【文档说明】陕西省渭南市大荔县2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 含解析.doc，共(18)页，3.650 MB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年度第一学期期末教学质量检测试题高二数学（理科）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的．1.在一个命题和它的逆命题，否命题，逆否命题这四个命题中，真命题的个数不可能是（）A.0B.2C.3D.4————C分析：根据四种命题间的关系，可得出答案.解答：在一个命题和它的逆命题，

否命题，逆否命题这四个命题中，互为逆否命题的命题有2对，根据互为逆否命题的两个命题真假性相同，这四个命题中真命个数可以为0、2或4.故选：C.点拨：本题考查四种命题间的关系，考查学生的推理能力，属于基础题.2.不等式2340xx−−+的解集为（）A.()(),41,−−+UB.()()

,14,−−+C.()4,1−D.()1,4−————C分析：把原不等式两边同时乘以1−，把二次项系数化为正值，因式分解后可求得二次不等式的解集．解答：由2340xx−−+可知，得24+30xx−

．()()410xx+−．得41x−．故选：C点拨：本题考查了一元二次不等式的解法，考查了因式分解法，是基础题．3.命题“00x，使得200x”的否定是（）A.20,0xxB.20,0

xxC.2000,0xxD.2000,0xx————A分析：根据特称命题的否定，可直接得出结果.解答：命题“00x，使得200x”的否定是：20,0xx.故选：A.点拨：本题主要考查特称命题的否定，属于基础题型.4.若ab、是满足0ab的实数，那

么下列结论中成立的是（）A.abab−−B.abab−+C.abab+−Dabab+−————D分析：利用特殊值法判断即可.解答：令1,2ab=−=，则3||||3abab−=−=−，||||3abab−=+=，||1||3

abab+=−=，故选：D点拨：本题主要考查了绝对值不等式的大小比较，特殊值法，属于容易题.5.中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截

下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）A.3斤B.6斤C.9斤D.12斤————C分析：根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求234aaa++.

解答：由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为1a，粗的一端的重量为5a，可知12a=，54a=，根据等差数列的性质可知1533263aaaa+===，中间三尺为234339aaaa++==.故选：C点拨：本题考查数列

新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型.6.设变量,xy满足约束条件222yxxyx+−，则3zxy=−的最小值为（）A.7−B.7C.8−D.8————C分析：根据线性约束条件作出可行域，由3zxy=−可得：1133yxz=−，作01:3lyx=，沿着可

行域的方向平移，利用z的几何意义即可求解.解答：作出可行域如图：由3zxy=−可得：1133yxz=−，作01:3lyx=，沿着可行域的方向平移过点A时，3zxy=−取得最小值，由222xyx+==−得()2,2A−，所以min2328z=−−=

−，故选：C点拨：方法点睛：求直线yaxby=+的最值时，一般先化为bzyxab=−+的形式，zb为直线bzyxab=−+在y轴上的截距，当0b时将直线上移z变大，当0b时将直线下移z变大.7.1x是21x的（）A.充分不

必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件————A分析：直接利用充要条件的判定判断方法判断即可．解答：因为“1x”，则“21x”；但是“21x”不一定有“1x”.所以“1x”，是“21x”成立的充分不必要条件．故选A.点

拨：充分条件、必要条件的判定主要有以下几种方法：①定义法：若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②构造命题法：“若p，则q”为真命题，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；③数集转化法：p：xA，q：xB，若AB，则p

是q的充分条件，q是p的必要条件.8.若双曲线221xym−=的焦距为8，则实数m的值是（）A.15B.17C.15D.17————C分析：先根据题意求出4c=，2am=，21b=，利用222cab=+即可求出m的值.解答：由题意

知：28c=，4c=，2am=，21b=，因为222cab=+，所以161m=+，解得：15m=，故选：C9.分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科．其中把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形．分形是一种具有自相似特性的

现象．图象或者物理过程．标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构．也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已.谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数学

家谢尔宾斯基在1915年提出的，其构造方法如下：取一个实心的等边三角形(如图1)，沿三边的中点连线，将它分成四个小三角形，挖去中间的那一个小三角形(如图2)，对其余三个小三角形重复上述过程(如图3)．若图1(阴影部分)的面积为1，则图4(阴影

