【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修一）专题3.12 抛物线的标准方程和性质-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(17)页，589.775 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-e27d42ec3cd3fa862d1bc4d958d59068.html

以下为本文档部分文字说明：

专题3.12抛物线的标准方程和性质-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2022·全国·高二课时练习）已知实数x，y满足√𝑥2+(𝑦−𝑝2)2=|𝑦+�

�2|，其中常数𝑝>0，则动点𝑃(𝑥,𝑦)的轨迹是（）A．射线B．直线C．抛物线D．椭圆【解题思路】利用两点的距离公式、绝对值的几何意义以及抛物线的定义进行判断.【解答过程】因为√𝑥2+(𝑦−𝑝2

)2=|𝑦+𝑝2|表示动点𝑃(𝑥,𝑦)到定点𝐹(0,𝑝2)的距离与𝑃(𝑥,𝑦)到定直线l：𝑦=−𝑝2的距离相等，且点F不在直线l上，所以由抛物线的定义知动点𝑃(𝑥,𝑦)的轨迹为抛物线．故A，B

，D错误.故选：C.2．（3分）（2022·云南·高二期末）已知抛物线𝑥2=𝑚𝑦(𝑚>0)上的点(𝑥0，1)到该抛物线焦点𝐹的距离为2，则𝑚=（）A．1B．2C．4D．6【解题思路】根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.【

解答过程】由𝑥2=𝑚𝑦(𝑚>0)，可得其焦点𝐹(0,𝑚4)，准线方程为𝑦=−𝑚4，因为点(𝑥0，1)到该抛物线焦点𝐹的距离为2，所以点(𝑥0，1)到抛物线准线的距离为2，则1+𝑚4=2，解得𝑚=4，故选：C.3．（3分）（2022·全国·高

二课时练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点𝑀(−1,2)的抛物线方程为（）A．𝑦2=4𝑥B．𝑦2=−4𝑥C．𝑥2=12𝑦D．𝑥2=−12𝑦【解题思路】设出抛物线方程，利用待定系数法求解作答.【解答过程】依题意，设抛物线方程为𝑦2=𝑚𝑥,�

�≠0，于是得22=𝑚⋅(−1)，解得𝑚=−4，所以所求抛物线方程是𝑦2=−4𝑥.故选：B.4．（3分）（2022·四川遂宁·高二期末（理））已知圆𝐶:(𝑥−1)2+𝑦2=4与抛物线𝑦2=𝑎𝑥⬚(𝑎>0)的准线相切，则𝑎=（）A．18B．14C．4D．8【解题思路】

求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切即得．【解答过程】因为圆𝐶:(𝑥−1)2+𝑦2=4的圆心为(1,0)，半径为𝑟=2，抛物线𝑦2=𝑎𝑥⬚(𝑎>0)的准线为𝑥=−𝑎4，所以|1+𝑎

4|=2，∴𝑎=4，故选：C.5．（3分）（2023·全国·高三专题练习）已知A(4,−2)，F为抛物线𝑦2=8𝑥的焦点，点M在抛物线上移动，当|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹|取最小值时，点𝑀的坐标为（）A．(0,0)B．(

1,−2√2)C．(2,−2)D．(12,−2)【解题思路】过𝑀点作准线𝑙的垂线，垂足为𝐸，由抛物线定义，知|𝑀𝐹|=|𝑀𝐸|，当𝑀在抛物线上移动时，当𝐴,𝑀,𝐸三点共线时，|𝑀𝐸|+|𝑀𝐴|最小，由此即可求出结果.【解答过程】如图所示，过𝑀点作准

线𝑙的垂线，垂足为𝐸，由抛物线定义，知|𝑀𝐹|=|𝑀𝐸|.当𝑀在抛物线上移动时，|𝑀𝐸|+|𝑀𝐴|的值在变化，显然𝑀移动到𝑀′时，𝐴,𝑀,𝐸三点共线，|𝑀𝐸|+|𝑀𝐴|最小，此时𝐴

𝑀′//𝑂𝑥，把𝑦=−2代入𝑦2=8𝑥，得𝑥=12，所以当|𝑀𝐴|+|𝑀𝐹|取最小值时，点𝑀的坐标为(12,−2)．故选：D.6．（3分）（2022·天津和平·二模）已知抛物线𝑦2=2𝑝𝑥(

