【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.3 椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲 Word版含解析.docx，共(16)页，409.916 KB，由管理员店铺上传

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专题3.3椭圆的简单几何性质-重难点题型精讲1．椭圆的范围设椭圆的标准方程为(a>b>0)，研究椭圆的范围就是研究椭圆上点的横、纵坐标的取值范围.(1)从形的角度看：椭圆位于直线x=a和y=b所围成的矩形框里.(2)从数的角度看：

利用方程研究，易知=1-≥0，故≤1，即-a≤x≤a；=1-≥0，故≤1，即-b≤y≤b.2．椭圆的对称性(1)从形的角度看：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.(2)从数的角度看：在椭圆的标准方程(a>b>0)中以-y代替y，方程并不改变，这说明当点P(x,y)在椭圆上时

，它关于x轴的对称点(x,-y)也在椭圆上，所以椭圆关于x轴对称；同理，以-x代替x，方程也不改变，所以椭圆关于y轴对称；以-x代替x，以-y代替y，方程也不改变，所以椭圆关于原点对称.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是

椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫作椭圆的中心.3．椭圆的顶点与长轴、短轴以椭圆的标准方程(a>b>0)为例.(1)顶点令x=0，得y=b；令y=0，得x=a.这说明(-a,0)，(a,0)是椭圆与x轴的两个交点，(0,-b),(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.因为x轴、y轴是椭圆的对称轴，所以椭

圆与它的对称轴有四个交点，这四个交点叫作椭圆的顶点.(2)长轴、短轴线段，分别叫作椭圆的长轴和短轴.长轴长=2a，短轴长=2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长.4．椭圆的离心率(1)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率.用e表示，即e=.(2)离心率的范围：0<e

<1.(3)椭圆离心率的意义：椭圆离心率的变化刻画了椭圆的扁平程度.当e越接近于1时，c越接近于a，从而b=越小，因此椭圆越扁；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b=越接近于a，因此椭圆越接近于圆；当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.5．椭圆的几何性质的挖掘(1

)椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径，通径长为=.说明：无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为.(2)椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的

两个端点.(3)椭圆的焦半径a.焦半径定义：椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径.b.焦半径公式：已知点P在椭圆上，且，分别是左(下)、右(上)焦点，当焦点在x轴上时，=a+，=a-；当焦点在y轴上时，=a+，=a-.

【题型1利用椭圆的几何性质求标准方程】【方法点拨】(1)利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：a.确定焦点的位置；b.设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；c.根据已知条件构造关于参数的关系式

，利用方程(组)求参数.列方程(组)时常用的关系式有，e=等.(2)在椭圆的简单几何性质中，轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置，因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个.【例1】（2022·河南·高三阶段练

习（文））已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的焦距为2，离心率𝑒=12，则椭圆𝐶的标准方程为（）A．𝑥22+𝑦2=1B．𝑥24+𝑦2=1C．𝑥24+𝑦23=1D．𝑥216+𝑦212=1【解题思路】由已知

条件可得𝑐与𝑎的值，进而得𝑏的值，然后得标准方程.【解答过程】由于2c=2,所以c=1,又因为𝑒=𝑐𝑎=12，故𝑎=2，𝑏2=𝑎2−𝑐2=3，所以椭圆的标准方程为：𝑥24+𝑦23=1

.故选：C.【变式1-1】（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为13，𝐴1,𝐴2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若𝐵𝐴1→⋅𝐵𝐴2→

=−1，则C的方程为（）A．𝑥218+𝑦216=1B．𝑥29+𝑦28=1C．𝑥23+𝑦22=1D．𝑥22+𝑦2=1【解题思路】根据离心率及𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1，解得关于𝑎2,𝑏2的等量关系式，即

可得解.【解答过程】解：因为离心率𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑏2𝑎2=13，解得𝑏2𝑎2=89，𝑏2=89𝑎2，𝐴1,𝐴2分别为C的左右顶点，则𝐴1(−𝑎,0),𝐴2(𝑎,0)，B为上顶点，所以𝐵(0,𝑏).所以𝐵𝐴1⃑⃑

⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(−𝑎,−𝑏),𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑎,−𝑏)，因为𝐵𝐴1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐵𝐴2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1所以−𝑎2+𝑏2=−1，将𝑏2=89𝑎2代入，解得𝑎2=9,𝑏2=8，故椭圆的方程

