【文档说明】【精准解析】江西省湘东中学2019-2020学年高二下学期期中能力线上测试数学（理）试题.doc，共(17)页，1.143 MB，由小赞的店铺上传

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2019~2020学年度下学期高二期中能力测试数学（理科）学科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(1)(12)zii=−+，i

是虚数单位，则z=（）A.1i−B.1i+C.3i+D.3i−【答案】D【解析】【分析】先由复数的四则运算求出z=3i+，然后根据共轭复数的定义求z.【详解】由()()1123ziii=−+=+，所以3zi=−，故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查共轭

复数的定义，属于基础题.2.若函数21()fxxx=+，则()1f−=（）A.3−B.1C.1−D.3【答案】A【解析】【分析】对函数()fx求导，即可求解.【详解】21()2fxxx=−，则(1)3f−=−

．故选：A【点睛】本题考查求函数的导数，属于基础题.3.若复数21izi=+（i为虚数单位），则z=（）A.2B.1C.12D.22【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算得到21izi=+122ii−==，再由模长公式得到结

果即可.【详解】复数21izi=+122ii−==，根据模长的公式得到z=21122=.故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算以及模长公式的计算，题目简单基础.4.三角形面积为()12Sabcr=

++，a，b，c为三角形三边长，r为三角形内切圆半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为（）A.13Vabc=B.13VSh=C.()13Vabbcach=++（h为四面体的高）D.()123413Vssssr

=+++（其中1s，2s，3s，4s分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r）【答案】D【解析】【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，

结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．【详解】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据三角形的面积的求解方法：利用分割法，将O与四个顶点连起来，可得四面体的体积

等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，即()123413Vssssr=+++，故选D．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找

出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．5.函数()fx=4343xx−的极值点为()A.0B.1C.0或1D.1−【答案】B【解析】【分析】首先对

函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】()´fx=32xx−=()21xx−，函数()fx=4343xx−在()1,+上是增函数，在(),1−上是减函数，所以x=1是函数的极小值点，故选B.【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，

属于简单题目.6.定积分10(sin2)xxdx+=（）A.1cos1+B.cos1C.1cos1−D.2cos1−【答案】D【解析】分析：找出被积函数的原函数，计算定积分.详解：12100(sin2)(cos)|cos11cos002co

s1xxdxxx+=−+=−++−=−，故选D.点睛：该题考查的是有关定积分的计算问题，在解题的过程中，一是需要对公式正确使用，二是要明确积分区间.7.已知函数()yxfx=的图象如图所示(其中()fx

是函数()fx的导函数)，则下面四个图象中，()yfx=的图象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据所给图像分段分析函数的单调性判断即可.【详解】由()yxfx=的图象可得：当1x时,()0xfx,∴()0f

x,即函数()yfx=单调递增；当01x时,()0xfx,∴()0fx,即函数()yfx=单调递减；当10x−时,()0xfx,∴()0fx,即函数()yfx=单调递减；当1x−时,()0xfx,∴()0fx

,即函数()yfx=单调递增,观察选项,可得C选项图像符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据导函数的图形判断原函数的图形方法,属于基础题.8.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙

是第一名”；丁说：“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（）A.丙B.甲C.乙D.丁【答案】B【解析】【分析】分别假设甲是第一名，乙是第一名，丙是第一名，丁是第一名，四种情况

，结合题中条件，进行判断，即可得出结果.【详解】若甲是第一名，则甲、乙、丙说的都不正确，丁说的正确，符合题意，故甲获得第一；若乙是第一名，则只有乙说的正确，不符合题意；若丙为第一名，则乙丙说的不正确，甲丁说的正确，不满足题意；若丁是第一名，则甲乙说的正确，丙丁说的不正确，不满足题意；故选B【点睛

】本题主要考查逻辑推理，推理案例属于常考内容，属于基础题型.9.函数()(2)xfxxe=−的单调递增区间为A.(1,)+B.(2,)+C.(0,2)D.(1,2)【答案】A【解析】【分析】先对函数()(2)xfxxe=−求导，令'()0fx，求得结果.【

详解】'()(2)(1)xxxfxexexe=+−=−，令'()0fx，解得1x，所以函数()(2)xfxxe=−的单调增区间是(1,)+，故选A.【点睛】该题考查的是有关求函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于简单题目.10.如图，阴影部分

的面积是（）A.23B.23−C.353D.323【答案】D【解析】【详解】123(32)Sxxdx−=−−，1323133xxx−=−−+，323=，本题选择D选项.点睛：定积分的计算：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外

，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则()()0aafxdxa−

＝0.11.若函数3()31fxxbx=−+在区间(1,2]内是减函数，bR，则（）A.4bB.4bC.4bD.4b【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，根据函数在区间(1,2]内是减函数，转化为导函数小于等于0，然后分离常数b，根据最值求得b的取值范围.【详解】3()

31fxxbx=−+，2'()33fxxb=−，∵函数3()31fxxbx=−+在区间(1,2]内是减函数，∴导函数2'()33fxxb=−在区间(1,2]内小于等于0，()22max330,xbbx−，当2x=时，2

