【文档说明】备战2023年高考数学题型猜想预测卷（上海专用） 猜题10 第18题 函数、不等式（拓展） Word版含解析.docx，共(33)页，1.755 MB，由小赞的店铺上传

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猜题10第18题函数、不等式（拓展）一、解答题1．已知函数2()(0)2xxafxaa=−，且(0)0f=.(1)求a的值，并指出函数()fx的奇偶性；(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数()fx在(,)−+上是增函数.【答

案】(1)1a=，()fx为奇函数(2)证明见解析【分析】（1）求出a的值，根据()fx−与()fx的关系判断()fx的奇偶性；（2）根据函数单调性的定义，任取12xx，判断12()()fxfx−的符号得到()fx的单调性.【解析】（1）因为1(0)0faa=−=，又0a，

所以1a=，所以1()22xxfx=−，(,)x−+，此时1()2()2xxfxfx−=−=−，所以()fx为奇函数；（2）任取12xx，则12121211()()2222xxxxfxfx−=−−+121212121121212221

1(22)(22)(1)2(1)(12)222xxxxxxxxxxxxxxx−+++−=−+=−+=+−，因为12xx,所以2121xx−,所以21120xx−−,11212(1)02xxx++所以12())0(fxfx−即12()()fxfx，所以函数()fx在(

,)−+上是增函数.2．已知函数()()2log3afxxax=−+，(01)aa，．(1)若4a=，写出它的单调递增区间；(2)若对于12112xx−−的任意实数1x，2x都有()()120fxfx−成立，试求实数a的范围．【

答案】(1)(10−，与()3+，(2)24a或01a【分析】（1）先求函数的定义域，再根据复合函数单调区间的求法求解；（2）先利用偶函数及条件判断区间112，上的单调性，结合二次函数的知识求解.【解析】（1）当4a=时，()()24log43fxxx=−+，此函数是

一个复合函数，外层是增函数，令2430xx−+可解得3x−，或11x−，或3x，即函数的定义域是()()()3113−−−+，，，；又22243043430xxxxxxxx−+−+=++，，，所以内层函数在()10−，与()3

+，上是增函数，所以复合函数()()24log43fxxx=−+在(10−，与()3+，上是增函数，所以函数的单调递增区间为(10−，与()3+，.（2）因为对于12112xx−−的任意实数1x，2x都有()(

)120fxfx−成立，所以11,2x−−时为增函数；易知()()fxfx−=，所以函数()fx为偶函数，所以当112x，时为减函数．对于112x，时，()()2log3afxxax=−+，(01)aa，；

设()23gxxax=−+，由题意得：()11210aag，或01122102aag；则24a或01a.3．已知函数()121log1kxfxx−=−为奇函数．(1)求常数k的值；(2)当1x时，判断(

)fx的单调性；(3)若函数()()12xgxfxm=−+，且()gx在区间3,4上没有零点，求实数m的取值范围．【答案】(1)1k=−(2)单调递增(3)2159,log,1638−++

【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值；（2）令121xx，结合对数函数的性质判断12(),()fxfx的大小关系即可.（3）将问题转化为1211log21xxmx−+=−在区间[3,4]上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围.【解析】

（1）由()()fxfx−=−，即11122211logloglog1111kxkxxxxkx−+−=−=−−−−，所以1111kxxkxx+=−−−−，故22211kxx−=−，则1k=，当1k=时，111xx−=−−显然不成立

，经验证：1k=−符合题意；所以1k=−；（2）()fx单调递增由（1）知：121()log1xfxx+=−，若121xx，则1212121212111112121212222211(1)(1)1()()loglogloglog11(1)(1)1xxxxxxxxfxfx

xxxxxxxx+++−−+−−=−==−−−++−−，而1212121211xxxxxxxx−+−+−−，即12121212111xxxxxxxx−+−+−−，所以12())0(fxfx−，故()fx单调递增.（3）由1211()log12xxgxmx+=−+−，令()0gx=

，所以1211log21xxmx−+=−，由（2）知：()fx在[3,4]上递增，而12xy=在[3,4]上递减，所以1211()log21xxhxx+=−−在[3,4]上递减，则2159()[lo

g,]1638hx+.又()mhx=在区间[3,4]上无解，故2159(,log)(,)1638m−++4．已知函数()ln(1)ln(1)(R)fxxaxa=++−的图象关于原点对称．(1)求a的值．(2)若()1()e2fxm

gxm−=−+有零点，求m的取值范围．【答案】(1)1a=−(2)(2,1)−m【分析】（1）根据()fx为奇函数，满足()()fxfx−=−，代入表达式即可求解，（2）根据题意将问题转化为1112xmxm+−=−+在

(1,1)x−上有解，进而根据(1,1)x−，即可求解m的范围.【解析】（1）由函数的解析式可得1010xx+−，求得11x−，故函数的定义域为(1,1)−．由题意可得，函数()fx为奇

函数，()()fxfx−=−，即ln(1)ln(1)[ln(1)ln(1)]xaxxax−++=−++−，即(1)ln(1)(1)ln(1)0axax+−+++=，故2(1)ln(1)0ax+−=恒成立，1a=−．（2）1()ln(1)ln(1)ln1xfxxxx+=+−−=−，