为𝑥29+𝑦28=1.故选：B.【变式1-2】（2022·全国·高二课时练习）焦点在𝑦轴上，长轴长为10，离心率为35的椭圆的标准方程为（）A．𝑥2100+𝑦264=1B．𝑦2100+𝑥264=1C．𝑥225+𝑦216=1D．𝑥216+𝑦225=

1【解题思路】根据长轴长算出𝑎后，由离心率可得𝑐的值，从而可得椭圆的标准方程.【解答过程】因为长轴长为10，故长半轴长𝑎=5，因为𝑒=𝑐𝑎=35，所以半焦距𝑐=3，故𝑏2=𝑎2−𝑐2=25−9=16，又焦点在𝑦轴上，所以椭

圆的标准方程为𝑦225+𝑥216=1，故选：D.【变式1-3】（2022·全国·高二课时练习）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为√32，且过点(2,0)的椭圆方程是（）A．𝑥24+𝑦2=1B．𝑥24+𝑦2=1或𝑥2+𝑦2

4=1C．𝑥24+𝑦216=1D．𝑥24+𝑦2=1或𝑥24+𝑦216=1【解题思路】讨论焦点在𝑥轴和𝑦轴两种情况，根据已知计算即可得出结果.【解答过程】当椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，由

离心率为√32，∴𝑏2=𝑎2−𝑐2=14𝑎2∵椭圆过点（2，0），∴22𝑎2+02𝑏2=1，∴𝑎2=4，∴𝑏2=1，∴椭圆标准方程为𝑥24+𝑦2=1当椭圆的焦点在y轴上，同理易得：𝑥24+𝑦216=1故选：D.【题型2椭圆的焦距与长轴、短轴】【方法点拨】根据已知条件，结合

椭圆的焦距与长轴、短轴等知识，进行求解即可.【例2】（2022·全国·高二课时练习）椭圆𝐶:𝑥216+𝑦24=1的长轴长、短轴长和焦点坐标依次为（）．A．8，4，(±2√3,0)B．8，4，(0,

±2√3)C．4，2，(±2√3,0)D．4，2，(0,±2√3)【解题思路】根据椭圆中长轴长、短轴长和焦点坐标的定义可答案.【解答过程】在椭圆𝐶:𝑥216+𝑦24=1中，𝑎=4,𝑏=2,𝑐=√𝑎2−𝑏2=2√3，所以椭圆𝐶:�

�216+𝑦24=1的长轴长为2𝑎=8、短轴长为2𝑏=4，焦点坐标为(±2√3,0)，故选：A.【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆𝑥2+2𝑦2=2与2𝑥2+𝑦2=1，则两个椭圆（）A．有相

同的长轴与短轴B．有相同的焦距C．有相同的焦点D．有相同的离心率【解题思路】根据椭圆的标准方程，可得𝑎,𝑏,𝑐以及离心率的值，即可求解.【解答过程】将椭圆方程𝑥2+2𝑦2=2整理得𝑥22+𝑦2=1，其焦点在𝑥轴上，𝑎1=√

2，𝑏1=1，则𝑐1=√𝑎12−𝑏12=1，所以𝑒1=𝑐1𝑎1=1√2=√22．将椭圆方程2𝑥2+𝑦2=1整理得𝑥212+𝑦2=1，其焦点在𝑦轴上，𝑎2=1，𝑏2=√22，则𝑐2=√𝑎22−𝑏22=

√22，所以𝑒2=𝑐2𝑎2=√221=√22，故选:D．【变式2-2】（2021·重庆市高二阶段练习）椭圆𝑥237+𝑦212=1的焦距为（）A．2√3B．5C．4√3D．10【解题思路】根据椭圆的方程求得𝑎,𝑏,𝑐的值，即可求得焦距2𝑐的值，得到答案.【解答过程】由椭

圆𝑥237+𝑦212=1，可得𝑎2=37,𝑏2=12，则𝑐=√𝑎2−𝑏2=5，所以椭圆的焦距为2𝑐=10.故选：D.【变式2-3】（2022·全国·高二课时练习）若椭圆𝑥225+𝑦29=1与椭圆𝑥225−𝑘+𝑦29−𝑘=1(𝑘