4x=，故4b，故选C．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12.已知定义在R上的可导函数()fx，对于任意实数x都有()()2fxfxx−=−成立，且当(,0]x−时

，都有'()21fxx+成立，若(2)(1)3(1)fmfmmm−++，则实数m的取值范围为（）A.11,3−B.(1,0)−C.(,1)−−D.1,3−+【答案】A【解析】【分析】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，可判断出函数g（x）为R上偶函数．由f′（x）＜

2x+1成立，可得g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，可得函数g（x）的单调性．不等式f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用单调性即可得出．【详解】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，则g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2

+x﹣f（x）+x2+x＝0，∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为R上的偶函数．∵当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜2x+1成立，∴g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减，在[

0，+∞）上单调递增．f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），∴g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），∴|2m|＜|m﹣1|，化为：3m2+2m﹣1＜0，解得11m3−

＜＜．故选A．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．解题关键是构造函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，利用单调性解不等式.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.212i=+_____

__.【答案】255【解析】【分析】先由复数的除法运算将212i+化简，再求出模即可.【详解】()()()22212i22424121212555iiii−−===+−=++−25

5【点睛】本题主要考查复数的运算与复数的模，属于基础题型.14.将正整数有规律地排列如下：12345678910111213141516……………则在此表中第45行第84列出现的数字是___________.【答案】2020【解析】【分析】根据等差数列的求和求

解前44行的数字个数,再分析第45行第84列出现的数字即可.【详解】依题意可知第n行有21n−个数字,前n行的数字个数为2135(21)nn++++−=个,可得前44行共244个,∵2441936=,即

第44行最后一个数为1936,∴第45行第84列出现的数字是1936842020+=,故答案为：2020.【点睛】本题主要考查了等差数列的运用,属于中档题.15.函数()lnxfxx=在(20,e上的最大值是____．【答案】1e【解析】【分析】求出

导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可．【详解】函数()lnxfxx=，()21ln'xfxx−=，令()'0fx=，解得xe=．因为20ee，函数()fx在(0,xe上单调递增，在2

,xee单调递减；xe=时，()fx取得最大值，()1fee=．故答案为1e．【点睛】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．16.已知函数()()()1sin22cos12fxaxax

ax=−+−+在,22−无极值，则()fx在,22−上的最小值是______.【答案】32−【解析】【分析】对()fx求导，利用函数()fx在,22−无极值求出2a=，从而

判断出()fx单调递减，再利用单调性即可求得函数的最小值．【详解】()()()()2cos22sin112sin2sin1fxaxaxaaxaxa=++−−=−++−−()()()22sin2sin12sin1sin1axaxxax=−++−=−−−，因为()0fx=时一定

有根，1sin2x=，即,622x=−，所以要使()fx无极值，则2a=，此时()()22sin10fxx−−=恒成立，即()fx单调递减，故在区间,22−上，()fx的最小值为322f=−.【点睛】本题主要考查了极值的概念，利用导

数求函数的最值，考查计算能力及分析能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数12izm=−，复数21izn=−，其中i是虚数单位，,mn为实数．（1）若1n=

，1z为纯虚数，求12||zz+的值；（2）若()212zz=，求,mn的值．【答案】(1)1210zz+=(2)m=0,n=-1【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复

数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．【详解】（1）因为12zmi=－为纯虚数，所以0m=．又1n=，所以12zi=−，21zi=−，从而1213zzi+=−．因此()22121310zz+=+−=．（2）因为()212zz=，所以()221mini−=+，即()

2212minni−=−+．又m，n为实数，所以21,22,mnn=−−=解得0,1.mn==−【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知函数2()lnfxbxax=−在1x=处的切

线方程为yx=．（1）求,ab的值；（2）求()fx的单调区间与极值．【答案】（1）11ab==（2）()fx的单增区间为2,2+，()fx的单减区间为20,2，()12ln22fx=−极小，()fx无极大值.【解析】【分析

】(1)首先求得导函数，得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定实数a,b的值；(2)结合(1)中求得的a,b的值利用导函数求解函数的单调区间和极值即可.【详解】（1）()()220bxafxxx−=，根据题设得方程组121bba=−=，解得11ab

==.（2）由(1)可知()221'xfxx−=，令()202fxx==，22x=−（舍去），当202x时，()0fx，当22x时，()0fx，()fx的单增区间为2,2+，()fx的单减区间为20,2，()212222fxfl

n==−极小，()fx无极大值.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.设函数()32fxxaxbx=++在点1x=处有极值2−

.(1)求常数,ab的值;(2)求曲线()yfx=与x轴所围成的图形的面积.【答案】(1)0,3ab==−;(2)92.【解析】【分析】（1）求出导函数，利用函数()32fxxaxbx=++在1x=处有极值2−，由()12f=−且()'10f=,解方程组，即可求得,ab的值；（2

）利用定积分的几何意义，先确定确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，利用微积分基本定理，结合函数的对称性即可得结论.【详解】(1)由题意知()2'32fxxaxb=++,()12f=−且()'10f=,即12,320,a

bab++=−++=,解得0,3ab==−.(2)如图,由1问知()33fxxx=−.作出曲线33yxx=−的草图,所求面积为阴影部分的面积.由330xx−=得曲线33yxx=−与x轴的交点坐标是()3,0−,()0,0和()3,0,而33yxx=−是R上的奇函数,函数图象关于原点