由题意可得：()1e02fxmm−−=+在(1,1)x−上有解，即：1112xmxm+−=−+在(1,1)x−上有解，即321xm=−−在(1,1)x−上有解，21(1,1)33xm=−−−，即211133m

−−−，解得21m−，(2,1)m−．5．已知函数21()1mxfxx+=+是R上的偶函数(1)求实数m的值，判断函数()fx在[0,)+上的单调性；(2)求函数()fx在[3−,2]上的最大值和最小值．【答案】(1)0m=，单调递增(2)

最小值110，最大值1【分析】（1）根据偶函数的定义，对照等式可求得0m=，再根据函数单调性的定义可判断函数()fx在[0,)+上的单调性.（2）根据函数的奇偶性和单调性，判断()fx在[3−,2]上的单调性，利用单调性可求得函数最值.【解析】（1）若函数21()1mxfxx+=+是R

上的偶函数，则()()fxfx−=，即22()111()1mxmxxx−++=+−+，解得0m=，所以21()1fxx=+，函数()fx在)0,+上单调递减．（2）由（1）知函数()fx在)0,+上单调递减，又函数()fx是R上的偶函数，所

以函数()fx在(−,0]上为增函数，所以函数()fx在[3−,0]上为增函数，在[0,2]上为减函数．又()()()113,01,2105fff−===所以minmax1()(3),()(0)110fxffxf=−===6．已知二次函数(

)()21Rfxxkxk=−+.(1)若()1gxxk=−−，且()gx和()fx都在区间[2,)+上单调递增，求实数k的取值范围；(2)若()0fx在,()0x+上恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)(),

2−(2)(,2−【分析】（1）结合二次函数、反比例函数的知识求得k的取值范围.（2）由()0fx分离常数k，结合基本不等式求得k的取值范围.【解析】（1）()fx在)2,+上递增，所以2,422kkk−−=，()gx的定义域

是|xxk，在)2,+上递增，所以2k，综上所述，k的取值范围是(),2−.（2）()210fxxkx=−+在()0,+上恒成立，211,kxxkxx++在()0,+上恒成立，1122xxxx+=

，当且仅当1,1xxx==时等号成立，所以2k，即k的取值范围是(,2−.7．已知定义域为R的函数()2122xxfxa=−+是奇函数.(1)求实数a的值；(2)判断函数()fx的单调性，并用定义加以证明；

(3)若对任意的xR，不等式()()2240fxmxfx−++成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)1(2)函数在定义域内单调递增，证明见解析(3)()4242，−【分析】（1）由()fx是奇函数可得()00f

=，求出a的值，再验证此时()fx是奇函数；（2）()fx先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数()fx在R上单调递增；（3）利用()fx的奇偶性和单调性将不等式变成224xmxx−−−，再利用二次函数恒成立求出实数m的取值范围.【解析】（1）因为函数的定义域为R，所以(

)110012fa=−=+，∴1a=.经检验当1a=时，有()()fxfx−=−，所以1a=.（2）()211111111212212221xxxxfx+−=−=−−=−+++，函数在定义域内单调递增，证明如下：设12xx，所以()()()()12212112112221212121xx

xxxxfxfx−−=−=++++，因为1222xx，所以()()12fxfx，所以函数()fx在R上单调递增.（3）∵()fx是奇函数，由已知可得()()()22244fxmxfxfx−−+=−−224xmxx−−−，则2240xmx−+，∴Δ0，

故24240m−，4242m−.∴实数m的取值范围为()4242，−.8．已知函数()||fxxa=−.(1)若不等式()()1fxfxm−+恒成立，求实数m的最大值；(2)若函数1()()gxfxa=+有零点，求实数a的取值范围.【答案】(1)m最大值为1(2)(,0)−【分析】

（1）利用绝对值三角不等式将原不等式进行转化从而求解；（2）通过分类讨论求解不等式.（1）∵()||fxxa=−，∴()||fxmxma+=+−，∴()()|||fxfxmxaxma−+=−−+−∣，则原不等式恒成立等价于：|||1xa

xma−−+−∣恒成立，由绝对值不等式abab−可得：|||xaxmam−−+−∣，∴||1m，∴11m−，∴实数m的最大值为1；（2）由题意可得1(),0gxxaaa=−+，当0a时，()0gx恒成立，故没有零点，不符合题意；当a<0时，10xaa

−+=，解得：1xaa=，即原函数有零点，综上所述，实数a的取值范围为(,0)−9．已知幂函数()()2133mfxmmx+=+−是偶函数．(1)求函数()fx的解析式；(2)函数()()2gxfxx=−，1,x

a，若()gx的最大值为15，求实数a的值．【答案】(1)2()fxx=(2)5【分析】（1）根据幂函数的特征，得2331mm+−=，解得4m=−或1m=，检验()fx是偶函数，得出答案；（2）求出2()2gxxx=−，利

用()gx的单调性，得2max()()215gxgaaa==−=，求解即可．【解析】（1）由题知2331mm+−=，即2340mm+−=，解得4m=−或1m=．当4m=−时，3()−=fxx，不是偶函数，舍去，当1m=时，2()fxx=，是偶函数，满足题意，所

