【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.1 椭圆及其标准方程-重难点题型精讲（学生版）.docx，共(7)页，349.115 KB，由小赞的店铺上传

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专题3.1椭圆及其标准方程-重难点题型精讲1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.(2)椭圆定义的集合表示P={,2a>}.2．椭圆的标准方程椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：

3．椭圆方程的求解(1)用定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程

中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）.②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0,B>0,A≠B)，再解答.4．椭圆的焦点三角

形(1)焦点三角形的概念设M是椭圆上一点，,为椭圆的焦点，当点M,,不在同一条直线上时，它们构成一个三角形——焦点三角形，如图所示.(2)焦点三角形的常用公式①焦点三角形的周长L=2a+2c.②在中，由余弦定理可得.③设，，则.【题型1曲线

方程与椭圆】【方法点拨】根据所给曲线方程表示椭圆，结合椭圆的标椎方程进行求解，即可得出所求.【例1】（2022·湖北·高三期末）已知曲线𝐶:𝑥24𝑎+𝑦23𝑎+2=1，则“𝑎>0”是“曲线C是

椭圆”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【变式1-1】（2021·全国·高二专题练习）“1<𝑚<5”是“方程𝑥2𝑚−1+𝑦25−𝑚=2表示椭圆”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式1-2】（2

022·全国·高二课时练习）已知方程𝑥225−𝑚+𝑦2𝑚+9=1表示焦点在𝑦轴上的椭圆，则𝑚的取值范围是（）A．−9<𝑚<25B．−8<𝑚<25C．9<𝑚<25D．8<𝑚<25【变式1-3】（2

022·全国·高二课时练习）若方程𝑥225−𝑘+𝑦2𝑘−9=1表示的曲线为焦点在𝑦轴上的椭圆，则实数𝑘的取值范围为（）A．(9,25)B．(−∞,9)∪(25,+∞)C．(17,25)D．(25,+∞)【题型2椭圆的定义】【方法点拨】

利用椭圆的定义解决涉及焦点相关问题的计算：一般地，遇到有关焦点问题时，首先应考虑用定义来解题，如题目中有椭圆上的点到两焦点的距离可考虑用定义解题，另外，对定义的应用也应有深刻理解，知道何时应用、怎样应用.【例2】（2023·全国·高三专题练习）点P为椭圆4𝑥2+𝑦2=16

上一点，𝐹1，𝐹2为该椭圆的两个焦点，若|𝑃𝐹1|=3，则|𝑃𝐹2|=（）A．13B．1C．7D．5【变式2-1】（2022·全国·高二课时练习）设P为椭圆𝐶:𝑥216+𝑦212=1上的点

，𝐹1，𝐹2分别为椭圆C的左、右焦点，且|𝑃𝐹1|−|𝑃𝐹2|=83，则|𝑃𝐹1||𝑃𝐹2|=（）A．32B．2C．56D．3【变式2-2】（2023·全国·高三专题练习）已知𝐹1，�

�2是椭圆𝐶:𝑥29+𝑦23=1的两个焦点，点M在椭圆C上，则|𝑀𝐹1|⋅|𝑀𝐹2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．6【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆𝑥29+𝑦22=1的左、右焦点分别为𝐹1,𝐹2，点𝑀在椭圆上，若|𝑀𝐹1|=4，

则∠𝐹1𝑀𝐹2=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【题型3椭圆方程的求解】【方法点拨】(1)用定义法求椭圆的标准方程根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程根据所给条件设出椭圆的标准方

程，代入点，即可得解.【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点为𝐹1(−√5,0)，𝐹2(√5,0)，M是椭圆上一点，若𝑀𝐹1⊥𝑀𝐹2，|𝑀𝐹1|⋅|𝑀𝐹2|=8，则该椭圆

的方程是（）A．𝑥27+𝑦22=1B．𝑥22+𝑦27=1C．𝑥29+𝑦24=1D．𝑥24+𝑦29=1【变式3-1】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(−2√2,0)和(2√2,

0)，且椭圆经过点(4,0)，则该椭圆的标准方程是（）A．𝑥216+𝑦28=1B．𝑦216+𝑥28=1C．𝑥224+𝑦216=1D．𝑥224+𝑦29=1【变式3-2】（2022·宁夏二模（文））已知椭圆C的一个焦点F（0，-√5），P为C上一点，满足|𝑂𝑃|

=|𝑂𝐹|,|𝑃𝐹|=4则椭圆C的标准方程为（）A．𝑦215+𝑥210=1B．𝑦29+𝑥24=1C．𝑦212+𝑥27=1D．𝑦28+𝑥23=1【变式3-3】（2021·全国·高二课时练习）椭圆的

焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（）A．𝑥2169+𝑦2144＝1B．𝑥2144+𝑦2169＝1C．𝑥2169+𝑦225＝1D．𝑥2144+𝑦225＝1【题型4动点轨迹方程

的求法】【方法点拨】解椭圆有关的动点轨迹问题主要有以下两种思路：(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x,y的等式就得到曲线的轨迹方程.(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其

中的基本量.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是（）A．𝑥24+𝑦23＝1(x≠±2)B．𝑦24+𝑥23＝1(y≠±2)C．𝑥24+𝑦23＝1(x≠0)D．𝑦24+𝑥23＝1(y≠0)【变式

4-1】（2021·全国·高二课前预习）若动点𝑀(𝑥,𝑦)始终满足关系式√𝑥2+(𝑦+2)2+√𝑥2+(𝑦−2)2=8，则动点M的轨迹方程为（）A．𝑥216+𝑦212=1B．𝑥212+�

�216=1C．𝑥212−𝑦216=1D．𝑥216−𝑦212=1【变式4-2】（2022·江苏·高二开学考试）已知圆C的方程为(𝑥−1)2+𝑦2=16，𝐵(−1,0)，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（）A．𝑥216+𝑦29=1

B．𝑥216−𝑦29=1C．𝑥24+𝑦23=1D．𝑥24−𝑦23=1【变式4-3】（2022·全国·高二专题练习）已知△𝐴𝐵𝐶的周长等于10，|𝐵𝐶|=4，通过建立适当的平面直角坐标系

，顶点𝐴的轨迹方程可以是（）A．𝑥29+𝑦25=1(𝑦≠0)B．𝑥29+𝑦24=1(𝑦≠0)C．𝑥236+𝑦220=1(𝑦≠0)D．𝑥236+𝑦216=1(𝑦≠0)【题型5椭圆中的焦点三角形问题】【方法点

拨】①关于椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出=2a，利用这个关系式便可求出结果，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.②在椭圆中，焦点三角形引出的问题很多，在处理这些问题时，经常利用定义结合正弦定理、余弦定理及勾股定理等来解决，还经常用到配方法、解方程及把看成一个整体等.【例5

】（2022·全国·高二课时练习）已知点𝑃在椭圆𝑥216+𝑦24=1上，𝐹1与𝐹2分别为左、右焦点，若∠𝐹1𝑃𝐹2=2𝜋3，则△𝐹1𝑃𝐹2的面积为（）A．4√3B．6√3C．8√3D．13√3【变式

5-1】（2022·全国·高三专题练习）若F为椭圆C：𝑥225+𝑦216=1的右焦点，A，B为C上两动点，则△ABF周长的最大值为（）A．4B．8C．10D．20【变式5-2】（2022·全国·高二课时练习）已知椭圆𝑥24+𝑦23=1的两个焦点为𝐹1，

𝐹2，过𝐹2的直线交椭圆于𝑀，𝑁两点，若△𝐹1𝑀𝑁的周长为（）A．2B．4C．6D．8【变式5-3】（2022·全国·高二专题练习）设𝑃为椭圆𝑥225+𝑦216=1上一点，𝐹1，𝐹2为左、右焦点，且|𝑃𝐹1|=4|𝑃𝐹2|，则（）A．

△𝑃𝐹1𝐹2为锐角三角形B．△𝑃𝐹1𝐹2为钝角三角形C．△𝑃𝐹1𝐹2为直角三角形D．𝑃，𝐹1，𝐹2三点构不成三角形【题型6椭圆中的最值问题】【例6】（2022·全国·高二课时练习

）已知F是椭圆𝐶:𝑥24+𝑦23=1的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为(1,1)，则|𝑃𝑄|+|𝑃𝐹|的最大值为（）A．3B．5C．√41D．13【变式6-1】（2022·全国·高二课时练习）𝐹1，𝐹2分别为椭圆�

�24+𝑦23=1的左､右焦点，𝑀为椭圆上的动点，设点𝐴(12,12)，则|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹2|的最小值为（）A．4−√102B．2−√102C．4+√102D．2+√102【变式6-2】（2022·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆𝑥225+𝑦

216=1上一动点，Q是圆(𝑥+3)2+𝑦2=1上一动点，点𝑀(6,4)，则|𝑃𝑄|−|𝑃𝑀|的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【变式6-3】（2022·全国·高二课时练习）已知𝐴(1,1)，𝐹1

是椭圆5𝑥2+9𝑦2=45的左焦点，点P是椭圆上的动点，求|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹1|的最大值和最小值分别为（）A．6+√2；6−√2B．4+√2；4−√2C．6+2√2；6−2√2D．4+2√2；4−

2√2