定点8,011．21．（1）函数1()1lnfxaxx=++的定义域为(0,)+，2211()aaxfxxxx−=−=，当0a时，21()0,()axfxfxx

−=在定义域上单调递减；当0a时，21()axafxx−=，当10,xa时，()0,()fxfx单调递减，当1,xa+时，()0,()fxfx单调递增.综上所述，0a时，()fx在定义域(0,)+上单调递减；0a时，()fx

在10,a上单调递减，在1,a+单调递增.（2）当=0a时，函数11()10ln=1fxxxx=+++，,()0x+，()1fx符合题意，由（1）可知，当0a时，()fx在定义域(0,)+上单调递减，所以11

1e1eaaf−−=，故不满足()1fx.当0a时，()fx在10,a上单调递减，在1,a+单调递增，要想满足()1fx，满足min1()1fxfa=即可.∵11lnfaaaa=+−，∴11fa

即ln0aaa−，化简得ln1a，即0ea，综以a的取值范围是[0,e].22．（1）由22xtyt==(t为参数)，得22xtyt==(t为参数)，消去t得24yx=，所以曲线C的普通方程为24yx=.（2）由42cossin−=得直线l的直角坐标

方程：24xy−=，由2424yxxy=−=解得12xy==−或44xy==，不妨令点()1,2A−，()4,4B，则AB中点坐标为5,12，45AB=，以AB为直径的圆的直角坐标方程为22545()(1)24xy−+−=，即225240xyxy

+−−−=，将cosx=，siny=，代入得25cos2sin40−−−=，所以以AB为直径的圆的极坐标方程是25cos2sin40−−−=.23．（1）{|1}xx−（2）[5,8]−（1）当1a=时，34,231()212342,2214

,2xfxxxxxx−=−−+=−−−−，当32x−时，()2fx恒成立，当3122x−时，由422x−−，得312x−−，综上，1x−所以不等式()2fx的解集为{|1}xx−.（2）()()fxg

x，即2232xaxx−−+−，又因为0,1x，则2232xaxx−−−−，整理得25xax−+，则525xxax−−−+，即535xax−+在0,1x有解，则58a−所以实数a的取值范

围为[5,8]−