以2()fxx=．（2）由（1）知2()2gxxx=−，且()gx图象的对称轴为1x=，所以()gx在1,a上是增函数，则2max()()215gxgaaa==−=，解得5a=或3a=−，又1a，所以5a=．

10．已知函数()fx是定义域在R上的奇函数，当[0,)x+时，2()2xfxxxm=+++.(1)求()fx在(,0)−上的解析式；(2)若()221()0fafa−+，求a的取值范围.【答案】(1

)2()21xfxxx−=−+−+(2)11,2−【分析】（1）由函数()fx为奇函数，得到1m=−，结合定义可得结果；（2）利用单调性与奇偶性解不等式即可.【解析】（1）因为函数()fx是定义域在R上的奇函数，所以(0)10fm=+=，则1m=−

.当0x时，0x−，所以()22()2121xxfxxxxx−−−=−−+−=−+−，则()2()21xfxfxxx−=−−=−+−+，所以()fx在(,0)−上的解析式为2()21xfxxx−=−+−+（2）当[0,)x+时，2()21xfxxx=++−，

则()fx在[0,)+上单调递增，又函数()fx为奇函数，所以()fx在R上单调递增，因为()221()0fafa−+，所以()221()fafa−−，所以221aa−−，解得112a−，即a的取值范围是11,2−11．已知定义在R

上的函数()()R391xxfxaxa=++为偶函数.(1)求a的值，并判断()fx在)0,+上单调性（只作判断，不用说明理由）；(2)若()()213fxfx−+，求x的范围.【答案】(1)0a=，()

fx在)0,+上单调递减(2)23x−或>4x.【分析】（1）依题意可得()()11ff=−，即可求出参数a的值，即可得到()fx的解析式，再根据偶函数的定义检验即可，最后根据复合函数的单调性判断函数的单调性；（2）根

据函数的奇偶性与单调性得到213xx−+，将两边平方，解一元二次不等式，即可得解；（1）解：因为函数的定义域是为R，且函数()fx为偶函数，则()()11ff=−，即331010aa+=−，所以0a=.所以()391xxfx=+，则()()13339191919xxxxxxxfxfx−

−−====+++，经检验，0a=时，()fx为偶函数，符合题意.因为()3119133xxxxfx==++，令()3xmx=、()1tmmm=+、1yt=，因为()3xmx=在)0,+上单调递增，且())1,mx+，又对勾函数()1tmmm=+在)1,+

上单调递增，所以133xxy=+在)0,+上单调递增，而1yt=在)2,+上单调递减，所以()3119133xxxxfx==++在)0,+上单调递减，即()fx在)0,+上单调递减；（2）解：因为()()213fxfx−+，则()()

213fxfx−+又因为()fx在)0,+上单调递减，所以213xx−+，即()()22213xx−+解得23x−或>4x.12．已知函数()224fxxx=++−.(1)求不等式()9fx„的解集；(2)若函数()fx的最小值是m，对任

意的实数0,0ab，且abm+=，求28ab+的最小值.【答案】(1)711,33−(2)92【分析】（1）零点分段法求解绝对值不等式；（2）先求出()24mf==，利用基本不等式“1”的妙用求解最值.(1)()32,22246,2232,2xxfx

xxxxxx−+−=++−=−+−−不等式()9fx„等价于2,329xx−−+„或22,69xx−−+剟„或2,329,xx−„解得:71133x−剟，即不等式()9fx„的解集是711,33−

.(2)由（1）可知()fx在(),2−单调递减，在()2,+上单调递增，所以()24mf==.因为4ab+=，所以()281281281044baabababab+=++=++.因为0,

0ab，所以282828babaabab+=，所以()281281910810442baabab+=+++=…，当且仅当48,33ab==时，等号成立.13．已知函数()qfxpxx=+（p，

q为常数），且满足5(1)2f=，17(2)4f=.(1)求函数()fx的解析式；(2)若0x，关于x的不等式()3fxm−恒成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)1()2(0)2fxxxx=+(2)[1,)+【分析】（1）

根据(1),(2)ff处函数值，代入解析式，即可得p，q的值，即可得答案.（2）由（1）可得()fx解析式，根据基本不等式，可得()fx的最小值，分析即可得答案.【解析】（1）()()512{1724ff==，52{17224pqqp+=+=，解得2{12pq==，函数()fx的解析

式为1()2(0)2fxxxx=+.（2）0x，由基本不等式可得()11222222fxxxxx=+=，当且仅当122xx=，即12x=时取等号，当0x，函数()212fxxx=+的最小值是2，要使0x

，关于x的不等式()3fxm−恒成立，只需()min3fxm−，所以23m−，解得m1.实数m的取值范围是[1,)+14．已知0a且1a，()()log1afxx=+，()()log1agxx=−，()1hxx=.(1)求()()()fxgxhx++的定义域D；

(2)已知0xD，请比较()0fx与()0gx的大小关系.【答案】(1)()0,1；(2)当1a时，()()00fxgx；当01a时，()()00fxgx.【分析】(1)根据对数函数真数大于零，分母不为零，偶次开根根号下非负即可列出不等式组求D；(2)根据a的范围，根据对数函数单

