【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练29　数学归纳法 Word版含解析.docx，共(3)页，33.244 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-f1a2f0624380744819970bb34f34e00d.html

以下为本文档部分文字说明：

考点规范练29数学归纳法一、基础巩固1.对于不等式√𝑛2+𝑛<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,√12+1<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,不

等式成立,即√𝑘2+𝑘<k+1,则当n=k+1时,√(𝑘+1)2+(𝑘+1)=√𝑘2+3𝑘+2<√(𝑘2+3𝑘+2)+(𝑘+2)=√(𝑘+2)2=(k+1)+1.故当n=k+1时,不等式成立.在上述证明中,()A.过程全部正确B.对于当n=1时结

论的推理不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确答案:D解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法.2.用数学归纳法证明:1+12+13+14+…+12𝑛-1≤n(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,不等式成立.(2)假设

当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即有1+12+13+14+…+12𝑘-1≤k,那么当n=k+1时,左边=1+12+13+14+…+12𝑘-1+12𝑘+12𝑘+1+…+12𝑘+1-1≤k+1

2𝑘+12𝑘+1+…+12𝑘+1-1,又12𝑘+12𝑘+1+…+12𝑘+1-1<12𝑘×2k=1,即1+12+13+14+…+12𝑘-1+12𝑘+12𝑘+1+…+12𝑘+1-1≤k+1,

即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,对于任意n∈N*,1+12+13+14+…+12𝑛-1≤n都成立.3.已知数列{xn},{yn}满足x1=5,y1=-5,2xn+1+3yn=7,6xn+yn+

1=13.求证:xn=3n+2,yn=1-2×3n(n∈N*).证明:(1)当n=1时,x1=5,31+2=5,y1=-5,且1-2×31=-5,即等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即xk=3k+2,yk=1-2×3k,那么当n=k+1时,由2xk+1+3yk=7,

得xk+1=12(7-3yk)=7-3(1-2×3𝑘)2=4+2×3𝑘+12=2+3k+1;由6xk+yk+1=13,得yk+1=13-6xk=13-6(3k+2)=1-2×3k+1;故当n=k+1时,等式也成立.由(1)(2)可知,xn=3n+2,yn=1-2×3n对一切n

∈N*都成立.二、综合应用4.设平面内有n(n∈N*,n≥3)条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=;当n>4时,f(n)=(用n表示).答案:512(n+1)(n-2)解析:由题意知f(3)=2,f(4

)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数,即f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4,猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n≥4),则f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1),故f(n)=12(n+1)(n-2).5.用数学归纳

法证明:1-12+13−14+…+12𝑛-1−12𝑛=1𝑛+1+1𝑛+2+…+12𝑛(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=1-12=12,右边=12,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1-12+13−14+…+12𝑘-1−

12𝑘=1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘,那么当n=k+1时,1-12+13−14+…+12𝑘-1−12𝑘+12(𝑘+1)-1−12(𝑘+1)=1𝑘+1+1𝑘+2+…+12𝑘+12𝑘+1−12𝑘+2=1𝑘+2+…+12𝑘+12𝑘+1+1

𝑘+1−12𝑘+2=1𝑘+2+1𝑘+3+…+12𝑘+1+12𝑘+2=1(𝑘+1)+1+1(𝑘+1)+2+…+12(𝑘+1)-1+12(𝑘+1),故当n=k+1时,等式也成立.根据(1)(2)可知,等

式对于任何n∈N*都成立.6.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn+2,数列{bn}满足b1=1,bn+1=𝑏𝑛2+bn,其中n∈N*.(1)证明:数列{an}是等比数列;(2)记Tn=𝑏12+𝑏22+…+𝑏𝑛2,证明:Sn-2Tn≤2.证明:(1)已知

Sn+1=2Sn+2,当n≥2时,Sn=2Sn-1+2,两式相减,得an+1=2an(n≥2).又S2=2S1+2=2a1+2=6,即a1+a2=6,所以a2=6-a1=4,即𝑎2𝑎1=2,故数列{an}是首项

为2,公比为2的等比数列.(2)Sn=2(1-2𝑛)1-2=2n+1-2,要证明Sn-2Tn≤2,即证明2n+1-2-2Tn≤2,即Tn≥2n-2,①当n=1时,T1=𝑏12=1,21-2=0,此时T1>21-2成立,②假设n=k

时,不等式成立,即Tk≥2k-2,那么当n=k+1时,Tk+1=𝑏12+𝑏22+…+𝑏𝑘2+𝑏𝑘+12≥2k+𝑏𝑘+12-2,由bn+1=𝑏𝑛2+bn,知bn+1-bn=𝑏𝑛2>0,所以bn+1>bn≥b1=1.由bn+1=𝑏𝑛2+bn,知𝑏

𝑛+1𝑏𝑛=bn+1≥2.所以bk+1=b1·𝑏2𝑏1·…·𝑏𝑘+1𝑏𝑘≥2k.所以Tk+1=𝑏12+𝑏22+…+𝑏𝑘2+𝑏𝑘+12≥2k+𝑏𝑘+12-2≥2k+1-2成立,综上①②可知,不等式Sn-2T

n≤2对任何n∈N*都成立.三、探究创新7.设数列{an}的前n项和为Sn,且(𝑆𝑛-1)2=anSn(n∈N*),设bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn.(1)求S1,S2,S3的值;(2)猜想数列{an}的

前n项和Sn,并用数学归纳法加以证明;(3)求数列{Tn}的通项公式.解:(1)由(𝑆𝑛-1)2=anSn,令n=1,则(𝑆1-1)2=𝑆12,解得S1=12;当n≥2时,由an=Sn-Sn-1,得(𝑆�

�-1)2=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn(2-Sn-1)=1.令n=2,得S2=23;令n=3,得S3=34,即S1=12,S2=23,S3=34.(2)由(1)知S1=12,S2=23,S3=34,猜想Sn=𝑛𝑛+1(

n∈N*).下面用数学归纳法证明:①当n=1时,S1=12,11+1=12,猜想成立.②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即Sk=𝑘𝑘+1,那么当n=k+1时,由(1)知Sk+1=12-𝑆�

�=12-𝑘𝑘+1=𝑘+1𝑘+2=𝑘+1(𝑘+1)+1,即当n=k+1时,猜想也成立.由①②可知,猜想对于任何n∈N*都成立.(3)由(2)知a1=12.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=𝑛𝑛+1−

𝑛-1𝑛=1𝑛(𝑛+1),且a1=12符合上式,即an=1𝑛(𝑛+1).又bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1,所以bn=(-1)n+1(n+1)2·1𝑛(𝑛+1)·1(𝑛+1)(𝑛+2)=(-1

)𝑛+1𝑛(𝑛+2)=(-1)𝑛+12×(1𝑛-1𝑛+2).当n为偶数时,Tn=12×[(1-13)−(12-14)+(13-15)−(14-16)+…+(1𝑛-1-1𝑛+1)−(1𝑛-1�

�+2)]=12×(1-1𝑛+1-12+1𝑛+2)=12×[12-1(𝑛+1)(𝑛+2)];当n为奇数时,Tn=Tn-1+bn=12×[12-1𝑛(𝑛+1)]+12(1𝑛−1𝑛+2)=12×[12+1(𝑛+1)(𝑛+2)].

综上可得Tn=12[12+(-1)𝑛+1(𝑛+1)(𝑛+2)].