部分)的面积为（）A.916B.419C.2764D.827————C【分析】通过合情推理判断出所求阴影部分的面积.解答：由于图1阴影部分的面积为1，图2的阴影部分的面积为33144=，图3的阴影部分面积为334

4，所以图4的阴影部分的面积为3332744464=.故选：C.点拨：本小题主要考查合情推理与演绎推理，属于基础题.10.如果满足ax=，2b=，60B=的ABC有两个，那么x的取值范围为（）A.02

xB.2xC.4323xD.4323x————C分析：根据正弦定理得到43sin3xA=，根据三角形有两解得到答案.解答：根据正弦定理：sinsinabAB=，即43sin3xA=，0120A，三角形有两解，故4323x故选：C.点

拨：本题考查了根据正弦定理判断三角形解的个数，意在考查学生的应用能力.11.如图所示，平行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.求1BD与AC夹角的余弦值是（）A.33B.66C.217D.213———

—B分析：以1,,ABADAA为空间向量的基底，表示出1BD和AC，由空间向量的数量积求出向量的夹角的余弦值即得．解答：由题意11111cos602ABADABAAADAA====．以1,,ABADAA为空间向量的基底，ACABAD=+，111BDADABAD

AAAB=−=+−，221111()()ACBDABADADAAABABADABAAABADADAAABAD=++−=+−++−1=，222()23ACABADABABADAD=+=++=，222211111()2222BDADAAABADAAABADAAADABA

AAB=+−=+++−−=，∴11116cos,632ACBDACBDACBD===．∴1BD与AC夹角的余弦值为66．故选：B．点拨：本题考查用空间向量法求异面直线所成的角，解题时选取空间基底，把其他向量用基底表示，然后由数量积的定

义求得向量的夹角，即得异面直线所成的角．12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F、2F是一对相关曲线的焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260FPF=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是()

A.3B.2C.233D.2————A分析：设1PFx=，2PFy=(x0)y，设椭圆的长半轴长为1a，双曲线的实半轴长为a，根据余弦定理可得2222242cos60cxyxyxyxy=+−=+−，利用椭圆和双曲线的定

义，结合离心率的公式，求得结果.解答：设椭圆的长半轴长为1a，椭圆的离心率为1e，则11cea=，11cae=．双曲线的实半轴长为a，双曲线的离心率为e，cea=，cae=，设1PFx=，2PFy=(x

0)y，则2222242cos60cxyxyxyxy=+−=+−，当点P被看作是椭圆上的点时，有()22214343cxyxyaxy=+−=−，当点P被看作是双曲线上的点时，有24c=()224xyxyaxy−+=+，两式联立消去xy得222143c

aa=+，即222143cccee=+，所以2211134ee+=，又11ee=，所以2234ee+=，整理得42430ee−+=，解得23e=或21e=（舍去），所以3e=，即双曲线

的离心率为3，故选A．点拨：该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.观察下列等式：332333212(12),123(123

),+=+++=++333321234(1234),,+++=+++根据上述规律，第四个等式为_________________.————333331+2+3+4+5=()()221+2+3+4+515或

14.等差数列{}na的前n项和为nS，若31710aa+=，则19S=_________.————95分析：根据等差中项以及()2121nnSna−=−，即可容易求得结果.解答：因为数列na是等差数列，又31710aa+=，故可得10210a=，解得105a=；由()2121nnSna−=

−，得10191919595Sa===.故答案为：95.15.已知正数,xy满足10xyy−+=，则4yx+的最小值为___________．————9分析：由已知条件得出11xy+=，将代数式1xy+与4yx+相乘，展开后利用基本不等式可求得4yx+的最小值.解答：因为

正数,xy满足10xyy−+=，所以1xyy+=，即11xy+=，所以41444()()5529yxyxyxyxyxxyxy+=++=+++=，当且仅当2xy=，即3y=，23x=时，等号成立.故答案为：9点拨：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其

必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能

取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.16.已知点A，B分别是椭圆2213620xy+=长轴的左、右端点，点P在椭圆上，直线AP的斜率为33，设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，椭圆上的点到点M的距离d的最小值为______．————15分析：