𝑝<0)交双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的渐近线于𝐴,𝐵两点（异于坐标原点），双曲线的离心率为√2,△𝐴𝑂𝐵的面积为64，则抛物线的焦点坐标为（）A．(2,0)B．(−2,0)C．(4,0)D．(−4,0)【解题思路】根据双曲线的离心率可得渐近线的斜率，

结合渐近线的方程及△𝐴𝑂𝐵的面积可求𝐴,𝐵的坐标，从而可求抛物线的方程，故可得其焦点坐标.【解答过程】因为双曲线的离心率为√2，故𝑐𝑎=√2，其中𝑐为半焦距，故𝑎2+𝑏2𝑎2=2即𝑎=𝑏，故渐近线的方程为：𝑦=±𝑥，由抛物线、双曲线的对称性可设𝐴(�

�,−𝑚),𝐵(𝑚,𝑚)(𝑚<0)，故𝑆△𝑂𝐴𝐵=12|2𝑚|×|𝑚|=𝑚2=64，故𝑚=−8，所以𝐴(−8,8)，所以82=−16𝑝，故𝑝=−4，即抛物线的方程为：𝑦2=−8𝑥，故焦点坐标为：(−2,0).故选：B.7．（3分）（2022·全国·高

二课时练习）苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑，“门”的造型是东方之门的立意基础，“门”的内侧曲线呈抛物线型，如图1，两栋建筑第八层由一条长60m的连桥连接，在该抛物线两侧距连桥150m处各有一窗户，两窗户的水平距离为30m，如图2

，则此抛物线顶端𝑂到连桥𝐴𝐵的距离为（）A．180mB．200mC．220mD．240m【解题思路】建立适当坐标系，设点𝐷与𝐵的坐标，设抛物线方程为：𝑥2=−2𝑝𝑦(𝑝>0)，列出方程组，求解，即可得出结果.【解答过程】建系如图，设抛物线方程为：𝑥2=−2𝑝

𝑦(𝑝>0)，由题意设𝐷(15,ℎ)，𝐵(30,ℎ−150)，则{152=−2𝑝ℎ302=−2𝑝(ℎ−150)，解得：ℎ=−50，𝑝=2.25.所以此拋物线顶端𝑂到连桥𝐴𝐵的距离为：

50+150=200m.故选：B.8．（3分）（2022·江西·三模（文））已知抛物线𝑥2=4𝑦的焦点为𝐹，𝐴、𝐵是抛物线上两动点，𝑃(2,2)是平面内一定点，下列说法正确的序号为（）①抛物线准线方程为𝑥=−1；②若|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=8，则线段𝐴𝐵

中点到𝑥轴距离为3；③以𝐴为圆心，线段𝐴𝐹的长为半径的圆与准线相切；④△𝐴𝑃𝐹的周长的最小值为√5+3.A．①②④B．②③C．③④D．②③④【解题思路】根据抛物线的方程直接写出抛物线的准线方程，可判断①的正误；设点𝐴(𝑥1

,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)，利用抛物线的定义可判断②的正误；利用抛物线的定义可判断③的正误；过点𝐴作抛物线准线𝑙:𝑦=−1的垂线，垂足为点𝐸，利用抛物线的定义以及𝑃、𝐴、𝐸三点共

线时，求出△𝐴𝑃𝐹的周长的最小值，可判断④的正误.【解答过程】对于①，易知点𝐹(0,1)，抛物线的准线方程为𝑦=−1，①错；对于②，设点𝐴(𝑥1,𝑦1)、𝐵(𝑥2,𝑦2)，则|𝐴𝐹|+|𝐵𝐹|=𝑦1+𝑦2

+2=8，所以，𝑦1+𝑦2=6，所以，线段𝐴𝐵中点到𝑥轴距离为|𝑦1+𝑦22|=3，②对；对于③，由抛物线的定义可得|𝐴𝐹|=𝑦1+1，所以，线段𝐴𝐹的长为半径的圆与准线相切，③对；对于④，过点𝐴作抛物线准线�

�:𝑦=−1的垂线，垂足为点𝐸，由抛物线的定义可得|𝐴𝐹|=|𝐴𝐸|，所以，|𝐴𝑃|+|𝐴𝐹|=|𝐴𝑃|+|𝐴𝐸|，当且仅当𝑃、𝐴、𝐸三点共线时，即当𝑃𝐸⊥𝑙时，|𝐴𝑃|+|𝐴𝐹

|取得最小值2+1=3，又因为|𝑃𝐹|=√22+(2−1)2=√5，所以，△𝐴𝑃𝐹的周长的最小值为3+√5，④对.故选：D.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2021·全国·高二课时练习）(多选)顶点在原点，对称轴是𝑦轴，且顶点与焦点的距离等于3的抛物

