【文档说明】备战2023年高考数学题型猜想预测卷（上海专用） 猜题13 第17-18题 三角函数（上海精选归纳） Word版含解析.docx，共(43)页，2.510 MB，由小赞的店铺上传

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猜题13第17-18题三角函数（上海精选归纳）一、解答题1．（2021秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知函数21()3sincoscos(R)2fxxxxx=−−．(1)当π5π[,]1212x−时，分别求函数()f

x取得最大值和最小值时x的值；(2)设ABC的内角A，B，C的对应边分别是a，b，c，且23a=，6b=，12Af=−，求ABC的面积ABCS．【答案】(1)最大值0，此时π3x=；最小值312−−，此时

π12x=−；(2)33或63.【分析】（1）利用倍角公式降幂，辅助角公式化简，由定义区间求最大值和最小值时x的值；（2）由函数值求得角A，余弦定理求得c边，由面积公式计算面积.【解析】（1）2131cos21()3sincosc

ossin22222xfxxxxx+=−−=−−，31sin2cos2122xx=−−πsin(2)16x=−−，因为π5π[,]1212x−，有ππ2π2[,]633x−−，所以3πsin(2)126x−−，π()sin(2)16fxx=

−−的最大值0，此时π3x=，π()sin(2)16fxx=−−的最小值312−−，此时π12x=−；（2）πsin1126AfA=−−=−，所以πsin06A−=，由A为三角形内角得π6A=，因为23a=，6b=，由余

弦定理2222cosabcbcA=+−得21236630cc=+−=，解得23c=或43c=，由13sin22ABCbcAcS==，得33ABCS=或63ABCS=△.2．（2021·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数23()sin3sincos(,,0

)2fxaxaxxababa=+−+，(1)若当π0,2x时，函数()fx的值域为5,1−，求实数,ab的值；(2)在（1）条件下，求函数()fx图像的对称中心和单调区间.【答案】(1)4,5ab=−=−；(2)对

称中心为)ππ(,1)21(Z2kk−+，单调减区间为,(Z)6πππ3πkkk−+，()fx的单调增区间为π5ππ,π(Z)36kkk++.【分析】（1）利用三角恒等变换得到()πsin

(2)6fxaxab=−−+，结合π0,2x得到3(),2fxbab−+，从而列出方程组，求出实数,ab的值；（2）整体法求解函数的对称中心和单调区间.【解析】（1）23()sin3sincos(,,0)2fxaxaxxabab

a=+−+1cos233sin2222xaaxab−=+−+πsin(2)6axab=−−+π0,2x，π52,ππ666x−−，π1sin(2),162x−−，又0a，πsin(2),62aaxa

−−，因此3(),2fxbab−+，∴3125abb−+==−，解得：45ab=−=−.（2）由（1）知π()4sin(2)16fxx=−−−，令2(Z)6ππxkk−=，整理得(Z)212ππkxk=+，()fx的图像

的对称中心为)ππ(,1)21(Z2kk−+，令πππ2π22π(Z)262kxkk−−+，整理得：ππππ(Z)63kxkk−+，()fx得单调减区间为,(Z)6πππ3πkkk−+，令222(Z)ππ3ππ+π262kxk

k−+，整理得：)π5πππ3(Z6kxkk?Î+?，故()fx的单调增区间为π5ππ,π(Z)36kkk++.3．（2022秋·上海宝山·高三统考期末）已知函数()()()cossin3cosfxxxxx=−R．(1)求()fx的最小正周期和单调增区间；(2)在

ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．若322Bf=−，6b=，求ABC的面积的最大值．【答案】(1)函数()fx的最小正周期为π，单调递增区间是()π5ππ,πZ1212kkk−+(2)93【分析】（1）利用三角恒等变换化简得出(

)π3sin232fxx=−−，利用正弦型函数的周期公式可求得函数()fx的最小正周期，解不等式()πππ2π22πZ232kxkk−+−+可得出函数()fx的单调递增区间；（2）由322Bf=−结合角

B的取值范围可求得角B的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得ac的最大值，再利用三角形的面积公式可求得ABC面积的最大值.【解析】（1）解：()211cos2cossin3cossin2322xfxxxxx+=−=−133π3sin2cos2s

in222232xxx=−−=−−，所以，函数()fx的最小正周期为2ππ2T==，令()πππ2π22πZ232kxkk−+−+，解得()π5πππZ1212kxkk−+，故函数()fx的

单调递增区间是()π5ππ,πZ1212kkk−+.（2）解：π33sin2322BfB=−−=−，即sin03B−=，()0,πB，则ππ2π3

33B−−，π03B−=，可得π3B=，由余弦定理以及基本不等式可得22222362cosbacacBacacac==+−=+−，即36ac，当且仅当ac=时，等号成立，故13sin9324ABCSacBac==△，即ABC面积的最大值为93.4．（

2020春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）函数()()26cos3sinx302xfx=+−在一个周期内的图像如图所示，A为图像的最高点，,BC为图像与x轴的交点，且ABC为正三角形

.(1)求的值；(2)若()0835fx=，且0102,33x−，求()01fx+的值.【答案】(1)π4；(2)765.【分析】（1）根据三角恒等变换得()π23sin3fxx=+，再结合三角函数性质，根据周期公式即可得答案；（2）结合

题意得0ππ4sin435x+=，进而根据正弦和角公式求解()00πππ123sin434fxx+=++即可.【解析】（1）解：()21cos6cos3sin363sin322xxfxxx+=+−=

+−π3cos3sin23sin3xxx=+=+，因为ABC为正三角形，且高为23，所以，4BC=，所以，函数()fx的周期428T==，即2π8=，解得π4=；所以π4=（2）解：因为()0835fx=，

()ππ23sin43fxx=+所以，()0023s83in435fππxx==+，即0ππ4sin435x+=，因为0102,33x−，所以0πππ

π,4322x+−所以，0ππ3cos435x+=，所以()00πππ123sin434fxx+=++，00ππππππ42327623sincoscossin2343443452525xx

=+++=+=5．（2021春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知函数221()cossin+2fxxx=−，π()0,x；(1)求的单调增区间与值域；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知()0fA=，1b=，A

BC的面积为32，求B的值.【答案】(1)单调增区间π,π2；值域13,22−；(2)π6B=或3arctan5B=.【分析】（1）根据二倍角公式化简()fx，整体法即可求解单调区间和值域，（2）代入()fA得π3A=或2π3

，进而根据三角形面积公式以及正弦定理即可求解.【解析】（1）2211()cossincos222fxxxx=−+=+，则π2π22π(Z)kxkk−+解得πππ(Z)2kxkk−+；因为π()0,x，即单调增区间为π,π2且2(0,2π)x

，则()113cos2,222fxx=+−.（2）11()cos20cos222fAAA=+==−，2(0,2π)A则2π23A=或4π3，则π3A=或2π3，当π2π33ABC=+=时，且1b=，13sin222ABCSbcAc===；由正弦

定理可知12122πsinsinsinsin3BCBB==−，化简得cos3sinBB=,解得3tan3B=，()0,πB,所以π6B=.同理，当2ππ33ABC=+=时，且1b=，13sin222ABCSbcAc===，由正弦定理可知1212

