【文档说明】吉林省白城市通榆县第一中学2019-2020学年高二下学期第四次月考数学（文）试题.docx，共(8)页，65.447 KB，由小赞的店铺上传

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通榆一中高二下学期第四次考试数学试卷（文科）命题人高二备课组一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合𝐴={1,2}，𝐵={𝑎,𝑎2,2}，若𝐴∩𝐵={1,2}，则实数a的值为()A.1B.−1C.±1D.−√22.设i是虚数

单位，复数𝑧=|𝑖|2−𝑖，则复数z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.若𝑖(𝑥+𝑦𝑖)=3+4𝑖，𝑥,𝑦∈𝑅，则复数𝑥+𝑦𝑖的模是()A.2B.3C.4D.54.下列命题的说法正确的是()A.命题“若sin𝛼>s

in𝛽，则𝛼>𝛽”的逆否命题是真命题B.命题“∀𝑥≥0，均有2𝑥≥𝑥2”的否定为“∃𝑥0≥0，使得2𝑥0<𝑥02”C.命题“𝑝∧𝑞”的否定是“¬𝑝∧¬𝑞”D.命题“若𝑎>𝑏，则𝑎3>𝑏3的

否命题为“若𝑎>𝑏，则𝑎3≤𝑏3”5.若命题“存在𝑥0∈𝑅，使𝑥2−2𝑥−𝑚⩽0”是假命题，则实数m的取值范围是()A.B.C.[−1,1]D.6.若复数𝑧=2𝑖+21+𝑖(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数的模为()A.1B.√

2C.√3D.27.已知{𝑏𝑛}为等比数列，𝑏5=2，则𝑏1𝑏2𝑏3…𝑏9=29.若{𝑎𝑛}为等差数列，𝑎5=2，则{𝑎𝑛}的类似结论为()A.𝑎1𝑎2𝑎3…𝑎9=29B.𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎9=29C.𝑎1𝑎2𝑎3…𝑎9=2×9D.𝑎1+𝑎2

+⋯+𝑎9=2×98.下列推理正确的是()A.如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中奖B.因为𝑎>𝑏，𝑎>𝑐，所以𝑎−𝑏>𝑎−𝑐C.若𝑎>0，𝑏>0，则𝑙𝑔𝑎+𝑙𝑔𝑏≥2√lg𝑎·lg𝑏D.若𝑎

>0，𝑏<0，则𝑎𝑏+𝑏𝑎=−(−𝑎𝑏+−𝑏𝑎)≤−2√(−𝑎𝑏)·(−𝑏𝑎)=−29.函数𝑓(𝑥)=ln(𝑥2−2𝑥−8)的单调递增区间是()A.(−∞,−2)B.

(−∞,−1)C.(1,+∞)D.(4,+∞)10.数列{𝑎𝑛}的前项和为𝑆𝑛(𝑛∈𝑁∗)，且𝑎1=12,𝑆𝑛=𝑛2𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗),，利用归纳推理，猜想{𝑎𝑛}的通项公式为()

A.𝑎𝑛=2𝑛−43𝑛B.𝑎𝑛=1𝑛(𝑛+1)(𝑛∈𝑁∗)C.𝑎𝑛=12𝑛D.𝑎𝑛=2𝑛11.已知a，b，c为正实数，则下列三个数𝑎+1𝑏，𝑏+4𝑐，𝑐+9𝑎()A.都大于4B.都小于4C.至少有一个不大于4D.至少有一个

不小于412.已知∀𝑥∈𝑅，∃𝑚∈𝑅，使4𝑥−2𝑥+1+𝑚=0成立，则m的取值范围是()A.(−∞,1]B.(−∞,1)C.(−∞,−1)D.[−1,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.集合𝐴={1,3，𝑎2}

，集合𝐵={𝑎+1,𝑎+2}，若𝐵∪𝐴=𝐴，则实数𝑎=_________．14.函数𝑦=(13)𝑥2−1的值域是___15.函数𝑦=√𝑥−1−𝑥(𝑥≥2)的值域为_____．16.已知函数𝑓(𝑥)=√𝑚𝑥2+𝑚𝑥