线的标准方程是（）A．𝑥2=3𝑦B．𝑥2=−3𝑦C．𝑥2=12𝑦D．𝑥2=−12𝑦【解题思路】设抛物线的标准方程为：𝑥2=±2𝑝𝑦，根据已知条件求出𝑝的值即可求解.【解答过程】因为抛物线的对称轴是𝑦轴，可设抛物线的标准方程为：�

�2=±2𝑝𝑦，因为顶点与焦点的距离等于3，所以𝑝2=3，可得𝑝=6，所以抛物线的方程为𝑥2=±12𝑦，故选：CD.10．（4分）（2022·高三阶段练习）已知抛物线𝐶:𝑥2=4𝑦的焦点为𝐹，𝑂为坐标原点，点𝑀(𝑥0,𝑦0)在抛物线𝐶上，若|

𝑀𝐹|=5，则（）A．𝐹的坐标为(1,0)B．𝑦0=4C．𝑥0=4D．|𝑂𝑀|=4√2【解题思路】由抛物线的方程求出焦点𝐹的坐标，可判断A选项；利用抛物线的定义可求得𝑦0、𝑥0的值，可判断BC选项；利用平面内两点间的距离公式可判断D选项

.【解答过程】对于抛物线𝐶，2𝑝=4，可得𝑝2=1，则点𝐹(0,1)，A错；由抛物线的定义可得|𝑀𝐹|=𝑦0+1=5，可得𝑦0=4，则𝑥02=16，可得𝑥0=±4，B对C错；|𝑂𝑀|=√𝑥02+𝑦02=4√2，D对.故选：BD.11．（

4分）（2022·全国·高二课时练习）已知点𝑃(𝑥0,−𝑦0)是抛物线C：𝑦2=4𝑥上一动点，则（）A．C的焦点坐标为(2,0)B．C的准线方程为𝑥+1=0C．𝑥0+1=√(𝑥0−1)2+𝑦02D．𝑥0+1𝑦02+1的最小值为34【解题思路】根据抛物线方程求出焦点坐标和准

线方程可判断A，B；利用抛物线的定义可判断C；根据抛物线方程消元，得𝑥0+1𝑦02+1=𝑦024+1𝑦02+1，构造基本不等式求出最小值可判断D.【解答过程】由抛物线的方程知，焦点坐标为(1,0)，准线方程为𝑥=−

1．故A错误，B正确．根据抛物线的定义可得点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，即𝑥0+1=√(𝑥0−1)2+𝑦02，故C正确．因为𝑦02=4𝑥0，所以𝑥0+1𝑦02+1=𝑦024+1𝑦02+1=𝑦02+14+1𝑦02+1−14≥2√14−14=34（当且仅当�

�02+14=1𝑦02+1，即𝑦02=1时，等号成立），故𝑥0+1𝑦02+1的最小值为34，故D正确．故选：BCD.12．（4分）（2022·福建泉州·高二期中）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝑀(3,−2)，F为抛物线𝐶:𝑥2=

−2𝑝𝑦(𝑝>0)的焦点，点P在C上，𝑃𝐴⊥𝑥轴于A，则（）A．当𝑝=2时，|𝑃𝐹|+|𝑃𝑀|的最小值为3B．当𝑝=4时，|𝑃𝐹|+|𝑃𝑀|的最小值为4C．当𝑝=4时，|𝑃𝐴|−|�

�𝑀|的最大值为1D．当𝑃𝐹∥𝑥轴时，cos∠𝑂𝑃𝐹为定值【解题思路】根据抛物线的定义结合图象一一计算可得；【解答过程】解：对于A：𝑝=2时抛物线𝐶:𝑥2=−4𝑦，焦点𝐹(0,−1)，点𝑀(3,−2)在抛物线外，所以|𝑃𝐹|+|𝑃𝑀|≥|𝐹𝑀|=√32+(−2

+1)2=√10，当且仅当𝑀、𝑃、𝐹三点共线且𝑃在𝑀𝐹之间时取等号（如下图所示），故A错误；对于B、C：当𝑝=4时抛物线𝐶:𝑥2=−8𝑦，焦点𝐹(0,−2)，准线方程为𝑦=2，点𝑀(3,−2)在抛物线内，设𝑃𝐴与

