【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题8.3 一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(13)页，309.415 KB，由小赞的店铺上传

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专题8.3一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）1．一元线性回归模型把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.2．线性经验回归方程与最小二乘法设满足一元

线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+(i=1，2，，n)，得|-(+a)|=||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小.通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”.当a，b的取值

为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.经验回归直线一定过点(,).3．残差分析对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为

预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.4．刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作

出的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.(2)残差平方和法残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.(3)利用刻画拟合效果=.越

大，模型的拟合效果越好，越小，模型的拟合效果越差.(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：（其中，，，和，，，的均值分别为和）.①当r>0时，称成对样本数据正相关.

这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的

值通常会变小.【题型1一元线性回归模型】【方法点拨】根据一元线性回归模型的定义，结合具体题目条件，进行求解即可.【例1】（2022·高二单元测试）根据如下样本数据，得到线性回归方程为𝑌=𝑛𝑋+𝑚，若样本点的中心(𝑥,𝑦)为(5,0.9)，则当

X每增加1个单位时，Y平均（）X34567Y4.0𝑚−5.4-0.50.5𝑛−0.6A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加7.9个单位D．减少7.9个单位【变式1-1】（2022春·黑龙江大庆·高二期末）给出下列说法中错误的是（）A．回归

直线𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂恒过样本点的中心(𝑥̅,𝑦̅)B．两个变量相关性越强，则相关系数|𝑟|就越接近1C．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变D．在回归直线方程𝑦̂=2−0.5𝑥中，当变量x增加一个单位时，𝑦̂平均减少

0.5个单位【变式1-2】（2022春·河南南阳·高二期中）已知变量x和y的回归直线方程为𝑦̂=0.2021𝑥+0.202，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（）A．x与y正相关，x与z正相关B．x与y正相关，x与z负相关C．x与y负相关，x与z负相关D．

x与y负相关，x与z正相关【变式1-3】（2022春·陕西渭南·高一期末）根据如下样本数据：𝑥345678𝑦4.02.50.50.50.40.1得到线性回归方程为𝑦=𝑏𝑥+𝑎，则（）A．𝑎>0,𝑏>0B．𝑎>0,𝑏<0C．𝑎<0,𝑏>0D．𝑎<0,�

�<0【题型2残差的计算】【方法点拨】根据题目条件，得出经验回归方程，再进行残差的计算.【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：第x天1234567高度y/cm1469111213由表格

中数据可得y关于x的经验回归方程为𝑦̂=2.04𝑥+𝑎̂，则第7天的残差为（）A．1.12B．2.12C．−1.12D．−2.12【变式2-1】（2023春·河南开封·高三开学考试）某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表：月份代号x

1234567在线外卖规模y（百万元）111318★28★35其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂来拟合预测，且7月相应于点(7

,35)的残差为−0.6，则𝑎̂−𝑏̂=（）A．1.0B．2.0C．3.0D．4.0【变式2-2】（2022春·河南许昌·高二期末）为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点（x，y）：x5.56.577.58.5y98643若由最小二乘

法求得y关于x的回归直线方程为𝑦̂=−1.8𝑥+𝑎̂，则据此计算残差为1.1的样本点是（）A．（5.5，9）B．（6.5，8）C．（7，6）D．（7.5，4）【变式2-3】（2022春·江苏宿迁·高二阶段练习）在对具有线性相关的两个变量𝑥和𝑦进行

统计分析时，得到如下数据：𝑥4𝑚81012𝑦12356由表中数据求得𝑦关于𝑥的回归方程为𝑦̂=0.65𝑥−1.8，则(4,1)，(𝑚,2)，(8,3)这三个样本数据中，残差的绝对值最小的是（）A．(4,1)

B．(𝑚,2)C．(8,3)D．(4,1)和(𝑚,2)【题型3刻画回归效果的方式】【方法点拨】根据刻画回归效果的三种方式，结合具体题目条件，选取适当的方式来刻画模型的拟合效果，即可得解.【例3】（2022秋·宁夏银川·高三开学考试）下列说法正确的个数是（）(1)在做回归分析时，残差图中残

差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差(2)某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学(3)回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好(4)在回归直

线方程𝑦̂=0.1𝑥+10，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位A．2B．3C．4D．1【变式3-1】（2022春·山东菏泽·高二期末）关于线性回归的描述，下列命题错误的是（）A．回归直线一定经过样本点的中心B．残差平方和越小，拟合效果越好C．决定

系数𝑅2越接近1，拟合效果越好D．残差平方和越小，决定系数𝑅2越小【变式3-2】（2022秋·广东广州·高三阶段练习）对两个变量𝑦和𝑥进行回归分析，得到一组样本数据(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，…(𝑥𝑛,𝑦𝑛)，则下列说法不正确的是（）A．若变量𝑦和𝑥之间的相关系数