πsinsinsinsin3BCBB==−，化简得3cos5sinBB=，解得3tan5B=，()0,πB,即3arctan5B=.6．（2021秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考阶段练习）已知0

a，函数()2sin(2)26fxaxab=−+++，当[0,]2x时，5()1fx−.(1)求常数,ab的值；(2)设()()2gxfx=+且lg()0gx，求()gx的单调增区间.【答案】

(1)2a=，=5b−(2)(,],6kkkZ+【分析】（1）由0,2x求出26x+的范围，则利用正弦函数的性质可求出πsin26+x的范围，从而可求出()fx的范围，再结合已知条件列方程组可求出

,ab的值；（2）由（1）求出()gx的解析式，再由lg()0gx，可得ππ5π2π22π666kxk+++，Zk，然后由222662kxk+++可求出()gx的单调增区间.【解析】（

1）当0,2x时，ππ7π2,666x+，所以1πsin2126x−+.所以22sin(2)6aaxa−−+，则()3bfxab+.因为5()1fx−，所以531bab=−+=，解得2a=，=5b−；（2）π()4sin21

6fxx=−+−，π()2gxfx=+，即ππ7ππ()4sin214sin214sin212666gxxxx=−++−=−+−=+−.因为lg()0gx，所以π4sin2116x+−，所以π1sin2

62x+，所以ππ5π2π22π666kxk+++，Zk.令222662kxk+++，Zk.解得6kxk+，所以()gx的单调增区间为ππ,π,Z6kkk

+.7．（2021秋·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知函数()22πsinsin(,4fxxxx=−−R为常数，且01)，函数()fx的图像关于直线π2x=对称．(1)求函数()fx的最小正周期；(2)在锐角ABC中，角,,A

BC的对边分别为,,abc，若11,()2afA==，求ABC的面积S的最大值．【答案】(1)4π3(2)34【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，利用正弦函数的性质求，即可得解函数解析

式，利用正弦函数的周期公式即可求解；（2）由题意可求3π2sin()242A−=，根据范围π(0,)2A，可求A的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求1bc，根据三角形面积公式即可求解.【解析】（1）因为()

22πsinsin4fxxx=−−1π1cos2cos2242xx=−−()12πsin2cos2sin(2)224xxx=−=−，函数()fx的图像关于直线π2x=对称，所以πππ2π,242k

k−=+Z，所以3,4kk=+Z，因为01，所以34=，所以23π()sin()224fxx=−，最小正周期为2π4π332T==；（2）223πsin(21))24(fAA=−=，所以3π2sin()242A−=，又π(0,

)2A，所以3ππ=244A−，所以π3A=，因为1a=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即221bcbcbc=+−，所以1bc，当且仅当bc=时取等号，所以ABC的面积S的最大值为13sin24bcA=．8．（2020秋·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）已知函数()

2π3sin2sinsincos3fxxxxx=+−+.(1)若函数()yfx=的图像关于直线(0)xaa=对称，求a的最小值；(2)若存在0π5π,36x，使()040mfx−=成立，求实数m的取值范围.【答案】(1)5π12(2))43,

2,3−−+【分析】（1）利用三角恒等变换化简()fx的表达式，结合正弦函数的对称轴即可求出π5π,Z212kak=+，可得答案；（2）由0π5π,36x，确定0ππ4π2,333x−，可得()0f

x范围，讨论其是否为0，即可求得答案.【解析】（1）由题意得()2133sin2cossincossincos22fxxxxxxx=+−+222sincos3cos3sinsin23cos2xx

xxxx=−+=−π2sin(2)3x=−，令ππ2π,Z32xkk−=+，得π5π,Z212kxk=+，所以π5π,Z212kak=+，又0a，所以a的最小值为5π12.（2）当0π5π,36x

时，0ππ4π2,333x−，0π3sin2,132x−−，()03,2fx−，所以当0()0fx=时，()040mfx−=即40−=，不合题意；当0()0fx时，即()0[3,0)(0,2]fx−，则())0443,

2,3mfx=−−+.9．（2023·上海静安·统考一模）平面向量2(3sin,cos),(cos,3)mxxnx==−，函数3()2yfxmn==+.(1)求函数y=()fx的最小正周期；(2)若[0,]2x，求y=()fx的值域；(3)在△ABC中，内角AB

C、、的对边分别为abc、、，已知()3fB=，2,7ab==，求△ABC的面积.【答案】(1)π(2)3,32−(3)332【分析】（1）利用数量积、二倍角公式和辅助角公式化简得到()3sin26xfx

=−，然后求最小正周期即可；（2）利用换元法和三角函数单调性求值域即可；（3）利用余弦定理得到c，然后利用三角形面积公式求面积即可.【解析】（1）233333sincos3cossin2cos23sin222262mnxxxxxx=−=−−=−−

，所以()3sin26xfx=−，最小正周期为.（2）设26x=−，0,2x，566−，3sin在,62−上严格增，在5,26上严格减，1sin62−=−，51sin62

=，sin12=，所以y=()fx的值域为3,32−．（3）()3fB=，即sin216B−=，因为B为三角形内角，所以3B=．2471cos222cBc+−==，即2230cc−−=，解得3c=.所

以△ABC的面积为1333sin3222acB==.10．（2022春·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习）已知23()sincos3cos2fxxxx=+−，将()fx的图象向右平移π02个单位后，得到()gx的图象，且()gx的图象关于π,06对称

．(1)求；(2)若ABC的角,,ABC所对的边依次为,,abc，外接圆半径为R，且121,1,823AgbR=−==，若点D为BC边靠近B的三等分点，试求AD的长度．【答案】(1)π3=(2)133AD=【分析】（1）根据三角恒等变换可得()π

sin23fxx=+，由正弦型函数的图象变换可得π()sin223gxx=−+，根据正弦型函数的对称性即可求解；（2）由182Ag=−可得2π3A=，根据正弦定理可求a，从而可求BD，在ABC中利用余弦定理可求c与cosB，在ABD△中利用

余弦定理即可求AD.【解析】（1）πsin23x=+，π()sin223gxx=−+，因为()gx的图象关于π,06对称，所以()ππ2π33kk−+=Z，所以ππ,23kk−=+Z.又π02，所以π3=；（2）π()sin

23gxx=−，因为182Ag=−，所以ππ2π436Ak−=−或π52ππ,436Akk−=−Z，所以28ππ3Ak=+或8π2π,Akk=−Z.因为(0,π)A，所以2π3A=，在ABC中，由正弦定理得2s

in7aRA==，因为点D为BC边靠近B的三等分点，所以73BD=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，即271cc=++，解得2c=，所以22274157cos21447acbBac+−+−===，在ABD△中，由余弦定理得2222cosADBABDBABDB=+−77571

342293149=+−=，所以133AD=．11．（2022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知向量131,sincos,((),1)22mxxnfx=+=−，且mn⊥，(1)求函数

()fx在0,2x上的值域；(2)已知ABC的三个内角分别为,,ABC，其对应边分别为,,abc，若有16fA−=，3BC=，求ABC面积的最大值.【答案】(1)1,12(2)334【分析】（1）根据向量的数量积为0求得()fx解析式进而求得值域.（2）