准线交于点𝑁，则|𝑃𝐹|=|𝑃𝑁|，所以|𝑃𝐹|+|𝑃𝑀|=|𝑃𝑁|+|𝑃𝑀|≥|𝑀𝑁|=2−(−2)=4，当且仅当𝑀、𝑃、𝑁三点共线且𝑃在𝑀𝑁之间时取等号（如下图所示）

，故B正确；|𝑃𝐴|−|𝑃𝑀|=|𝑃𝑁|−2−|𝑃𝑀|=|𝑃𝐹|−|𝑃𝑀|−2≤|𝐹𝑀|−2=1，当且仅当𝑀、𝑃、𝐹三点共线且𝐹在𝑀𝑃之间时取等号（如下图所示），故C正确；对于D：抛物线𝐶:𝑥2=−2𝑝𝑦，焦点𝐹(0,−𝑝2)，准线方程为𝑦=

𝑝2，当𝑃𝐹//𝑥，此时𝑦𝑃=−𝑝2，则𝑥2=−2𝑝×(−𝑝2)，解得𝑥𝑝=±𝑝，即𝑃(−𝑝,−𝑝2)或𝑃(𝑝,−𝑝2)，如图取𝑃(−𝑝,−𝑝2)，则|𝑃𝐹|=𝑝，|𝑂𝑃|

=√(−𝑝)2+(−𝑝2)2=√52𝑝，所以cos∠𝑂𝑃𝐹=|𝑃𝐹||𝑂𝑃|=𝑝√52𝑝=2√55，故D正确；故选：BCD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·全

国·高三专题练习）顶点在原点，关于x轴对称，并且经过点𝑀(−1,2)的抛物线方程为𝑦2=−4𝑥.【解题思路】设抛物线方程为𝑦2=𝑚𝑥,𝑚≠0，代入点𝑀(−1,2)求出𝑚即可得抛物线方程.【解答过程】依题意，设抛物线方程为𝑦2=𝑚𝑥,𝑚≠0，于是得22=

𝑚⋅(−1)，解得𝑚=−4，所以所求抛物线方程是𝑦2=−4𝑥.故答案为:𝑦2=−4𝑥.14．（4分）（2022·全国·高二课时练习）抛物线𝑦2=2𝑝𝑥上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是8．【解题思路】根据焦半径公式求𝑝.【解答过程】由条件可知，𝑝>0

，所以6+𝑝2=10，解得：𝑝=8，所以焦点到准线的距离为8.故答案为：8.15．（4分）（2022·全国·高二课时练习）若𝑀是抛物线𝑦2=4𝑥上一点，𝐹是抛物线的焦点，以𝐹𝑥为始边、𝐹𝑀

为终边的角∠𝑥𝐹𝑀=60°，则|𝑀𝐹|=4．【解题思路】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设𝑀的坐标(𝑦24,𝑦)，利用锐角三角函数求出𝑦，再根据抛物线的定义计算可得.【解答过程】解：由抛物线的

方程𝑦2=4𝑥，可得准线方程为𝑥=−1，焦点坐标为𝐹(1,0)，设𝑀的坐标(𝑦24,𝑦)，𝑦>0且𝑦24>1，又∠𝑥𝐹𝑀=60°，∴𝑦=√3(𝑦24−1)，整理得√3𝑦2−4𝑦−4√3=0，解得𝑦

=2√3或𝑦=−2√33（舍去），所以由抛物线的定义可得|𝐹𝑀|=𝑦24−(−1)=4．故答案为：4.16．（4分）（2022·全国·高二专题练习）设𝑃是抛物线𝑦2=4𝑥上的一个动点，𝐹为抛物线的焦点，记点𝑃到点𝐴(－1,1)的距离与点𝑃到直线𝑥=－1的距离之和的最小

值为𝑀，若𝐵(3,2)，记|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|的最小值为𝑁，则𝑀+𝑁=√5+4．【解题思路】当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线𝑥=－1的距离之和最小，由两点间的距离公式可得M，

当P、B、F三点共线时，|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|最小，由点到直线距离公式可得.【解答过程】如图所示，过点𝑃作𝑃𝐺垂直于直线𝑥=－1，垂足为点𝐺，由抛物线的定义可得|𝑃𝐺|=|𝑃𝐹|，所以