<9,𝑘≠0)，则两椭圆必定（）．A．有相等的长轴长B．有相等的焦距C．有相等的短轴长D．长轴长与焦距之比相等【解题思路】分别求出椭圆𝑥225+𝑦29=1与椭圆𝑥225−𝑘+𝑦29−𝑘=1(0<𝑘<9)的长轴长、短轴长、焦距、焦点

坐标和离心率，由此能求出结果．【解答过程】解：椭圆𝑥225+𝑦29=1，可知𝑎=5，𝑏=3，𝑐=4，∴长轴长是10，短轴长是6；焦距是8；焦点坐标是(±4,0)；离心率是：45．椭圆𝑥225−

𝑘+𝑦29−𝑘=1(𝑘<9,𝑘≠0)中，∵𝑎1=√25−𝑘，𝑏1=√9−𝑘，𝑐1=4，∴长轴长是2√25−𝑘，短轴长是2√9−𝑘；焦距是8；焦点坐标是(±4,0)；离心率是4√25−𝑘．∴椭圆𝑥225+𝑦29=1与椭圆𝑥225−𝑘+𝑦29−𝑘=1(�

�<9,𝑘≠0)关系为有相等的焦距．故选：B．【题型3求椭圆的离心率或其取值范围】【方法点拨】求椭圆的离心率通常有如下两种方法：①若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，求出a，c的值，利用公式e=直接求解；②若椭圆方程未知，则根据条件及几何图形建立a，

b，c，e满足的关系式，化为a，c的齐次方程，得出a，c的关系或化为e的方程求解，此时要注意e∈(0,1).【例3】（2022·江苏·高二阶段练习）已知椭圆𝐶:𝑥2𝑚+𝑦24=1的焦距是2，则离心率e的值是（）A．√55

B．12或√55C．12或√32D．√55或2√55【解题思路】对焦点所在位置进行分类讨论，利用𝑎2=𝑏2+𝑐2、𝑒=𝑐𝑎进行求解.【解答过程】因为椭圆𝐶:𝑥2𝑚+𝑦24=1的焦距是2，所以𝑐=1，当椭圆焦点在𝑥轴上，𝑚=4+1=5，所以𝑒=𝑐𝑎=1√5=√55，

当椭圆焦点在𝑦轴上，4=𝑚+1，所以𝑒=𝑐𝑎=12，故A，C，D错误.故选：B.【变式3-1】（2022·安徽蚌埠·一模）若椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦24=1(𝑎>2)上存在两点𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)(𝑥1≠𝑥2)到点𝑃(𝑎5,0)的距离相等，则

椭圆的离心率的取值范围是（）A．(0,√55)B．(√55,1)C．(0,√33)D．(√33,1)【解题思路】利用点差法可得直线AB的斜率，从而可得AB垂直平分线直线方程，由点P在AB垂直平分线上，结合AB的中点在椭圆内可解.【解答过程】

记𝐴𝐵中点为𝑄(𝑚,𝑛)，则𝑥1+𝑥2=2𝑚,𝑦1+𝑦2=2𝑛，由题意点𝑃(𝑎5,0)在线段𝐴𝐵的中垂线上，将𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)(𝑥1≠𝑥2)坐标代入椭圆方程得𝑥12𝑎2+𝑦124=1,𝑥22𝑎2+𝑦22

4=1两式相减可得𝑥12−𝑥22𝑎2+𝑦12−𝑦224=0，所以−4𝑎2=𝑦12−𝑦22𝑥12−𝑥2=𝑦1−𝑦2𝑥1−𝑥2×𝑦1+𝑦2𝑥1+𝑥2=𝑘𝐴𝐵×𝑛𝑚，得𝑘�

�𝐵=−4𝑚𝑎2𝑛，所以𝐴𝐵的中垂线的方程为𝑦−𝑛=𝑎2𝑛4𝑚(𝑥−𝑚)，令𝑦=0得𝑥0=𝑎2−4𝑎2𝑚=𝑎2−4𝑎×𝑚𝑎=𝑎5，由题意，|𝑚|<𝑎,𝑎>2，故𝑎2−4𝑎>𝑎5，所以𝑎2>5,所以𝑒=𝑐𝑎=√1−4𝑎

2>√1−45=√55故选：B.【变式3-2】（2022·江西省高二阶段练习）设椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为𝐹1，𝐹2，点M，N在C上（M位于第一象限），且点