+1的定义域是一切实数，则m的取值范围是______________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.己知点P的极坐标为(2,𝜋2)，曲线C的极坐标方程为𝜌cos𝜃−𝜌sin𝜃=1，曲线D的参

数方程为，{𝑥=1+cos𝛼𝑦=sin𝛼(𝛼为参数).曲线C和曲线D相交于𝐴,𝐵两点．(1)求点P的直角坐标;(2)求曲线C的直角坐标方程和曲线D的普通方程;(3)求𝛥𝑃𝐴𝐵的面枳S．18.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线𝑙1、𝑙2的

极坐标方程分别为𝜌sin(𝜃+𝜋6)=1，𝜃=2𝜋3(𝜌∈𝑅)，设直线𝑙1、𝑙2的交点为M．(1)求点M的直角坐标；(2)设过点M且倾斜角为𝜋3的直线与圆𝑥2+𝑦2=7交于A、B两点，求1|𝑀𝐴|+1|𝑀𝐵|的值．19.(1)在极坐标系中，过点𝑃(√2,𝜋4)

作曲线𝜌=2cos𝜃的切线l，求直线l的极坐标方程．(2)已知直线l：{𝑥=𝑡cos𝛼+𝑚𝑦=𝑡sin𝛼(t为参数)恒经过椭圆C：{𝑥=5cos𝜙𝑦=3sin𝜙(j为参数)的右焦点F．①求m的值；②设直线l与椭圆C交于A，B两点，

求𝐹𝐴⋅𝐹𝐵的最大值与最小值．20.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线𝐶:𝜌sin2𝜃=2𝑎cos𝜃(𝑎>0)，过点𝑃(−2,−4)的直线𝑙:{𝑥=−2+√22𝑡𝑦=−4

+√22𝑡(𝑡为参数)与曲线C相交于点𝑀,𝑁两点(Ⅰ)求曲线C和直线l的普通方程;(Ⅱ)若|𝑃𝑀|,|𝑀𝑁|,|𝑃𝑁|成等比数列，求实数a的值。21.柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有

了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：x4578y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程𝑦̂=�

�̂𝑥+𝑎̂；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．(相关公式：𝑏̂=∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥𝑦∑𝑖=1𝑛𝑥𝑖2−𝑛𝑥2,𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥)22.为了调查某

品牌饮料的某种食品添加剂是否超标，现对该品牌下的两种饮料一种是碳酸饮料(含二氧化碳)，另一种是果汁饮料(不含二氧化碳)进行检测，现随机抽取了碳酸饮料、果汁饮料各10瓶(均是500𝑚𝑙)组成的一个样本，进行了检测，得到了如下茎叶图.根据国家食品安全规定当该种添加剂的指标大于4

0(毫克/𝑙)为偏高，反之即为正常．(1)依据上述样本数据，完成下列2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为食品添加剂是否偏高与是否含二氧化碳有关系？正常偏高合计碳酸饮料果汁饮料合计(2)现从食品添加剂偏高的样本中

随机抽取2瓶饮料去做其它检测，求这两种饮料都被抽到的概率．参考公式：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)，其中𝑛=𝑎+𝑏+𝑐+𝑑参考数据：𝑃(

𝐾2≥𝑘0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001𝑘02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考答案1.【答案】B【解析】【分析】本题考查

了集合交集的运算，元素与集合的关系以及集合中元素性质运用，属于基础题．根据𝐴∩𝐵={1,2}，得到1∈𝐵，进而得到𝑎=1或𝑎2=1，再验证集合中元素的互异性即可求解．【解答】解：∵集合𝐴={1,2}，𝐵={𝑎,𝑎2,2}，且�

�∩𝐵={1,2}，∴1∈𝐵，∴𝑎=1或𝑎2=1，①当𝑎=1时，则𝑎2=1，即𝐵={1,1,2}，不符合集合中元素的互异性，舍去，②当𝑎2=1时，𝑎=±1，由①知，当𝑎=1时，不符合题意，当𝑎=−1时，𝐵={−1,1,2}，符合题意，∴实数a

的值为−1，故选B．2.【答案】A【解析】【分析】本题考查复数的四则运算，模以及复数的几何意义，属于基础题．先通过四则运算，化简z，得到它对应点的坐标，即可得到答案．【解答】解：因为𝑧=|𝑖|2−𝑖=12−𝑖=2+

𝑖(2−𝑖)(2+𝑖)=25+15𝑖，所以复数z在复平面内对应的点为(25,15)，其位于第一象限．故选A．3.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的乘法运算以及复数的相等，考查复数的模，解题的关键是正确求得x，y

的值．由𝑖(𝑥+𝑦𝑖)=3+4𝑖利用复数的乘法运算以及复数的相等可得x，y的值，进而求得𝑥+𝑦𝑖的模．【解答】解：∵𝑖(𝑥+𝑦𝑖)=𝑥𝑖−𝑦=3+4𝑖，x，𝑦∈𝑅，∴𝑥=4，−𝑦=3，即𝑥=4，𝑦=−3．∴|𝑥+𝑦𝑖|=|4−3𝑖|=√42+

(−3)2=5．故选D．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查命题的真假判断.根据四种命题及其关系，全称命题的否定，逐一判断即可．【解答】解：命题“若𝑠𝑖𝑛𝛼>𝑠𝑖𝑛𝛽，则𝛼>𝛽为假命题，所以其逆否

命题是假命题，A错误；命题“∀𝑥⩾0，均有2𝑥≥𝑥2”的否定为“∃𝑥0⩾0，使得2𝑥0<𝑥02”，正确；命题“𝑝∧𝑞”的否定是“¬𝑝∨¬𝑞”，C错误；命题“若𝑎>𝑏，则𝑎3>

𝑏3”的否命题为“若𝑎≤𝑏，则𝑎3≤𝑏3”D错误．故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了命题真假的判断，以及不等式求解问题，考查了基本的分析和转化能力，属于基础题．根据命题“存在𝑥0∈𝑅

，使𝑥2−2𝑥−𝑚⩽0”是假命题，即不等式𝑥2−2𝑥−𝑚⩽0无解，转化为𝛥=(−2)2+4𝑚<0即可求解．【解答】解：∵命题“存在𝑥0∈𝑅，使𝑥2−2𝑥−𝑚⩽0”是假命题，∴不等式𝑥2−2𝑥−𝑚⩽0无解，∴𝛥=(−2)2

+4𝑚<0，解得𝑚<−1，∴实数m的取值范围是，故选D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的运算，以及共轭复数，复数的模，属于基础题．由复数的四则运算法则进行计算求得z，由共轭复数的定义以及复数的模的定义可得答案．【解答】

解：𝑧=2𝑖+2(1−𝑖)(1+𝑖)(1−𝑖)=2𝑖+(1−𝑖)=1+𝑖，∴𝑧=1−𝑖，∴|𝑧|=√2．故选B．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查合情推理(归纳、类比推理)及等差等比数列的性质，由题可得𝑎1+𝑎

2+⋯+𝑎9=2×9．【解答】解：等比数列对应的是乘积，则等差数列对应的是和．∵在等比数列{𝑏𝑛}中，𝑏1𝑏9=𝑏2𝑏8=𝑏3𝑏7=𝑏4𝑏6=𝑏52=22，∴𝑏1𝑏2…=29，而

在等差数列{𝑎𝑛}中，𝑎1+𝑎9=𝑎2+𝑎8=𝑎3+𝑎7=𝑎4+𝑎6=2𝑎5=2×2，∴𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎9=2×9．故选D．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，逐项判断即可，注意均值定理的合理运用，属