求出直线AP的方程，设(),0Mm，则由点到直线的距离公式可得662mm+=−，解得2m=，再由椭圆的有界性即可得出最值.解答：解：由题可知()()6,0,6,0AB−，则直线AP的方程是360xy−+=．设点M的坐标是()0m,，则

M到直线AP的距离是62m+，于是662mm+=−，又66−m，解得2m=，所以点()2,0M．设椭圆上的点(),xy到点M的距离为d，有()222225244209dxyxxx=−+=−++−2491592x

=−+，由于66x−．所以当92x=时，d取最小值15．故答案为：15．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合24Axx=，22430Bxxaxa=−+.（1）若1a=，求()RBAð；（2）若0a，设命题p：xA，命

题q：xB.已知p是q的充分不必要条件，求实数a的取值围.————（1）)3,4；（2）4,23.分析：（1）由一元二次不等式可得()1,3B=，结合补集、交集的概念即可得解；（2）由一元二次不

等式可得(),3Baa=，转化条件为AB，即可得解.解答：（1）当1a=时，()24301,3Bxxx=−+=，则(),13,RB=−+ð，所以())3,4BA=Rð；（2）0a时，()22430,3Bxxaxaaa=−+=，因为命题p是命

题q的充分不必要条件，则AB，所以0234aaa且等号不能同时成立，解得423a，所以实数a的取值范围为4,23.18.已知等比数列{}na中，142,16aa==.（1）求数列{}na的通项公式；（2）设等差数列{}nb中，2295,baba

==，求数列{}nb的前n项和nS.————（1）2nna=；（2）222nSnn=−.分析：（1）由已知得到等比数列的公比，再代入等比数列的通项公式可得答案；（2）设等差数列nb的公差为d，由296,48bb==求出d，利用等差数列前n项和公式求出.nS解答：（1）设等比数列的公比为q，由1

42,16aa==得3162q=，解得2q=11122=2nnnnaaq−−==.（2）由（1）知2nna=，得254,32,aa==294,32bb==，设等差数列nb的公差为d，则114832bdbd+=+=解得104bd==，

()211222nnnSnbdnn−=+=−.点拨：解决本题的关键点是熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式，考查计算能力.19.如图，D为直角△ABC斜边BC上一点，3ACDC

=，（1）若30DAC=，求角B的大小；（2）若2BDDC=，且22AD=，求DC的长；————（1）3；（2）2.分析：（1）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出；（2）设DCx=，则2BDx=，3BCx=，3ACx=，于是3sin3B=，6c

os3=B，6ABx=，再利用余弦定理即可解出.解答：（1）在ABC中，根据正弦定理得：sinsinACDCADCDAC=因为3ACDC=，所以3sin3sin3sin302ADCDAC===，又因为33ADCBBADB=+=+，所以23ADC

=，所以2636C=−−=，所以3B=.（2）设DCx=，则2BDx=，3BCx=，3ACx=，所以3sin3ACBBC==，6cos3=B，6ABx=，在ABD△中，由余弦定理得：2222cosADAB

BDABBDB=+−，即()222622642623xxxx=+−，解得：2x=，即2DC=点拨：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.20.已知双曲线C的离心率为233，点()23,1在双曲线上，且抛物线22ypx=()0p的焦点F与双曲线的一个焦点重合.（1

）求双曲线和抛物线的标准方程；（2）过焦点F作一条直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为3时，求线段AB的长度.————（1）22193xy−=；283yx=；（2）3233.分析：（1）设双曲线的方程为22221xyab−=（0a，0b），根据

双曲线C的离心率为233和点()23,1在双曲线上，得到关于a，b的方程组解方程组可求双曲线的方程，则抛物线的焦点可求，其方程易解.（2）联立直线l和抛物线方程，得到两根之和，根据抛物线的焦半径公式易求线段AB的长度.解答：解：（1）设双曲线的方程为22221xyab−=（0a，0b

