【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题8.3 一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(13)页，309.415 KB，由小赞的店铺上传

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专题8.3一元线性回归模型及其应用（重难点题型精讲）1．一元线性回归模型把式子为Y关于x的一元线性回归模型.其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率

参数；e是Y与bx+a之间的随机误差.2．线性经验回归方程与最小二乘法设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(,)，(,)，，(,)，由=+a+(i=1，2，，n)，得|-(+a)|=||，显然||越小，表示样本数据点离直线y=bx+a的竖直

距离越小.通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和Q=来刻画各样本观测数据与直线y=bx+a的“整体接近程度”.当a，b的取值为时，Q达到最小.将=x+称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线

.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计.经验回归直线一定过点(,).3．残差分析对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，

通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.4．刻画回归效果的方式(1)残差图法作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.在残差图中，残差点比较均匀地

落在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高.(2)残差平方和法残差平方和为，残差平方和越小，模型拟合效果越好.(3)利用刻画拟合效果=.越大，模型的拟合效果越好，越

小，模型的拟合效果越差.(1)对于变量x和变量y，设经过随机抽样获得的成对样本数据为(,)，(,)，，(,)，利用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱，相关系数r的计算公式：（其中，，，和，，，的均值分别为和）.①当r>0时，称成对样本数据正相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个

数据的值通常也变小；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常也变大.②当r<0时，称成对样本数据负相关.这时，当其中一个数据的值变小时，另一个数据的值通常会变大；当其中一个数据的值变大时，另一个数据的值通常会变小.【题型

1一元线性回归模型】【方法点拨】根据一元线性回归模型的定义，结合具体题目条件，进行求解即可.【例1】（2022·高二单元测试）根据如下样本数据，得到线性回归方程为𝑌=𝑛𝑋+𝑚，若样本点的中心(𝑥,𝑦)为(5,0.

9)，则当X每增加1个单位时，Y平均（）X34567Y4.0𝑚−5.4-0.50.5𝑛−0.6A．增加1.4个单位B．减少1.4个单位C．增加7.9个单位D．减少7.9个单位【变式1-1】（2022春·黑龙江大庆·高二期末）给出下列说法中错误的是（）A．回归直线𝑦

̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂恒过样本点的中心(𝑥̅,𝑦̅)B．两个变量相关性越强，则相关系数|𝑟|就越接近1C．某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变D．在回归直线方程𝑦̂=2−0.5𝑥中

，当变量x增加一个单位时，𝑦̂平均减少0.5个单位【变式1-2】（2022春·河南南阳·高二期中）已知变量x和y的回归直线方程为𝑦̂=0.2021𝑥+0.202，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（）A．x与y正相关，x与z正相关B．x与y正相关，x与z

负相关C．x与y负相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关【变式1-3】（2022春·陕西渭南·高一期末）根据如下样本数据：𝑥345678𝑦4.02.50.50.50.40.1得到线性回归方程为𝑦=𝑏𝑥+𝑎，则（）A．𝑎>0,𝑏>0B．𝑎>0,𝑏<0C．𝑎<0,𝑏

>0D．𝑎<0,𝑏<0【题型2残差的计算】【方法点拨】根据题目条件，得出经验回归方程，再进行残差的计算.【例2】（2022春·湖北·高二期末）某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据如下表所示：第x天

1234567高度y/cm1469111213由表格中数据可得y关于x的经验回归方程为𝑦̂=2.04𝑥+𝑎̂，则第7天的残差为（）A．1.12B．2.12C．−1.12D．−2.12【变式2-1】（2023春·河南开封·高三开学考试）某部门统计了某地区今年前7个月在

线外卖的规模如下表：月份代号x1234567在线外卖规模y（百万元）111318★28★35其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊，但这7个月的平均值为23．若利用回归直线方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂来拟合预测，且7月相应于点(7,35)的残差为

−0.6，则𝑎̂−𝑏̂=（）A．1.0B．2.0C．3.0D．4.0【变式2-2】（2022春·河南许昌·高二期末）为研究变量x，y的相关关系，收集得到下面五个样本点（x，y）：x5.56.577.58.5

y98643若由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为𝑦̂=−1.8𝑥+𝑎̂，则据此计算残差为1.1的样本点是（）A．（5.5，9）B．（6.5，8）C．（7，6）D．（7.5，4）【变式2-3】（2022春·江苏宿迁·高二阶段练习）在对具有线性相关的两

