【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第二册 第四章　4-4　数学归纳法含解析【高考】.doc，共(8)页，588.500 KB，由小赞的店铺上传

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14.4*数学归纳法课后训练巩固提升A组1.用数学归纳法证明1++…+<2-(n≥2)(n∈N*)时,第一步需要证明()A.1<2-B.1+<2-C.1+<2-D.1+<2-解析:第一步需验证第一个n值,应为n=2,此时不等式为1+<2-.答案:C2.已知f(n)=2+4+6+…+2n,则f(n

+1)比f(n)多了()A.1项B.n项C.(n+1)项D.2n-1项解析:由题意,f(n)=2+4+6+…+2n(n∈N*),f(n+1)=2+4+6+…+2n+(2n+2)+…+2n+1,则f(n+1)-f(n)=(2n+2)+(2n+4)+…+2n+1,f(n+1

)比f(n)多了2n-1项.答案:D3.已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*),若当n=1,2,…,1000时,p(k)成立,且当n=1001时,p(k)也成立,则下列判断中正确的是()A.p(k)对k=2004成立B.p(k)对每一

个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立2解析:由题意,知p(k)对k=2,4,6,…,2002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立.故选D.答案:D4.

用数学归纳法证明+…+(n≥2)的过程中,设f(k)=+…+,从n=k到n=k+1推理时,不等式的左边为()A.f(k)+B.f(k)+C.f(k)++…+D.f(k)+解析:当n=k时,左边=+…+,

当n=k+1时,左边=+…++…+,故第二步由k到k+1时不等式左边的变化是增加了f(k)++…+.答案:C5.若存在常数a,b,使等式1×22+2×32+…+n(n+1)2=(an+b)对n∈N*都成立,

则a,b的值分别为、.解析:因为存在常数a,b,使等式对所有的正整数都成立,所以当n=1,2时等式都成立,所以得a+b=8,2a+b=11,解得a=3,b=5.答案:3536.用数学归纳法证明1++…+<n(n∈N,且n>1),第一步要证明的不等式是.解析:当n=2时,左边为1

+=1+,右边为2.故应填1+<2.答案:1+<27.用数学归纳法证明+…+.假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.解析:观察不等式中各项的分母变化知,当n=k+1时,+…+.答案:+…+8.用数学归纳法证明:1+4+7+…+(3n-2)

=n(3n-1)(n∈N*).证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即1+4+7+…+(3k-2)=k(3k-1).那么当n=k+1时,1+4+7+…+(3k-2)+[

3(k+1)-2]=k(3k-1)+(3k+1)=(3k2+5k+2)=(k+1)(3k+2)=(k+1)[3(k+1)-1],即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对任何n∈N*都成立.49.由下列式子:1>,1+>1,1+,1++…+>2,…

…猜想第n个表达式,并用数学归纳法给予证明.解:猜想:1++…+.证明:(1)当n=1时,不等式成立;(2)假设当n=k时,不等式成立,即1++…+,则当n=k+1时,左边=1++…++…++…+,其

中+…+共有2k项,+…+,所以1++…++…++…+,即当n=k+1时,不等式成立,由(1)(2)可知,对任意n∈N*,不等式成立.B组1.某个命题与正整数n有关,如果当n=k+1(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=

k时命题也成立.现已知当n=2019时该命题不成立,那么可推得()A.当n=2020时该命题不成立5B.当n=2020时该命题成立C.当n=2018时该命题不成立D.当n=2018时该命题成立答案:A2.用数学归

纳法证明+…+>1,从n=k到n=k+1推理时,左边应增加的项是()A.+…+B.C.+…+D.解析:用数学归纳法证明+…+>1时,假设当n=k时不等式成立,左边=+…+,则当n=k+1时,左边=+…+,故由n=

k递推到n=k+1时不等式的左边增加了+…+.答案:A3.设平面内有k条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k条直线的交点个数为f(k),则f(k+1)与f(k)的关系是()A.f(k+1)=f(

k)+k+1B.f(k+1)=f(k)+k-1C.f(k+1)=f(k)+kD.f(k+1)=f(k)+k+26解析:当n=k+1时,任取其中1条直线记为l,则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k).因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条