利用余弦定理和基本不等式即可求得面积的最大值.【解析】（1）由已知mn⊥，131,sincos,((),1)22mxxnfx=+=−，所以=0mn所以13()=sincos=sin223fxxxx++，又因为0,2x

所以5,336x+，所以1sin,132x+，即1(),12fx()fx在0,2x上的值域为1,12（2）由（1）知：()=sin

3fxx+所以16fA−=πsin16A+=，又()ππ7π0,π,,666AA+所以ππ=62A+，所以=3A，又因为3a=由余弦定理可得：2222cosabcbcA=+−，所以22

3=2bcbcbcbcbc+−−=所以11333=sin32224SbcA=，当且仅当3bc==时取“=”故ABC面积的最大值为33412．（2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）已知Ra，函数2()sinsinfxxax=−.(1)当2a=时，求()fx的

值域；(2)若函数π()2yfxfx=−−在区间π0,2上是严格增函数，求a的最大值；(3)设1,2au=R.方程()fxu=的所有正实数解按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差

数列？若能，求所有满足条件的u的值；若不能，说明理由.【答案】(1)()fx的值域为1,3−；(2)a的最大值为2−；(3)12u=或32u=满足条件，理由见解析.【分析】(1)结合二次函数性质和正弦

函数的性质可求()fx的值域；(2)由已知可得π()02fxfx−−在π0,2上恒成立，通过换元及分离变量结合不等式与函数关系，可求a的最大值；(3)结合已知条件及正弦函数图象及性质可求u的值；【解析】（1）因为2a=，2()s

insinfxxax=−，所以()22()sin2sinsin11fxxxx=−=−−，因为1sin1x−，所以2sin10x−−，所以()13fx−，所以()fx的值域为1,3−；（2）因为2()sinsinfxxax=−，π()2yfxfx=−−

，所以22ππsinsinsinsin22yxaxxax=−−−+−，化简得22sinsincoscosyxaxxax=−−+，因为函数π()2yfxfx=−−在区间π0,2

上是严格增函数，所以2sincoscos2cossinsin0yxxaxxxax=−+−在π0,2上恒成立，所以()4sincossincos0xxaxx−+在π0,2上恒成立，令sincostxx=+，则π2sin4tx=+，因为π0,2x

，所以12t，又22sincos1xxt=−，所以2220tat−−在1,2上恒成立，所以22att−在1,2上恒成立，又函数22ytt=−在1,2上单调递减，所以

当2x=时，22ytt=−取最小值，最小值为2−，所以2a−，所以a的最大值为2−；（3）因为2()sinsinfxxax=−，12a=，所以不等式()fxu=可化为21sinsin2xxu−=，令sintx=，则2

12ttu−=，11t−，作函数()21112yttt=−−的图象，又当14t=时，112216tt−=−，由图象可得当116u−或32t时，方程2102ttu−−=在1,1−上没有解，方程()fxu=没有解；当116u=−时，方程2102ttu−−=的解

为14t=，则1sin4x=，方程1sin4x=的正实数解按从小到大的顺序排列记为1234,,,,xxxx，如图，则1π0,6x，25π,π6x，312πxx=+，所以该数列不是等

差数列，当11162u−时，方程2102ttu−−=在1,1−内有两个解，设方程的解为12,tt，且1211124tt−，1212tt+=，作函数sinyx=，1yt=，2yt=图象如下，方程1sinxt=和2sinxt=的正实数解按从小到大的顺序排列

记为1234,,,,xxxx，设数列1234,,,,xxxx为等差数列，设数列的公差为1d，因为512πxx−=，所以π2d=，12πxx+=，则1π4x=，所以35π4x=，则122t=−，222t=与1212tt+=矛盾，当1322u

时，方程2102ttu−−=在1,1−内有一个解，设方程的解为3t，且3112t−−，作函数sinyx=，3yt=，图象如下，方程3sinxt=的正实数解按从小到大的顺序排列记为1234,,,,xxxx，设数列1234,,,,xxxx为等差数列，设数

列的公差为1d，因为312πxx−=，所以πd=，123πxx+=，则1πx=，所以30t=，与3112t−−矛盾，若32u=，则方程2102ttu−−=在1,1−内的解为41t=−，所以sin1x=−，所以32ππ2x

k=+，所以方程()fxu=的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为π2π2k−，该数列为等差数列，满足条件；当12u=时，方程2102ttu−−=在1,1−内有两个解51t=，612t=−，由sin1x=，可得π2π2xk=+，Zk，由1si

n2x=−，可得π2π6xm=−或5π2π6xm=−，mZ，所以方程()fxu=的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足()32π12π2kxk−=+−，()317π12π6kxk−=+−，()311

π12π6kxk=+−，所以()π2π123nxn=+−，所以该数列为等差数列，综上所述，当12u=或32u=时，方程()fxu=的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为等差数列.13．（2021秋·上海奉

贤·高三校考阶段练习）已知函数()3sin()cos()(0,0)fxxx=+−+为偶函数，且函数()yfx=图象的两相邻对称轴间的距离为π2．(1)求8f的值；(2)将函数()yfx=的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标申长到原来的4倍

，纵坐标不变，得到函数()ygx=的图象．求()gx的单调递减区间．【答案】(1)2(2)8π4π,4π()32π3kkk++Z【分析】（1）化简得到()π2sin6fxx=+−，根据偶函数的性质

结合周期公式计算得到2π3=，2=，得到函数解析式，代入计算得到答案.（2）根据题意得到()46πxgxf=−，根据三角函数单调性解不等式2π2ππ()π23xkkk−+Z得到答案.【解析】（1）31()3sin()cos()2sin()co

s()22fxxxxx=+−+=+−+2sin6x=+−.()fx为偶函数，对xR，()()fxfx−=恒成立，因此sinsin6π6πxx−+−=+−.即sincoscossinsincoscossin66

ππππ66xxx−−+−=−+−，整理得到0πsincos6x−=.0，且xR，cos06π−=，又0π，故2ππ6−=，2π3=.π()2si

n2cos2fxxx=+=，2ππ2π2T===，故2=，()2cos2fxx=.故ππ2cos284f==.（2）根据题意：()2cos22cos46462π3ππxxxgxf=−=−=−.当2π2ππ()π

23xkkk−+Z，即8π4π4π()2π33kxkk++Z时，函数单调递减.即()gx的单调减区间为8π4π,4π()32π3kkk++Z.14．（2022·上海奉贤·统考模拟预测）已知函数f(x)＝3sin2ωx+cos2ωx+1（0＜ω＜5），

将函数的图像向右平移6个单位，得到函数y＝g(x)的图像，x＝3是g(x)一个零点．(1)求函数y＝f(x)的最小正周期；(2)求函数y＝g(x)在[0,]6x上的单调区间．【答案】(1)3(2)单调递增区间为[,]186；单调递减

区间为[0,]18；【分析】（1）直接利用函数的关系式的恒等变换和函数的零点求出函数的关系式，进一步求出函数的最小正周期；（2）利用正弦型函数的性质的应用和函数的单调性的应用求出结果．【解析】（1）函数()3sin2cos212sin(2)16fxxxx=++=