为𝑟=−0.9462，则变量𝑦和𝑥之间具有较强的线性相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用决定系数𝑅2来刻画回归效果，𝑅2越小说明拟合效果越好D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预

报精确度越高【变式3-3】（2022春·甘肃天水·高二阶段练习）关于线性回归的描述，有下列命题：①回归直线一定经过样本中心点；②相关系数𝑟的绝对值越大，拟合效果越好；③相关指数𝑅2越接近1拟合效果越好；④残差平方和越小，拟合效果越好.其中正确的命题

个数为（）A．1B．2C．3D．4【题型4代入法求线性经验回归方程】【方法点拨】经验回归直线一定经过样本点的中心(,)，求出样本点的中心后代入线性回归方程求解相应字母.【例4】（2023秋·四川广安·高二阶段练习）已知两个变量𝑥和𝑦之间存在线性相关关系，某兴趣小

组收集了一组𝑥，𝑦的样本数据如下表所示：𝑥12345𝑦0.50.611.41.5根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是（）A．𝑦=0.21𝑥+0.53B．𝑦=0.25𝑥+0.21C．𝑦=0.28𝑥+0.16D．𝑦=0.31𝑥+0.11【变式4-1】（2022秋·陕西榆

林·高二期中）已知𝑥，𝑦的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若𝑦与𝑥线性相关，且𝑦=0.95𝑥+𝑎，则𝑎=（）A．2.2B．2.9C．2.8D．2.6【变式4-2】（2023秋·河南焦作·高二期末）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x

（万元）3456销售额y（万元）25304045根据如表可得回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂中的𝑏̂为7．根据此模型预测广告费用为10万元时销售额为（）万元A．63.6B．75.5C．73.5D．72.0【变式4-3】（2023秋·四川宜宾·高二期末）某小区流感大爆发

，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如表所示，由表格可得y关于x的线性经验回归方程为𝑦̂=36𝑥−48，则测此回归模型第4周的治愈人数为（）周数（x）12345治愈人数（y）5153

5？140A．106B．105C．104D．103【题型5经验回归模型的应用】【方法点拨】(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量；(2)画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)确定经验回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系

，则选用线性经验回归方程)；(4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数；(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是

否合适等.【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．商店名称ABCDE销售额x（千万元）35679利润额y（千万元）23345(1)若销售额和

利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．（参考公式𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛⋅𝑥⋅𝑦𝑛𝑖=1∑𝑥𝑖2−𝑛⋅𝑥2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥）(2)若该公司计划再开一个

店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少?【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）目前手机已经成为人们生活中的必需品，国内市场已经进入成熟期，下表是2016—2021年某市手机总体出货量（单位：万部）

统计表．年份2016年2017年2018年2019年2020年2021年年份代码𝑥123456手机总体出货量𝑦/万部5.64.94.13.93.23.5(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；(2)预测2022年该市手

机总体出货量．附：线性回归方程𝑦̂=𝑎̂+𝑏̂𝑥中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥．【变式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）某工厂统计202

2年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：销售网点数x（单位：个）1719202123售卖出的产品件数y（单位：万件）2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，(1)求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个

）的线性回归方程；(2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.参考公式：𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥̅𝑦̅∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=

1−𝑛𝑥̅2，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅.【变式5-3】（2023·山东·模拟预测）我国5G技术给直播行业带来了很多发展空间，加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了2022年1~5月某

商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表示．月份12345售价x（元/件）6056585754月销售量y（千件）597109(1)求相关系数𝑟，并说明是否可以用线性回归模型拟合𝑦

与𝑥的关系（当|𝑟|∈[0.75,1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；(2)建立𝑦关于𝑥的线性回归方程，并估计当售价为55元/件时，该商品的线上月销售量估计为多少

千件？(3)若每件商品的购进价格为(0.5𝑥+25)元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数）参考公式：对于一组数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2,3,⋯,𝑛)，相关系数𝑟=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖

−𝑦̅)√∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1√∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1，其回归直线𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为：𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(�

�𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1,𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅．参考数据：√5≈2.236．【题型6非线性经验回归方程的求法】【方法点拨】(1)作散点图确定曲线模型：曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，大胆猜测拟合函数类型，粗略估计使用哪个函数拟合.