个变量𝑥和𝑦进行统计分析时，得到如下数据：𝑥4𝑚81012𝑦12356由表中数据求得𝑦关于𝑥的回归方程为𝑦̂=0.65𝑥−1.8，则(4,1)，(𝑚,2)，(8,3)这三个样本数据中，残差的绝对值最小的是（）

A．(4,1)B．(𝑚,2)C．(8,3)D．(4,1)和(𝑚,2)【题型3刻画回归效果的方式】【方法点拨】根据刻画回归效果的三种方式，结合具体题目条件，选取适当的方式来刻画模型的拟合效果，即可得解.【例3】（2022秋·宁夏银川·高三开学考试）下列说法正确的个数是（）(1)在做回归

分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差(2)某地气象局预报：6月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学(3)回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好

(4)在回归直线方程𝑦̂=0.1𝑥+10，当解释变量每增加1个单位时，预报变量多增加0.1个单位A．2B．3C．4D．1【变式3-1】（2022春·山东菏泽·高二期末）关于线性回归的描述，下列命题错误的是（）A．回归直线一定经过样本点的中心B．残差平方和越小，

拟合效果越好C．决定系数𝑅2越接近1，拟合效果越好D．残差平方和越小，决定系数𝑅2越小【变式3-2】（2022秋·广东广州·高三阶段练习）对两个变量𝑦和𝑥进行回归分析，得到一组样本数据(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，…(

𝑥𝑛,𝑦𝑛)，则下列说法不正确的是（）A．若变量𝑦和𝑥之间的相关系数为𝑟=−0.9462，则变量𝑦和𝑥之间具有较强的线性相关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用决定系数𝑅2来刻画回归效果，𝑅2越小说明拟合效果越好D．在残差图中，残差点分布水平带

状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高【变式3-3】（2022春·甘肃天水·高二阶段练习）关于线性回归的描述，有下列命题：①回归直线一定经过样本中心点；②相关系数𝑟的绝对值越大，拟合效果越好；③相关指数𝑅2越接近1拟合效果越好；④残差平方和越小，拟合效果越好.其中正确的命题个数为（）A

．1B．2C．3D．4【题型4代入法求线性经验回归方程】【方法点拨】经验回归直线一定经过样本点的中心(,)，求出样本点的中心后代入线性回归方程求解相应字母.【例4】（2023秋·四川广安·高二阶段练习）已知两个变量𝑥和𝑦之间存在线性相关关系，某兴趣小组收集了一组𝑥，𝑦的样本数据如

下表所示：𝑥12345𝑦0.50.611.41.5根据表中数据利用最小二乘法得到的回归方程是（）A．𝑦=0.21𝑥+0.53B．𝑦=0.25𝑥+0.21C．𝑦=0.28𝑥+0.16D．

𝑦=0.31𝑥+0.11【变式4-1】（2022秋·陕西榆林·高二期中）已知𝑥，𝑦的取值如下表所示：x0134y2.24.34.86.7若𝑦与𝑥线性相关，且𝑦=0.95𝑥+𝑎，则𝑎=（）A．2.2B．2.9C．2.

8D．2.6【变式4-2】（2023秋·河南焦作·高二期末）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）3456销售额y（万元）25304045根据如表可得回归方程𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂中的𝑏̂为7．根据此

模型预测广告费用为10万元时销售额为（）万元A．63.6B．75.5C．73.5D．72.0【变式4-3】（2023秋·四川宜宾·高二期末）某小区流感大爆发，当地医疗机构使用中西医结合的方法取得了不错的成效，每周治愈的患者人数如

表所示，由表格可得y关于x的线性经验回归方程为𝑦̂=36𝑥−48，则测此回归模型第4周的治愈人数为（）周数（x）12345治愈人数（y）51535？140A．106B．105C．104D．103【题型5经验回归模型的应用】【方

法点拨】(1)确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是响应变量；(2)画出解释变量和响应变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)；(3)确定经验回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性经验回归方程)；(4)按一定规则(如最小二乘法)估计经验回归方程中的参数；

(5)得出结果后分析残差图是否有异常(如个别数据对应残差过大，残差呈现不随机的规律性等)，若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.【例5】（2023秋·四川雅安·高二期末）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．商店名称ABC

DE销售额x（千万元）35679利润额y（千万元）23345(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．（参考公式𝑏̂=∑𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛⋅𝑥⋅𝑦𝑛𝑖=1∑𝑥𝑖

