【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第2课时） Word版含解析.docx，共(14)页，1.195 MB，由小赞的店铺上传

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第2课时）（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：解分式不等式1.解下列不等式：(1)x－3x＋2<0；(2)x＋12x－3≤1.[解](1)x－3x＋2<0⇔(x－3)(x＋2)<0⇔－2<x<3，∴原不等式的解集为{x

|－2<x<3}．(2)∵x＋12x－3≤1，∴x＋12x－3－1≤0，∴－x＋42x－3≤0，即x－4x－32≥0.此不等式等价于(x－4)x－32≥0且x－32≠0，解得x<32或x≥4，∴原不等式的解集为

xx<32或x≥4.题型二：一元二次不等式的实际应用2．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证

每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（）A．11元B．16元C．12元到16元之间D．13元到15元之间【答案】C【解析】设销售价定为每件x元，利润为y元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于x的一元二次不等式，解不等式即可求得每件

销售价的范围.【详解】设销售价定为每件x元,利润为y元，则()()81001010yxx=−−−，由题意可得：()()81001010320xx−−−，即2281920xx−+，所以()()12160xx−−，解得：1216x

，所以每件销售价应定为12元到16元之间，故选：C3．某文具店购进一批新型台灯，每盏的最低售价为15元，若每盏按最低售价销售，每天能卖出45盏，每盏售价每提高1元，日销售量将减少3盏，为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是

（）A．()10,20B．)15,20C．()18,20D．)15,25【答案】B【分析】由题意为了使这批台灯每天获得600元以上的销售收入，可列不等式()45315600xx−−同时需要注意最低售价为15元

，即15x.同时满足上述条件，可解得范围得到答案【详解】由题意，得()45315600xx−−，即2302000xx−+，∴()()10200xx−−，解得1020x．又每盏的最低售价为15元，∴

1520x．故选：B．4.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：m）的取值范围是（）A．1530xB．1225xC．1030xD．2030x【答案】C【分析】根据三角形相似列出方程，将矩形的另

一边用y表示，再根据矩形的面积不小于300m2列出不等式，即可求出结果.【详解】设矩形的另一边长为ym，则由三角形相似知，404040xy−=，所以40yx=−，因为300xy≥，所以(40)300xx−≥，即2403000xx−+，解

得1030x.故选:C【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的应用，关键是建立数学模型，解一元二次不等式，属于基础题.5.某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x件与售价P元/件之间的关系为P＝150－2x，生产x件所需成本为C＝50＋30x元，要使日获利不少于1300元，则该厂日产量应在___

______范围之内(件).【答案】15≤x≤45，且x为自然数【分析】根据题干信息，可知存在不等关系1300xPC−，列不等式求解即可【详解】由题意得：(150－2x)x－(50＋30x)≥1300化简得：x2－60x＋675≤0解得：15≤x≤45，且x为

自然数故答案为：15≤x≤45，且x为自然数【点睛】本题考查了一元二次不等式，根据题意列不等式，并利用一元二次不等式的解法求解6.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不

小于2162m，靠墙的一边长为mx，其中的不等关系可用不等式(组)表示为________.【答案】018(15)2162xxx−【分析】先求得矩形的边长，结合题意列出不等关系.【详解】矩形菜园靠墙的一边

长为mx，则另一边长为30m2x−，即1(15)m2x−，根据已知得018(15)2162xxx−.故答案为：018(15)2162xxx−7.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品（生产条件要

求110x），每小时可获得利润310051xx+−元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则x的最小值是______．【答案】3【分析】根据题意，由31005213000xx+−

求解.【详解】要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，则31005213000xx+−，整理得35140xx−−，又110x，所以251430xx−−，解得310x．故x的最小值是3．故答案为：3

8.国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点．试确定x的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入

不低于原计划的78%.[思路点拨]将文字语言转换成数学语言：“税率降低x个百分点”即调节后税率为(8－x)%；“收购量能增加2x个百分点”，此时总收购量为m(1＋2x%)吨，“原计划的78%”即为2400m×8%×78%.[解]设税率调低后“税

收总收入”为y元．y＝2400m(1＋2x%)·(8－x)%＝－1225m(x2＋42x－400)(0<x≤8)．依题意，得y≥2400m×8%×78%，即－1225m(x2＋42x－400)≥2400m×8%×78%，整理，得x2＋42x－88≤0