++；将函数的图像向右平移6个单位，得到函数()2sin(2)136ygxx==−++的图像，由于()03g=，整理得：2sin(2)10336−++=，故72366k+=+或112(Z)366kk+=+，

整理得23k=+或52(Z)33kk=+，即ω＝6k+3或ω＝6k+5（k∈Z）；由于05，所以k＝0，ω＝3，故()2sin(6)16fxx=++，所以函数y＝f(x)的最小正周期为263T==；（2）由于函数的图像向右平移6个单位，得到函数5()2s

in(6)16ygxx==−+的图像，令5262(Z)262kxkk−+−+，整理得112(Z)18339kxkk++；由于[0,]6x，故函数的单调递增区间为[,]186；令53262(Z)262kxkk

+−+，整理得2117(Z)93318kxkk++；由于[0,]6x，整理得函数的单调递减区间为[0,]18．所以函数y＝g(x)在[0,]6x上的单调递增区间为[,]186，单调递减区间为[0,]18．1

5．（2022·上海徐汇·统考三模）已知函数()()sin0,02fxMx=+的部分图象如图所示.(1)求函数()fx的解析式；(2)在A为锐角的ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若6222Af+=，232b

c+=+，且ABC的面积为3，求a的值.【答案】(1)()2sin26fxx=+(2)10a=或2421261232a=−+−【分析】（1）由图象可得出函数()fx的最小正周期，可求得的值，代入点5,012、()0,1的坐标，可分别求出、M的值，可得

出函数()fx的解析式；（2）由6222Af+=结合角A的取值范围可求得角A的值，利用三角形的面积公式可求得bc的值，利用余弦定理可求得a的值.【解析】（1）解：由图象可知，函数()fx的最小正周期为11521212T=−=，22T

==.因为点5,012在函数()fx的图象上，所以5sin2012M+=，即5sin06+=.又02，则554663+，从而56+=，即6

=.又点()0,1在函数()fx的图象上，所以由sin16M=，得2M=.此时()2sin26fxx=+，则()fx在56x=附近单调递增，合乎题意，所以函数()fx的解析式为()2sin26fxx=+.（2）解：由62

2sin262AfA+=+=，所以，62sin=64A++，因为562sinsinsincoscossin124646464+=+=+=，562coscoscoscossinsin124646464−=+=−=

，0,2A，则2663A+，所以，1256A+=或712，可得4A=或512，当4A=时，因为12sin324ABCSbcAbc===△，可得62bc=.又因为232b

c+=+，所以()22222cos22cosabcbcAbcbcbcA=+−=+−−，解得10a=；当512A=时，因为162sin328ABCSbcAbc+===△，可得6662bc=−，因为232bc+=+，所以()222

22cos22cosabcbcAbcbcbcA=+−=+−−，解得2421261232a=−+−.所以10a=或2421261232a=−+−.16．（2022·上海宝山·上海交大附中校考模拟预测）已知函数()()1cos2fxxgxfx

==+，，其中0,2π(1)若12=且直线π2x=是()gx的一条对称轴，求()gx的递减区间和周期；(2)若21π3==，，求函数()()()hxfxgx=−在π0,2上的最小值；【答案】(1)3ππ4π,4π,22

kkkZ−++；4π(2)14−【分析】（1）根据题设中的对称轴可得π2π,2kkZ=−，根据其范围可求其值，再根据公式和整体法可求周期及减区间.（2）利用三角变换和整体法可求函数的最小值.

【解析】（1）可知11()cos22gxx=+，因为直线π2x=是()gx图象的一条对称轴，故1π1π,222kkZ+=，解得π2π,2kkZ=−，而0,2π，故3π2=，则13()cosπ24

gxx=+，则周期2π4πT==，再令13π[2π,π2π],24xkkkZ++，则3ππ4π,4π,22xkkkZ−++，故()gx的递减区间为3ππ4π,4π,22kkkZ−++.（2）可知π(

)cos3gxx=+ππ()cos()coscoscos33hxxxxx=−+=+21313coscossincossincos2222xxxxxx=−=−

11cos23sin2224xx+=−1π1sin2264x=−−+因为π0,2x，故ππ5π2,666x−−，则在ππ262x−=即π3x=取()hx最小值，其最小值为111244−+=−.17．（2022春

·上海浦东新·高三上海市进才中学校考期中）在ABC中，记BACx=（角的单位是弧度制），ABC的面积为S，且8ABAC=，443S.(1)求x的取值范围；(2)就（1）中x的取值范围，求函数()2223sin2cos34fxxx=++−的最大值、最小值.【

答案】(1)43，；(2)()max31fx=+；()min2fx=.【分析】（1）利用三角形的面积公式，根据已知中的条件，确定出x的表达式，再根据x是三角形中的一个内角，即可求出x的取值范围；（2）结合（1）的结论

，利用降幂公式和辅助角公式，将函数转化成正弦型函数的形式，再利用整体代换法求其最值.【解析】（1）（1）BACx=，8ABAC=，443S1sin2Sbcx=，cos8bcx=，4tanSx=即1tan3x，又0πx，由正切函数图象知：x的取

值范围为：43，（2）()2223sin2cos343sin2cos212sin216fxxxxxx=++−=++=++43x，，252,636x+13sin2262x+，()min23fxf

==()max314fxf==+.18．（2022春·上海闵行·高三校考期中）已知()cosfxx=（0）.(1)()fx的周期是，求当[0,2]x，方程3()6

2fx+=的解集；(2)已知1=，2()()3()()2gxfxfxfx=+−−，[0,]4x，求()gx的值域.【答案】(1){|4xxk=−+或,}12xkkZ=−+(2)3[1,]2【分析】（1）由题意得后整体代换法求解（

2）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数性质求解（1）()fx的周期是，故2=，原方程为3cos(2)32x+=，则22,36xkkZ+=+，解得4xk=−+或,12xkkZ=−+，故原方程的解集为{|4xxk=−+或,}12xkkZ=−+

（2）22()()3()()cos3sincos2gxfxfxfxxxx=+−−=+，3111()sin2cos2sin(2)22262gxxxx=++=++，[0,]4x时，22[,]663x+，则1sin(2)[,1]62x+，3()[1,]2gx19．（20

23春·上海黄浦·高三格致中学校考开学考试）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，()2,macb=+，()cos,cosnBC=，0mn=.(1)求角B大小；(2)设()()2π2cossin2sinsin2sincoscos3fxxxxBxxA

C=+−++，当2,63ππx时，求()fx的最小值及相应的x.【答案】(1)2π3B=(2)当7π12x=时，()fx有最小值2−.【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二

倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin23fxx=+，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值.【解析】（1）由已知条件得()2coscos0mnacBbC=++=，由正弦定理得()2sinsin

cossincos0ACBBC++=，即2sincossincossincos0ABCBBC++=，()2sincossin=0ABBC++,则2sincossin0ABA+=，∵sin0A，∴1cos2B=−，又∵()0,πB,∴2π3B=;（2）()()2π2cossin2sins

in2sincoscos3fxxxxBxxAC=+−++2132cossincos3sinsincos22xxxxxx=+−+222sincos3cos3sinxxxx=+−sin23cos2xx=+π2sin23x=+,∵2,63ππx,∴