2−𝑛⋅𝑥2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦−𝑏̂𝑥）(2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少?【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）目前手机已经成为人们生活中的必需品

，国内市场已经进入成熟期，下表是2016—2021年某市手机总体出货量（单位：万部）统计表．年份2016年2017年2018年2019年2020年2021年年份代码𝑥123456手机总体出货量𝑦/万部5.64.94.13.93.23.5(1)已知该市手机总体出货量y与年份代码x之间

可用线性回归模型拟合，求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01）；(2)预测2022年该市手机总体出货量．附：线性回归方程𝑦̂=𝑎̂+𝑏̂𝑥中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=

𝑦−𝑏̂𝑥．【变式5-2】（2023秋·四川成都·高二期末）某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：销售网点数x（单位：个）1719202123售卖出的产品件数y（单位：

万件）2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，(1)求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；(2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.参考公式：𝑏̂=∑(�

�𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1=∑𝑥𝑖𝑛𝑖=1𝑦𝑖−𝑛𝑥̅𝑦̅∑𝑥𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑥̅2，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅.【变式5-3】（2023·山东·模拟预测）我国5G技术给直播行业带来了很多发展空间，

加上受疫情影响，直播这种成本较低的获客渠道备受商家青睐，某商场统计了2022年1~5月某商品的线上月销售量y（单位：千件）与售价x（单位：元/件）的情况如下表示．月份12345售价x（元/件）6056585754月销售量y（千件）597109(1)求相关系数𝑟，并说明是否可以用线性回归模型拟合�

�与𝑥的关系（当|𝑟|∈[0.75,1]时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.01）；(2)建立𝑦关于𝑥的线性回归方程，并估计当售价为55元/件时，该商品

的线上月销售量估计为多少千件？(3)若每件商品的购进价格为(0.5𝑥+25)元/件，如果不考虑其他费用，由（2）中结论，当商品售价为多少时，可使得该商品的月利润最大？（该结果保留整数）参考公式：对于一组数据(𝑥𝑖,𝑦𝑖)(𝑖=1,2,3

,⋯,𝑛)，相关系数𝑟=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)√∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1√∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1，其回归直线𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为：𝑏̂=

∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1,𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅．参考数据：√5≈2.236．【题型6非线性经验回归方程的求法】【方法点拨】(1)作散点图确定曲线模型：曲线所对应的函数种类繁多，这就要求我们充分想象，

大胆猜测拟合函数类型，粗略估计使用哪个函数拟合.(2)非线性转化为线性：先通过适当变换化非线性关系为线性关系，然后按照线性检验回归方程的求解步骤进行求解.(3)分析模型的拟合效果，得出结论.【例6】（2023·陕西西安·统考一模）为了

研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y，收集数据如下：天数x123456繁殖个数y36132545100(1)判断𝑦̂=𝑏̂𝑥+𝑎̂（𝑎̂,𝑏̂为常数）与𝑦̂=𝑐̂1e𝑐̂2𝑥（𝑐̂1,𝑐̂2为常数，且𝑐̂1>0,𝑐̂2≠0）哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归

方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)对于非线性回归方程𝑦̂=𝑐̂1e𝑐̂2𝑥（𝑐̂1,𝑐̂2为常数，且𝑐̂1>0,𝑐̂2≠0），令𝑧=ln𝑦，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量

的值，𝑥𝑦𝑧∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑧𝑖−𝑧̅)3.50322.8517.530712.12（ⅰ）证明：对于非线性回归方程𝑦̂=𝑐̂1e𝑐

̂2𝑥，令𝑧=ln𝑦，可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系（即𝑧̂=𝛽̂𝑥+𝛼̂,𝛽̂,𝛼̂为常数）；（ⅱ）根据（ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程（系数保留2

位小数）．附：对于一组数据(𝑢1,𝑣1),(𝑢2,𝑣2),⋯,(𝑢𝑛,𝑣𝑛)其回归直线方程𝑣̂=𝛽̂𝑢+𝛼̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为𝛽̂=∑𝑢𝑖𝑛𝑖=1𝑣𝑖−𝑛𝑢𝑣∑𝑢

𝑖2𝑛𝑖=1−𝑛𝑢2,𝛼̂=𝑣−𝛽̂𝑢．【变式6-1】（2023·云南·高三阶段练习）近年来，云南省保山市龙陵县紧紧围绕打造“中国石斛之乡”的发展定位，大力发展石斛产业，该产业带动龙陵县近四分之一人口脱贫致富．2022年8

