【文档说明】2025届高三一轮复习数学试题（人教版新高考新教材）考点规范练21　三角恒等变换 Word版含解析.docx，共(4)页，50.039 KB，由小赞的店铺上传

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考点规范练21三角恒等变换一、基础巩固1.已知θ∈(π4,3π4),sin(π4+𝜃)=35,则tanθ的值为()A.17B.-17C.7D.-7答案:D解析:因为θ∈(π4,3π4),所以π4+θ∈(π2,π),又因为sin(π4+𝜃)

=35,所以tan(π4+𝜃)=-34,所以tanθ=tan[(π4+𝜃)-π4]=tan(π4+𝜃)-tanπ41+tan(π4+𝜃)·tanπ4=-34-11-34×1=-7.2.2sin47°-√3

sin17°cos17°等于()A.-√3B.-1C.√3D.1答案:D解析:原式=2×sin47°-sin17°cos30°cos17°=2×sin(17°+30°)-sin17°cos30°cos17°=2sin30°=1

.故选D.3.已知cos(𝛼-π6)+sinα=4√35,则sin(α+7π6)的值为()A.12B.√32C.-45D.-12答案:C解析:∵cos(𝛼-π6)+sinα=√32cosα+32sinα=4√35,∴1

2cosα+√32sinα=45.∴sin(𝛼+7π6)=-sin(𝛼+π6)=-(√32sinα+12cosα)=-45.4.已知2sin2α=1+cos2α,则tan2α等于()A.43B.-43C.43或0D.-43或0答案:C解析:因为

2sin2α=1+cos2α,所以2sin2α=2cos2α.所以2cosα(2sinα-cosα)=0,解得cosα=0或tanα=12.若cosα=0,则α=kπ+π2(k∈Z),2α=2kπ+π(k∈Z),所以tan2α=0;若tanα=1

2,则tan2α=2tan𝛼1-tan2𝛼=43.综上所述,故选C.5.已知5sin2α=6cosα,α∈(0,π2),则tan𝛼2等于()A.-23B.13C.35D.23答案:B解析:由题意,知10sinαcosα=6cosα,∵α∈(0,π2),

∴sinα=35,cosα=45,∴tan𝛼2=sin𝛼2cos𝛼2=2sin2𝛼22sin𝛼2cos𝛼2=1-cos𝛼sin𝛼=1-4535=13.6.现有如下信息:①黄金分割比(简称:黄金比)是

指把一条线段分割为两部分,较短部分与较长部分的长度之比等于较长部分与整体长度之比,其比值为√5-12;②黄金三角形被誉为最美三角形,是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形;③有一个内角为36°的等腰三角形为黄金三角形.由上述信息可求得sin126°=()A.√5-12B.√5+12

C.√5-14D.√5+14答案:D解析:由题意设△ABC为∠A=36°的黄金三角形,AB=BC=a,AC=b,则𝑎𝑏=√5-12.如图,过点B作BD⊥AC,垂足为D,则AD=𝑏2.在Rt△ABD中,cosA=𝑏2𝑎=1√5-1=√5+14,即cos36°=√5+14.所以sin126°

=cos36°=√5+14.7.已知锐角α,β满足α-β=π3,则1cos𝛼cos𝛽+1sin𝛼sin𝛽的最小值为()A.4B.4√3C.8D.8√3答案:C解析:因为α-β=π3,所以cos(α-β)=cosαcosβ+

sinαsinβ=12,令x=cosαcosβ,y=sinαsinβ,则x+y=12,因为α,β均是锐角,所以x>0,y>0,则1cos𝛼cos𝛽+1sin𝛼sin𝛽=1𝑥+1𝑦=2×(1𝑥+1𝑦)·(x+y)=4+2𝑦

𝑥+2𝑥𝑦≥4+2√2𝑦𝑥·2𝑥𝑦=8,当且仅当x=y,即α=5π12,β=π12时等号成立.8.(2023新高考Ⅰ,8)已知sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,则cos(2α+2β)=()

A.79B.19C.-19D.-79答案B解析∵sin(α-β)=13,cosαsinβ=16,∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=sinαcosβ-16=13,解得sinαcosβ=12.∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=

12+16=23,∴cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×(23)2=19.故选B.9.已知tanθ=2,则cos2θ=;tan(𝜃-π4)=.答案:-3513解析:cos2θ=cos2θ

-sin2θ=cos2𝜃-sin2𝜃cos2𝜃+sin2𝜃=1-tan2𝜃1+tan2𝜃=-35;tan(𝜃-π4)=tan𝜃-11+tan𝜃=13.10.设函数f(x)=1+cos2𝑥2sin(π2-𝑥)+sinx+a2s

in(x+π4)的最大值为√2+3,则实数a=.答案:±√3解析:f(x)=1+2cos2𝑥-12cos𝑥+sinx+a2sin(𝑥+π4)=cosx+sinx+a2sin(𝑥+π4)=√2sin(𝑥+π4)+a2

sin(𝑥+π4)=(√2+a2)sin(𝑥+π4).依题意有√2+a2=√2+3,则a=±√3.11.已知函数f(x)=cos(-𝑥2)+sin(π-𝑥2),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若f(α)=2√105,α∈(0,π

2),求tan(α+π4)的值.解:(1)f(x)=cos(-𝑥2)+sin(π-𝑥2)=sin𝑥2+cos𝑥2=√2sin(𝑥2+π4),故函数f(x)的最小正周期T=2π12=4π.(2)由f(α)=2

√105,得sin𝛼2+cos𝛼2=2√105,则(sin𝛼2+cos𝛼2)2=(2√105)2,即1+sinα=85,解得sinα=35,又α∈(0,π2),则cosα=√1-sin2𝛼=√1-