π2π5π2,333x+,π22sin233x−+，则()fx的最小值2−，其中π3π232x+=，即当7π12x=时，()fx有最小值2−.20．（2021·上海黄浦·统考一模）已知直线()xtt=R

与函数sin2yx=、cos26yx=+的图像分别交于M、N两点．(1)当4t=时，求MN的值；(2)求MN关于t的表达式()ft，写出函数()yft=的最小正周期，并求其在区间0,2内的零点．【答案】(1)32；(2)

()3sin26ftt=−；最小正周期为2；零点为12或712或1312或1912.【分析】（1）当4t=时，1cossin221,4462yy=+=−==，即求；（2）由题可得()3sin26ft

t=−，可得最小正周期，由()3sin206ftt=−=可得2,Z6tkk−=，再结合条件即求.（1）当4t=时，1cossin221,4462yy=+=−==，可得13122MN=−−=

；（2）∵33sin2cos2sin2cos23sin26226MNttttt=−+=−=−，∴()3sin26ftt=−，∴函数()yft=的最小正周期为2，由()3sin206ftt=−=，可得2,Z6tkk−

=，∴,Z212ktk=+，又0,2t，∴t可取71319,,,12121212，故()ft在区间0,2内的零点为12或712或1312或1912.21．（2020·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）已知函数()()2c

oscos3sin2fxxxx=+−.(1)求()fx的最小正周期和递增区间；(2)已知等差数列na满足1π6a=，公差π2d=−，求数列()nnfa的前()*2mmN项和.【答案】(1)最小正周期为π，增区间为πππ,π,36kkkZ

−++(2)223mm−−【分析】（1）先用恒等变换化为()π2sin216fxx=+−，使用2πT=求解最小正周期，整体法求解递增区间；（2）先求出na的通项公式，进而求出当n为奇数时，()nnfan=，当n为偶数时，()3nnf

an=−，从而利用分组求和法求出数列()nnfa的前()*2mmN项和为2mS.（1）()()22coscos3sin22cos23sincos2fxxxxxxx=+−=+−1cos2π23sin223sin2cos212sin2126xxxxx+=+−=+−=+−所以()fx

的最小正周期为2ππ2=，令πππ2π22π262kxk−+++，Zk，解得：ππππ36kxk−++，Zk，所以()fx的递增区间为πππ,π,36kkkZ−++.（2）因为等差数列

na满足1π6a=，公差π2d=−，所以()πππ2π16223nann=+−−=−+，故()π2ππ2sin2236nnfannn=−++−，当n为奇数时，()nnfan=，当n为偶数时

，()3nnfan=−，设数列()nnfa的前()*2mmN项和为2mS，则()()()()22121322132132422322mmmmmSmmmm+−+=+++−−+++=−=−−22．（2022·上海·高三专题练习）

设函数()sinfxx=，xR.(1)若[0，)，函数()fx+是偶函数，求方程1()2fx+=的解集；(2)求函数22[()][()]124yfxfx=+++的值域.【答案】(1)2,3xxkk=+Z∣(2)331,

122−+【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定的值,即可得解；(2)首先整理函数的解析式为()sinyaxb=++的形式，然后确定其值域即可.(1)因为()()sinfxx+=+，函数为偶函数，所以当0x=时，()02kkZ+=+，即()2kkZ

=+，因为)0,，所以可取0k=，相应的值为2.所以()sin()cos22fxxx+=+=，即方程为1cos2x=.解得23，πxkπkZ=所以方程解集为：|2,3xxkkZ=.(2)()sinfxx=

22sinsin124yxx=+++1cos21cos26222xx−+−+=+11cos2cos2226xx=−+++1311cos

2sin2sin2222xxx=−−−1331cos2sin2222xx=−−31sin226x=+−.所以函数的值域为：331,122−+.23．（2

022秋·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习）已知向量113,sin2cos2,((),1)222mxxnfx=+=−，且mn⊥，(1)求函数()fx在[0,]x上的单调递减区间；(2)已知ABC

的三个内角分别为,,ABC，其对应边分别为,,abc，若有112fA−=，3BC=，求ABC面积的最大值.【答案】(1)7,1212(2)334【分析】（1）利用向量性质和三角恒等变换求出π()2sin23fx

x=+，进而求出函数()fx在[0,]x上的单调递减区间；（2）根据112fA−=，求出π3A=，利用余弦定理和基本不等式求出ABC面积最大值.【解析】（1）∵mn⊥，∴0mn=rr，即113()sin2cos20222fxxx−−=，所以π()sin23co

s22sin23fxxxx=+=+，令ππ3π2π22π232kxk+++，Zk，解得：π7πππ1212kxk++，Zk，因为[0,]x，所以ππ0127πππ12kk++，解得：151212k−

，因为Zk，所以0k=，所以π7π1212x，函数()fx在[0,]x上的单调递减区间为7,1212；（2）π2sin21126fAA−=+=，即π1sin262A+=，因为()0,πA，所以π

π13π2,666A+，所以π5π266A+=，解得：π3A=，因为3BCa==，所以2231cos22bcAbc+−==，从而223bcbc+=+，由基本不等式可得：222bcbc+，当且仅当bc=时等号成立，即32bcbc+，解得：3bc，由面积公式得：1333sin244

ABCSbcAbc==，当3bc==时，等号成立，所以ABC面积的最大值为33424．（2022秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期中）设函数()()2sin(0,0)fxx=+，该函数图像上相邻两个最高点

之间的距离为4，且()fx为偶函数.(1)求和的值；(2)在ABC中，角ABC､､的对边分别为abc､､，若()2coscos−=acBbC，求()()22fAfC+的取值范围.【答案】(1)1,22==(2)5,32【分析】（1）由题可得24=，,Z2kk

=+，即求；（2）利用正弦定理可得()2sinsincossincosACBBC−=，进而可得2,33BAC=+=，再利用二倍角公式、和差角公式及辅助角公式可得()()22fAfC+=sin26A++，然后利用正弦函数的性质即求.【解析】（1）∵函数

图像上相邻两个最高点之间的距离为4，∴24=，解得12=，又()fx为偶函数，∴,Z2kk=+，又0，∴2=.（2）∵()2coscos−=acBbC，∴()2sinsincossincosACBBC−=，即()2sincossincossin

cossinABCBBCBC=+=+，又ABC++=，∴()sinsin0BCA+=，∴1cos,2B=又0B，∴2,33BAC=+=，由（1）知()12cos2fxx=，∴()()22

222cos2coscoscos222ACfAfCAC+=+=++2coscos2sin236AAA=+−+=++，又203A，所以5666A+，∴1sin(,1]62A+

，∴()()22fAfC+的取值范围为5(,3]2.25．（2021·上海崇明·统考一模）已知函数2()6cos3sin23(0)fxxx=+−的最小正周期为8．(1)求的值及函数()fx的单调减区间；(2)若()0835fx=

