【文档说明】【精准解析】江西省湘东中学2019-2020学年高二下学期期中能力线上测试数学（理）试题.pdf，共(17)页，249.318 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2019~2020学年度下学期高二期中能力测试数学（理科）学科试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知(1)(12)zii，i是虚数单位，则z（）A.1i

B.1iC.3iD.3i【答案】D【解析】【分析】先由复数的四则运算求出z=3i，然后根据共轭复数的定义求z.【详解】由1123ziii，所以3zi，故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查共轭复数的定义，属于基础题.2.若函数21()fxxx，

则1f（）A.3B.1C.1D.3【答案】A【解析】【分析】对函数()fx求导，即可求解.【详解】21()2fxxx，则(1)3f．故选：A【点睛】本题考查求函数的导数，属于基础题.

3.若复数21izi（i为虚数单位），则z（）A.2B.1C.12D.22【答案】C【解析】【分析】-2-根据复数的除法运算得到21izi122ii，再由模长公式得到结果即可.【详解】复数21izi122ii，根据

模长的公式得到z21122.故答案为C.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算以及模长公式的计算，题目简单基础.4.三角形面积为12Sabcr，a，b，c为三角形三边长，r为三角形内切圆半径，利用类比推理，可

以得出四面体的体积为（）A.13VabcB.13VShC.13Vabbcach（h为四面体的高）D.123413Vssssr（其中1s，2s，3s，4s分别为四面体四个面的面积，r为四面体内切球的半径，设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r）【答案】

D【解析】【分析】根据平面与空间的类比推理，由点类比直线，由直线类比平面，由内切圆类比内切球，由平面图形的面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比四面体的体积计算方法，即可求解．【详解】设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据三角形的面积的求解方法：利用分割法

，将O与四个顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥的体积之和，即123413Vssssr，故选D．【点睛】本题主要考查了类比推理的应用，其中解答中类比

推理是将已知的一类数学对象的性质类比到另一类数学对象上去，通常一般步骤：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质取推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题，本题属于基础题．5.函数

fx=4343xx的极值点为()-3-A.0B.1C.0或1D.1【答案】B【解析】【分析】首先对函数求导，判断函数的单调性区间，从而求得函数的极值点，得到结果.【详解】´fx=32xx=21xx，函数fx4343xx在1,上是增函数，在,1上是减函数，

所以x=1是函数的极小值点，故选B.【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的极值点的问题，属于简单题目.6.定积分10(sin2)xxdx（）A.1cos1B.cos1C.1cos1D.2cos1【答案】D【解析】分析：找出被积函数的原函数，计算定积分.详解：12100(sin

2)(cos)|cos11cos002cos1xxdxxx，故选D.点睛：该题考查的是有关定积分的计算问题，在解题的过程中，一是需要对公式正确使用，二是要明确积分区间.7.已知函数()yxfx的图象如图所示(其中()fx是函数()fx的导函数)，则下

面四个图象中，()yfx的图象大致是（）-4-A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据所给图像分段分析函数的单调性判断即可.【详解】由()yxfx的图象可得：当1x时,()0xfx,∴()0fx,即函数()yfx单调递增；当01x时,()0x

fx,∴()0fx,即函数()yfx单调递减；当10x时,()0xfx,∴()0fx,即函数()yfx单调递减；当1x时,()0xfx,∴()0fx,即函数()yfx单调递增,观察选项,可得C选项图

像符合题意.故选：C.【点睛】本题主要考查了根据导函数的图形判断原函数的图形方法,属于基础题.8.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说：“我不是第一名”；乙说：“丁是第一名”；丙说：“乙是第一名”；丁说：“我不是

第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的，则获得第一名的同学为（）A.丙B.甲C.乙D.丁【答案】B【解析】【分析】分别假设甲是第一名，乙是第一名，丙是第一名，丁是第一名，四种情况，结合题中条件，-5-进行判

断，即可得出结果.【详解】若甲是第一名，则甲、乙、丙说的都不正确，丁说的正确，符合题意，故甲获得第一；若乙是第一名，则只有乙说的正确，不符合题意；若丙为第一名，则乙丙说的不正确，甲丁说的正确，不满足题意；若丁