月，龙陵紫皮石斛获国家地理标志运用促进工程重点项目，并被评为优秀等次．在政府的大力扶持下，龙陵紫皮石斛产量逐年增长，2017年底到2022年底龙陵县石斛产量统计如下及散点图如图．年份201720182019202020212022年份代码x

123456紫皮石斛产量y（吨）320034003600420075009000(1)根据散点图判断，𝑦=𝑎𝑥+𝑏与𝑦=𝑐e𝑑𝑥（a，b，c，d均为常数）哪一个更适合作为龙陵县紫皮石斛产量y关于年份代码x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）(2)经计算得下表中

数据，根据（1）中结果，求出y关于x的回归方程；𝑥𝑦𝑢∑(𝑥𝑖−𝑥̅)26𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)6𝑖=1(𝑢𝑖−𝑢̅)3.551508.461

7.5209503.85其中𝑢=ln𝑦,𝑢𝑖=ln𝑦𝑖(𝑖=1,2,3,4,5,6)．(3)龙陵县计划到2025年底实现紫皮石斛年产量达1.5万吨，根据（2）所求得的回归方程，预测该目标是否能完成？（参考数据：e9.45≈12708,e9.67≈1583

5）附：𝑏̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)𝑛𝑖=1(𝑦𝑖−𝑦̅)∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅．【变式6-2】（2023·江西抚州·高三开学考试）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐

的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5．年份代码x12345车载音乐市场规模y2.83.9

7.312.017.0(1)由上表数据知，可用指数函数模型𝑦=𝑎⋅𝑏𝑥拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程（a，b的值精确到0.1）；(2)综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得y关于x的回

归方程后，通过修正，把𝑏−1.3作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年的中国车载音乐市场规模．参考数据：𝑣̅∑𝑥𝑖𝑣𝑖5𝑖=1e0.524e0.4721.9433.821.71.6其中𝑣𝑖

=ln𝑦𝑖，𝑣̅=15∑𝑣𝑖5𝑖=1．参考公式：对于一组数据(𝑢1,𝑣1)，(𝑢2,𝑣2)，…，(𝑢𝑛,𝑣𝑛)，其回归直线𝑣̂=𝛼̂+𝛽̂𝑢的斜率和截距的最小二乘估计公

式分别为𝛽̂=∑𝑢𝑖𝑣𝑖−𝑛𝑢𝑣𝑛𝑖=1∑𝑢𝑖2−𝑛𝑢2𝑛𝑖=1，𝛼̂=𝑣−𝛽̂𝑢．【变式6-3】（2023·全国·高三专题练习）某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计．现收集了该产品的成本费y（单位：万元/吨）及同

批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据．现分别用两种模型①𝑦=𝑏𝑥+𝑎，②𝑦=𝑑𝑥+𝑐进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值：𝑥̅𝑦̅𝑡̅∑(𝑥𝑖20𝑖=1−𝑥̅)2∑(

𝑡𝑖20𝑖=1−𝑡̅)2∑(𝑦𝑖−𝑦̅)(𝑥𝑖−𝑥̅)20𝑖=1∑(𝑦𝑖−𝑦̅)(𝑡𝑖−𝑡̅)20𝑖=114.5100.086650.04-4504表中𝑡𝑖=1𝑥𝑖，�

�̅=120∑𝑡𝑖20𝑖=1．若用𝑅2=1−∑(𝑦𝑖−𝑦̂)2𝑛𝑖=1∑(𝑦𝑖−𝑦̅)2𝑛𝑖=1刻画回归效果，得到模型①、②的𝑅2值分别为𝑅1⬚2=0.7891，𝑅2⬚2=0.9485．(1)利用�

�1⬚2和𝑅2⬚2比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；(2)根据（1）中所选择的模型，求y关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值．附：对于一组数据(𝑥1,𝑦1)，(𝑥2,𝑦2)，…，(𝑥𝑛,𝑦𝑛)，其回归直线𝑦̂=𝑎̂+𝛽̂

𝑥的斜率和截距的最小二乘法估计分别为𝛽̂=∑(𝑥𝑖−𝑥̅)(𝑦𝑖−𝑦̅)𝑛𝑖=1∑(𝑥𝑖−𝑥̅)2𝑛𝑖=1，𝑎̂=𝑦̅−𝛽̂𝑥̅．