调性即可判断．(1)依题意，x应满足10100xxx+−，解得01x，∴函数()()()fxgxhx++的定义域D=()0,1；(2)当()00,1x时，有0011xx+−，①当1a时，函数

logayx=单调递增，∴()()00fxgx；②当01a时，函数logayx=单调递减，∴()()00fxgx．15．已知二次函数()fx满足()()12fxfxx+−=且()01f=．(1)求()fx的解析式；(2)若方程()fxax=，2,3x时有唯一

一个零点，且不是重根，求a的取值范围；(3)当1,1x−时，不等式()2fxxm+恒成立，求实数m的范围．【答案】(1)()21fxxx=−+(2)37,23(3)(),1−−【分析】（1）设()2fxaxb

xc=++，()01f=，得到1c=，代入函数计算得到11ab==−，得到解析式.（2）令()()hxfxax=−，只需()()230hh，解不等式并验证得到答案.（3）设()231gxxxm=−+−，确定函数的单调性，计算最值得到答案.【解析】（1）设()2fxaxbxc=++，则由(

)01f=，1c=．()()12fxfxx+−=，即22axabx++=，220aab=+=，即11ab==−，()fx的解析式为()21fxxx=−+．（2）令()()()211hxfxaxxax=−=−++，

则()232ha=−，()373ha=−，由()0hx=在2,3上有唯一零点且不是重根，只需()()230hh，()()32730aa−−，解得3723a，经检验32a=时，方程()0hx=在2,3上有唯一

解2x=；73a=时，方程()0hx=在2,3上有唯一解3x=，故实数a的取值范围为37,23．（3）212xxxm−++在1,1−上恒成立，即2310xxm−+−在1,1−上恒

成立．设()231gxxxm=−+−，其图象的对称轴为直线32x=，所以()gx在1,1−上单调递减．故只需()10g，即213110m−+−，解得1m−，(),1m−−16．已知()|2||2|()fxxaxa=++−R．(1)当2a=时，解

不等式()12fx；(2)若1x，不等式2()3fxxx++恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)不等式()12fx的解集为{|44}xx−；(2)a的取值范围为0,23．【分析】（1）将2a=代入，利用“零点分界法”去绝对值，解不等式即可.（2）将不等式化为

2|2|1axx−+，去绝对值，分离参数可得13axxaxx−++，令函数1()gxxx=−+(1x)，利用函数的单调性以及基本不等式即可求解.【解析】（1）当2a=时，()222221f

xxxxx=++−=++−，①当2x−时，不等式可化为(2)2(1)12xx−+−−，解得4x−，∴42x−−，②当2<<1x−时，不等式可化为(2)2(1)12xx+−−，解得8x−，∴2<<1x−，

③当1x时，不等式可化为(2)2(1)12xx++−，解得4x，∴14x，综上可知，原不等式的解集为{|44}xx−；（2）当1x时，不等式2()3fxxx++，即22|2|3xaxxx++−++，整理得2|

2|1axx−+，则22121xaxx−−−+，即2213xaxx−++，又1x，故分离参数可得13axxaxx−++，令函数1()gxxx=−+(1x)，显然()gx在

[1)+，上单调递减，∴()(1)0gxg=，当1x时，33223xxxx+=(当且仅当3x=时等号成立)，∴实数a的取值范围为0,23.17．已知函数22()log(2)log(2)fxxx=+−−

.(1)判断()fx的奇偶性，并说明理由；(2)若关于x的方程2()log()fxax=+有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.【答案】(1)()fx为奇函数，理由见解析(2)()1,2【分析】（1）根据奇偶性的定义即可求解，（2）将问题等价转化为4(

2)32axx=+−−−在区间()2,2−上有两个不同的实数根，构造函数()43,0,4yttt=+−，数形结合即可求解.【解析】（1）()fx为奇函数，理由如下：由题意得20,20,xx+−解得22x−，即函数()fx的定义域为()2,2−，故定义域

关于原点对称又()()()()22log2log2fxxxfx−=−−+=−，故()fx为奇函数．（2）由()()2logfxax=+，得()()()222log2log2logxxax+−−=+，所以22xaxx+=+−，所以()()422423222xxaxxxxxx−−+=−=−

=+−−−−−，故方程()()2logfxax=+有两个不同的实数根可转化为方程4(2)32axx=+−−−在区间()2,2−上有两个不同的实数根，即函数ya=与4(2)32yxx=+−−−在区间()2,2−上的图象有两个交点．设()2,

2,2,txx=−−则()43,0,4.yttt=+−作出函数()43,0,4yttt=+−的图象如图所示．当12a时，函数ya=与()43,0,4yttt=+−的图象有两个交点，即关于x的方程()()2logfxax=

+有两个不同的实数根，故实数a的取值范围是()1,2．18．设函数()2exfxxaxa=++，其中a为实数．(1)若()fx的定义域为R，求a的取值范围；(2)当()fx的定义域为R时，求()fx的单调减区间．【答案】(1)()0,4(2)答案见解析【分析】（1）由已知

，xR，20xaxa++，则Δ0，可解得实数a的取值范围；（2）求出()()()22e2xxxafxxaxa+−=++，对实数a的取值范围进行讨论，利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数()fx的单调递减区间.【解析】（1）解：由题意可知，xR，20xaxa