M，N关于原点O对称，若|𝑀𝑁|=|𝐹1𝐹2|，2√2|𝑀𝐹2|=|𝑁𝐹2|，则C的离心率为（）A．√24B．12C．6√2−37D．3√2−37【解题思路】设|𝑀𝐹2|=𝑥，则|𝑀𝐹1|=2𝑎−𝑥，利用勾股定理求出𝑥=𝑎−√𝑎2

−2𝑏2，再解方程3(𝑎−√𝑎2−2𝑏2)=2𝑐即得解.【解答过程】解：依题意作下图，由于|𝑀𝑁|=|𝐹1𝐹2|，并且线段MN，𝐹1𝐹2互相平分，∴四边形𝑀𝐹1𝑁𝐹2是矩形，其中∠𝐹1𝑀�

�2=𝜋2，|𝑁𝐹1|=|𝑀𝐹2|，设|𝑀𝐹2|=𝑥，则|𝑀𝐹1|=2𝑎−𝑥，根据勾股定理，|𝑀𝐹1|2+|𝑀𝐹2|2=|𝐹1𝐹2|2，(2𝑎−𝑥)2+𝑥2=4𝑐2，整理得𝑥2−2𝑎𝑥+2𝑏2=0，由于点M在

第一象限，𝑥=𝑎−√𝑎2−2𝑏2，由2√2|𝑀𝐹2|=|𝑁𝐹2|，得|𝑀𝑁|=3|𝑀𝐹2|，即3(𝑎−√𝑎2−2𝑏2)=2𝑐，整理得7𝑐2+6𝑎𝑐−9𝑎2=0，即7𝑒2+6𝑒−9=0，解得𝑒=6√2−37

.故选：C．【变式3-3】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)上存在点𝑃，使得|𝑃𝐹1|=3|𝑃𝐹2|，其中𝐹1，𝐹2分别为椭圆的左、右焦点，则该

椭圆的离心率的取值范围是（）A．(0,14]B．(14,1)C．(12,1)D．[12,1)【解题思路】先由椭圆的定义结合已知求得|𝑃𝐹1|,|𝑃𝐹2|，再由|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|≤|𝐹1𝐹2|求得𝑎,𝑐的不等关系，即可求得离心率的取值范围.【解答过程】由椭圆的定义得|�

�𝐹1|+|𝑃𝐹2|=2𝑎，又∵|𝑃𝐹1|=3|𝑃𝐹2|，∴|𝑃𝐹1|=32𝑎，|𝑃𝐹2|=12𝑎，而|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|≤|𝐹1𝐹2|=2𝑐，当且仅当点𝑃在椭圆右顶点时等号成立，即32𝑎−12𝑎≤2

𝑐，即𝑎≤2𝑐，则𝑒=𝑐𝑎≥12，即12≤𝑒<1.故选：D．【题型4根据椭圆的离心率求参数】【方法点拨】根据椭圆的离心率和已知条件及几何图形建立a，b，c，e满足的关系式，得出含有参数的有关a，c的关系式或化为e的方程，即可求解，此时要注意e∈(0

,1).【例4】（2022·全国·高三专题练习）若椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2=1(𝑎>0)的离心率为√22，则𝑎的值为（）A．√2B．12C．√2或√22D．√2或12【解题思路】分𝑎2>1和𝑎2<1，利用离心率的定义求解.【解答过程】解：当𝑎

2>1，即𝑎>1时，则𝑎2−1𝑎2=(√22)2，解得𝑎=√2；当𝑎2<1，即0<𝑎<1时，则1−𝑎21=(√22)2，解得𝑎=√22，综上：𝑎的值为√2或√22，故选：C.【变式4-1】（2022·甘肃定西·高二开学考试（理））如果椭圆𝑥2𝑘+8+𝑦29=1(𝑘>−8)

的离心率为𝑒=12，则𝑘=（）A．4B．4或−54C．−45D．4或−45【解题思路】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．【解答过程】解：

因为椭圆𝑥2𝑘+8+𝑦29=1(𝑘>−8)的离心率为𝑒=12，当𝑘+8>9时，椭圆焦点在𝑥轴上，可得：𝑎=√𝑘+8,𝑏=3,∴𝑐=√𝑎2−𝑏2=√𝑘−1,∴𝑒=√𝑘−1√𝑘+8=12，解得𝑘=