，解得－44≤x≤2.根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2.9．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

[解]设花卉带的宽度为xm(0<x<600)，则中间草坪的长为(800－2x)m，宽为(600－2x)m.根据题意可得(800－2x)(600－2x)≥12×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600)(x－100)≥0，所以0<x≤100或x≥

600，x≥600不符合题意，舍去．故所求花卉带宽度的范围为0＜x≤100.题型三：不等式恒成立问题10.对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．－2＜a≤2当a－2＝0，即a＝2时，

－4＜0恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，则有a－2＜0，Δ＝[－2a－2]2－4×a－2×－4＜0，解得－2＜a＜2.综上，实数a的取值范围是－2＜a≤2.11.已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2

＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x

＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－

6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.【能力提升】12．（多选）某辆汽

车以km/hx的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60120x）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500L5xkx−+，其中k为常数．若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使

每小时的油耗不超过．．．9L，则速度x的值可为（）A．60B．80C．100D．120【答案】ABC【解析】先利用120km/h时的油耗，计算出k的值，然后根据题意“油耗不超过9L”列不等式，解不等式求得x的取值范围.【详解】由汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.

5L，1450012011.55120k−+=，解得：100=k，故每小时油耗为14500205xx+−，由题意得145002095xx+−，解得：45100x，又60120x，故60100x，所以速度x的取值范

围为60,100.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查利用待定系数法求解析式，考查一元二次不等式的解法，解题的关键是先利用120km/h时的油耗，计算出k的值，然后代入根据题意解不等式，考查实际应用问题，属于中

档题.13．不等式x＋1x＋22x＋3x＋4>0的解集为________．{x|－4<x<－3或x>－1}原式可转化为(x＋1)(x＋2)2(x＋3)(x＋4)>0，根据数轴穿根法，解集为－4<x<－3或x>－1.14．在一个限速40km/h的弯道上，甲、

乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2．这次事故的主要责任方为_

_______．【答案】乙车【分析】依题意,分别列出一元二次不等式,求出各车的最低速度,即可求解.【详解】解:由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10．分别求解，得x甲<－40或x甲>30．x乙<－50或x乙>40．由

于x>0，从而得x甲>30km/h，x乙>40km/h．经比较知乙车超过限速，应负主要责任．故答案为:乙车.15．通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场.2021年，该种玻璃售价为25欧元/

平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？(2)为提高年销售量，增加

市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到m欧元/平方米（其中25m），其中投入()256003m−万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入2m万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量n（单位/

万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价.【答案】(1)40(2)该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销

售收入与2022年投入之和，此时求出此时的售价为30欧元.【分析】（1）设出未知数，列不等式进行求解；（2）根据题意，得到n关于m的关系式，1500523nmm?+，利用基本不等式进行求解（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元

/平方米()802252000xx−−解得：2540x所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米（2）()25200050026003mnmm?++-整理得：25150023mnmm?+除以m得：1500523nmm?+由基本不等式得：1500

51500522210233nmmmm?+匙+=，当且仅当150053mm=，即30m=时，等号成立，所以该种玻璃的销售量n至少达到102万平方米时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入

之和，此时求出此时的售价为30欧元/平方米.16.黔东南某地有一座水库，设计最大容量为128000m3．根据预测，汛期时水库的进水量nS（单位：m3）与天数()*nnN的关系是5000()(10)nSnntn=+，水库原有水量为80000m3，若水闸开闸泄水，

则每天可泄水4000m3；水库水量差最大容量23000m3时系统就会自动报警提醒，水库水量超过最大容量时，堤坝就会发生危险；如果汛期来临水库不泄洪，1天后就会出现系统自动报警．(1)求t的值；(2)当汛期来临第一天，水库就开始泄洪，

估计汛期将持续10天，问：此期间堤坝会发生危险吗？请说明理由．【答案】(1)24t=(2)汛期的第9天会有危险，理由见解析【分析】（1）根据条件可建立方程1280008000050001(1)23000t−−+=，解

出即可；（2）设第n天发生危险，由题意得5000(24)400012800080000nnn+−−，解出此不等式，然后可得答案.(1)由题意得：1280008000050001(1)23000t−−+=，即24t=(2)

由（1）得5000(24)(10)nSnnn=+设第n天发生危险，由题意得5000(24)400012800080000nnn+−−，即2242560nn+−，得8n．所以汛期的第9天会有危险17.为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研

