【文档说明】上海市华东师范大学第二附属中学2021-2022学年高二下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(14)页，621.762 KB，由管理员店铺上传

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华二附中高二月考数学试卷2022．03一、填空题（本大题满分40分，本大题共有10题，只要求直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分）1.已知数列na为等差数列，其前n项和为nS.若936S=，则348aaa++=______．【答案】

12【解析】【分析】由()919599362Saaa=+==，得54a=，再由348153123aaaada++=+=，能求出结果．【详解】解：数列na为等差数列，其前n项和为9.36nSS=，()919599362Saaa=+==，解得54a=，348153

12312aaaada++=+==．【点睛】本题考查等差数列的三项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.已知数列na前n项和21nSnn=++，则数列na的通项公式为_________【答案】*3,12,2,Nnnannn==【解析】【分析】利

用,nnaS关系求na的通项公式.【详解】由题设，113aS==，当2n时，221(1)(1)11nSnnnn−=−+−+=−+，所以12nnnaSSn−=−=，显然13a=不符合该式综上，*3,1

2,2,Nnnannn==.故答案为：*3,12,2,Nnnannn==.的.3.“1423aaaa+=+”是“数列1a、2a、3a、4a依次成等差数列”的_________条件.【答案】必要不充分【解析】【分析】

根据特殊值法结合等差数列的性质判断可得出结论.详解】取11a=，22a=，34a=，45a=，则1423aaaa+=+，但数列1a、2a、3a、4a不成等差数列，即“1423aaaa+=+”“数列1a、2a、3a、4a依次成等差数列”；若数列1a、2a、3a、4a依次成等差数列，由等差

数列的性质可得1423aaaa+=+，即“1423aaaa+=+”“数列1a、2a、3a、4a依次成等差数列”.因此，“1423aaaa+=+”是“数列1a、2a、3a、4a依次成等差数列”的必要不充分条件.故

答案为：必要不充分.4.等差数列na的前n项和为nS，若1020SS=，则30S=_________【答案】0【解析】【分析】设等差数列的公差为d，由已知求出1=a292d−，即得解.【详解】解：设等差数列的公差为1110

92019,102022dadad+=+，所以1=a292d−.所以30130292930293030()0222Saddd=+=−+=.故答案为：05.若数列na的通项公式为276nann=−+，则当n=_________时，na的前n项和nS最小【答案】5或6【解

析】【分析】由题设可得(1)(6)nann=−−，结合二次函数的性质，讨论n判断na的符号，即可确定n为何值时nS最小.【详解】由题设，(1)(6)nann=−−且*Nn，【所以，当16n时0na

；当1n=或6n=时0na=；当6n时0na；综上，当5n=或6n=时nS最小.故答案为：5或6.6.已知实数12,,,xaay等成等差数列，12,,,xbby成等比数列，则21212()aabb+的取值范围是__________.【答案】(,0][4,)−+【解析】【详解

】试题分析：由等差数列的性质得12aaxy+=+，由等比数列的性质得12bbxy=，所以21212()aabb+=2()xyxy+=2yxxy++，当0yx时，2224yxxy+++=，当0yx，()2220yxxy−++

−+=，所以2yxxy++0，故21212()aabb+的取值范围是()04−+，，．考点：本题主要考查等差、等比数列的性质，均值定理的应用，综合法的定义及方法．点评：综合性较强，在理解掌握综合法的基

础上，运用等差、等比数列的知识及均值定理完成解答．7.在共有2009项的等比数列na中，有等式135200910052462008aaaaaaaaa=成立，类比上述性质，在共有2019项的等差数列nb中，相应的有等式_________成立【

答案】135201924620181010()()bbbbbbbbb++++++=++−【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列与等比数列的类比性，写出类比等式作答.【详解】等差数列nb中的nmbb

+可与等比数列na中的nmaa类比，等差数列nb中的nmbb−可与等比数列na中的nmaa类比，所以，在共有2019项的等差数列nb中，有135201924620181010()()bbbbbbbbb

++++++=++−故答案为：135201924620181010()()bbbbbbbbb++++++=++−8.设1a、2a、…、na是各项不为零的等差数列，4n，且公差0d，若将此数列删去某一项后，得到的数

列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对1,and所组成的集合为_________【答案】()()4,4,4,1−##()()4,1,4,4−【解析】【分析】设出公差，依次列出各项，分类讨论去掉第一项、第二项、第三项、第四项及以后项即可.