，且0102,33x−，求()01fx+的值．【答案】(1)8，[2148833kk＋，＋](k∈Z)；(2)765．【分析】(1)化简f(x)，根据最小正周期求出ω，再求f(x)单调减区间；(

2)由()0835fx＝求出0sin43x＋，在结合0102,33x−求出0cos43x＋，最后利用正弦的和角公式求()01fx+﹒(1)由已知可得，()3cos23sin223sin23fxxxx

＝＋＝＋，∵()fx的最小正周期8T＝，∴2828＝，＝，∴()23sin43fxx＝＋，由3222432kxk＋＋＋剟得2148833kxk＋＋剟，∴f(x)的单调递减区间为[2148833kk＋，＋](k∈Z)；(2)∵()

0835fx＝，由(1)有()008323sin435xfx＝＋＝，即04sin435x＋＝，由010233x−，，知04322x−＋，；∴2043cos14355x−

＋＝＝，故()000123sin23sin443434xxfx＋＝＋＋＝＋＋0023sincoscossin434434xx＝＋＋＋4232762352525＝＋＝﹒26

．（2021春·上海金山·高三校考阶段练习）已知的函数2()cos(23sincos)sinfxxxxx=+−．(1)求函数()fx的最小正周期和单调递增区间；(2)若当0,2x时，关于x的不等式()fxm有解，求实数m的取值范围．【答案】(1)最小正周

期T=，单调递增区间为(),36kkk−+Z(2)(,2]−【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和两角和的正弦公式对函数()fx进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数()fx的单调递增区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()fx的最小正周期；（2）根据题意可

知m小于等于()fx的最大值，结合正弦函数的定义域求出()fx的最大值，即可知m的取值范围.【解析】（1）∵22()23sincoscossin3sin2cos2fxxxxxxx=+−=+312sin2cos222xx=

+2sin26x=+所以函数()fx的最小正周期T=，由()222262kxkk−++Z，解得()36kxkk−+Z，因此，函数()fx的单调递增区间为()

,36kkk−+Z.（2）由题意可知，不等式()fxm…有解，即()maxmfx，因为0,2x，所以72,666x+，故当262x+=，即6x=时()fx取得最大值，且最大值26f

=.∴2m即实数m的取值范围为(,2]−.27．（2021秋·上海浦东新·高三上海师大附中校考期中）设函数2()|1|2fxxxa=+−+，aR.(1)求解关于x的不等式：()()0fxfx−−；(2)若方程()3fxx=在(0,1)上有根，求实

数a的取值范围；(3)设2()cos2singxxax=+，若对任意的1ππ,22x−，2(0,2)x，都有()()1214gxfx+，求实数a的取值范围.【答案】(1)(,0−(2)12−＜a＜1．(3)()0,+【分析】（1）利用绝对值不等式的解

法即可求解.（2）由题意可得函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a在(0,1)上有零点，h（0）h（1）＝（2a+1）•（2a﹣2）＜0，由此求得a的范围；（3）对任意的1,22x−，()20,2x都有()()1214gxfx+，即()221cos2

sin214maxminxaxaxx+−+−+，分别求两边函数的最值即可.（1）由题意可得()()()22()|1|2|1|20fxfxxxaxxa−−=+−+−+−−+，即110xx−−+，即11xx−+，两边同时平方可得222121xxxx−+++，解得0x

，所以不等式的解集为(,0−.（2）∵方程f（x）＝3x在(0,1)上有根，∴函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a在(0,1)上有零点．由于在(0,1)上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣4x+2a+1是减函数，故有h（0）h（1）＝（2a+1）•（

2a﹣2）＜0，求得12−＜a＜1．（3）对任意的1,22x−，()20,2x都有()()1214gxfx+，即()221cos2sin214maxminxaxaxx+−+−+())22250

,114134124xxxyxxxxx−+=+−+=+−，，，，()x0,1时，254yxx=−+的最小值为1，)x12，时，23y4xx=+−的最小值为54故21yxx=+−在()0,2上的最小值为1φ（x）＝co

s2x+2asinx2a−＝﹣sin2x+2asinx+12a−令t＝sinx，因为x,22−，所以﹣1≤t≤1且y＝﹣t2+2at+12a−，其对称轴为t＝a，故a≤﹣1时，y＝﹣t2+2a

t+12a−在[﹣1，1]上是减函数，最大值为﹣4a，此时﹣4a＜1，a＞14−，无解；当﹣1＜a＜1时，当t＝a时y有最大值a22a−+1，此时a22a−+1＜1，即02a＜＜，又﹣1＜a＜1，∴0＜a＜1当a≥1时，y＝﹣t2+2at+12a−

在[﹣1，1]上是增函数，最大值为0此时0＜1，显然恒成立，综上：a的范围()0,+28．（2022春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知函数()2sincos24cos2326xxxfx=+−−+

+．(1)求函数()fx的最小正周期；(2)若存在1t，20,t（其中12tt），使得()()124ftft=−，求1t，2t的值．【答案】(1)(2)13t=，256t=【分析】（1）利用和差和余弦的二倍角公式，再结合辅助角公式把()fx化简后，套用周期公式即可；

（2）根据（1）小问求出()fx再0,上的范围，再结合已知条件可求出答案.(1)()3113sin2cos2cos2sin22cos22222fxxxxxx=+++−3sin2cos2xx=−2sin26x=−，则函数()fx的最小正

周期为．(2)由()2sin26fxx=−，可知，当0,x时，112,666x−−，则()22fx−，由于存在1t，20,t（其中12tt），使得()()124ftft=−，则

()12ft=，()22ft=−，即()112sin226ftt=−=，()222sin226ftt=−=−，则1262t−=，23262t−=，解得13t=，256t

=．29．（2021秋·上海宝山·高三上海市吴淞中学校考期中）已知函数2()2cos23sincosfxxxx=+.(1)求方程()0fx=在区间[,]−的解集；(2)在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且满足(2)coscosacBbC+=−，求(

A)f的取值范围.【答案】(1)5,,,2626−−(2)(2,3]【分析】(1)利用三角恒变换公式化简函数()fx，再在指定区间上求方程()0fx=的根即可.(2)根据给定条件借助三角形射影定理求出角B，进而求得角A的范围即可求解作答.(1)依题意，()3sin

2cos212sin(2)16fxxxx=++=++，则方程()0fx=化为：1sin(2)62x+=−，而[,]x−，即11132[,]666x+−，于是得5266x+=−，或ππ266x+=-，或7266x+=，或11266x+=，解得2x=−，或

6x=−，或2x=，或56x=，所以方程()0fx=在区间[,]−的解集为5,,,2626−−.(2)在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，因(2)coscosacBbC

+=−，即2cos(coscos)aBbCcB=−+，由三角形射影定理coscosabCcB=+得：2cosaBa=−，即1cos2B=−，而0B，则有23B=，于是得3AC+=，又A>0，C>0，因此，03A，52666A+，则1sin(2)126

A+，由(1)知，()2sin(2)1(2,3]6fAA=++，所以(A)f的取值范围是(2,3].30．（2021秋·上海静安·高三校考期中）设函数()()2sincos3sin0,Rfxxxxaa=−+，且6f是最大值.(1)求