是第一名，则甲乙说的正确，丙丁说的不正确，不满足题意；故选B【点睛】本题主要考查逻辑推理，推理案例属于常考内容，属于基础题型.9.函数()(2)xfxxe的单调递增区间为A.(1,)B.(2,)C.(0,2)D.(1,2)【

答案】A【解析】【分析】先对函数()(2)xfxxe求导，令'()0fx，求得结果.【详解】'()(2)(1)xxxfxexexe，令'()0fx，解得1x，所以函数()(2)xfxxe的单调增区间

是(1,)，故选A.【点睛】该题考查的是有关求函数单调区间的求解问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，属于简单题目.10.如图，阴影部分的面积是（）A.23B.23C.353D.323【答案】D-6-【解析】【详解】123(32)Sxxdx

，1323133xxx，323，本题选择D选项.点睛：定积分的计算：(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以

利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应的解析式，分别求出积分值相加．(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．(3)若y＝f(x)为奇函数，则0aafxdxa＝0.11.若函数3

()31fxxbx在区间(1,2]内是减函数，bR，则（）A.4bB.4bC.4bD.4b【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，根据函数在区间(1,2]内是减函数，转化为导函数小于等于0，然后分离常数b，根据最值求得b的取值范围.【详解】3()31fxxbx，2'(

)33fxxb，∵函数3()31fxxbx在区间(1,2]内是减函数，∴导函数2'()33fxxb在区间(1,2]内小于等于0，22max330,xbbx，当2x时，24x，故4b，故选C．【点

睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.12.已知定义在R上的可导函数()fx，对于任意实数x都有()()2fxfxx成立，且当-7-(,0]x时，都有'()21fxx成立，若(2)(1)3(1)fmfmmm，则实

数m的取值范围为（）A.11,3B.(1,0)C.(,1)D.1,3【答案】A【解析】【分析】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，可判断出函数g（x）为R上偶函数．由f′（x）＜2x+1成立，可得g′（x）＝f′（x）

﹣2x﹣1＜0，可得函数g（x）的单调性．不等式f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用单调性即可得出．【详解】令g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，则g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2+x﹣f（

x）+x2+x＝0，∴g（﹣x）＝g（x），∴函数g（x）为R上的偶函数．∵当x∈（﹣∞，0]时，都有f'（x）＜2x+1成立，∴g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，∴函数g（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．f（2m）＜f（m﹣1）+3

m（m+1），即f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），∴g（2m）＜g（m﹣1），因此g（|2m|）＜g（|m﹣1|），∴|2m|＜|m﹣1|，化为：3m2+2m﹣1＜0，解得11m3＜＜．故选A．【点

睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、不等式的解法、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．解题关键是构造函数g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，利用单调性解不等式.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.-8-13.212i_______.【答案

】255【解析】【分析】先由复数的除法运算将212i化简，再求出模即可.【详解】22212i22424121212555iiii255【点睛】本题主要考查复数的运算与复数的模，属于基础题型.14.将正整数有规律地排列如下：1234

5678910111213141516……………则在此表中第45行第84列出现的数字是___________.【答案】2020【解析】【分析】根据等差数列的求和求解前44行的数字个数,再分析第45行第84列出现的数字即可.【详

解】依题意可知第n行有21n个数字,前n行的数字个数为2135(21)nn个,可得前44行共244个,∵2441936,即第44行最后一个数为1936,∴第45行第84列出现的数字是1936842020,故答案

为：2020.【点睛】本题主要考查了等差数列的运用,属于中档题.15.函数lnxfxx在20,e上的最大值是____．-9-【答案】1e【解析】【分析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性

求解函数的最大值即可．【详解】函数lnxfxx，21ln'xfxx，令'0fx，解得xe．因为20ee，函数fx在0,xe上单调递增，在2,xee单调递减；xe时，fx取得

最大值，1fee．故答案为1e．【点睛】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．16.已知函数1sin22cos12fxaxaxax在,22无极值，则fx在,22

