【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 （第1课时） Word版含解析.docx，共(13)页，1.329 MB，由小赞的店铺上传

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式（第1课时）（3种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：不含参一元二次不等式的解法1．不等式()()130xx++的解集是（）A．RB．C．{31}xx−−∣D．{3xx−∣，或

1}x−【答案】C【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】解：由()()130xx++，解得31x−−，即不等式的解集为{31}xx−−∣；故选：C2．不等式21560xx+−的解集为（）A．{1xx或1}6x−B

．116xx−C．{1xx或3}x−D．32xx−【答案】B【分析】解一元二次不等式，首先确保二次项系数为正，两边同时乘1−，再利用十字相乘法，可得答案，【详解】法一：原不等式即为26510xx−−，即()()61

10xx+−，解得116x−，故原不等式的解集为116xx−．法二：当2x=时，不等式不成立，排除A，C；当1x=时，不等式不成立，排除D．故选：B．3.解下列不等式：(1)2x2＋7x

＋3>0；(2)－4x2＋18x－814≥0；(3)－2x2＋3x－2<0.[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为xx>－12

或x<－3.(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等

式的解集为R.4．解下列不等式(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－4x＋4>0；(3)－x2＋2x－3<0；(4)－3x2＋5x－2>0.[解](1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－12，x2＝2

，∴不等式2x2－3x－2>0的解集为xx<－12或x>2.(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2，∴不等式x2－4x＋4>0的解集为{}x|x≠2.(3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解，∴不等式－x2＋

2x－3<0的解集为R.(4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝23，x2＝1，∴不等式－3x2＋5x－2>0的解集为x23<x<1

.题型二：含参一元二次不等式的解法5．已知0a，则关于x的不等式22450xaxa−−的解集是________.（用区间表示）【答案】(5,)aa−【分析】对2245xaxa−−因式分解，再根据0a，解一元二次不等式即可得到结果.【详

解】因为22450xaxa−−，所以()()50xaxa−+又0a，所以不等式22450xaxa−−的解集为()5,aa−.故答案为：()5,aa−.6．（2021·新疆·乌鲁木齐市第四中学高一期中）设k为实数，若关

于x的一元二次方程210xkxk+++=没有实数根，则k的取值范围是__________.【答案】()222,222−+.【分析】一元二次方程没有实数根，即根的判别式小于0.【详解】∵关于x的一元二次方程210xkxk+++=没有实数根∴()2

Δ410kk=−+∴2440kk−−解得：222222k−+.故答案为：()222,222−+.7.解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.[解]当a＝0时，原不等式可化为x>1.当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.当a<0时，不等式可化为

x－1a(x－1)>0，∵1a<1，∴x<1a或x>1.当a>0时，原不等式可化为x－1a(x－1)<0.若1a<1，即a>1，则1a<x<1；若1a＝1，即a＝1，则x∈∅；若1a>1，即0<a<1，则1<x<1a.综上所述，

当a<0时，原不等式的解集为xx<1a或x>1；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；当0<a<1时，原不等式的解集为x1<x<1a；当a＝1时，原不等式的解集为∅；当a>1时，原不等式的解集为x1a<x<1.8．解关于x的不等式：ax2－

2≥2x－ax(a<0)．[解]原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a<0，∴(x＋1)x－2a≤0.当－2<a<0时，2a≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；当a<－2时，－1≤x≤2a.综上所述，

当－2<a<0时，解集为x2a≤x≤－1；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a<－2时，解集为x－1≤x≤2a.9．（2021·浙江·高一期末）已知不等式x²−2x+5−2a0.（1）若

不等式对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围；（2）若存在实数a∈[4,2019]使得该不等式成立，求实数x的取值范围.【答案】（1）a2；（2）x∈(−∞,−1]∪[3,+∞).【分析】（1）根据二次函数的性质，求出a的范围即

可；（2）将问题转化为2258xx−+，解不等式即可．【详解】(1)∵x²−2x+5−2a0在R恒成立，∴△0，即4−4(5−2a)0，可得a2；(2)若存在实数a∈[4,2019]使得该不等式成立，即x²−2x+58，解得：x3或x−1，∴x∈(−∞,

−1]∪[3,+∞).题型三：三个“二次”之间对应关系的应用10．已知不等式20xaxb++的解集是24xx−，则ab+=（）A．-10B．-6C．0D．2【答案】A【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得,ab即可得出结果.【详解】因为不等式20xaxb++的解集

是24xx−,所以2=0xaxb++的两根为2,4−，则24,8ab−+=−−=，即2,8ab=−=−，所以10ab+=−.故选：A【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题.