++，则240aa=−，解得04a.因此，实数a的取值范围是()0,4.（2）解：由题意可知，04a，()()()()()()22222ee2e2xxxxaxaxaxxafxxaxaxaxa++−++−==++++.因为04a时，222a−−.①当220a−−

时，即当24a时，由()0fx可得20ax−，此时函数()fx的单调递减区间为()2,0a−；②当20a−=时，即当2a=时，对任意的xR，()0fx且()fx不恒为零，此时函数(

)fx无单调递减区间；③当022a−时，即当02a时，由()0fx可得02xa−，此时函数()fx的单调递减区间为()0,2a−.综上所述，当02a时，函数()fx的单调递减区间为()0,2a−；当2a=时，函数()fx无单调递减

区间；当24a时，函数()fx的单调递减区间为()2,0a−.19．已知函数()fx的定义域为R，且()1ln2fxxx=++．(1)判断()fx的奇偶性及()fx在()0,+上的单调性，并分别用定义进行证明；(2)若对1,1x

−，()()22afxfxa+恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)()fx为偶函数，()fx在()0,+上的单调递增，证明见解析.(2)2a.【分析】（1）利用换元法，令lntx=，则Rt，e=tx，即可求得函数解析式，根据函数奇偶性以及单调性的定义

，判断函数的奇偶性和单调性，进而证明结论.（2）将原不等式化为()()22afxfx−，进而得()()22fxafx−在1,1x−恒成立，继而转化为求函数的最值问题，求得答案.【解析】（1）令lntx=，则Rt，e=tx，则()ee2ttft−=++，(

)fx为偶函数，下面证明：()fx的定义域为R，关于原点对称；Rx，则Rx−，()()ee2xxfxfx−−=++=，所以()fx为偶函数；()fx在()0,+上的单调递增，下面利用定义法证明：设1x，()20,x+

，12xx，()()()112212ee2ee2xxxxfxfx−−−=++−++()12121212121eeeeeeeexxxxxxxxxx+−−+−=−+−=−，因为()12,0,xx+，12xx，所以12eexx，12e1xx+，所以121

210xxxxee++−，12ee0xx−，则()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以()fx在()0,+上的单调递增．（2）由题意知，1,1x−，()()22afxfx−恒成立，因为()ee2xxfx−=++，()

fx在()0,+上的单调递增，且()fx为偶函数，所以当1,1x−时，()14,e2efx++，()22fx−，即()()22fxafx−在1,1x−恒成立，所以a小于或等于()()22fxfx−的最小值．令()()()222ee2ee2eexx

xxxxfxgxfx−−−++===+−+，()gx与()fx在()0,+上的奇偶性单调性相同，所以()2gx，（1,1x−），故()()22fxfx−的最小值为2，所以2a．20．已知定义在R上的函数12()2xxbfxa+−+=+满足()()0fxfx-+=．(1)求a、

b的值；(2)若对任意的Rt，不等式()()22490fttftk−+−恒成立，求实数k的取值范围.【答案】(1)2a=，1b=；(2)2,5−−.【分析】（1）根据()00f=，可得1b=，再由()()11ff=−−即可求解；（2）判断()fx在R上为减函数，结合函数为奇函数可

得2249tttk−−+，然后根据二次不等式恒成立即得.【解析】（1）因为定义在R上的函数12()2xxbfxa+−+=+满足()()0fxfx-+=，所以()00f=，即102ba−+=+，解得1b=，从而有()

1212xxfxa+−+=+，又由()()11ff=−−，知1121241aa−+−+=−++，解得2a=，经检验，当121()22xxfx+−+=+时，()()0fxfx-+=，满足题意，所以2a=，1b=；（2）由（1）知()12111222

21xxxfx+−+=−+++=，所以()fx在R上为减函数，由题可知函数()fx是奇函数，从而不等式()()22490fttftk−+−，等价于()()()222499fttftkftk−−−=−+.因为()fx是R上的减函数，

所以2249tttk−−+，即对一切Rt有21040ttk−−，从而Δ16400k=+，解得25k−，∴k的取值范围为2,5−−.21．已知函数()2426fxxaxa=+++.(1)若函数()fx的值域是)0,+，求实数a的值；(2)若xR，()0fx恒成立

，求()31gaaa=−−的值域．【答案】(1)1−或32(2)9,54【分析】（1）将问题转化为方程24260xaxa+++=只有一个实根，即可求解；（2）对1a−的正负进行分类讨论，结合二次函数在区间上的值域即可求得

()ga的值域.【解析】（1）因为函数()fx的值域为)0,+，即()fx的图像在x轴上方（含与x轴的交点），从而一元二次方程24260xaxa+++=只有一个实根，所以2Δ164(26)0aa=−+=，解得1a=−或32a=，所以1a=−或32a=.（2）因为xR，()0fx恒

成立，所以2Δ164(26)0aa=−+，解得312a−，则1212a−−，当210a−−，即11a−时，()()231313gaaaaaaa=−−=+−=−+，则()ga开口向上，对称轴为1

2a=，所以()ga在11,2−上单调递减，在1,12上单调递增，则()min11124gag==，又()()15,13gg−==，故()max5ga=，所以()1154ga；当1012a−，即312a时，()()231313gaaa

aaaa=−−=−−=−++，则()ga开口向下，对称轴为112a=，所以()ga在31,2单调递减，又()3913,24gg==，故()934ga，综上：()954ga，即(