直线都相交(有k个交点);又因为任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同,从而当n=k+1时交点的个数是f(k+1)=f(k)+k.答案:C4.利用数学归纳法证明“1++…+<n(n∈N*,n>1)”的

过程中,由假设“当n=k时不等式成立”,推导“当n=k+1时不等式也成立”时,左边应增加的项数是()A.kB.k+1C.2kD.2k+1解析:当n=k(k>1,k∈N*)时不等式成立,即有1++…+<k,当n=k+1时,即证1++…++…+<k+1,由此可得不等式左边增加了+…+

,共2k+1-1-2k+1=2k项.答案:C5.用数学归纳法证明等式:1+2+3+…+n3=(n∈N*),则从n=k到n=k+1推理时左边应添加的项为.解析:用数学归纳法证明等式1+2+3+…+n3=(n∈N*),当n=1时,左边的项是1;假设当n=k时等式成立,左边为1+2+3+…+

k3,则当n=k+1时,左边为1+2+3+…+k3+(k3+1)+…+(k+1)3,故由n=k到n=k+1时需增添的项是(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3.答案:(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)36.已知数列{an}的前n项和为

Sn,a1=-,且Sn++2=an(n≥2),则S3=;Sn=.7解析:由于a1=-,满足Sn++2=an(n≥2),令n=2,则S2++2=a2,化为a1++2=0,故-+2=0,解得S2=-.令n=3,S3++2=a3,化为S2++

2=0,即-+2=0.解得S3=-.猜想:Sn=-.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,S1=-,结论成立;(2)假设当n=k时结论成立,即Sk=-,当n=k+1时,Sk+1++2=ak+1=Sk+1-Sk,Sk+1=-=-=-.即当n=k

+1时,结论也成立.由(1)(2)可得,对任意的正整数n,结论都成立.答案:--7.已知函数f(n)=-1+3-5+…+(-1)n·(2n-1)(n∈N*).(1)求f(n+1)-f(n);(2)用数学归纳法证明f(n)=(-1)n·n

.(1)解:∵f(n)=-1+3-5+…+(-1)n·(2n-1)(n∈N*),8∴f(n+1)-f(n)=(-1)n+1(2n+1).(2)证明:①当n=1时,f(1)=-1,成立.②假设当n=k∈N*时成立,即f(k)=(-1)k·k,则当n=k+1时,f(k+1)=f(

k)+(-1)k+1·(2k+1)=(-1)k·k+(-1)k+1·(2k+1)=(-1)k+1·(2k+1-k)=(-1)k+1·(k+1).故当n=k+1时等式也成立.综上可得,对于任意n∈N*,f(n)=(-1)n·n.8.已知数列{an}的前n项和为Sn,满足an

≥1,且4Sn=(an+1)2,n∈N*.(1)求a1,a2,a3的值;(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法予以证明.解:(1)∵an≥1,且4Sn=(an+1)2,∴当n=1时,(a1-1)2=

1,∴a1=1,当n=2时,4(1+a2)=(a2+1)2,∴a2=3或a2=-1(舍),当n=3时,4(4+a3)=(a3+1)2,∴a3=5或a3=-3(舍),∴a1=1,a2=3,a3=5.(2)由(1)猜想an

=2n-1,下面用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=1,显然成立,②假设当n=k时,结论成立,即ak=2k-1,则当n=k+1时,由4Sk=(ak+1)2,有4ak+1=4(Sk+1-Sk)=(ak+

1+1)2-(ak+1)2,∴-2ak+1-4k2+1=(ak+1-2k-1)(ak+1+2k-1)=0,∴ak+1=2k+1或ak+1=-2k+1(舍),∴n=k+1时结论成立.由①②知,当n∈N*时,an=

2n-1均成立.