4，当0<𝑘+8<9时，椭圆焦点在𝑦轴上，可得：𝑎=3,𝑏=√𝑘+8,∴𝑐=√𝑎2−𝑏2=√1−𝑘,∴𝑒=𝑐𝑎=√1−𝑘3=12，解得𝑘=−54．∴𝑘=4或𝑘=−54.故选：B．【变式4-2】（2021·甘肃·高二阶段练习（理））“𝑚=8”是“椭圆

𝑥2𝑚+𝑦24=1的离心率为√22”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解题思路】椭圆𝑥2𝑚+𝑦24=1离心率为√22，可得：𝑚>4时，√1−4m=√22，或0<𝑚<4时，√1−𝑚4=√22，解得m即可判

断出结论．【解答过程】椭圆𝑥2𝑚+𝑦24=1离心率为√22，可得：𝑚>4时，√1−4m=√22，∴𝑚=8；0<𝑚<4时，√1−𝑚4=√22，∴𝑚=2总之𝑚=8或2．∴“𝑚=8”是“椭圆𝑥2𝑚+𝑦24=1离心率为√22”的充分不必要条件．故选：A．【变式

4-3】（2022·全国·高二课时练习）设𝑒是椭圆𝑥2𝑘+𝑦24=1的离心率，且𝑒∈(12,1)，则实数𝑘的取值范围是A．(0,3)B．(3,163)C．(0,2)D．(0,3)∪(163,+∞)【解题思路】利用椭圆的离心率公式进行求解即可.【解答过程】当焦点在x轴时𝑒=√𝑘−4√

𝑘∈(12,1)，∴𝑘−4𝑘∈(14,1),∴𝑘∈(163,+∞)，当焦点在y轴时𝑒=√4−𝑘2∈(12,1)∴𝑘∈(0,3)，所以实数𝑘的取值范围是(0,3)∪(163,+∞).故选：D.【题型5椭圆中的最值问题】【方法点拨】求解此类问题一

般有以下两种思路：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，

将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.【例5】（2020·广西·高二阶段练习（文））若点𝑂和点𝐹分别为椭圆𝑥24+𝑦23=1的中心和左

焦点，点𝑃为椭圆上点的任意一点，则𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐹𝑃⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（）A．5B．6C．7D．8【解题思路】设点𝑃(𝑥0,𝑦0)，可得出𝑦02=3−34𝑥02，且有−2≤𝑥0≤2，利用平面向量的数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求

得𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐹𝑃⃑⃑⃑⃑⃑的最大值.【解答过程】由椭圆方程得𝐹(−1,0)，设𝑃(𝑥0,𝑦0)，则𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐹𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=(𝑥0,𝑦0)⋅(𝑥0+1,𝑦0)=𝑥02+𝑥0+𝑦02，∵𝑃为椭圆𝑥24+𝑦23=1上一点，𝑥02

4+𝑦023=1，可得𝑦02=3−34𝑥02，且有−2≤𝑥0≤2，∴𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐹𝑃⃑⃑⃑⃑⃑=𝑥0⬚2+𝑥0+3−3𝑥024=𝑥024+𝑥0+3=14(𝑥0+2)2+2．因为−2≤𝑥0≤2，当𝑥0=2时，𝑂𝑃⃑⃑⃑⃑⃑⋅𝐹𝑃⃑⃑⃑

⃑⃑取得最大值6.故选：B.【变式5-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆C：𝑥29+𝑦2𝑏2=1(𝑏>0)上的动点P到右焦点距离的最小值为3−2√2，则𝑏=（）A．1B．√2C．√

3D．√6【解题思路】根据椭圆的性质可得椭圆上的点到右焦点距离最小值为𝑎−𝑐，即可求出𝑐，再根据𝑐2=𝑎2−𝑏2，即可得解；【解答过程】解：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为𝑎−𝑐，即𝑎−𝑐=3−2√2，又𝑎=3，所以𝑐=2√2，由𝑐2=𝑎2−𝑏2，所

以𝑏=1；故选：A.【变式5-2】（2022·重庆八中模拟预测）已知𝐹1，𝐹2分别为椭圆𝐶:𝑥24+𝑦2=1的两个焦点，P为椭圆上一点，则|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|的最大值为（）A．2

B．2√3C．4D．4√3【解题思路】椭圆上的点P满足|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|≤|𝐹1𝐹2|，找到取等时点P位置即可求出最大值.【解答过程】椭圆上的点P满足|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|≤|𝐹1𝐹2|，当点P为𝐹2𝐹1的延长线与C的交点时，|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|达