点𝑃到直线𝑥=－1的距离为|𝑃𝐺|，所以|𝑃𝐴|+|𝑃𝐺|=|𝑃𝐴|+|𝑃𝐹|≥|𝐴𝐹|=√5，当且仅当𝐴、𝑃、𝐹三点共线时，|𝑃𝐴|+|𝑃𝐺|取到最小值，即𝑀=√5．如图所示，过点𝑃作直线𝑃𝐻垂直于直线𝑥=－1，垂足为

点𝐻，由抛物线的定义可得|𝑃𝐻|=|𝑃𝐹|,点𝐵到直线𝑥=－1的距离为𝑑=4，所以|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|=|𝑃𝐵|+|𝑃𝐻|≥4，当且仅当𝐵、𝑃、𝐻三点共线时，等号成立，即𝑁=4，因此𝑀+𝑁=

√5+4．故答案为：√5+4.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高二课时练习）已知动点P到点𝐹(2,0)的距离与它到直线𝑥+2=0的距离相等，求点P的轨迹方程.【解题思路】由题意可知�

�的轨迹是以𝐹为焦点的抛物线，由此得到出𝑝=4，即可以求出𝑃的轨迹方程．【解答过程】解：由抛物线的定义知点𝑃的轨迹是以𝐹(2,0)为焦点的抛物线，其开口方向向右，且𝑝2=2，解得𝑝=4，所以其方程为𝑦2=

8𝑥．18．（6分）（2021·江苏·高二课时练习）根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点；（2）过点P(2，-4)；（3）抛物线的焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，|AF|=

5.【解题思路】(1)根据条件求出双曲线左顶点即可得解；(2)根据给定条件设出抛物线方程，将给定点坐标代入即得；(3)根据给定条件设出抛物线方程并设出点A坐标，结合抛物线定义列出方程即可作答.【解答过程】（1）双曲线方程为𝑥2

9−𝑦216=1，其左顶点为(-3，0)，由题意设抛物线方程为y2=-2px(p>0)，则抛物线焦点为(−𝑝2,0)，−𝑝2=−3，解得p=6，所以所求抛物线方程为为y2=-12x；（2）由于P(2，-4)在第四象限且抛物线的对称轴为坐标轴，可设方程为y2=

mx或x2=ny，将P点坐标代入方程求得m=8，n=-1，所以所求抛物线方程为y2=8x或x2=-y；（3）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为：y2=2px(p≠0)，A(m，-3)，则抛物线准线为𝑥=−𝑝2，由抛物线定义得5=|𝐴𝐹|=|𝑚+𝑝2|，又

(-3)2=2pm，显然p，m同号，从而得{2𝑚⋅𝑝=92𝑚+𝑝=10或{2𝑚⋅𝑝=92𝑚+𝑝=−10，解得p=±1或p=±9，所以所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.19．

（8分）（2022·全国·高二单元测试）已知抛物线𝑦2=4𝑎𝑥(𝑎>0)的焦点为A，以𝐵(𝑎+4,0)为圆心，|𝐴𝐵|长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，点P是MN的中

点．求：(1)𝑎的取值范围；(2)|𝐴𝑀|+|𝐴𝑁|的值．【解题思路】（1）由题可得圆的方程为[𝑥−(𝑎+4)]2+𝑦2=16，然后联立抛物线与圆的方程，利用判别式，即得；（2）利用韦达定理及抛物线的定义即得．【解答过程】（1）由题意知抛物线的焦点坐标为𝐴(𝑎,0

)，又𝐵(𝑎+4,0)，则|𝐴𝐵|=4，圆的方程为[𝑥−(𝑎+4)]2+𝑦2=16，将𝑦2=4𝑎𝑥(𝑎>0)代入上式，得𝑥2+2(𝑎−4)𝑥+8𝑎+𝑎2=0，∴Δ=4(𝑎−4)2−4(8𝑎+𝑎2)>0，解得0<𝑎<1，即𝑎的取值范围为(0

,1)；（2）∵𝐴为焦点，设𝑀(𝑥1,𝑦1)，𝑁(𝑥2,𝑦2)，根据（1）中的𝑥2+2(𝑎−4)𝑥+8𝑎+𝑎2=0，得𝑥1+𝑥2=8−2𝑎，∴|𝐴𝑀|+|𝐴𝑁|=(𝑥1+𝑎)+(𝑥2+𝑎)=𝑥1+𝑥2+2𝑎=8−2𝑎+2𝑎=

8.20．（8分）（2022·全国·高二课时练习）如图，是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m，镜深