的最小值；(2)在（1）的条件下，如果()fx在区间5,36−上的最小值为3，求a的值.【答案】(1)12(2)13322a=+【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，根据6f是最大值，求得的

值.（2）由题意根据70,36x+，根据()fx的最小值为3，求出a的值.（1）解：∵函数()211cos2sincos3sinsin2322xfxxxxaxa−=−+=−+()3sin20,32xaa=+−+

R，且6f是最大值，∴22632k+=+，kZ.解得162k=+，kZ，故的最小值为12，故()3sin32fxxa=+−+.（2）解：如果()fx在区间5,36

−上的最小值为3，因为5,36x−，所以70,36x+，∴当736x+=时，函数()fx取得最小值为13322a−−+=，解得13322a=+.31．（2021秋·上海

普陀·高三曹杨二中校考期中）已知函数()sin3cosfxxx=+.(1)求函数()fx在区间0,2上的最大值和最小值；(2)设方程1()2fx=在)0,2上的两个解为和（），求()cos−的值；(3)在ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c.若3c=，

()0fC=，且sinsin22sinsinABAB+=，求ABC的面积.【答案】(1)()fx最大值2，()fx最小值1(2)78−(3)338【分析】（1）利用辅助角公式及正弦函数的性质即求；（2）由题得1sin34x+=，可解得51arcsin34

=+，21arcsin34=−，再利用两角差的余弦公式及二倍角公式即求；（3）由题可求23C=，再结合正余弦定理及面积公式即求.(1)由题意知()2sin3fxx=+，又0,,265[,]33xx+，故当且仅当6x=时，()fx取最大

值2；当且仅当2x=时，()fx取最小值1.(2)令1()2fx=，化简得1sin34x+=，解得12arcsin()34xkk++=Z或12arcsin()34xkk=++−Z．由于[0

,2)x，故51arcsin34=+，21arcsin34=−．于是11)cos(2arcsin)cos(2arcsin)cos4(4−=+=−．令1arcsin4=，则2712sin8cos2=−=，因此7cos()8−=−．(3)由题意知sin0)23(f

CC+==，由于(0,)C，解得23C=．在△ABC中，由正弦定理知2sinsinsinabcABC===，故1sin2Aa=，sin12Bb=，代入题目条件得2abab+=在△ABC中，由余弦定理知2

23abab++=，将上式代入得22223()abbaabab−=−+=，解得32ab=，因此△ABC的面积133sin28bCSa==．32．（2022·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数()53sin22sincos644fxxxx=−−−+

.(1)解不等式()12fx−；(2)若,123x，且()()4cos43Fxfxx=−−−的最小值是32−，求实数的值.【答案】(1)2,3kk+，Zk；(2)12=.【分析】(

1)利用三角恒等变换公式化简，再结合三角函数图像解不等式；(2)利用三角恒等变换公式化简，再转化为关于的一元二次不等式，利用分类讨论的思想求出的值.【解析】(1)∵()53sin22sincos644fxxxx=−−−+()()13cos2sin2si

ncossincos22xxxxxx=++−+2213cos2sin2sincos22xxxx=++−13cos2sin2cos222xxx=+−sin26x=−由7222666kxk−−+，得23kxk+

，解集为2,3kk+，Zk(2)()()24cos44sin212sin2366Fxfxxxx=−−−=−−−−−2222sin24sin212sin212666xxx

=−−−−=−−−−∵,123x，∴0262x−，0sin216x−，①当0时，当且仅当sin206x−=时，()fx取得

最小值1−，这与已知不相符；②当01≤≤时，当且仅当sin26x−=时，()fx取最小值212−−，由已知得23122−−=−，解得12=；③当1时，当且仅当sin216x−=时，()fx取得最小值

14−，由已知得3142−=−，解得58=，这与1相矛盾.综上所述，12=.【点睛】解三角函数的不等式问题需要利用数形结合的思想，而二次函数含参的最值问题需要利用分类讨论的思想.33．（2022·上海·统考模拟预测）已知函数()23sin()sin()sin()4242xxfx

x=+−−+，若函数()gx的图像与函数()fx的图像关于y轴对称.（1）求函数()gx的解析式；（2）若存在[0,]2x，使等式2()()0gxgxm−+=成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）()2sin()3gxx=−−；（2

）1[2,]4−.【分析】（1）化简得()2sin()3fxx=+，再利用对称性求出函数()gx的解析式；（2）先求出()[1,3]gx−，再换元，令()tgx=，[1,3]t−，等价为2mtt=−+在[1,3]t

−上成立，求出二次函数的最值即得解.【解析】（1）()23sin()cos()sin3sin()sinsin3cos42422xxfxxxxxx=+++=++=+2sin()3x=+由于函数()gx的图像与函数()fx的图像关于y轴对称，设()gx上任一

点(,)Pxy关于y轴对称的点(,)Pxy−在()yfx=的图像上，即()2sin()3gxx=−+，故()2sin()3gxx=−−；（2）因为[0,]2x，所以31,sin(),12sin()33362323

xxx−−−−−−−所以()[1,3]gx−，令()tgx=，[1,3]t−则等式2()()0gxgxm−+=成立等价为2mtt=−+在[1,3]t−上成立，2211()24mttt=−+=−−+，当1t=−时，

m取得最小值2−；当12t=时，m取得最大值14，故m得取值范围是1[2,]4−34．（2021·上海·统考模拟预测）已知函数2()23sincos2sinfxxxx=−，xR．（1）若函数()fx在区间,4a上递减，求实数a的取值范

围；（2）若函数()fx的图像关于点()11,Qxy对称，且1,36x−，求点Q的坐标．【答案】（1）,64；（2）,112−−【分析】（1）先利用二倍角和辅助角公式化简，再结合三角函数的图像和性质可求实数a的取值范围；（2）根据对称问

题及1,36x−，求解范围，再结合图像即可确定点Q的坐标．【解析】2()23sincos2sinfxxxx=−=3sin2cos21xx+−=2sin(2)16x+−令32262x+得263x，所以()fx在2,63单调递减，又因为

()fx在区间,4a上递减，所以64a，即实数a的取值范围为：,64（2）因为1,36x−，则12262x−+，又因为函数()fx的图像关于点()11,Qxy对称，所以Q是函数的一个零点.令1206x+=得11

2x=−所以Q的坐标为,112−−35．（2021秋·上海嘉定·高三校考阶段练习）已知函数()22cos3cos24fxxx=−+（1）求()fx的最小正周期和单调递减区间；（2）函数()0fx在区间,4m−上恒成立，求m的取值范围【答案】1）

T＝π，f（x）的减区间为12127,kk++（k∈Z）；（2）m的范围是5,412−．【分析】（1）利用辅助角公式或二倍角公式公式将函数转化为y＝sin（ωx+φ）的形式，再利用公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，将正弦放到区间上，解不等式得