925=45,故tanα=sin𝛼cos𝛼=34.所以tan(𝛼+π4)=tan𝛼+tanπ41-tan𝛼tanπ4=34+11-34=7.二、综合应用12.设a=cos50°cos127°+cos40°cos37°,b=√22(sin56°-cos5

6°),c=1-tan239°1+tan239°,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b答案:D解析:a=sin40°cos127°+cos40°sin127°=sin(40°+127°)=sin167°=sin13°,b=√22(sin56°

-cos56°)=√22sin56°-√22cos56°=sin(56°-45°)=sin11°,c=1-tan239°1+tan239°=cos239°-sin239°cos239°cos239°+sin239°cos239°=cos239°-sin239

°=cos78°=sin12°.∵sin13°>sin12°>sin11°,∴a>c>b.故选D.13.(多选)化简下列各式,与tanα相等的是()A.√1-cos2𝛼1+cos2𝛼B.√1+cos(π+2𝛼)2·1cos𝛼,α∈(0,π)C.1-

cos2𝛼sin2𝛼D.sin2𝛼1-cos2𝛼答案:BC解析:对于A,√1-cos2𝛼1+cos2𝛼=√1-(1-2sin2𝛼)1+2cos2𝛼-1=√sin2𝛼cos2𝛼=√tan2𝛼=|tanα|,由1-cos2𝛼1+cos2𝛼≥0,解得-1<c

os2α≤1,即2α≠π+2kπ(k∈Z),解得α≠π2+kπ(k∈Z),故A不符合题意;对于B,因为α∈(0,π),所以√1+cos(π+2𝛼)2·1cos𝛼=√1-cos2𝛼2·1cos𝛼=√sin2𝛼·1cos𝛼=|sin𝛼|cos𝛼

=sin𝛼cos𝛼=tanα,故B符合题意;对于C,1-cos2𝛼sin2𝛼=2sin2𝛼2sin𝛼cos𝛼=sin𝛼cos𝛼=tanα,故C符合题意;对于D,sin2𝛼1-cos2𝛼=2sin�

�cos𝛼2sin2𝛼=cos𝛼sin𝛼≠tanα,故D不符合题意.14.若sin2α=√55,sin(β-α)=√1010,且α∈[π4,π],β∈[π,3π2],则α+β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4答案:A解析:∵α∈[π4,π],∴2α∈

[π2,2π].∵sin2α=√55,∴2α∈[π2,π].∴α∈[π4,π2],cos2α=-2√55.∵β∈[π,3π2],∴β-α∈[π2,5π4],∴cos(β-α)=-3√1010,∴cos(

α+β)=cos[2α+(β-α)]=cos2αcos(β-α)-sin2αsin(β-α)=(-2√55)×(-3√1010)−√55×√1010=√22.又α+β∈[5π4,2π],∴α+β=7π4.15.已知函数f(x

)=2sin(𝑥+5π24)cos(x+5π24)-2cos2(x+5π24)+1,则f(x)的最小正周期为;函数f(x)的单调递增区间为.答案:π[𝑘π-π3,𝑘π+π6](k∈Z)解析:∵f(x)=2sin(x+5π24)·cos(x+5π

24)-2cos2(𝑥+5π24)+1=sin(2𝑥+5π12)-cos(2x+5π12)=√2[sin(2𝑥+5π12)cosπ4-cos(2𝑥+5π12)sinπ4]=√2sin[(2𝑥

+5π12)-π4]=√2sin(2𝑥+π6),∴f(x)的最小正周期T=2π2=π.由f(x)=√2sin(2𝑥+π6),得当2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),即kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)时,f(x)单调递增,即函数f(x)的单调递增区间是[kπ-

π3,kπ+π6](k∈Z).三、探究创新16.已知函数f(x)=cosωx(sinωx+√3cosωx)(ω>0),若存在实数x0,使得对任意的实数x,都有f(x0)≤f(x)≤f(x0+2024π)成立,则

ω的最小值为()A.14048πB.12024πC.14048D.12024答案:C解析:由题意可得,f(x0)是函数f(x)的最小值,f(x0+2024π)是函数f(x)的最大值.要使结论成立,只需保证区间[

x0,x0+2024π]能够包含函数的至少一个完整的单调递增区间即可.又f(x)=cosωx(sinωx+√3cosωx)=12sin2ωx+√3×1+cos2𝜔𝑥2=sin(2𝜔𝑥+π3)+√32,所以2024π≥12×2π2𝜔,求得𝜔≥14048,故ω的最小值

为14048,故选C.17.已知函数f(x)=(1+1tan𝑥)sin2x-2sin(x+π4)sin(x-π4).(1)若tanα=2,求f(α)的值;(2)若x∈[π12,π2],求f(x)的取值范围.解:(1)f(x)=sin2x+sinxcosx+2sin(x+π4)·cos(𝑥+π4

)=1-cos2𝑥2+12sin2x+sin(2𝑥+π2)=12+12(sin2x-cos2x)+cos2x=12(sin2x+cos2x)+12.由tanα=2,得sin2α=2sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=2tan𝛼ta

n2𝛼+1=45,cos2α=cos2𝛼-sin2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=1-tan2𝛼1+tan2𝛼=-35.故f(α)=12(sin2α+cos2α)+12=35.(2)由(1)得f(x)=12(sin2x+cos2x)+12=√22sin(2𝑥+π4)+12.由x∈[

π12,π2],得2x+π4∈[5π12,5π4].则-√22≤sin(2𝑥+π4)≤1,即0≤f(x)≤√2+12,故f(x)的取值范围是[0,√2+12].