基础题．【解答】解：如果不买彩票，那么就不能中奖．即使你买了彩票，你也不一定中奖，故A错误；因为𝑎>𝑏，𝑎>𝑐，但是𝑎−𝑏不一定大于𝑎−𝑐，故B错误；因为𝑙𝑔𝑎+𝑙𝑔𝑏≥2√𝑙𝑔�

�⋅𝑙𝑔𝑏成立的条件是𝑎>1，𝑏>1，故C错误；若𝑎>0，𝑏<0，则𝑏𝑎<0,𝑎𝑏<0，则由均值定理，𝑎𝑏+𝑏𝑎=−(−𝑎𝑏+−𝑏𝑎)≤−2√(−𝑎𝑏)⋅(−𝑏𝑎)=−2，故D正确．故选D．9.

【答案】D【解析】【分析】本题考查了复合函数的单调性的求法，属于基础题．可令𝑡=𝑥2−2𝑥−8(𝑥>4或𝑥<−2)，则𝑦=𝑙𝑔𝑡，由二次函数和对数函数的单调性，以及复合函数的单调性：同增异

减，即可得到所求单调区间．【解答】解：函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−2𝑥−8)，可令𝑡=𝑥2−2𝑥−8(𝑥>4或𝑥<−2)，则𝑦=𝑙𝑔𝑡，由𝑡=𝑥2−2𝑥−8在(−∞,−2)递减，(4,+∞)递增；𝑦=𝑙𝑔𝑡在(0,

+∞)递增，可得函数𝑓(𝑥)=lg(𝑥2−2𝑥−8)的单调递增区间是(4,+∞)．故选D．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查数列的递推关系及归纳推理，首先根据数列的递推关系得到数列的前几项，分析归纳出数列的通项公式，属基础题．【解答】解：由题意可知𝑎1=12,𝑆

𝑛=𝑛2𝑎𝑛(𝑛∈𝑁∗),所以𝑎1+𝑎2=4𝑎2，即𝑎2=16，𝑎1+𝑎2+𝑎3=9𝑎3，即𝑎3=112，𝑎1+𝑎2+𝑎3+𝑎4=16𝑎4，即𝑎4=120，通过分析前四项即可归纳出：𝑎𝑛=1𝑛(𝑛+1)．故选B．11.【答案】D【解析】【分析】

本题主要考查用反证法证明不等式，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．把这三个数的和变形为𝑎+9𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐+4𝑐，利用基本不等式可得三个数的和大于或等于12，从而得到这三个

数中，至少有一个不小于4.【解答】解：∵𝑎，b，c都是正数，故这三个数的和(𝑎+1𝑏)+(𝑏+4𝑐)+(𝑐+9𝑎)=𝑎+9𝑎+𝑏+1𝑏+𝑐+4𝑐≥6+2+4=12．当且仅当𝑎=3，𝑏=1，𝑐=2时，等号

成立．故三个数𝑎+1𝑏，𝑏+4𝑐，𝑐+9𝑎中，至少有一个不小于4(否则这三个数的和小于12)．故选D．12.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查理解和转化能力，属于中档题．解答本题的关键在于将问

题进行转化，即转化为两函数的图象有公共点的问题处理，并进一步转化为求函数的值域的问题求解.由题意得方程𝑚=−4𝑥+2𝑥+1有解，进而转化为函数𝑦=𝑚和函数𝑦=−4𝑥+2𝑥+1的图象有公共点，利用换元法求出函数𝑦=−4𝑥

+2𝑥+1的值域即为所求的范围．【解答】解：∵∀𝑥∈𝑅，∃𝑚∈𝑅，使4𝑥−2𝑥+1+𝑚=0成立，∴方程𝑚=2𝑥+1−4𝑥有解，∴函数𝑦=𝑚和函数𝑦=−4𝑥+2𝑥+1的图象有公共点．令𝑡=

2𝑥(𝑡>0)，则𝑦=−𝑡2+2𝑡=−(𝑡−1)2+1≤1，∴函数𝑦=−4𝑥+2𝑥+1的值域为(−∞,1],∴实数m的取值范围是(−∞,1]．故选A．13.【答案】2【解析】【分析】本题考查元素的互异性及集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．若𝐵∪𝐴=𝐴