【详解】设公差为d，则各项为：1111,,2,(1)aadadand+++−，若去掉第一项，()()()211123adadad+=++，解得0d=，不合题意；若去掉第二项，()()111232adaad=++，化简得()140dad+=，解得14

ad=−，等比数列不能出现0，140ad+=不出现等比数列中，即4n=，数对为()4,4−；若去掉第三项，()()21113adaad+=+，化简得()10dda−=，解得1da=，此时数列为1111,2,3,4aaaa，即4n=，数对为()4,1；若去掉第四项或以后项，

()()21112adaad+=+，解得0d=，不合题意；故满足题意的数对只有()4,4−，()4,1.故答案为：()()4,4,4,1−.9.若数列na满足:对任意的*nN，只有有限个正整数k使得kan成立

，记这样的k的个数为()*na，则得到一个新数列()*na，例如，若数列nan=，则数列()*na是0、1、2、…、1n−、…，若2nan=，则()()**na=_________【答案】2n【解析】【分析】根据题意寻找规律，

从而求出当()()222112nmn−+时，()*21man=−，再求出()()**2135721nann=+++++−=.【详解】由11a=，24a=，39a=，416a=，……，得：()*10a

=，()()()**2*341aaa===，()()()()()****56789*2aaaaa=====，当1016m时，()*3ma=，……，当()()222112nmn−+时，()*21man=−，所以()()**11a=，()()*2*134a=+=，()()

*3*1359a=++=，……，()()**2135721nann=+++++−=，故答案为：2n【点睛】对于定义新数列题目，要能正确理解题干中的信息，把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，寻找规律进行求解.10.已知数列na的前n项

和nS，对任意*nN，1(1)32nnnnSan=−++−且1()()<0nnapap+−−恒成立，则实数p的取值范围是__________.【答案】311(,)44−【解析】【详解】试题分析：由1(1)32nnnn

San=−++−，得；当时，，若为偶数，则，∴（为正奇数）；若为奇数，则，∴（为正偶数）．函数（为正奇数）为减函数，最大值为，函数（为正偶数）为增函数，最小值为．若1(-)(a-)<0nnapp+恒成立，则，即．故答案为311(,)44−．二、选择题（本大题满

分16分，本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分．）11.无穷等差数列na的首项10a，公差0d，na的前n项的和为nS，则（）A.nS单调递减B.nS单调递增C.nS有最大值D.nS

有最小值【答案】C【解析】【分析】由等差数列{}na公差0d得数列为递减数列，且先正值，后负值，从而判断出nS有最大值．【详解】无穷等差数列{}na的首项10a，公差0d，{}na是递减数列，且

先正值，后负值；的{}na的前n项和为nS先增加，后减小；nS有最大值；故选C.【点睛】本题考查等差数列的单调性，求解时要从1,ad两个量，判断等差数列的性质.事实上，等差数列的前几项都大于或等于0，从某项起开始小于0，则此类

等差数列存在前几项和达到最大值.12.设()fx是定义在正整数集上的函数，且()fx满足：“当2()fkk成立时，总可推出2(1)(1)fkk++成立”．那么，下列命题总成立的是（）A.若(1)1f成立，则(10)100f成立B.若(2)4f成立，则(1)1f

成立C.若(3)9f成立，则当1k³时，均有2()fkk成立D.若(4)25f成立，则当4k时，均有2()fkk成立【答案】D【解析】【详解】解：利用互为逆否命题真值相同，可知，由已知的条件

满足当2()fkk成立时，总可以推出2(1)(1)fkk++成立，则能推断若(4)25f成立，则当4k时，均有2()fkk成立．其余不成立．13.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律

将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.32fB.322fC.1252fD.1272f【答案】

D【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为122，所以1212(2,)nnaannN−+=，又1af=，则127771281(2)2aaqff===故选D.点睛：此题考查