上的最小值是______.【答案】32【解析】【分析】对fx求导，利用函数fx在,22无极值求出2a，从而判断出fx单调递减，再利用单调性即可求得函数的最小值．【详解】2cos22s

in112sin2sin1fxaxaxaaxaxa22sin2sin12sin1sin1axaxxax，因为0fx时一定有根，1sin2x，即,622x，所以要使fx无极值，则

2a，此时22sin10fxx恒成立，即fx单调递减，故在区间,22上，fx的最小-10-值为322f.【点睛】本题主要考查了极值的概念，利用导数求函数的最值，考查计算能力及分析能力，属于中档题．三、解答题：本

大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数12izm，复数21izn，其中i是虚数单位，,mn为实数．（1）若1n，1z为纯虚数，求12||zz的值；（2）若212zz，求,mn的值．【答案】(1)1210zz(2)m=

0,n=-1【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则，结合纯虚数的概念，根据模的计算公式即可得出；（2）利用复数的运算法则、复数相等即实部与虚部分别相等可得出最终结果．【详解】（1）因为12zmi－为纯虚数，所以0m．又1n

，所以12zi，21zi，从而1213zzi．因此22121310zz．（2）因为212zz，所以221mini，即2212minni．又m，n为实数，所以21,22,mnn解得0,1.mn

【点睛】本题主要考查了复数的运算法则、模的计算公式、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.已知函数2()lnfxbxax在1x处的切线方程为yx．（1）求,ab的值；-11-（2）求()fx的单调区间与极值．【答案】（1）11ab（2）fx的单增区

间为2,2，fx的单减区间为20,2，12ln22fx极小，fx无极大值.【解析】【分析】(1)首先求得导函数，得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定实数a,b的值；(2)结合(1)中求得的a,b的值利用导函数求解函数的单调区间和极值即

可.【详解】（1）220bxafxxx，根据题设得方程组121bba，解得11ab.（2）由(1)可知221'xfxx，令202fxx，22x（舍去），当202x时，0fx，当22x时，0fx，

fx的单增区间为2,2，fx的单减区间为20,2，212222fxfln极小，fx无极大值.【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究函数的极值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.设函数3

2fxxaxbx在点1x处有极值2.(1)求常数,ab的值;(2)求曲线yfx与x轴所围成的图形的面积.-12-【答案】(1)0,3ab;(2)92.【解析】【分析】（1）求出导函数，利用函数32fxxaxbx在1x处有极值2，由12f且'10f,

解方程组，即可求得,ab的值；（2）利用定积分的几何意义，先确定确定函数的积分区间，被积函数，再求出原函数，利用微积分基本定理，结合函数的对称性即可得结论.【详解】(1)由题意知2'32fxxaxb,

12f且'10f,即12,320,abab,解得0,3ab.(2)如图,由1问知33fxxx.作出曲线33yxx的草图,所求面积为阴影部分的面积.由330x

x得曲线33yxx与x轴的交点坐标是3,0,0,0和3,0,而33yxx是R上的奇函数,函数图象关于原点中心对称.所以y轴右侧阴影面积与y轴左侧阴影面积相等.所以所求图形的面积为330213Sxxdx4213932|4220xx

.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、定积分的几何意义以及微积分基本定理的应用，属于中档题.已知函数的极值fmn求参数的一般步骤是：（1）列方程求参数'0fmnfm；（2）检验方程的解的两边导函数符号是否相反.20.某同学在一次研究性学习中发现，以

下五个式子的值都等于同一个常数．22sin30cos60sin30cos60；-13-22sin15cos45sin15cos45；22sin20cos50sin20cos50；④22sin(18)cos12sin(18)cos12；⑤

22sin(25)cos5sin(25)cos5.（Ⅰ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.【答案】（Ⅰ

）34;(Ⅱ)223sincossincos664，证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）选，直接利用特殊角的三角函数求解即可；（Ⅱ）根据所给等式，根据归纳推理，找到共同规律，可得到恒等式223sincossinco

s664，利用两角差的余弦公式展开cos6，根据同角三角函数的关系化简即可得结果，化简过程注意避免出现计算错误.【详解】(Ⅰ)222211113sin30cos60sin30cos6022224