11．已知关于x的二次方程2(21)210mxmxm+−+−=有一正数根和一负数根，则实数m的取值范围是_____．【答案】112m−【分析】由二次项系数非零及两根之积小于0，可得关于m的不等式组，解之即可.【详解】由题意知，二次方程有一正根和一负根，得2101021mmm+−

+，解得112m−.故答案为：112m−12．若关于x的不等式28210mxmx++的解集为71xx−−，则实数m的值为______.【答案】3【分析】根据二次不等式的解，结合韦达定理即可求出m.【详解】由题可

知，－7和－1是二次方程28210mxmx++=的两个根，故()21713mm=−−=.经检验满足题意故答案为：3.13.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由不等式ax

2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca＝6.由a<0知c<0，bc＝－56，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋bcx＋ac>0，即x2－56x＋16>0，

解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为xx＜13或x＞12.法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c

＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒6ax－13x－12<0，故原不等式的解集为xx＜13或x＞12.【能力提升】14．若不等式20axbxc++的解集为1

2xx−，则不等式()21(1)2axbxcax++−+的解集是（）A．03xxB．0xx或3xC．13xxD．13xx−【答案】A【分析】由题知12baca=−=−，0a，进而将不等式转化为230xx−

，再解不等式即可.【详解】解：由()()2112axbxcax++−+，整理得()()220axbaxacb+−++−①．又不等式20axbxc++的解集为12xx−，所以0a，且(1)2(1)2baca−+=−−=，即

12baca=−=−②．将①两边同除以a得：2210bcbxxaaa+−++−③．将②代入③得：230xx−，解得03x．故选：A15.（多选）不等式20axbxc++的解集

是12xx−，则下列结论正确的是（）A．0ab+=B．0abc++C．0cD．0b【答案】ABC【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.【详解】解：因为不等式20axbxc++的解集是12xx−，所以0a，且12102

0baca−=−+==−，所以0,,0,bbac=−所以0ab+=，0c，0b，故AC正确，D错误．因为二次函数2yaxbxc=++的两个零点为1−，2，且图像开口向下，所以当1x=时，0yabc=++，故B正确．故选：ABC．16.（多选）关

于x的不等式20axbxc++的解集为(,2)(3,)−−+，则下列正确的是（）A．0aB．关于x的不等式0bxc+的解集为(,6)−−C．0abc++D．关于x的不等式20cxbxa−+的解集为121,,3

−−+【答案】ACD【解析】根据一元二次不等式解集的特点判断出a的正负，然后根据解集可得到,bc与a的数量关系，据此分析各个选项是否正确.【详解】A．由已知可得0a且2,3−是方程20axbxc++=的两根，A正确，B．由

根与系数的关系可得：2323baca−+=−−=，解得,6baca=−=−，则不等式0bxc+可化为：60axa−−，即60x+，所以6x−，B错误，C．因为660abcaaaa++=−−=−，C正确，D．不等式20cxbxa−+可化为：260axaxa−++，即

2610xx−−，解得12x或13x−，D正确，故选：ACD．【点睛】结论点睛：形如()200axbxc++()0a的不等式的解集为()12,xx或()()12,,xx−+()12xx，则12,xx为一元二次方程20axbxc++=的两

个根.17．“Rx，210axax−+”是假命题，则实数a的取值范围为_________.【答案】04a【分析】存在量词命题是假命题，则其否定全称量词命题是真命题，写出其全称量词命题，是一个二次不等式恒成立问题，分情况讨论，求a的范围.【详解】由题意可知，“Rx

，210axax−+”的否定是真命题，即“Rx，210axax+−”是真命题，当0a=时，10，不等式显然成立，当0a时，由二次函数的图像及性质可知，20Δ40aaa=−，解得04a，综上，实数a的取值范围为04a.故答案为：04a

.18.若二次函数2yxmx=−+在21x−时的最大值为3，那么m的值是________．【答案】4或23−【分析】讨论二次函数对称轴与x=2,1−的位置关系，结合已知最大值求参数m.【详解】2yxmx=−+，抛物线开口向下，抛物线

的对称轴为2(1)2mmx=−=−，①当22m−，即4m−时，当2x=−时，函数最大值为3，423m−−=，解得：3.5=−m（舍去）；②当12m，即2m时，当1x=时，函数最大值为3，13m−+=，解得：4m=．③当212m−，即42

m−时，当2mx=时，函数最大值为3，22342mm−+=，解得23m=（舍去）或23m=−，综上所述，4m=或23m=−.故答案为：4或23−19．已知函数()()2222fxxaxa=−++，()()22228gxxaxa

=−+−−+．设()()()1max,Hxfxgx=，()()()2min,Hxfxgx=．记()1Hx的最小值为A，()2Hx的最大值为B，则AB−=______．【答案】16−【分析】令()()fxgx=，可得2

xa=+或2=−xa，由题易知()1Hx的最小值44Aa=−−，()2Hx的最大值124Ba=−，则可求出答案.【详解】()()2244fxxaa=−+−−，()()22124gxxaa=−−−+−，令()()fxgx=，得2x

a=+或2=−xa．因为()()()1max,Hxfxgx=，()()()2min,Hxfxgx=，所以()1Hx的最小值(2)44Afaa=+=−−，()2Hx的最大值(2)124Bgaa=−=−，所以()()4412416AB

aa−=−−−−=−．故答案为：16−.20．已知函数()()()2111fxmxmxm=+−−+−．(1)若不等式()1fx的解集为R，求m的取值范围；(2)解关于x的不等式()()1fxmx+；(3)若不等式()0fx对一切11,22x−恒成立，求m的取值范围