到最大值，最大值为|𝐹1𝐹2|=2√3．故选：B.【变式5-3】（2022·河南洛阳·三模（理））已知点𝑀是椭圆𝐶：𝑥24+𝑦23=1上异于顶点的动点，𝐹1，𝐹2分别为椭圆的左、右焦点，𝑂为坐标原点，𝐸为𝑀𝐹1的中点

，∠𝐹1𝑀𝐹2的平分线与直线𝐸𝑂交于点𝑃，则四边形𝑀𝐹1𝑃𝐹2的面积的最大值为（）A．1B．2C．3D．2√2【解题思路】由题，结合角平分线性质与椭圆的性质，𝑆𝑀𝐹1𝑃𝐹2=12(𝑀𝐹1+𝑀𝐹2)ℎ

=2ℎ，ℎ为𝑃到𝑀𝐹2的距离，又𝑂𝐸是△𝐹1𝑀𝐹2的中位线，故2ℎ=𝐹1𝐹2⋅sin∠𝑀𝐹2𝐹1，结合余弦定理，设𝑀𝐹2=𝑡，即可表示出𝑆𝑀𝐹1𝑃𝐹2，即可讨论最值.【解答过程】由图，𝑎2=4,𝑏2=3，𝑐=√𝑎2−𝑏2=1，

故𝐹1𝐹2=2，𝑀𝐹1+𝑀𝐹2=4，又𝑀𝑃平分∠𝐹1𝑀𝐹2，则𝑃到𝑀𝐹1、𝑀𝐹2的距离相等，设为ℎ，则𝑆𝑀𝐹1𝑃𝐹2=12(𝑀𝐹1+𝑀𝐹2)ℎ=2ℎ，设𝑀𝐹2=𝑡，则𝑀𝐹1=4−�

�，cos∠𝑀𝐹2𝐹1=22+𝑡2−(4−𝑡)24𝑡=2−3𝑡，由𝑂𝐸是△𝐹1𝑀𝐹2的中位线，易得2ℎ=𝐹1𝐹2⋅sin∠𝑀𝐹2𝐹1=2√1−(2−3𝑡)2，即𝑆𝑀𝐹1𝑃𝐹2=2√1−(2−3𝑡)2，由椭圆性质易知

，存在点𝑀为椭圆𝐶上异于顶点的动点，使𝑡=32，此时𝑆𝑀𝐹1𝑃𝐹2最大，且为2，故选：B.【题型6椭圆的实际应用问题】对于椭圆的实际应用问题，结合具体条件建立坐标系，得出椭圆的基本量或基本量之间的关系，利用椭圆的性

质进行求解，注意要满足实际情况.【例6】（2021春•浙江期中）如图所示，一个圆柱形乒乓球筒，高为12厘米，底面半径为2厘米．球筒的上底和下底分别粘有一个乒乓球，乒乓球与球筒底面及侧面均相切（球筒和乒乓球厚度忽略不计），一个平面与两个乒乓球均相切，

且此平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，则该椭圆的离心率为（）A．√154B．√32C．2√65D．15【解题思路】设椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0），由题意求出a，b，c，由此能求出该椭圆的离心率．【解答过程】解：不妨设椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏

2=1（a＞b＞0），由题意得{2𝑎=12−4𝑏=2，解得a＝4，b＝2，c=√16−4=2√3，∴该椭圆的离心率为e=𝑐𝑎=2√34=√32．故选：B．【变式6-1】（2021春•山东期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是

离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于−58，则椭圆的离心率为（）A．34B．58C．√74D．√64【解题思路】过

P（x0，y0）且与椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1相切的直线方程为𝑥0𝑥𝑎2+𝑦0𝑦𝑏2=1，利用这一结论分别设出过C点和D点与椭圆相切的直线方程，分别代入A，B坐标，求出C，D的坐标，进而表示出直线AC和直线BD的斜

率，再代入𝑘𝐴𝐶⋅𝑘𝐵𝐷=−58求出a，b的关系式，进而求出离心率．【解答过程】解：设内圈椭圆的方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，外圈椭圆的方程为𝑥2(𝑚𝑎)2+𝑦2(𝑚𝑏)2=1，其中m＞1，则A（﹣ma，0），B（0，mb），设C（xC，yC），D（

xD，yD）．过C点且与内圈椭圆相切的直线方程为𝑥𝐶𝑥𝑎2+𝑦𝑐𝑦𝑏2=1，代入A点坐标，整理得𝑥𝐶=−𝑎𝑚，代入𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1且yC＜0，解得𝑦𝐶=−𝑏√𝑚2−