，则𝐵⊑𝐴，根据集合中元素的关系求解，注意最后根据集合中元素的互异性进行验证．【解答】解：若𝐵∪𝐴=𝐴，则𝐵⊑𝐴，所以若𝑎+1=1，𝑎+2=3，则无解，若𝑎+1=1，𝑎+2=𝑎2，则无解，若𝑎+1=3，𝑎+2=1，则无解，若𝑎+1=3，𝑎+2

=𝑎2，则𝑎=2，经检验符合题意，若𝑎+1=𝑎2，𝑎+2=1，则无解，若𝑎+1=𝑎2，𝑎+2=3，则无解．综上，𝑎=2．故答案为2．14.【答案】(0,3]【解析】【分析】本题考查求复合

函数的值域，涉及指数函数与二次函数的性质的应用，属于基础题目．先由二次函数的性质得出指数的取值范围，再由指数函数的性质得出函数的值域即可．【解答】解：由二次函数的性质可得函数𝑢=𝑥2−1≥−1，由指数函数的性质可知函数𝑦=(13)𝑢为减函数，∴(

13)𝑥2−1≤(13)−1=3，故函数𝑦=(13)𝑥2−1的值域为(0,3]．故答案为(0,3]．15.【答案】(−∞,1]【解析】【分析】本题主要考查了利用换元法求函数的值域，二次函数的性质，属于基础题．设𝑡=√𝑥−

1，𝑡⩾1，利用换元法和二次函数的性质求得原函数的值域．【解答】解：因为函数𝑦=√𝑥−1−𝑥(𝑥≥2)所以设𝑡=√𝑥−1，𝑡⩾1，则𝑥=𝑡2+1，则𝑦=𝑡−(𝑡2+1)=−(𝑡−12)2−34，则函数在[1,+∞)上单调递减，则当𝑡=1时，𝑦𝑚𝑎𝑥=

−14−34=−1，则函数的值域为(−∞,−1]．故答案为(−∞,−1]．16.【答案】[0,4]【解析】【分析】本题考查二次函数的性质，涉及函数的定义域和不等式恒成立问题，属于中档题．问题等价于𝑚𝑥2+𝑚𝑥

+1≥0对一切𝑥∈𝑅恒成立，分𝑚=0，和𝑚≠0两种情况讨论．【解答】解：∵函数𝑓(𝑥)=√𝑚𝑥2+𝑚𝑥+1的定义域是一切实数，∴𝑚𝑥2+𝑚𝑥+1≥0对一切𝑥∈𝑅恒成立，当𝑚=0时，上式变为1>0，恒成立，当�

�≠0时，必有{𝑚>0△=𝑚2−4𝑚≤0，解之可得0<𝑚≤4，综上可得0≤𝑚≤4故答案为[0,4]．17.【答案】解：(1)点P的直角坐标为(0,2)；(2)曲线C：𝜌cos𝜃−𝜌sin𝜃=1，即𝑥−𝑦−1=0．曲线D的

参数普通方程(𝑥−1)2+𝑦2=1；(3)因为直线C：𝑥−𝑦−1=0过圆D：(𝑥−1)2+𝑦2=1的圆心，所以AB为圆D的直径，所以𝐴𝐵=2，又点𝑃(0,2)到直线C：𝑥−𝑦−1=0的距离为𝑑=3√2

，所以𝑆=12𝐴𝐵⋅𝑑=3√22【解析】本题考查极坐标与直角坐标的互化，参数方程与普通方程的互化，属于基础题．(1)由极坐标与直角坐标的互化公式即可把P的极坐标化为直角坐标；(2)由可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，由同角三角函数的平方关系消