)ga的值域为9,54．22．已知函数()22xxafx=+．(1)若(0)7f=，解关于x的方程()5fx=；(2)讨论()fx的奇偶性，并说明理由；(3)若()3fx在[1,3]x上恒成立，求实数a的取值

范围．【答案】(1)1x=或2log3x=(2)当1a=−时，()fx为奇函数；当1a=时，()fx为偶函数；当1a时，函数()fx为非奇非偶函数；(3)40a−【分析】（1）由题意(0)7f=，代入即可

求解；（2）要判断函数的奇偶性，只有检验()fx−与()fx的关系即可；（3）根据原不等式，分离参数，构造函数求最小值，即可得实数a的取值范围.【解析】（1）解：由题意(0)17fa=+=，6a=，6()22xxfx=+，由6252xx+=可整理得：()2

25260xx−+=，则可得22x=或23x=，1x=或2log3x=；（2）解：函数定义域R，①当()fx为奇函数时，()()fxfx−=−，2(2)22xxxxaa−−+=−+，1(1)(2)02xxa++=，1a=−；②当()fx为偶函数时，()()fxfx−=，2(2

)22xxxxaa−−+=+，1(1)(2)02xxa−−=，1a=；③当1a时，函数()fx为非奇非偶函数；综上，当1a=−时，()fx为奇函数；当1a=时，()fx为偶函数；当1a时，函数()fx为非奇非偶函数.（3）解：若()3

fx在[1,3]x上恒成立，则232xxa+，整理得()2232xxa−+令2xt=，由[1,3]x，则[2,8]t，又令2239()324htttt=−+=−−+，[2,8]t，所以()ht是[2,8]t上的减函数所以()()2min

883840hth==−+=−故实数a的取值范围为40a−.23．若函数()fx满足()21log1aafxxax=−+，其中0a，且1a．(1)求函数()fx的解析式；(2)判断并证明函数

()fx的单调性；(3)若01a，()40fx+在2x时恒成立，求a的取值范围．【答案】(1)()211xxafxaaa=−+，(2)见解析，(3)[52,1)−.【分析】（1）利用换元法，令logatx=，则txa=，代入化简可求出函数解析式，（2）

分1a和01a两种情况，利用单调性的定义判断即可，（3）由（2）可知()fx在(,2)−上递减，所将问题转化为(2)40f+，即2221401aaaa−++，从而可求出a的取值范围．【解析】（1）令logatx=，则tx

a=，所以()211ttaftaaa=−+，所以()211xxafxaaa=−+，（2）当1a时，()fx在R上递增，当01a时，()fx在R上递减，理由如下：当1a时，任取12,Rxx，且12xx，则121212211

()()1xxxxafxfxaaaaa−=−−++12121221xxxxxxaaaaaaa+−=−++()12122111xxxxaaaaa+=−++，因为1a，12xx，所以12xxaa，12210,

101xxaaa+++，所以120−xxaa，所以()121221101xxxxaaaaa+−++，所以12())0(fxfx−，即12()()fxfx，所以()fx在R上递增，当01a时，任取12,

Rxx，且12xx，则121212211()()1xxxxafxfxaaaaa−=−−++12121221xxxxxxaaaaaaa+−=−++()12122111xxxxaaaaa+=−++，因为01a，12xx，

所以12xxaa，12210,101xxaaa+++，所以120xxaa−，所以()121221101xxxxaaaaa+−++，所以12())0(fxfx−，即12()()fxfx，所以()fx在R上递减，（3）

当01a时，由（2）可知()fx在(,2)−上递减，因为()40fx+在2x时恒成立，所以(2)40f+，所以2221401aaaa−++，即2222(1)(1)401aaaaa+

−++，所以2410aa+−，解得25a−−或25a−+，因为01a，所以251a−+，即a的取值范围[52,1)−.24．若函数2()21(0)gxaxaxba=−++在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设()()gxfxx=．(1)求a、b的值；(2)若不等式()2

20xxfk−在[1,1]x−上有解，求实数k的取值范围；【答案】(1)10ab==(2)1k【分析】（1）由二次函数在[2,3]上的单调性最大值和最小值，从而求得,ab；（2）用分离参数法化简不等式为2111222xxk+−

，然后令12xt=换元，转化为求二次函数的最值，从而得参数范围．【解析】（1）2()(1)1gxaxba=−++−，对称轴1x=，0,()agx在[2,3]上单调递增，所以(2)11(3)314gbgab=+==++=，解得10ab==；

（2）由（1）知()1()2(0),220xxfxxxfkx=+−−化为12222xxxk+−，即2111222xxk+−，令12xt=，则221ktt−+，因为[1,1]x−，所以1,22t，问题化为()2max2

1ktt−+，记2()21httt=−+，对称轴是1t=，因为1,22t，所以max()(2)1==hth，所以1k．25．已知函数()fx满足()()2232fxfxxx+−=−．(1)求()fx的解析式

；(2)若关于x的方程()11fxmx=−−有3个不同的实数解，求m的取值范围．【答案】(1)()22fxxx=−(2)()0,+【分析】（1）用x−代替x，再消去()fx−即可得解；（2）令1tx=−，讨论