发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入a（0a）万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（x+N且4575x），调整后研发人员的年人均投入增加4x%，技术人员的年人均投入为225xam−万元.(1)

要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低

于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.【答案】(1)75人(2)存在，7【分析】（1）根据题意直接列出不等式可求解；（2）由条件可得2125xm+，100325xmx++，分别利用函数单调性和基本不等式即可求解.(1

)依题意可得调整后研发人员人数为100x−，年人均投入为()14%xa+万元，则()()10014%100xxaa−+，(0a)解得075x，又4575x，x+N，所以调整后的技术人员的人数最多75人；(2)假设存在实数m满足条件.由技术人员年人均投入不减少有225xama

−，解得2125xm+.由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有()()210014%25xxxaxma−+−，两边同除以ax得1002112525xxmx−+−

，整理得100325xmx++，故有2100132525xxmx+++，因为10010032372525xxxx+++=，当且仅当50x=时等号成立，所以7m，又因为4575x，x+N，所以当75x=时

，2+125x取得最大值7，所以7m，77m，即存在这样的m满足条件，其范围为7.18.2020年11月23日，贵州宣布最后9个深度贫困县退出贫困县序列，这不仅标志着贵州省66个贫困县实现整体脱贫，这也标志着国务院扶贫办确定的全国832个贫困县全部脱贫摘

帽，全国脱贫攻坚目标任务已经完成.在脱贫攻坚过程中，某地县乡村三级干部在帮扶走访中得知某贫困户的实际情况后，为他家量身定制了脱贫计划，政府无息贷款10万元给该农户种养羊，每万元可创造利润0.15万元.若进行技术指导，养羊的投资减少了

x()0x万元，且每万元创造的利润变为原来的()10.25x+倍.现将养羊少投资的x万元全部投资网店，进行农产品销售，则每万元创造的利润为()0.150.875ax−万元，其中0a.（1）若进行技术指导后养羊的利润不低于原来养羊的利润，求x的

取值范围；（2）若网店销售的利润始终不高于技术指导后养羊的利润，求a的最大值.【答案】（1）x的取值范围为06x；（2）a的最大值为6.5．【解析】（1）由题意得()()0.1510.25100.1510xx+−，解不等式可得结果；（2）由题意得()()()0.150.875

0.1510.2510axxxx−+−恒成立，分离出参数a得5101.58xax++恒成立，只要利用基本不等式求出5108xx+的最小值即可【详解】解：（1）由题意，得()()0.1510.25100.1510xx+−，整理得260xx−，解得06x

，又0x，故06x．（2）由题意知网店销售的利润为()0.150.875axx−万元，技术指导后，养羊的利润为()()0.1510.2510xx+−万元，则()()()0.150.8750.1510.2510axxxx−+−恒成立，又010x，∴5101.5

8xax++恒成立，又51058xx+，当且仅当4x=时等号成立，∴06.5a，即a的最大值为6.5．答：（1）x的取值范围为06x；（2）a的最大值为6.5．【点睛】关键点点睛：此题考查利用数学知识解决实际问题，考查不等式的解法，第2问解题的关键是

由()()()0.150.8750.1510.2510axxxx−+−恒成立，转化为5101.58xax++恒成立，然后利用基本不等式求5108xx+的最小值即可，属于中档题19.科技创新是企业发展的源动力，是一个企业能够实现健康持续发展的重要基

础．某科技企业最新研发了一款大型电子设备，并投入生产应用．经调研，该企业生产此设备获得的月利润()px（单位：万元）与投入的月研发经费x（1540x，单位：万元）有关：当投入的月研发经费不高于36万元时，()21890

10pxxx=−+−；当投入月研发经费高于36万元时，()0.454pxx=+．对于企业而言，研发利润率()100%pxyx=，是优化企业管理的重要依据之一，y越大，研发利润率越高，反之越小．（1）求该企业生产此设备的研发利润率y的最大值以及

相应月研发经费x的值；（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，求月研发经费x的取值范围．【答案】（1）30万元，最大值200%；（2）|2536xx.【解析】（1）分别写出1536x剟与3640x„时研发利润率y关于月研发经费x的函数，再由基本不等式及