1𝑚，所以𝑘𝐴𝐶=𝑦𝐶𝑥𝐶+𝑚𝑎=−𝑏𝑎⋅1√𝑚2−1；过D点且与内圈椭圆相切的直线方程为𝑥𝐷𝑥𝑎2+𝑦𝐷𝑦𝑏2=1，代入B点坐标，整理得𝑦𝐷=𝑏𝑚，代入𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1

且xD＞0，解得𝑥𝐷=−𝑎𝑚√𝑚2−1，所以𝑘𝐵𝐷=𝑦𝐷−𝑚𝑏𝑥𝐷=𝑏𝑎⋅√𝑚2−1．所以𝑘𝐴𝐶⋅𝑘𝐵𝐷=−𝑏2𝑎2=−58，𝑒=√1−𝑏2𝑎2=√38=√64．故选：D．【变式6-2】（2021

·江苏南通·高二期中）某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.（1）若最大拱高ℎ为6米，则隧道设计的拱宽𝑙至少是多少米？（结果取整数）（2）如何设计拱高ℎ和拱宽𝑙，才能使半个

椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）参考数据：√11≈3.3，椭圆的面积公式为𝑆=𝜋𝑎𝑏，其中𝑎，𝑏分别为椭圆的长半轴和短半轴长.【解题思路】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，根据对称性𝑏=6，将点(6

,5)代入椭圆方程，即可求解；（2）由点(6,5)在椭圆上或在椭圆内，得36𝑎2+25𝑏2≤1，利用基本不等式，即可求出椭圆的面积𝑆的最小值，根据体积公式，即可求解.【解答过程】（1）建立直角坐标系𝑥𝑂𝑦如图所示，则点𝑃(6,5)

在椭圆𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1上，将𝑏=ℎ=6与点𝑃(6,5)代入椭圆方程，得𝑎=36√11，此时𝑙=2𝑎=72√11≈21.8，因此隧道设计的拱宽𝑙至少是22米.（2）由椭圆方程𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，得36𝑎2+25𝑏2≤1，

因为1≥36𝑎2+25𝑏2≥2×6×5𝑎𝑏，即𝑎𝑏≥60，𝑆=𝜋𝑎𝑏2≥30𝜋，由于隧道长度为1.5千米，故隧道的土方工程量𝑉=1.5𝑆≥45𝜋，当𝑉取得最小值时，有6𝑎=5𝑏且𝑎𝑏=60，得𝑎=6√2，

𝑏=5√2，此时𝑙=2𝑎=12√2≈16.97，ℎ=𝑏≈7.07.①若ℎ=𝑏=8，此时𝑙=2𝑎=17，此时𝑉1=3𝜋𝑎𝑏4=3×17×8𝜋8=51𝜋，②若ℎ=𝑏=7，此时𝑙=

2𝑎=18，此时𝑉2=3𝜋𝑎𝑏4=3×9×7𝜋4=47.25𝜋，因为𝑉1>𝑉2，故当拱高为7米、拱宽为18米时，土方工程量最小.【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知地球绕太阳运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，长

轴长约为3.0×108km，椭圆焦距与长轴长的比约为160．求地球的轨道中心与太阳间的距离以及近日点和远日点到太阳的距离（地球与太阳的半径忽略不计，精确到0.001×108km）．【解题思路】由题意求出𝑎,𝑐，再由椭圆的性质即可得出答案.【解答过程】因为椭圆的长轴长为2𝑎=3.0×10

8km，所以𝑎=32×108km，又因为椭圆焦距与长轴长的比约为160，所以2𝑐2𝑎=𝑐𝑎=160，则𝑐=160×32×108=140×108km，所以地球的轨道中心与太阳间的距离𝑐=160×32×1

08=140×108=0.25×108km，所以近日点到太阳的距离为𝑎−𝑐=(32−140)×108=5940×108=1.475×108km，所以远日点到太阳的距离为𝑎+𝑐=(32+140)×108=6140×108=

1.525×108km.故轨道中心与太阳间距离0.025×108km；近日点到太阳的距离1.475×108km；远日点到太阳的距离1.525×108km.