方程20tmt−=的实数解的情况，即可得出m的范围．【解析】（1）由()()2232fxfxxx+−=−①，可得()()2232fxfxxx−+=+②，联立①②可得()22fxxx=−．（2）由题可知2211xxmx−=−−，即()2110xmx−−−=，令

1tx=−，则关于t的方程20tmt−=有3个不同的实数解，20tmt−=，即()0ttm−=，解得0=t或tm=，则只需tm=有两个不同的非零实数解，则0m，所以m的取值范围为()0,+．26．已知函数()()22log6

1xfxxxx=+−−+(1)求()1f的值；(2)①求函数()fx的定义域M；②若实数aM，且()1aM+，求a的取值范围.【答案】(1)222+(2)①(1,2)M=−；②11a−.【分析】（1）利用函数解析式直接求解()1f的值即可；（2）①根据

二次根式，分式，对数求解函数定义域M即可；②根据元素与集合之间的关系，列不等式求解即可得a的取值范围.【解析】（1）解：∵()()22log61xfxxxx=+−−+，所以()2121log4222f=+=+（2）解：①()fx的定义域满足：21016

032xxxxx+−−−−，解得：12x−所以()fx的定义域(1,2)M=−；②∵实数aM，且()1aM+，又(1,2)M=−∴12121111221aaaaa−−−−+−

所以a的取值范围：11a−27．已知函数1()log1amxfxx−=−（a>0且a≠1）是奇函数．(1)求m的值；(2)当a>1时，判断f（x）在区间（1，＋∞）上的单调性并加以证明；(3)当a>1，(1,3)x时，f

（x）的值域是（1，＋∞），求a的值.【答案】(1)1m=−(2)单调递减，证明见解析(3)2+3【分析】（1）由已()()fxfx−=−可得11loglog011aamxmxxx+−+=−−−化为22211mxx−=−，求得1m=，

检验可得结果；（2）任取()()12211,logaxxfxfx−=()()()()21211111xxxx+−−+，先证明()()()()2121110111xxxx+−−+，再讨论两种情况，即可得结果；（3）由()fx在(

)1,3上递减，可得()31f=，解得23a=+.【解析】（1）由已知()()fxfx−=−即11loglog011aamxmxxx+−+=−−−，∴(1)(1)(1)(1)mxmxxx−+=+−，22

211mxx−=−∴1m=当=1m时，1101mxx−=−−舍去∴1m=−.经检验满足题意.（2）由（1）得1()log1axfxx+=−，任取121xx121xx()()()()()()()()()()11221211221111logloglog1111aaaxxxxfxf

xxxxx+++−−=−=−−−+,又212112(1)(1)(1)(1)2()xxxxxx+−−−+=−∴0＜2121(1)(1)(1)(1)xxxx+−−+＜1当(0,1)a时，2121(1)(1)log(1)(1)axxxx+−−+＞0，∴()()21fxfx，此时()fx为

增函数当(1,)+a时，2121(1)(1)log(1)(1)axxxx+−−+＜0，∴()()21fxfx，此时()fx为减函数．（3）由（2）知：当1a时，()fx在(1,)+为减函数又(1,3)(1,)+即()fx在(1,3)上递减，∴31(3)log13

1af+==−231(31)23231a++===+−.28．已知函数()fxxaxb=−−−，其中ab.(1)若不等式()1fx的解集为(,1−，且5ba−=，求实数a，b的值；(2)若()fx的图象关于点()2,0对称，且0a，求14ab+的最小值.【答案】(1

)2a=−，=3b(2)94【分析】（1）根据不等式()1fx的解集为(,1−，画出函数的图象结合图象可得答案；（2）根据()fx的图象关于点()2,0对称得出4ab+=，由141454+=++baabab利用基本不等式计算可

得答案.（1）()<=2>abxafxxabaxbbaxb−−−−，，，，即()5<=25>xafxxabaxbxb−−−，，，，∵不等式()1fx的解集为(,1−，如图所示，直线=1y与2yxab=−−相交于点(

)1,1，∴21ab−−=，得+=1ab.又∵5ba−=，解得2a=−，=3b；（2）若()fx的图象关于点()2,0对称，则a与b关于2对称，∴22ab+=，∴4ab+=，∴()141414195544444abbaababa

b++=+=+++=，当且仅当4baab=，即43a=，83b=时等号成立，∴14ab+的最小值为94.29．已知集合28120Axxx=−+，非空集合()()22222Bxxaxaax=+−−−.(1)

求集合A；(2)记条件p：xA，q：xB，且p是q必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)26Axx=(2)()()2,12,3−−【分析】（1）直接解二次不等式即可.（2）首先根据题意得到2|2Bxxaa=−，再根据必要不充分条件求解即可.【解析

】（1）解方程28120xx−+=，得两根为2和6，所以不等式28120xx−+的解为26x.故26Axx=.（2）()()22222xaxaax+−−−化为()()222220xaaxaa−−++−由()()222220xaaxa

a−−++−=解得12x=，22xaa=−.由于B非空，故22aa−，故1a−，2a.因为p是q必要不充分条件，则B是A的真子集，此时2|2Bxxaa=−，所以2262aaaa−−，解得21a−−或23a.所以实数a的取值范围是()()2,12,3−−.30．已知全