函数的单调性求最值，取最大值中的最大者得结论；（2）由（1）可得应付利润率关于研发经费x的解析式，列不等式求解x的范围即可【详解】（1）由已知，当1536x时，218901901901088221010xxyxxx

xx−+−==−−+−=．当且仅当19010xx=，即30x=时，取等号；当3640x时，0.454540.4xyxx+==+．因为540.4yx=+在(36,40上单调递减，所以540.41.936y+=．因为21.9，所以当月研发经费为30万元时，研发利润率取得最大值20

0%．（2）若该企业生产此设备的研发利润率不低于190%，由（1）可知，此时月研发经费1536x．于是，令1908101.9yxx=−−+，整理得2619000xx−+，解得2536x．因此，当研发利润率不小于190%时，月研发经费的取值范围是|2536xx．【点睛】思路点睛

：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.20．已知函数()()()21

11fxmxmxm=+−−+−．(1)若不等式()1fx的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式()()1fxmx+；(3)若不等式()0fx对一切11,22x−恒成立，求m的取值范围．【答案】(1)12

73m−；(2)答案见解析；(3)1m.【分析】（1）对二次项系数1m+进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；（2）()()()211210fxmxmxmxm++−+−，对10m+=，10m+与10+m分类讨论，可分别求得其解集；（3）()()()()222222

211111011111xxxmxmxmmxxxxmxxxx−−−++−−+−−+−−+=−+−+−+，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围．（1）根据题意，①当10m+=，即1m=−时，()22fxx=−，不合题意；②当10m

+，即1m−时，()1fx的解集为R，即()()21120mxmxm+−−+−的解集为R，()()()21014120mmmm+=−−+−，即213290mmm−−−，故1m−时，1273m

−或1273m+.故1273m−．（2）()()1fxmx+，即()21210mxmxm+−+−，即()()()1110mxmx+−−−，①当10m+=，即1m=−时，解集为{|1}xx；②当10

m+，即1m−时，()1101mxxm−−−+，121111mmm−=−++，解集为1{|1mxxm−+或1}x；③当10+m，即1m−时，()1101mxxm−−−+，12111

1mmm−=−++，解集为1{|1}1mxxm−+．综上所述：当1m−时，解集为1{|1}1mxxm−+；当1m=−时，解集为{|1}xx；当1m−时，解集为1{|1mxxm−+或1}x.（3）()()21110

mxmxm+−−+−，即()2211mxxxx−+−−+，210xx−+恒成立，()222211111xxxmxxxx−−−+=−+−+−+，设1xt−=，则1322t，，1xt=−，()()2

22111111111xttxxtttttt−===−+−+−−−++−，12tt+，当且仅当1t=时取等号，2111xxx−−+，当且仅当0x=时取等号，当0x=时，22max111xxxx−−+=−+，1m．【点睛】本题考察二次函数恒成

立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.21.已知二次函数2()22fxxax=++．(1)若15x剟时，不等式()3fxax恒成立，求实数a的取值范围．(2

)解关于x的不等式2(1)()axxfx++（其中R)a．【答案】(1)22a；(2)答案见解析.【分析】（1）结合分离常数法、基本不等式求得a的取值范围；（2）将原不等式转化为()()210xax−+，对a进行分类讨论，由此求得不等式的解集.(1)不等式()3fxax

即为：220xax−+，当[1x，5]时，可变形为：222xaxxx+=+，即min2axx+，又22222xxxx+=…，当且仅当2xx=，即2[1,5]x=时，等号成立，min222xx+=，即22a，实数a的取值范围是：22a；(2)不等式2(1

)()axxfx++，即22(1)22axxxax++++，等价于2(12)20axax+−−，即(2)(1)0xax−+，①当0a=时，不等式整理为20x−，解得：2x；当0a时，方程(2)(1)0xax−+=的两根为：11xa=−，22x=，②当0a

时，可得102a−，解不等式(2)(1)0xax−+得：1xa−或2x；③当102a−时，因为12a−，解不等式(2)(1)0xax−+得：12xa−；④当12a=−时，因为12a−=，不等式(2)(1

)0xax−+的解集为；⑤当12a−时，因为12a−，解不等式(2)(1)0xax−+得：12xa−；综上所述，不等式的解集为：①当0a=时，不等式解集为(2,)+；②当0a时，不等式解集为()1,2,a

−−+；③当102a−时，不等式解集为1(2,)a−；④当12a=−时，不等式解集为；⑤当12a−时，不等式解集为1(,2)a−.