参可得到曲线D的普通方程;(3)求出AB的长，求得P到直线的距离，由三角形面积公式求得面积．18.【答案】解：(1)∵直线𝑙1、𝑙2的极坐标方程分别为𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋6)=1，𝜃=2𝜋3(𝜌∈𝑅)，设直线𝑙1、𝑙2的交点为𝑀.联立{𝜌𝑠𝑖𝑛(

𝜃+𝜋6)=1𝜃=2𝜋3，解得{𝜃=2𝜋3𝜌=2,∴点M的极坐标为(2,2𝜋3)，在直角坐标系xoy中，M的横坐标𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃=2⋅cos2𝜋3=−1，M的纵坐标𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃=2⋅sin2𝜋3=√3，∴

点M的直角坐标为𝑀(−1,√3)．(2)设过M且倾斜角为𝜋3的直线的参数方程为{𝑥=−1+12𝑡𝑦=√3+√32𝑡,(𝑡是参数)，代入圆𝑥2+𝑦2=7，得𝑡2+2𝑡−3=0，解得𝑡1=−3，

𝑡2=1，∴1|𝑀𝐴|+1|𝑀𝐵|=1|𝑡1|+1|𝑡2|=1+13=43.【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，极坐标系和直线的参数方程．(1)联立{𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃+𝜋6)=1𝜃=2𝜋3，求出点

M的极坐标为(2,2𝜋3)，再利用极坐标与直角坐标互化得点M的直角坐标;(2)设过M用倾斜角为𝜋3的直线的参数方程为{𝑥=−1+12𝑡𝑦=√3+√32𝑡,(𝑡是参数)，代入圆𝑥2+𝑦2=7，得𝑡2+2𝑡−3=0，𝑡1=−3，𝑡2=1，再利用参数t的几何意义．19.

【答案】解：(1)曲线𝜌=2𝑐𝑜𝑠𝜃的普通方程为(𝑥−1)2+𝑦2=1，点𝑃(√2,𝜋4)的直角坐标为(1,1)，所以点P在圆上，又因为圆心，故过点P的切线为𝑦=1，所以所求的切线的极坐标方程为：𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃=1；(2)①椭圆的参

数方程化为普通方程，得𝑥225+𝑦29=1，因为𝑎=5,𝑏=3,𝑐=4，则点F的坐标为(4,0)．因为直线l经过点(𝑚,0)，所以𝑚=4，②将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，并整理得：(9cos2𝛼+25sin2

𝛼)𝑡2+72𝑡𝑐𝑜𝑠𝛼−81=0，设点𝐴,𝐵在直线参数方程中对应的参数分别为𝑡1,𝑡2，则𝐹𝐴⋅𝐹𝐵=|𝑡1𝑡2|=819cos2𝛼+25sin2𝛼=819+16sin2𝛼．当sin𝛼=0时，𝐹𝐴⋅

𝐹𝐵取最大值9；当sin𝛼=±1时，𝐹𝐴⋅𝐹𝐵取最小值8125．【解析】本题考查参数方程化成普通方程，考查学生的计算能力，正确运用参数的几何意义是关键．(1)将极坐标系转化为直角坐标，求出切线方程后再转化为极坐标方程；(2)①椭圆的参数方程化为普通方

程，可得F的坐标，直线l经过点(𝑚,0)，可求m的值；②将直线l的参数方程代入椭圆C的普通方程，利用参数的几何意义，即可求|𝐹𝐴|⋅|𝐹𝐵|的最大值与最小值．20.【答案】解：(Ⅰ)曲线C：𝜌𝑠𝑖𝑛2𝜃=2𝑎𝑐𝑜𝑠𝜃(𝑎>0)，转化成直角坐标方程为

：𝑦2=2𝑎𝑥，直线l的参数方程为{𝑥=−2+√22𝑡𝑦=−4+√22𝑡(𝑡为参数)，转化成直角坐标方程为：𝑥−𝑦−2=0；(Ⅱ)将直线的参数方程{𝑥=−2+√22𝑡𝑦=−4+√22𝑡(𝑡为