到函数的单调减区间，（2）不等式恒成立问题，先求得f（x）≥0的x的取值范围，再根据与所求区间联系，求得m的值．【解析】（1）由2()2cos()3cos24fxxx=−+，由二倍角公式得22cos()

cos2()1sin2144xxx−=−+=+，则()sin23cos21fxxx=++，2sin(2)13x=++，则22T==，由3222232kxk+++，所以71212kxk++，所以f（x）的减区

间为12127,kk++（k∈Z）；（2）由f（x）≥0，则2sin(2)113x++，即1sin(2)32x+−，所以7222636kxk−+++，所以5412kxk−++，（k∈Z），当k＝1时，x∈5(,)412−，f（

x）≥0恒成立，所以5412m−，所以m的范围是5,412−.36．（2023春·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考开学考试）已知函数()()()sin0,0,πfxAxA=+的部分图像如图所示.(1)求()fx的解析式及对称中心；(2

)先将()fx的图像纵坐标缩短到原来的12，再向左平移π6个单位后得到()gx的图像，求方程()12gx=在π,π−的解集.【答案】(1)()π2sin23fxx=−；对称中心为ππ,026k+，Zk；(2)π5

π11π7π,,,12121212−−.【分析】（1）结合函数()()()sin0,0,πfxAxA=+的部分图像特征可求()fx的解析式及对称中心；（2）根据图象变换可得()gx的解析式

，从而方程可求.【解析】（1）根据函数()()()sin0,0,πfxAxA=+的部分图像，可得32π5ππ2,4123A==+，∴2=.再根据五点法作图，5ππ2122+=，∴π3=−，故()π2si

n23fxx=−.令π2π,Z3xkk−=，解得ππ,Z62kxk=+，此时0y=.所以函数()fx的对称中心为ππ,026k+，Zk.（2）先将()fx的图像纵坐标缩短到原来的12，可得πsin23yx=−的图像，再向左平移π6个

单位，得到ππsin2sin632yxx=+−=的图像，令1sin22x=，π,π,22π,2πxx−−所以π5π11π7π2,,,6666x=−−，解得π5π11π7π,,,12121

212x=−−故方程()12gx=在π,π−的解集为π5π11π7π,,,12121212−−.37．（2022秋·上海徐汇·高三位育中学校考期中）已知()223sincos2sinfxxxx=−．(1)求函数()yfx=在ππ,63x−

上的严格增区间；(2)将函数()yfx=的图像向左平移()0mm个单位，再向上平移1个单位，待到函数()ygx=的图像，若函数()ygx=的图像关于点π,3Pn对称，求mn+的最小值．【答案

】(1)ππ,66−(2)π12【分析】（1）利用三角函数恒等变化得到()π2sin216fxx=+−，利用整体法求解出函数的单调递增区间，得到答案；（2）先求出()gx的解析式，得

到0n=，由对称性得到5ππ,Z122kmk=−+，得到m的最小值，求出答案.【解析】（1）()2π23sincos2sin3sin2cos212sin216fxxxxxxx=−=+=−+−，因为ππ,63x−，所以ππ

5π2,666x+−，因为sinyz=在ππ,62z−上单调递增，所以πππ2,662x+−，解得：ππ,66x−，故函数()yfx=在ππ,63x−上的严格增区间为ππ,66−；（2）()π2

sin226gxxm+=+，()ygx=的图像关于点π,3Pn对称，故0n=，π5π2sin222sin206π36mm++=+=，故5π2π,Z6mkk+=，解得：5ππ,Z122kmk=−+，因为0m

，所以当1k=时，π12m=取得最小值，故mn+的最小值为π12.38．（2020秋·上海金山·高三上海市金山中学校考期中）已知函数()cos()0,0,02fxAxA=+的图象过点10,2，最小正周期

为23，且最小值为－1.（1）求函数()fx的解析式.（2）若()fx在区间,6m上的取值范围是31,2−−，求m的取值范围.【答案】（1）()cos(3)3fxx=+；（

2）25,918.【解析】（1）由最值求得A，由周期求得，由点的坐标及的范围可求得，得解析式；（2）由,6xm得533633xm++，结合余弦函数性质可得结论．【解析】（1）由函数的最小值为－1，可得A=1，因为最小正周期为23，所以=3.可得(

)cos(3)fxx=+，又因为函数的图象过点（0，12），所以1cos2=，而02，所以3=，故()cos(3)3fxx=+.（2）由[,]6xm，可知533633xm++，因为53()cos662f==−，且cos=－

1，73cos62=−，由余弦曲线的性质的，7336m+，得25918m，即25[,]918m.【点睛】本题考查求三角函数的解析式，考查余弦型三角函数的值域问题，掌握余弦函数性质是

解题关键．39．（2020秋·上海杨浦·高三上海市杨浦高级中学校考阶段练习）函数2()2cos(2)6sincos2cos14fxxxxx=−−+−+，xR.（1）把()fx的解析式改写为()sin()fxAx=+(0A，0)的形式；（2）求()fx的最小正周期并求

()fx在区间[0,]2上的最大值和最小值；（3）把()yfx=图像上所有的点的横坐标变为原来的2倍得到函数()ygx=的图像，再把函数()ygx=图像上所有的点向左平移4个单位长度，得到函数()yhx=的图像，若函数()2yh

x=−在区间[0,]m上至少有20个零点，求m的最小值.【答案】（1）()22sin(2)4fxx=−；（2）T=，最大值22，最小值2−；（3）1136.【解析】（1）由三角恒等变换的公式，即可化简函数()fx的解析式为()22sin(2)4fxx=−；（2）由（1）知()22sin(2

)4fxx=−，求得()fx的最小正周期为22T==，结合三角函数的性质，即可求得函数的最大值和最小值；（3）根据三角函数的图象变换，求得函数()22sinhxx=，得到22sin2yx=−，令0y=，求得26xk=+或

52,6=+xkkZ，结合函数()2yhx=−区间[0,]m上至少有20个零点，求得1136m，即可得到实数m的最小值.【解析】（1）由题意，函数2()2cos(2)6sincos2cos14fxxxxx=−−+−+2222(c

os2sin2)3sin2(2cos1)22xxxx=−++−−2sin22cos222sin(2)4πxxx=−=−.即()fx的解析式为()22sin(2)4fxx=−.（2）由（1）知()22sin(2)4fxx=−，所以函

数()fx的最小正周期为22T==，因为[0,]2x，则2[,]444x−−，所以当244x−=−，即0x=时，函数取得最小值，最小值为()22sin()24fx=−=−；当242x−=，即38x=时，函数取得最大值，最大值为()22sin()222fx==

，即函数的最小值为2−，最大值为22.（3）把()yfx=图像上的点的横坐标变为原来的2倍，得到函数()22sin()4gxx=−，再把函数()ygx=图像上所有的点向左平移4个单位长度，可得()22sinhxx=，则函数()222sin2y

hxx=−=−，令0y=，即22sin20x−=，即1sin2x=，解得26xk=+或52,6=+xkkZ，要使得函数()2yhx=−区间[0,]m上至少有20个零点，则满足51132966m+=，即实数m的最小值为1136.【点睛】本题主要考查了三角函数

的图象变换，三角函数的图象与性质，以及三角恒等变换的化简的综合应用，同时考查了函数与方程的应用，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，以及三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.