），由题设233ca=所以33ba=①，又点()23,1在双曲线上，所以221211ab−=②由①②解得29a=，23b=，故双曲线标准方程为22193xy−=；设双曲线的焦距为2c，因为22212cab=+=，得23c=，所以抛物线焦点为()23,0F，即23432p

p==，所以抛物线的标准方程为283yx=.（2）设直线()323yx=−交抛物线于()11,Axy，()22,Bxy，联立()232383yxyx=−=，得23203360xx−+=，故12

2033xx+=，由抛物线定义知12pAFx=+，22pBFx=+，所以122033234333ABxxp=++=+=.点拨：考查双曲线和抛物线的标准方程的求法以及抛物线焦半径公式的应用，中档题.21.如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，//AFD

E，3DEAF=，BE与平面ABCD所成角为60.（1）求证：AC⊥平面BDE；（2）求二面角FBED−−的余弦值.————（1）证明见解析；（2）1313.【分析】（1）根据线面垂直的性质，结合正方形的性质，线面垂直的判定定理进行

证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.解答：（1）证明：因为DE⊥平面ABCD，AC面ABCD，所以DEAC⊥.因为ABCD是正方形，所以ACBD⊥又DEBDD=，DE面BDE，BD

面BDE，故AC⊥平面BDE（2）因为,,DADCDE两两垂直，建立空间直角坐标系Dxyz−如图所示.因为ED⊥平面ABCD，且EB与平面ABCD所成角为60，即60DBE=，所以3EDDB=，由已知3AD=，可得36DE=，6AF=.则(3,0,0)A，(

3,0,6)F，(0,0,36)E，(3,3,0)B，(0,3,0)C，所以(0,3,6)BF→=−，(3,0,26)EF→=−.设平面BEF的法向量为n(x,y,z)→=，则00nBFnEF==，即3603260yzxz−+=−=.令6z=，则(4

,2,6)n→=因为AC⊥平面BDE，所以CA→为平面BDE的法向量，(3,3,0)CA→=−.所以613cos,132632||||nCAnCAnCA→→→→→→===.因为二面角为锐角，所以二面角FBED−−的余弦值为1313.点拨：本题考

查了线面垂直的证明方法，考查了利用空间向量夹角公式求二面角余弦值问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0)xyabab+=的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A．（1）求该椭圆

的方程；（2）过点(2,2)D−作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值．————（1）2212xy+=；（2）证明见解析.分析：（1）由题意可知，椭圆22221(0)xyabab+=的

焦点在x轴上，22c=，1c=，椭圆的离心率22cea==，则2a=即可得解；（2）设11(,)Pxy，22(,)Qxy，(2,0)A，分类讨论，当斜率不存在时，不合题意，当斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数关系得到12,xx关系，代入,APAQ斜率

和公式，即可证明结论.解答：（1）由题意可知，椭圆22221(0)xyabab+=的焦点在x轴上，22c=，1c=，椭圆的离心率22cea==，则2a=，2221bac=−=，则椭圆的标准方程2212xy+=；（2）证明：设11(,)Pxy，22(,)Qxy，(2,0)A，

当斜率不存在时，2x=与椭圆只有一个交点，不合题意，由题意PQ的方程，(2)2ykx=−−，则联立方程22(2)212ykxxy=−−+=，整理得，222(21)42(1)4820kxkkxkk+−++++=，2222132(1)4(482)(2

1)3280,4kkkkkkk=+−+++=−−−，由韦达定理可知12242(1)21kkxxk++=+，212248221kkxxk++=+，则1212222(1)(21)2222kyykxxkk−++=+−−=+，则由121221121212122(2

222)()APAQyyyxyxyykkxxxxxx+−++=+=−−−++，12211221(2)2(2)2yxyxkxxkxx+=−−+−−12122422(1)(2)1kkxxkxxk=−++=

−+，12211212122(2()2)APAQyxyxyykkxxxx+−++=−++22222422(1)22121148242(1)222121kkkkkkkkkk−+−−++==+++−+++∴直线AP，AQ的斜率之和为定值1．点拨：本题考查了利用根据离心率和

焦点等基本量求椭圆方程，考查了直线和椭圆的联立以及利用韦达定理搭桥，联系各个量之间的关系，题型是直线和圆锥曲线的定值问题，思路相对明确，但要求交高的计算能力，属于较难题.