2m．(1)建立适当的坐标系，求抛物线的焦点位置；(2)若把盛水和食物的容器近似地看作点，试求容器的每根铁筋的长度．【解题思路】（1）如图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原

点重合，x轴垂直于镜口直径，则可求得点𝐴的坐标，设抛物线方程为𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)，然后将点𝐴的坐标代入，可求出𝑝，从而可求出焦点坐标，（2）根据抛物线的定义求解.【解答过程】（1）如

图，在反光镜的轴截面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x轴垂直于镜口直径．由已知，得A点坐标是(2,6)，设抛物线方程为𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)，则36=2𝑝×2，解得p＝9，则抛物线的标准方程是𝑦2=18𝑥，焦点坐标是𝐹(4.5,0)，所以焦点在经

过抛物面顶点且与镜口圆面垂直的直线上，距顶点4.5m的抛物面内部，（2）因为盛水的容器在焦点处，所以A、F两点间的距离即为每根铁筋长，所以每根铁筋长为2+𝑝2=2+4.5=6.5米.21．（8分）（2022·重庆·高三阶段练习）如图，弯曲的河流是近似的抛物线C，公路l恰好是C的准线，C

上的点O到l的距离最近，且为0.4km，城镇P位于点O的北偏东30°处，|𝑂𝑃|=10km，现要在河岸边的某处修建一座码头，并修建两条公路，一条连接城镇，一条垂直连接公路l，以便建立水陆交通网．(1)建立适当的坐标系，求抛物线C的方程；(2)为了降低修路成本，必须使修建的两条公

路总长最小，请给出修建方案（作出图形，在图中标出此时码头Q的位置），并求公路总长的最小值（结果精确到0.001km）．【解题思路】（1）由抛物线的定义，O为坐标原点可建立平面坐标系，即可求抛物线C的方程（2）由抛物线的定义，公路总长=|𝑄𝐹|+|𝑄𝑃|≥|𝑃𝐹|，即可求公路

总长最小值【解答过程】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意得，𝑝2=0.4，则抛物线𝐶:𝑦2=1.6𝑥．（2）如图，设抛物线C的焦点为F，则𝐹(0.4,0)，∵城镇P位于点O的北偏东30°处，|𝑂𝑃|=10km，∴𝑃(5,5√3)，根据抛物线的定义知，公路总长

=|𝑄′𝐹|+|𝑄′𝑃|≥|𝑃𝐹|=√(5−0.4)2+(5√3−0)2≈9.806．当𝑄′与Q重合时（Q为线段PF与抛物线C的交点），公路总长最小，最小值为9.806km．22．（8分）（2022·全国·高二课时练习）设𝑃是抛物线𝑦2

=4𝑥上的一个动点，点𝐹是焦点．(1)求点𝑃到点𝐴(−1,1)的距离与点𝑃到直线𝑥=−1的距离之和的最小值；(2)若𝐵(3,2)，求|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|的最小值．【解题思路】（1）利用抛物线定义将问题转化为求抛物线上一点𝑃到点𝐴(−1,1)的距离与其到点𝐹(

1,0)的距离之和的最小值，连接𝐴𝐹交抛物线于点𝑃，即可求得答案；（2）作𝐵𝑄垂直准线于点𝑄，交抛物线于点𝑃1，连接𝑃1𝐹，利用抛物线定义将|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|转化为|𝑃1𝐵|+|𝑃1𝑄|,即可求得答案.【解答过程】（1）抛物线𝑦2=4𝑥的焦点为

𝐹(1,0)，准线是𝑥=−1．由抛物线的定义，知点𝑃到直线𝑥=−1的距离等于点𝑃到焦点𝐹的距离，所以问题转化为求抛物线上一点𝑃到点𝐴(−1,1)的距离与其到点𝐹(1,0)的距离之和的最小值，如图，当A，𝑃

，𝐹共线时上述距离之和最小，连接𝐴𝐹交抛物线于点𝑃，此时所求的最小值为|𝐴𝐹|=√22+12=√5．（2）由题意𝐵(3,2)，可知22<4×3，故点B在抛物线内部（焦点所在一侧），如图，作𝐵𝑄垂直准线于点

𝑄，交抛物线于点𝑃1，连接𝑃1𝐹，此时|𝑃1𝑄|=|𝑃1𝐹|,当点𝑃与点𝑃1重合时，|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|的值最小，此时|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|=|𝐵𝑄|=3−(−1)=4，即|𝑃𝐵|+|𝑃𝐹|的最小值为4．