参数)，代入𝑦2=2𝑎𝑥得到：𝑡2−2√2(4+𝑎)𝑡+8(4+𝑎)=0，设M，N两点对应的参数分别为𝑡1，𝑡2，则有𝑡1+𝑡2=2√2(4+𝑎)，𝑡1𝑡2=32+8𝑎，∵|𝑃𝑀

|，|𝑀𝑁|，|𝑃𝑁|成等比数列，∴|𝑀𝑁|2=|𝑃𝑀|⋅|𝑃𝑁|，∴(𝑡1−𝑡2)2=(𝑡1+𝑡2)2−4𝑡1⋅𝑡2=𝑡1⋅𝑡2，∴8(4+𝑎)2−4×8(4+𝑎)=8(4+𝑎)，解得𝑎=1．【解析】本题考查极坐标方

程与直角坐标方程的互化、参数方程与直角坐标方程的互化、根和系数的关系建立方程组求解及等比数列的应用，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(Ⅰ)直接利用关系式把极坐标方程转化成直角坐标方程；(Ⅱ)利用参数方程和抛物线方程建立成关于t的一元二次

方程组，利用根和系数的关系求出两根和与两根积，进一步利用等比数列进一步求出a的值．21.【答案】解：(1)散点图如图所示．(2)由已知数据计算可得∑𝑖=14𝑥𝑖𝑦𝑖=4×2+5×3+7×5+8×6=106，𝑥=4+5+7+84=6，𝑦=2+3+5+64

=4，∑𝑖=14𝑥𝑖2=42+52+72+82=154，则𝑏̂=∑𝑖=14𝑥𝑖𝑦𝑖−4𝑥𝑦∑𝑖=14𝑥𝑖2−4𝑥2=106−4×6×4154−4×62=1，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥=4−6=−2，故线性回归方程为𝑦̂=𝑥−2.(3)由回

归直线方程，令𝑥=9，则𝑦=7，则可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.【解析】本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用公式求出最小二乘法下线性回归方程的系数，属于中档题．(1)由表中数据，直接描点即可．(2)根据公

式计算线性回归方程的系数．(3)由回归直线方程预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7．22.【答案】解：(1)由茎叶图可得二维列联表正常偏高合计碳酸饮料9110果汁饮料5510合计14620𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−

𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)=20×(9×5−5×1)10×10×14×6≈3.810>2.706，所以能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为食品添加剂是否偏高与是否含二

氧化碳有关系．(2)由茎叶图知食品添加剂偏高的样本中碳酸饮料1瓶，果汁饮料5瓶设碳酸饮料为a，果汁饮料b1，b2，b3，b4，b5，从这6瓶中选2瓶的所有不同选法为(𝑎,𝑏1)，(𝑎,𝑏2)，(𝑎,𝑏3)，(𝑎,𝑏4)，(𝑎,𝑏5)(𝑏1,𝑏2)，(𝑏1,�

�3)，(𝑏1,𝑏4)，(𝑏1,𝑏5)(𝑏2,𝑏3)，(𝑏2,𝑏4)，(𝑏2,𝑏5)(𝑏3,𝑏4)，(𝑏3,𝑏5)(𝑏4,𝑏5)共15种不同选法．其中两种饮料都被抽到的不同选法为(𝑎,𝑏1)，(𝑎,𝑏2)，(𝑎,𝑏3)，(𝑎,𝑏4)

，(𝑎,𝑏5)，共5种不同选法，故所求概率为𝑃=515=13．【解析】本题主要考查了独立性检验和古典概型的计算与应用，属于中档题。(1)由茎叶图正确画出二维列联表，再计算𝑘2≈3.810>2.706的值，最后做出总结；

(2)由茎叶图知食品添加剂偏高的样本中碳酸饮料1瓶，果汁饮料5瓶设碳酸饮料为a，果汁饮料b1，b2，b3，b4，b5，从这6瓶中选2瓶的所有不同选法有15种，其中两种饮料都被抽到的不同选法有5种，两数

之比即为概率．