．【答案】(1)1273m−；(2)答案见解析；(3)1m.【分析】（1）对二次项系数1m+进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果；（2）()()()211210fxmxmxmxm++−+−，对10m

+=，10m+与10+m分类讨论，可分别求得其解集；（3）()()()()222222211111011111xxxmxmxmmxxxxmxxxx−−−++−−+−−+−−+=−+−+−+，通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范

围．（1）根据题意，①当10m+=，即1m=−时，()22fxx=−，不合题意；②当10m+，即1m−时，()1fx的解集为R，即()()21120mxmxm+−−+−的解集为R，()()()210141

20mmmm+=−−+−，即213290mmm−−−，故1m−时，1273m−或1273m+.故1273m−．（2）()()1fxmx+，即()21210mxmxm+−+−，即()()()1110mxmx+−−−

，①当10m+=，即1m=−时，解集为{|1}xx；②当10m+，即1m−时，()1101mxxm−−−+，121111mmm−=−++，解集为1{|1mxxm−+或1}x；③当10+m，即

1m−时，()1101mxxm−−−+，121111mmm−=−++，解集为1{|1}1mxxm−+．综上所述：当1m−时，解集为1{|1}1mxxm−+；当1m=−时，解集为{|1}xx；当1m−时，解集为1{|1mxxm−+或1}x.

（3）()()21110mxmxm+−−+−，即()2211mxxxx−+−−+，210xx−+恒成立，()222211111xxxmxxxx−−−+=−+−+−+，设1xt−=，则1322t

，，1xt=−，()()222111111111xttxxtttttt−===−+−+−−−++−，12tt+，当且仅当1t=时取等号，2111xxx−−+，当且仅当0x=时取等号，当0x=时，22max111xxxx−−+=−+，1m．【

点睛】本题考察二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题.21．已知二次函数2()22fxxax=++．(1)若15x剟时，不等式()3fxax恒成立，求实数a的取值范围．(

2)解关于x的不等式2(1)()axxfx++（其中R)a．【答案】(1)22a；(2)答案见解析.【分析】（1）结合分离常数法、基本不等式求得a的取值范围；（2）将原不等式转化为()()210xax−+，对a进行分类讨论，由此求得不等式的解集.(1)不等式()3fxax

即为：220xax−+，当[1x，5]时，可变形为：222xaxxx+=+，即min2axx+，又22222xxxx+=…，当且仅当2xx=，即2[1,5]x=时，等号成立，min222xx+=，即22a，实数a的取值范围是：22a；(2)不

等式2(1)()axxfx++，即22(1)22axxxax++++，等价于2(12)20axax+−−，即(2)(1)0xax−+，①当0a=时，不等式整理为20x−，解得：2x；当0a时，方程(2)(1)0xax−+=的两根为：11xa=−，22x

=，②当0a时，可得102a−，解不等式(2)(1)0xax−+得：1xa−或2x；③当102a−时，因为12a−，解不等式(2)(1)0xax−+得：12xa−；④当12a=−时，因为12a−=，不等式(2)(1)0xax−+的解集为；⑤当12a−时，因为12a

−，解不等式(2)(1)0xax−+得：12xa−；综上所述，不等式的解集为：①当0a=时，不等式解集为(2,)+；②当0a时，不等式解集为()1,2,a−−+；③当102a−时，不等式解集为1(2,)a−；④当12a=−时，不等式解集为；⑤当12a−时，不等

式解集为1(,2)a−.22．已知函数2()(31)(,)fxxaxbabR=−++．(1)当5b=−时，关于x的不等式2(31)0xaxb−++的解集为(,1)(5,)−−+，求实数a的值；(2)当22baa=+时，求关于

x的不等式2(31)0xaxb−++的解集（结果用a表示）．【答案】(1)1a=(2)当1a−时，不等式的解集为(,21)aa+；当1a=−时，不等式的解集为；当1a−时，不等式的解集为(21,)aa+.【分析】（1）、根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系可得a的值；（2）、当22ba

a=+时，将原不等式因式分解，讨论a与1的大小关系，写出不等式的解集.(1)当5b=−时，2(31)50xax−+−的解集为(,1)(5,)−−+，方程2(31)50xax−+−=的根为1−和5，可得：1(31)5

0255(31)50aa++−=−+−=，1a\=.(2)当22baa=+时，222(31)0(31)20()[(21)]0xaxbxaxaaxaxa−++−+++−−+,①、当1a−时，21aa+，此时不等式的解集为(,21)aa+；②、当1a=

−时，21aa=+，此时不等式的解集为；③、当1a−时，21aa+，此时不等式的解集为(21,)aa+．