(2)非线性转化为线性：先通过适当变换化非线性关系为线性关系，然后按照线性检验回归方程的求解步骤进行求解.(3)分析模型的拟合效果，得出结论.【例6】（2023·陕西西安·统考一模）为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y3613254

5100(1)判断𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂（𝑎̂,𝑏̂为常数）与𝑦̂=𝑐̂1e𝑐̂2𝑥（𝑐̂1,𝑐̂2为常数，且𝑐̂1>0,𝑐̂2≠0）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程𝑦̂=𝑐̂1e𝑐

̂2𝑥（𝑐̂1,𝑐̂2为常数，且𝑐̂1>0,𝑐̂2≠0），令𝑧=ln𝑦，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值，𝑥𝑦𝑧∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6�

�=1(𝑧𝑖−𝑧̅)3.50322.8517.530712.12（ⅰ）证明：对于非线性回归方程𝑦̂=𝑐̂1e𝑐̂2𝑥，令𝑧=ln𝑦，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即�

�̂=𝛽̂𝑥+𝛼̂,𝛽̂,𝛼̂为常数）；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2位小数）．附：对于一组数据(𝑢1,𝑣1),(𝑢2,𝑣2),⋯,(𝑢𝑛,𝑣𝑛)其回归直线方程𝑣̂=𝛽̂

𝑢+𝛼̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽̂=∑𝑢𝑖𝑛𝑖=1𝑣𝑖−𝑛𝑢𝑣∑𝑢𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑢2,𝛼̂=𝑣−𝛽̂𝑢．【变式6-1】（2023·云南·高三阶段练习）近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国

石斛之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2022年8月，龙陵紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石斛产量逐年增长，2017年底到2022年底龙陵县石斛产量统计如下及散点

图如图．年份201720182019202020212022年份代码x123456紫皮石斛产量y（吨）320034003600420075009000(1)根据散点图判断，𝑦=𝑎𝑥+𝑏与𝑦=𝑐e𝑑𝑥（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的

回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)经计算得下表中数据，根据（1）中结果，求出y关于x的回归方程；𝑥𝑦𝑢∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑢

𝑖−𝑢̅)3.551508.4617.5209503.85其中𝑢=ln𝑦,𝑢𝑖=ln𝑦𝑖(𝑖=1,2,3,4,5,6)．(3)龙陵县计划到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨，根据（2）所求得的回归方

程，预测该目标是否能完成？（参考数据：e9.45≈12708,e9.67≈15835）附：𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂

𝑥̅．【变式6-2】（2023·江西抚州·高三开学考试）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别

为1—5．年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0(1)由上表数据知，可用指数函数模型𝑦=𝑎⋅𝑏𝑥拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测

公司根据上述数据求得y关于x的回归方程后，通过修正，把𝑏−1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．参考数据：𝑣̅∑𝑥𝑖𝑣𝑖

5𝑖=1e0.524e0.4721.9433.821.71.6其中𝑣𝑖=ln𝑦𝑖，𝑣̅=15∑𝑣𝑖5𝑖=1．参考公式：对于一组数据(𝑢1,𝑣1)，(𝑢2,𝑣2)，…，(𝑢𝑛,𝑣𝑛)，其回归直

线𝑣̂=𝛼̂+𝛽̂𝑢的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为𝛽̂=∑𝑢𝑖𝑣𝑖−𝑛𝑢𝑣𝑛𝑖=1∑𝑢𝑖2−𝑛𝑢2𝑛𝑖=1，𝛼̂=𝑣−𝛽̂𝑢．【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）某企业为改进生产

，现某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①𝑦=𝑏𝑥+𝑎，②𝑦=𝑑𝑥+𝑐进行拟合，据收集到

的数据，计算得到如下值：𝑥̅𝑦̅𝑡̅∑(𝑥𝑖20𝑖=1−𝑥̅)2∑(𝑡𝑖20𝑖=1−𝑡̅)2∑(𝑦𝑖−𝑦̅)(𝑥𝑖−𝑥̅)20𝑖=1∑(𝑦𝑖−𝑦̅)(𝑡𝑖−𝑡̅)20𝑖=114.5100.086650.04-4504表中𝑡𝑖=1𝑥𝑖

，𝑡̅=120∑𝑡𝑖20𝑖=1．若用𝑅2=1−∑(𝑦𝑖−𝑦̂)2𝑛𝑖=1∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1刻画回归效果，得到模型①、②的𝑅2值分别为𝑅1⬚2=0.7891，𝑅2⬚2=0.9485．(1)

利用𝑅1⬚2和𝑅2⬚2比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．附：对于一组数据(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,�

�2)，…，(𝑥𝑛,𝑦𝑛)，其回归直线𝑦̂=𝑎̂+𝛽̂𝑥的斜率和截距的最小二乘法估计分别为𝛽̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦̅−�

�̂𝑥̅．