中心对称.所以y轴右侧阴影面积与y轴左侧阴影面积相等.所以所求图形的面积为()330213Sxxdx=−4213932|4220xx=−−=.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、定积分的几何意义以及微积分基本定理的应用，属于中档题.已知函数的极值()f

mn=求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数()()'0fmnfm==；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反.20.某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．22sin30cos60sin30co

s60++；22sin15cos45sin15cos45++；22sin20cos50sin20cos50++；④22sin(18)cos12sin(18)cos12−++−；⑤22sin(25)cos5sin(25)cos

5−++−.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】（Ⅰ）34;(Ⅱ)223sincossincos664

++++=，证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）选，直接利用特殊角的三角函数求解即可；（Ⅱ）根据所给等式，根据归纳推理，找到共同规律，可得到恒等式223sincossincos664

++++=，利用两角差的余弦公式展开cos6+，根据同角三角函数的关系化简即可得结果，化简过程注意避免出现计算错误.【详解】(Ⅰ)222211113sin30cos60sin30c

os6022224++=++=；（Ⅱ）三角恒等式为：223sincossincos664++++=22sincossincos66++++223131sincossinsinc

ossin2222=+−+−222233131sincossincossinsincossin42422=+−++−223sincos)4=+（34=【点睛】本题主要考查特

殊角的三角函数、两角和的余弦公式以及归纳推理的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.21.已知函数(

)()lnafxxaRx=−．()1判断()fx在定义域上的单调性；()2若()fx在1,e上的最小值为2，求a的值．【答案】（1）见解析（2）ae=−【解析】【分析】（1）先确定f（x）的定义域为（0，+∞），再求导，由“f'（x）＞0，f（x）为增函数f'（x）＜0，f（x）在为减

函数”判断，要注意定义域和分类讨论．（2）因为()2'xafxx+=，x＞0．由（1）可知当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min＝f（1）；当0＜﹣a≤1时，；f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min＝f（1）；当1＜﹣a＜e时；f（x）在[1，﹣

a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数，f（x）min＝f（﹣a）；当﹣a≥e时，；f（x）在[1，e]上是减函数，f（x）min＝f（e）；最后取并集．【详解】（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），．（0，+∞）①当a≥0时，

f'（x）＞0，故f（x）在上为增函数；②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝﹣a；由f'（x）＞0得x＞﹣a；由f'（x）＜0得x＜﹣a；∴f（x）在（0，﹣a]上为减函数；在（﹣a，+∞）上为增函数．所以，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上

是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，﹣a]上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）∵()2'xafxx+=，x＞0．由（1）可知：①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，得a＝﹣2，矛盾!②当

0＜﹣a≤1时，即a≥﹣1时，f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，∴a＝﹣2（舍去）．③当1＜﹣a＜e时，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数，∴f（

x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝2，得a＝﹣e（舍去）．④当﹣a≥e时，即a≤﹣e时，f（x）在[1，e]上是减函数，有()()12minafxfee==−=，∴a＝﹣e．综上可知：a＝﹣e．

【点睛】本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．考查了函数的最值问题，运用了分类讨论的思想，属于难题.22.已知函数2()24xxfxeex=

−−．（1）求()fx的单调区间；（2）当0x时，()(41)xafxeax−+恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）函数()fx在(,ln2)−上单调递减，在(ln2,)+上单调递增；（2）[1,0]−.【解析】【分析】（1）先求函数()fx的导数，利用导函数的正负情况，得到

原函数的单调区间.（2）构造函数()()exgxafx=−()41ax++，求()gx得导数，对a分成110,,022aaa三类，结合()gx的单调区间，根据()max0gx列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】解：（1）()22e

2e4xxfx=−−=()()2e2e2xx+−，令()0fx=，解得ln2x=，当(),ln2x−，()0fx，则函数()fx在(),ln2−上单调递减；当()ln2,x+，()0fx，则函数()fx在()ln2,+上单调递增.（2）令()

()exgxafx=−()()241e21xaxaa++=−+exx+，根据题意，当()0,x+时，()0gx恒成立.()()22e21exxgxaa=−+()()12e1e1xxa+=−−.①当102a，

()ln2,xa−+时，()0gx恒成立，所以()gx在()ln2,a−+上是增函数，且()()()ln2,gxga−+，所以不符合题意；②当12a，()0,x+时，()0gx恒成立，所以

()gx在()0,+上是增函数，且()()()0,gxg+，所以不符合题意；③当0a时，因为()0,x+，所以恒有()0gx，故()gx在()0,+上是减函数，于是“()0gx对任意()0,x+都成立”的充

要条件是()00g，即()210aa−+，解得1a−，故10a−.综上，a的取值范围是1,0−.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数

学思想方法，属于难题.要利用导数求解不等式恒成立问题，首先构造一个函数，然后利用导数研究这个函数的最值，根据最值的情况列不等式，解不等式求得参数的取值范围.