集为实数集R，集合2|280Axxx=−−，2|11xBxx=−，|50R.Cxxaa=−−，(1)求A∩B;(2)若CAA=，求实数a的取值范围.【答案】(1))(2114−−，，(2)13a−.【分

析】（1）求出集合A、B，再求交集即可；（2）求出集合C和A，再利用集合间的包含关系列不等式求解.【解析】（1）2|2802,4Axxx=−−=−，()()21|1|0|110{|111xxBxxxxxxxxx+===+−

=−−−或1}x，)(2114AB=−−，，（2）|50R{|5Cxxaaxxa=−−=−，或5}xa+CAA=，则CA又{|2Axx=−或4}x，5254aa−−+，

解得13a−31．已知关于x的不等式101axx−+的解集为P，不等式11x−的解集为Q.(1)若()1,1,2P=−−−+，求a的值；(2)若“xQ”是“xP”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】(1)2a=−(2)1,2

−【分析】（1）将分式不等式转化为二次不等式，根据不等式的解集，结合二次方程根与系数关系可得a；（2）分别确定集合P与Q，根据命题的充分必要性可的QP，进而可得a的取值范围.【解析】（1）由不等式101axx

−+得()()110xax+−，即()2110axax+−−，由于其解集是()1,1,2−−−+，所以12−，1−是一元二次不等式()2110axax+−−=的两个实数根，所以()1112a−−−=，解得2a=−；（2）由11x−得02x，所以()

0,2Q=，若“xQ”是“xP”的充分不必要条件，则QP，当0a=时，()1,P=−+，满足题意；当0a时，11,Pa=−，所以12a，所以102a；当10a−时，()1,1,aP=−−+

，QP成立；当1a=−时，()(),11,P=−−−+，QP成立；当1a−时，()1,1,Pa=−−+，QP成立；综上所述，实数a的取值范围是1,2−.32．已知28200Pxxx=−−，非空集合11Sxmxm=−+

．(1)若“xP”是“xS”的必要条件，求m的取值范围．(2)若“xP”是“xS”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)03m(2)9m【分析】（1）首先解一元二次不等式求出P，依题意SP且S，即可得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得P是S的充分不

必要条件，即PS，即可得到不等式组，解得即可.【解析】（1）解：由28200xx−−，即()()1020xx−+，解得210x−，所以28200|210Pxxxxx=−−=−，又

11Sxmxm=−+因为xP是xS的必要条件，所以SP，则1112110mmmm−+−−+，解得039mmm，即03m．（2）解：因为“xP”是“xS”的必要不充分条件，则P是S的充分

不必要条件，即PS，即12110mm−−+，且等号不同时成立，解得9m，即m的取值范围是9m．33．已知()23fxxx=−−．(1)求不等式()fxx的解集；(2)若a，()1,b+，且对任意实数x，恒

有()fxabab+−，证明：217ab++．【答案】(1)()[)3,33,-+?(2)证明见解析【分析】（1）分类讨论去绝对值，解一元二次不等式即可；（2）分类讨论求出()fx最小值，结合均值不等式，原命题等价成()()2min4ababababfx++−+−，解不等式

即可得出结论.【解析】（1）()2223,333,3xxxfxxxxxx−+=−−=+−，∴()fxx可化为233xxxx−+①或2033xxxx+−②或203xxx

x+−−③，①解得3x；②解得03x；③解得30x−.综上，不等式()fxx的解集为()[)3,33,-+?；（2）证明：()2223,333,3xxxfxxxxxx−+=−−=+−，则当3x

，()()39fxf=；当3x时，()11324fxf−=−.则若a，()1,b+，且对任意实数x，恒有()fxabab+−等价于134abab+−−，则()21344abababab++

−+−−，即()()24130abab+−+−，可解得217ab++或217ab+−（舍去），当且仅当ab=时等号成立.34．已知函数()|32|fxx=+.(1)解不等式()6|2|fxx−−；(2)已知4(,0)mnmn+=，若11||()xafxmn

−−+(0)a恒成立，求函数a的取值范围.【答案】(1)3,12−(2)10,3【分析】（1）利用零点分段法分类讨论解绝对值不等式即可.（2）利用基本不等式求出11mn+的最小值，令g(x)＝|x－a|－f(

x)＝|x－a|－|3x＋2|，只需g(x)max1即可求解.【解析】（1）不等式()62fxx−−，即3226xx++−.当23x−时，即3226xx−−−+，得3223x−−；当223x−时，即3226xx+−+，得213x−

≤；当2x时，即3226xx++−，得32x，无解.综上，原不等式的解集为3,12−.（2）已知4(,0)mnmn+=，()111114mnmnmn+=++=11114nmmn+++，当2mn==时取等号，故11mn+的最小值为1.令()()

gxxafx=−−=32xax−−+=222,3242,322,xaxxaxaxaxa++−−−+−−−−，又()32gaa=−−，则函数()gx在区间23−−，上单调

递增，在区间2,3−+单调递减，所以当23x=−时，()max23gxa=+.要使不等式恒成立，只需()max213gxa=+，即103a，故所求实数a的取值范围是10,3.