；（Ⅱ）三角恒等式为：223sincossincos66422sincossincos66223131sincossinsincossin2222

222233131sincossincossinsincossin42422223sincos)4（-14-34【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数、两角和的余弦公式以及归纳推理的应用，属于中档题.归纳推理的一

般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.21.已知函数lnafxxaRx．1判断fx在定义域上的单调性；2若fx在1,e上的最小值为2，求a的值．【答案】（1）见解析（2）ae

【解析】【分析】（1）先确定f（x）的定义域为（0，+∞），再求导，由“f'（x）＞0，f（x）为增函数f'（x）＜0，f（x）在为减函数”判断，要注意定义域和分类讨论．（2）因为2'xafxx，x＞0．由（1）可知当a

≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min＝f（1）；当0＜﹣a≤1时，；f（x）在（0，+∞）上也是增函数，f（x）min＝f（1）；当1＜﹣a＜e时；f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增函数，f（x）min＝f（﹣a）；当﹣a≥

e时，；f（x）在[1，e]上是减函数，f（x）min＝f（e）；最后取并集．【详解】（1）由题意得f（x）的定义域为（0，+∞），．（0，+∞）①当a≥0时，f'（x）＞0，故f（x）在上为增函数；②当a＜0时，

由f'（x）＝0得x＝﹣a；由f'（x）＞0得x＞﹣a；由f'（x）＜0得x＜﹣a；∴f（x）在（0，﹣a]上为减函数；在（﹣a，+∞）上为增函数．所以，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数；当a＜0时，f（x）在（0，

﹣a]上是减函数，在（﹣a，+∞）上是增函数．（2）∵2'xafxx，x＞0．由（1）可知：①当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上为增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，得a＝﹣2，矛盾!②当0＜﹣a≤1时，即a≥﹣1时，f（x）在（0，

+∞）上也是增函数，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，∴a＝﹣2（舍去）．③当1＜﹣a＜e时，即﹣e＜a＜﹣1时，f（x）在[1，﹣a]上是减函数，在（﹣a，e]上是增-15-函数，∴f（x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝2，得a＝﹣e（舍去）．④当﹣a≥e时，即a≤﹣e时，f（x）在[

1，e]上是减函数，有()12minafxfee，∴a＝﹣e．综上可知：a＝﹣e．【点睛】本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围时，往往转化为求相应函数的最值问题．考查了函数的最值问题

，运用了分类讨论的思想，属于难题.22.已知函数2()24xxfxeex．（1）求()fx的单调区间；（2）当0x时，()(41)xafxeax恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）函数()fx在(,ln2)上单调递减，在(ln

2,)上单调递增；（2）[1,0].【解析】【分析】（1）先求函数fx的导数，利用导函数的正负情况，得到原函数的单调区间.（2）构造函数exgxafx41ax，求gx得导数，对a分成110

,,022aaa三类，结合gx的单调区间，根据max0gx列不等式，解不等式求得a的取值范围.【详解】解：（1）22e2e4xxfx2e2e2xx，令0fx，解得ln2x，当,ln2x，0fx，则函数fx在,ln2

上单调递减；当ln2,x，0fx，则函数fx在ln2,上单调递增.（2）令exgxafx241e21xaxaaexx，根据题意，当0,x时，0gx恒成立.22e21exxgxaa1

2e1e1xxa.-16-①当102a，ln2,xa时，0gx恒成立，所以gx在ln2,a上是增函数，且ln2,gxga，所以不符合题意；②当12a，0,x时，0gx

恒成立，所以gx在0,上是增函数，且0,gxg，所以不符合题意；③当0a时，因为0,x，所以恒有0gx，故gx在0,上是减函数，于是“

0gx对任意0,x都成立”的充要条件是00g，即210aa，解得1a，故10a.综上，a的取值范围是1,0.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导

数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.要利用导数求解不等式恒成立问题，首先构造一个函数，然后利用导数研究这个函数的最值，根据最值的情况列不等式，解不等式求得参数的取值范围.-17-