等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1nnaqa+=（*0,qnN）或1nnaqa−=（*0,2,qnnN），数列{}na是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}na中，0na且212nn

naaa−−=（*3,nnN），则数列{}na是等比数列.14.以下有四个命题：①一个等差数列na中，若存在()*10kkaakN+，则对于任意自然数nk，都有0na；②一个等比数列na中，若存在0ka，()10kakN+

，则对于任意nN，都有0na；③一个等差数列na中，若存在0ka，()10kakN+，则对于任意nN，都有0na；④一个等比数列na中，若存在自然数k，使10kkaa+则对于任意nN，都有10nnaa+．其

中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】【分析】在等差数列中，由10kkdaa+=−可知数列为递增数列，知①正确；等比数列中，由公比1kkaqa+=知数列各项符号相同或为摆动数列，从而得到②④正误；利用反例可知③错误.【详解

】对于①，由10kkaa+知：公差10kkdaa+=−，自第k项起，数列na为递增数列，又0ka，对于任意自然数nk，都有0na，①正确；对于②，由0ka，10ka+知：公比10kkaqa+=，数列na各项符号相同，即对于任意

nN，都有0na，②正确；对于③，若等差数列na中，21a=−，33a=−，则公差2d=−，110a=，③错误；对于④，由10kkaa+知：公比10kkaqa+=，等比数列na为摆动数列，奇数项的符号相同，偶数项的符

号相同，且奇数项与偶数项异号，对于任意nN，都有10nnaa+，④正确；综上所述：正确的命题的个数为3个.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等差和等比数列的单调性和各项的符号特征；解题关键是能够根据

相邻两项之间的关系确定等差或等比数列的公差或公比的正负，进而得到等差数列的单调性和等比数列各项的符号特征.三．解答题（本大题满分44分，本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤）15.已知数列na通项公式()*65,212,2nnnnkaknk−

=−==N，求数列na的前n项和nS【答案】()22*123524,222333127,212233nnnnnnkSkNnnnk++−+−==++−=−【解析】【分析】利用分组求和法即可求出n

S.【详解】当n为偶数时，12341nnnSaaaaaa−=++++++()()13124+nnaaaaaa−=++++++()()24113+611222nn=++−++++()()()2222222121+611412610352422124142

233nnnnnnnnn+−−−−=+=+=−+−−−当n为奇数时，()()1122135243127116522332233nnnnnSannnSnn++−=+=−−−+−+−=++−

所以()22*123524,222333127,212233nnnnnnkSkNnnnk++−+−==++−=−16.数列na满足()()11131211,211nnnnaaaaa++−+==−+，数列21nnba=−，数列

()22*1nnncaan+=−N（1）求证:数列nb是等比数列；（2）求数列nc的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）32()83nnc=，*nN.【解析】【分析】（1）由题设可得2213(1)2(1)nnaa+−=−，结合题设即可

证结论.（2）由（1）可得213312()4nna−=−，结合()22*1nnncaan+=−N写出nc的通项公式.【小问1详解】由题设，2213(1)2(1)nnaa+−=−且1na，即132nnbb+=且0

nb，而211314ba=−=，所以123nnbb+=且134b=，则nb是首项为34，公比为23的等比数列，得证.【小问2详解】由（1）可得：132()43nnb−=，故213312()4nna−=−，则2132()41

3nna+=−，所以221923232()()()834383nnnnnncaa+=−=−=.则nc的通项公式为32()83nnc=.17.数列na满足11a=，22a=，()22*21cossin22

nnnnaan+=++N.（1）分别求数列21na−和2na的通项公式；（2）设212nnnaba−=，12nnSbbb=+++，若对任意正整数n，不等式()26log39nSm+恒成立，求满足条件的整数m的集合D；（3）若1cD，()()*

14641021nnncncnn++++=+N，判断221ncn++是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项nc．【答案】（1）21nan−=，22nna=（2）2,1,0D

=−−（3）答案见解析【解析】【分析】（1）推导出数列21na−为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得21na−，推导出数列2na为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得2na；（2）分析数列nS的单调性，求出数列nS的最小项的值，可得出关于m的不等式

