【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修三）专题6.5 二项式定理（重难点题型精讲）（学生版）.docx，共(7)页，637.168 KB，由小赞的店铺上传

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专题6.5二项式定理（重难点题型精讲）1．二项式定理一般地，对于任意正整数n，都有=++++++.(*)公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2,,

n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：=.(2)二项展开式的规律①二项展开式一共有(n+1)项.②(n+1)项按a的降幂b的升幂排列.③每一项中a和b的幂指数之和为n.2．二项式系数的性质(1)杨辉三角——二项式系数表当n依次取1,2,3,时

，观察的展开式的二项式系数：从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结果，由此我们可以发现以下性质：①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的二项式系数相等.②每一行

两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和.③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大.④第一行的两个数之和为2=，第二行的三个数之和为4=，，第六行的各数之和为，，第n行的(n

+1)个数之和为.(2)二项式系数的性质【题型1求展开式的特定项或特定项的系数】【方法点拨】二项展开式的通项的主要作用是求展开式中的特定项，常见的题型有：①求第k项；②求含(或)的项；③求常数项；④求有理项.其中求有理项时，一般根据通项，找出未知数的指数，令其为

整数，再根据整数的整除性求解.另外，若通项中含有根式，一般把根式化为分数指数幂，以简化运算.【例1】（2023·北京·高三专题练习）二项式(√𝑥−2√𝑥3)5的展开式中常数项为（）A．80B．−80C．−

40D．40【变式1-1】（2023·广西桂林·一模）(𝑥−2)5的展开式中𝑥3的系数为（）A．40B．−40C．80D．−80【变式1-2】（2022春·湖南邵阳·高二期末）(2𝑥−𝑎𝑥)6的展开式中的常数项为-160，则a的值为（）A．1B．-1C．2D．-2【变式1-3】（202

2·全国·模拟预测）(𝑥−2𝑥)10展开式中第5项的系数是（）A．C104B．C10424C．−C105D．−C10525【题型2用赋值法求系数和问题】【方法点拨】赋值法是解决二项展开式中项的系数和问题的常用方法.根据题目要求，灵活赋值是解题的关键.【例2】（2022

秋·广西梧州·高三期中）(1+𝑥)4=𝑎0+𝑎1𝑥+𝑎2𝑥2+𝑎3𝑥3+𝑎4𝑥4，则𝑎0−𝑎1+𝑎2−𝑎3+𝑎4=（）A．1B．3C．0D．−3【变式2-1】若(𝑥+𝑦)6=𝑎0𝑦6+𝑎1𝑥𝑦5+𝑎2𝑥2𝑦4+⋅⋅⋅+𝑎6𝑥6，

则(𝑎0+𝑎2+𝑎4+𝑎6)2−(𝑎1+𝑎3+𝑎5)2的值为（）A．0B．32C．64D．128【变式2-2】（2022春·陕西延安·高二阶段练习）若(3𝑥−1)7=𝑎7𝑥7+𝑎6𝑥6+⋯𝑎1𝑥+𝑎0，则𝑎7+𝑎6+⋯𝑎1的值是（）A．−1

B．127C．128D．129【变式2-3】（2022·全国·高三专题练习）已知C𝑛3=C𝑛6，设(2𝑥−3)𝑛=𝑎0+𝑎1(𝑥−1)+𝑎2(𝑥−1)2+⋅⋅⋅+𝑎𝑛(𝑥−1)𝑛，则𝑎1+𝑎2+⋅⋅⋅+𝑎𝑛=（）A．−1B．0C．1D．2【题

型3多项式积的展开式中的特定项问题】【方法点拨】对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.【例3】（2023·湖南长沙·统考一模）(1𝑥−2)(1−2𝑥)4的展开

式中，常数项为（）A．−4B．−6C．−8D．−10【变式3-1】（2022·四川绵阳·校考二模）(1+1𝑥)(1+𝑥)4的展开式中含𝑥2项的系数为（）A．10B．12C．4D．5【变式3-2】（202

3·四川成都·统考二模）二项式(1+𝑥+𝑥2)(1−𝑥)10展开式中𝑥4的系数为（）A．120B．135C．140D．100【变式3-3】（2022秋·广西柳州·高三阶段练习）若(2−𝑎𝑥)(1+𝑥)4展开式中

𝑥3的系数为2，则𝑎=（）A．1B．−1C．−13D．2【题型4求展开式中系数最大的项的方法】【方法点拨】由于展开式中各项的系数是离散型变量，因此，(1)在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值，只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确地列出不等式组即可.(2)当各项系数正负相间

时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组；求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组.【例4】（2022春·江苏常州·高二期中）在(3𝑥−2𝑦)20的展开式中，系数绝对值最大项是（）A．第10项B．第9项C．第11项D．第8项【变式4-1】（2022·全国·

高二假期作业）若(2+𝑎𝑥)𝑛(𝑎≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（）A．(−∞,0)∪[2,3]B．(−∞,0)∪[13,12]C．[2,3]D．[13,12]【变式4-2】（2023·

全国·高二专题练习）已知(√𝑥-2𝑥)𝑛的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该展开式中各项系数的最小值为（）A．-448B．-1024C．-1792D．-5376【变式4-3】（2022春·山东菏泽·

高二阶段练习）已知(2𝑥+1√𝑥)𝑛的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是（）A．二项展开式中各项系数之和为37B．二项展开式中二项式系数最大的项为90𝑥32C．二项展开式中无常

数项D．二项展开式中系数最大的项为240𝑥3【题型5利用二项式定理证明整除问题或求余数】【方法点拨】(1)利用二项式定理证明整除问题，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按

二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者是前面)一两项就可以了，要注意余数的范围.【例5】（20

23·全国·高三专题练习）250−1除以7的余数是（）A．0B．1C．2D．3【变式5-1】（2023·全国·高三专题练习）设𝑎∈Z，且0≤𝑎<13，若512021+𝑎能被13整除，则a等于（）A．0B．1C．11D．12【变式5-

2】（2022春·江苏镇江·高二期中）设𝑎∈𝑍，且0≤𝑎≤13，若512021+𝑎能被13整除，则𝑎=（）A．0B．1C．11D．12【变式5-3】（2022·高二课时练习）设n为正奇数，则5𝑛+𝐶𝑛15𝑛−1+𝐶𝑛2

5𝑛−2+⋯+𝐶𝑛𝑛−15被7整除的余数为（）．A．−2B．0C．3D．5【题型6杨辉三角问题】【方法点拨】解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对数据要横看、竖看、隔行看、连续看，多

角度观察；(2)规律：通过观察找出每一行的数据之间、行与行的数据之间的规律；(3)表达：将发现的规律用数学式子表达出来；(4)结论：用数学表达式写出结论.【例6】（2022·全国·高三专题练习）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，早在中国南

宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，若第n行中从左至右只有第12个数为该行中的最大值，则n=（）A．21B．22C．23D．24【变式6-1】（2022·全国·高三专题练习）如图，杨辉三角出现于我国

南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了(𝑎+𝑏)𝑛（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（）A．256B．512C．1024D．1023【变式6

-2】（2022·江苏·高三专题练习）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（）A．由“与首末两端‘等距

离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－mB．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：𝐶𝑛+1𝑟=𝐶𝑛𝑟−1+𝐶𝑛𝑟C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2nD．由“111＝11，112＝121，113

＝1331”猜想：115＝15101051【变式6-3】（2022·全国·高二专题练习）将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,便可以得到如图的“0-1三角”.在“0-1三角”中,从第1行起,设第n(n∈N+)次出现全行为

1时,1的个数为an,则a3等于()A．26B．27C．7D．8