，即可解得集合D；（3）令221nncdn+=+，可得出12nndd+=，对1c的取值进行分类讨论，结合等比数列的定义可得出结论，结合等比数列的通项公式可得结果.【小问1详解】解：()()2221212121211cossin122nnnnnaaa+−−−−

=++=+，故数列21na−是以1为首项，以1为公差的等差数列，则2111nann−=+−=，()2222221cossin2nnnanana+=++=，且22a=，故数列2na是以22a=为首项，以2为公

比的等比数列，故12222nnna−==.综上所述，21nan−=，22nna=.小问2详解】解：2122nnnnanba−==，则110nnnSSb++−=，故数列nS为单调递增数列，【故()1min12nSS==，由题意可得()2log393m+，可得

0398m+，解得133m−，因此，2,1,0D=−−.【小问3详解】解：设221nncdn+=+，则()212nncnd=+−，代入()()*14641021nnncncnn++++=+N，得()()()14

621241023221nnnndnndn+++−+++−=+，即()()()()123214222321812410nnnndnnndnn+++−−=++−−++，可得12nndd+=，因为1123cd+=，故当12c=−时，数列221ncn+

+不为等比数列；当11c=−时，112133cd+==，数列221ncn++为等比数列，则123nnd−=，()121263nnnc−+−=；当10c=时，123d=，数列221nc

n++为等比数列，则23nnd=，()21263nnnc+−=.18.已知数列{an}的各项均为整数，其前n项和为Sn．规定：若数列{an}满足前r项依次成公差为1的等差数列，从第r﹣1项起往后依次成公比

为2的等比数列，则称数列{an}为“r关联数列”．（1）若数列{an}为“6关联数列”，求数列{an}的通项公式；（2）在（1）的条件下，求出Sn，并证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；（3）已知

数列{an}为“r关联数列”，且a1=﹣10，是否存在正整数k，m（m＞k），使得a1+a2+…+ak﹣1+ak=a1+a2+…+am﹣1+am？若存在，求出所有的k，m值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（或）（2）

见解析；（3）存在或或或．【解析】【详解】试题分析：（1）若数列{an}为“6关联数列”，{an}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，可得a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1，即可求数列{an}的通项公式；（2）由（1）得（或，可见数列{anSn}的最小项为a6S6=﹣6，即可

证明：对任意n∈N*，anSn≥a6S6；（3），分类讨论，求出所有的k，m值．解：（1）∵数列{an}为“6关联数列”，∴{an}前6项为等差数列，从第5项起为等比数列，∴a6=a1+5，a5=a1+4，且，即，解得a1=﹣3∴（或）（2）由（1）得（或），{Sn}：﹣3，﹣5，﹣6，﹣6

，﹣5，﹣3，1，9，25，…{anSn}：9，10，6，0，﹣5，﹣6，4，72，400，…，可见数列{anSn}的最小项为a6S6=﹣6，证明：，列举法知当n≤5时，（anSn）min=a5S5=﹣5；当n≥6时

，，设t=2n﹣5，则．（3）数列{an}为“r关联数列”，且a1=﹣10，∵∴①当k＜m≤12时，由得（k+m）（k﹣m）=21（k﹣m）k+m=21，k，m≤12，m＞k，∴或．②当m＞k＞12时，由2k﹣11﹣56=2m﹣11﹣56得m=k，不存在③当k≤12，m＞12时

，由，2m﹣10=k2﹣21k+112当k=1时，2m﹣10=92，m∉N*；当k=2时，2m﹣10=74，m∉N*；当k=3时，2m﹣10=58，m∉N*；当k=4时，2m﹣10=44，m∉N*；当k=5时，2m﹣10=25，m=15∈N*

；当k=6时，2m﹣10=22，m∉N*；当k=7时，2m﹣10=14，m∉N*；当k=8时，2m﹣10=23，m=13∈N*；当k=9时，2m﹣10=22，m=12舍去；当k=10时，2m﹣10=2，m=11舍去当k=11时，2m﹣10=2

，m=11舍去；当k=12时，2m﹣10=22，m=12舍去综上所述，∴存在或或或．考点：数列的应用．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com